「精选」2019-2020学年高考数学大一轮复习热点聚焦与扩展专题67取球、比赛与闯关问题-精选文档

专题67 取球、比赛与闯关问题
【热点聚焦与扩展】
纵观近几年的高考概率统计问题，往往以实际问题为背景，围绕比赛、娱乐“闯关”、取球等设计问题，考查概率、统计、离散型随机变量及其数字特征在实际问题中的应用．考查数据处理能力以及分析问题解决问题的能力．
本专题在分析研究近几年高考题及各地模拟题的基础上，举例说明.
（一）取球问题
在很多随机变量的题目中，常以“取球”作为故事背景，通过对“取球”提出不同的要求，来考察不同的模型，常见的模型及处理方式如下：
1、独立重复试验模型：关键词“可放回的抽取”，即下一次的取球试验与上一次的相同.
2、超几何分布模型：关键词“不放回的抽取”
3、与条件概率相关：此类问题通常包含一个抽球的规则，并一次次的抽取，要注意前一次的结果对后一步抽球的影响
4、古典概型：要注意虽然题目中会说明“相同的”小球，但是为了能使用古典概型（保证基本事件为等可能事件），通常要将“相同的”小球视为“不同的”元素，在利用排列组合知识进行分子分母的计数.
5、数字问题：在小球上标注数字，所涉及的问题与数字相关（奇，偶，最大，最小等），在解决此类问题时，要将数字模型转化为“怎样取球”的问题，从而转化为前几个类型进行求解.
（二）比赛与闯关问题
1、常见的比赛规则
（1）n局m胜制：这种规则的特点为一旦某方获得m次胜利即终止比赛.所以若比赛提前结束，则一定在最后一次比赛中某方达到m胜.
例如：甲，乙两队举行排球比赛，比赛采取5局3胜制，已知甲获胜的概率为2
3
，求甲以3:1
获胜的概率：
解：本题不能认为“四局中甲赢得三局”，从而
3
3
4
2132
3381
P C
⎛⎫⎛⎫
==
⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭
，因为如果前三局连胜，
则结束比赛而不会开始第四局，所以若比分为3:1，则第四局甲获胜，前三局的比分为2:1，
所以2
232122433381P C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅= ⎪ ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭⎝⎭
（2）连胜制：规定某方连胜m 场即终止比赛，所以若提前结束比赛，则最后m 场连胜且之前没有达到m 场连胜.
例如：甲，乙两队举行比赛，比赛共有7局，若有一方连胜3局，则比赛立即终止.已知甲获胜的概率为
3
4
，求甲在第5局终止比赛并获胜的概率 解：若第5局比赛结束，根据连胜三局终止比赛的规则，可知甲在第3,4,5局获胜，且第二局失败（否则若第二局获胜，则第四局就达到三连胜），第一局无论胜负不影响获胜结果.所
以3
132744256P ⎛⎫⎛⎫=⋅= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
（3）比分差距制：规定某方比对方多m 分即终止比赛，此时首先根据比赛局数确定比分，在得分过程中要注意使两方的分差小于m
（4）“一票否决制”：在比赛的过程中，如果在某一阶段失败，则被淘汰.此类问题要注意若达到第m 阶段，则意味着前()1m -个阶段均能通关 2、解答此类题目的技巧：
（1）善于引入变量表示事件：可用“字母+变量角标”的形式表示事件“第几局胜利”.例如：
i A 表示“第i 局比赛胜利”，则i A 表示“第i 局比赛失败”.
（2）善于使用对立事件求概率：若所求事件含情况较多，可以考虑求对立事件的概率，再用
()()
1P A P A =-解出所求事件概率.在处理离散性随机变量分布列时，也可利用概率和为1
的特点，先求出包含情况较少的事件的概率，再间接求出包含情况较多的事件概率
【经典例题】
例1.【2016高考北京文数】某学校运动会的立定跳远和30秒跳绳两个单项比赛分成预赛和决赛两个阶段.下表为10名学生的预赛成绩，其中有三个数据模糊.
在这10名学生中，进入立定跳远决赛的有8人，同时进入立定跳远决赛和30秒跳绳决赛的
A.2号学生进入30秒跳绳决赛
B.5号学生进入30秒跳绳决赛
C.8号学生进入30秒跳绳决赛
D.9号学生进入30秒跳绳决赛
【答案】B
【解析】
例2.【2016年高考北京理数】袋中装有偶数个球，其中红球、黑球各占一半.甲、乙、丙是三个空盒.每次从袋中任意取出两个球，将其中一个球放入甲盒，如果这个球是红球，就将另一个球放入乙盒，否则就放入丙盒.重复上述过程，直到袋中所有球都被放入盒中，则（）A.乙盒中黑球不多于丙盒中黑球 B.乙盒中红球与丙盒中黑球一样多
C.乙盒中红球不多于丙盒中红球
D.乙盒中黑球与丙盒中红球一样多
【答案】C
【解析】
试题分析：若乙盒中放入的是红球，则须保证抽到的两个均是红球；若乙盒中放入的是黑球，则须保证抽到的两个球是一红一黑，且红球放入甲盒；若丙盒中放入的是红球，则须保证抽到的两个球是一红一黑：且黑球放入甲盒；若丙盒中放入的是黑球，则须保证抽到的两个球都是黑球；A：由于抽到的两个球是红球和黑球的次数是奇数还是偶数无法确定，故无法判定乙盒和丙盒中异色球的大小关系，而抽到两个红球的次数与抽到两个黑球的次数应是相等的，故选C.
例3.【2018届浙江省杭州市第二中学仿真考】已知甲盒子中有个红球，个蓝球，乙盒子中有个红球，个蓝球，同时从甲乙两个盒子中取出个球进行交换，（a）交换后，从甲盒子中取1个球是红球的概率记为.（b）交换后，乙盒子中含有红球的个数记为.则（）
A. B.
C. D.
【解析】分析：首先需要去分析交换后甲盒中的红球的个数，对应的事件有哪些结果，从而得到对应的概率的大小，再者就是对随机变量的值要分清，对应的概率要算对，利用公式求得其期望.
详解：根据题意有，如果交换一个球，
有交换的都是红球、交换的都是蓝球、甲盒的红球换的乙盒的蓝球、甲盒的蓝球交换的乙盒的红球，
红球的个数就会出现
三种情况；
如果交换的是两个球，有红球换红球、蓝球换蓝球、一蓝一红换一蓝一红、红换蓝、蓝换红、一蓝一红换两红、一蓝一红换亮蓝， 对应的红球的个数就是
五种情况，所以分析可以求得
，故选A.
点睛：该题考查的是有关随机事件的概率以及对应的期望的问题，在解题的过程中，需要对其对应的事件弄明白，对应的概率会算，以及变量的可取值会分析是多少，利用期望公式求得结果.
例4．【浙江省金华市浦江县2018年高考适应性考试】袋中装有5个大小相同的球，其中有2个白球，2个黑球，1个红球，现从袋中每次取出1球，去除后不放回，直到渠道有两种不同颜色的球时即终止，用表示终止取球时所需的取球次数，则随机变量的数字期望是
（ ）
A. B. C. D. 【答案】A
例5.【2017江苏，23】 已知一个口袋有m 个白球,n 个黑球(,*,2m n n N ≥),这些球除颜
色外全部相同.现将口袋中的球随机的逐个取出，并放入如图所示的编号为1,2,3,,m n +L 的抽屉内，其中第k 次取出的球放入编号为k 的抽屉(1,2,3,,)k m n =+L .
（1）试求编号为2的抽屉内放的是黑球的概率p ;
（2）随机变量X 表示最后一个取出的黑球所在抽屉编号的倒数,()E X 是X 的数学期望,证明:()()(1)
n
E X m n n <
+-
【答案】（1）
n
m n
+（2）见解析 【解析】解:(1) 编号为2的抽屉内放的是黑球的概率p 为: 11
C C n m n n m n n p m n
-+-+==
+. (2) 随机变量 X 的概率分布为:
随机变量 X 的期望为：
例6. 甲乙两人进行围棋比赛，约定先连胜两局者直接赢得比赛，若赛完5局仍未出现连胜，则判定获胜局数多者赢得比赛.假设每局甲获胜的概率为32，乙获胜的概率为3
1
，各局比赛结果相互独立.
（1）求甲在4局以内（含4局）赢得比赛的概率；
（2）记X 为比赛决出胜负时的总局数，求X 的分布列和期望. 【答案】（1）
56
81
；（2） X 2 3 4 5
P
59 29 1081 881
期望
224
81
.
（2）思路：首先依题意能确定X 可取的值为2,3,4,5，若提前结束比赛，则按（1）的想法，除了最后两场要连胜（或连败），其余各场应“胜负交替”.在每个事件中要分甲获胜和乙获胜两种情况进行讨论 解：X 可取的值为2,3,4,5
()()()
22
12122152339
P X P A A P A A ⎛⎫⎛⎫==+=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
()()()
22
123123122162
33333279
P X P A A A P A A A ⎛⎫⎛⎫==+=⨯+⨯== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
()()()
22
1234123421212110
433333381
P X P A A A A P A A A A ⎛⎫⎛⎫==+=⨯⨯+⨯⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
()()()
1234123421211212853333333381
P X P A A A A P A A A A ==+=
⨯⨯⨯+⨯⨯⨯= X ∴的分布列为：
X 2 3 4 5 P
59
29
1081
881
5234599818181
EX ∴=⨯+⨯+⨯+⨯=
例7. 袋中装有若干个质地均匀大小相同的红球和白球，白球数量是红球数量的两倍，每次从袋中摸出一个球，然后放回，若累计3次摸到红球则停止摸球，否则继续摸球直到第5次摸球后结束
（1）求摸球四次就停止的事件发生的概率
（2）记摸到红球的次数为ξ，求随机变量ξ的分布列及其期望 【答案】（1）
4
9
；（2） ξ 0
1
2
3
P
32243
80243
80243
1781
期望
81
.
()2
23
214
339
P A C ⎛⎫⎛⎫∴== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
（2）思路：可知ξ可取的值为0,1,2,3，当0,1,2ξ=时，摸球是通过完成5次后停止，所以可利用独立重复试验模型计算概率；当3ξ=时，按照规则有可能摸球提前结束，所以要按摸球的次数（3次，4次，5次）分类讨论后再汇总 解：ξ可取的值为0,1,2,3
()523203243P ξ⎛⎫∴=== ⎪⎝⎭ ()4
151280133243P C ξ⎛⎫⎛⎫=== ⎪⎪
⎝⎭⎝⎭ ()2
3
25
1280233243
P C ξ⎛⎫⎛⎫
===
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ()3222
2234112112151173333333324381P C C ξ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==++== ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
ξ∴的分布列为：
ξ
0 1 2 3
P
32243 80243 80243 1781 01232432432438181
E ξ∴=⨯+⨯+⨯+⨯=
例8. 已知甲盒内有大小相同的1个红球和3个黑球，乙盒内有大小相同的3个红球和3个黑球，现从甲，乙两个盒内各任取2个球 （1）求取出的4个球中没有红球的概率 （2）求取出的4个球中恰有1个红球的概率
（3）设ξ为取出的4个球中红球的个数，求ξ的分布列和数学期望 【答案】（1）
110；（2）2
5
；（3） ξ 0
1
2
3
P
110
25
25
110
2
【解析】思路：本题这三问的关键在于所取球中红球的个数，考虑红球个数来自于两个盒内拿出红球个数的总和，所以可将红球总数进行分配，从而得到每个盒中出红球的情况，进而计算出概率
（1）设事件i A 为“甲盒中取出i 个红球”，事件j B 为“乙盒中取出j 个红球”
（3）ξ可取的值为0,1,2,3
()()1010P P A ξ∴===
()()2
15
P P B ξ===
()()()02201111
13331333 02112222
4646
2
2
5
C C C C C C C C
P P A B P A B
C C C C
ξ==+=⋅+⋅=
()()1102
1333
1222
46
331
3
61510
C C C C
P P A B
C C
ξ===⋅=⋅=
ξ
∴的分布列为：
ξ0123
P
1
10
2
5
2
5
1
10
0123
1055102
Eξ
∴=⨯+⨯+⨯+⨯=
例9.【2016高考山东文数】某儿童乐园在“六一”儿童节推出了一项趣味活动.参加活动的儿童需转动如图所示的转盘两次，每次转动后，待转盘停止转动时，记录指针所指区域中的数.设两次记录的数分别为x，y.奖励规则如下：
①若3
xy≤，则奖励玩具一个；
②若8
xy≥，则奖励水杯一个；
③其余情况奖励饮料一瓶.
假设转盘质地均匀，四个区域划分均匀.小亮准备参加此项活动.
（I）求小亮获得玩具的概率；
（II）请比较小亮获得水杯与获得饮料的概率的大小，并说明理由.
【答案】（I）
5
16
.（∏）小亮获得水杯的概率大于获得饮料的概率.
【解析】
试题分析：用数对(),x y表示儿童参加活动先后记录的数，写出基本事件空间Ω与点集
(){},|,,14,14S x y x N y N x y =∈∈≤≤≤≤一一对应.得到基本事件总数.
（I ）利用列举法，确定事件A 包含的基本事件，计算即得. （∏）记“8xy ≥”为事件B ，“38xy <<”为事件C . 确定事件B 包含的基本事件共有6个，
事件C 包含的基本事件共有5个，计算得到()P B 、()P C ，比较即知.
（∏）记“8xy ≥”为事件B ，“38xy <<”为事件C .
则事件B 包含的基本事件共有6个，即()()()()()()2,4,3,3,3,44,2,4,3,4,4, 所以，()63
.168
P B =
= 则事件C 包含的基本事件共有5个，即()()()()()1,4,2,2,2,3,3,2,4,1, 所以，()5.16
P C = 因为
35,816
> 所以，小亮获得水杯的概率大于获得饮料的概率.
例10.【2016高考山东理数】甲、乙两人组成“星队”参加猜成语活动，每轮活动由甲、乙各猜一个成语，在一轮活动中，如果两人都猜对，则“星队”得3分；如果只有一个人猜对，则“星队”得1分；如果两人都没猜对，则“星队”得0分.已知甲每轮猜对的概率是3
4
，乙每轮猜对的概率是
2
3
；每轮活动中甲、乙猜对与否互不影响，各轮结果亦互不影响.假设“星队”参加两轮活动，求：
（I ）“星队”至少猜对3个成语的概率；
（2）“星队”两轮得分之和为X 的分布列和数学期望EX.
【答案】（1）
23（2）分布列见解析，23
6
=EX 【解析】
记事件E ：“‘星队’至少猜对3个成语”.
由题意，.E ABCD ABCD ABCD ABCD ABCD =++++ 由事件的独立性与互斥性，
()()()()()()
P E P ABCD P ABCD P ABCD P ABCD P ABCD =++++ ()()()()()()()()()()
()()()()()
()()()()()
P A P B P C P D P A P B P C P D P A P B P C P D P A P B P P A P B P C P D C P D =++++
323212323132=24343434343432.3
⎛⎫
⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯ ⎪⎝⎭= , 所以“星队”至少猜对3个成语的概率为
23
. (Ⅱ)由题意，随机变量X 的可能取值为0,1,2,3,4,6. 由事件的独立性与互斥性，得
()11111
04343144
P X ==⨯⨯⨯=
, ()3111121110
5124343434314472P X ⎛⎫==⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯== ⎪⎝⎭
,
()313131121231121225
24343434343434343144P X ==⨯⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=
, ()321111321
34343434312
P X ==⨯⨯⨯+⨯⨯⨯= ,
()32313212605
42=4343434314412
P X ⎛⎫==⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭ ,
()32321
643434
P X ==⨯⨯⨯=.
可得随机变量X 的分布列为
X 0
1
2
3
4
6
P
1144 572 25144 112 512 14 所以数学期望01234614472144121246
EX =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=.
【精选精练】
1．一袋中有6个黑球，4个白球
（1）不放回地依次取出3个球，已知第一次取出的是白球，求第三次取到黑球的概率 （2）有放回地依次取出3个球，已知第一次取出的是白球，求第三次取到黑球的概率 （3）有放回的依次取出3个球，求取到白球个数X 的分布列，期望和方差 【答案】（1）23（2）23（3）分布列见解析，236
=EX 【解析】
（2）思路：因为是有放回的取球，所以每次取球的结果互不影响，属于独立重复试验模型，所以第三次取球时依然是6个黑球，3个白球，取得黑球的概率为
6
9
解：设事件B 为“有放回取球，第一次取出白球时，第三次取到黑球”
()23
P B ∴=
()30332705125P X C ⎛⎫∴=== ⎪⎝⎭ ()2
133254155125P X C ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ()1
223
3236255125P X C ⎛⎫
⎛⎫=== ⎪
⎪⎝⎭
⎝⎭ ()3
332835125
P X C ⎛⎫=== ⎪
⎝⎭ X 0
1
2
3
P
27125
54125
36125
8125
23,5X B ⎛⎫
⎪⎝⎭
Q :
26355EX ∴=⋅
= 2318
35525
DX =⋅⋅=
2.甲、乙两袋中各装有大小相同的小球9个，其中甲袋中红色、黑色、白色小球的个数分别为
2、3、4，乙袋中红色、黑色、白色小球的个数均为3，某人用左右手分别从甲、乙两袋中
取球．
（1）若左右手各取一球，求两只手中所取的球颜色不同的概率；
（2）若左右手依次各取两球，称同一手中两球颜色相同的取法为成功取法，记成功取法次数为随机变量X ，求X 的分布列和数学期望． 【答案】（1）2
3
（2）分布列见解析，6,5EX =18.25DX =
【解析】
解：（1）设事件A 为“两只手中所取的球颜色不同”，则A 为“两只手中所取的球颜色相同”
()()
2333432
119999993
P A P A ⎛⎫=-=-⋅+⋅+⋅= ⎪⎝⎭
（2）X 可取的值为0,1,2
左手取球成功的概率22223412
95
18
C C C P C ++==
右手取球成功的概率22233322
91
4
C C C P C ++== (
)511301118424P X ⎛
⎫⎛⎫∴==-⋅-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
()5151711118418418
P X ⎛⎫⎛⎫==-⋅+⋅-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ()515
218472
P X ==
⋅=
X ∴的分布列为 X 0
1 2
P
1324 718 572
01224187236
EX ∴=⨯+⨯+⨯=
3.某商场在店庆日进行抽奖促销活动，当日在该店消费的顾客可参加抽奖．抽奖箱中有大小完全相同的4个小球，分别标有字“生”“意”“兴”“隆”．顾客从中任意取出1个球，记下上面的字后放回箱中，再从中任取1个球，重复以上操作，最多取4次，并规定若取出“隆”字球，则停止取球．获奖规则如下：依次取到标有“生”“意”“兴”“隆”字的球为一等奖；不分顺序取到标有“生”“意”“兴”“隆”字的球，为二等奖；取到的4个球中有标有“生”“意”“兴”三个字的球为三等奖． （1）求分别获得一、二、三等奖的概率； （2）设摸球次数为ξ，求ξ的分布列和数学期望． 【答案】（1）159,,;25625664（2）分布列见解析，11
4
EX = 【解析】
()1233411119444464
P A C A =⋅⨯⨯⨯⋅=
（2）摸球次数ξ可取的值为1,2,3,4
()114P ξ∴==
()31324416
P ξ==⋅= ()3319344464P ξ==⋅⋅= ()33327
444464
P ξ==⋅⋅=
ξ∴的分布列为：
ξ
1 2 3
4
P
14 316 9
64
2764
123441664644
E ξ∴=⨯+⨯+⨯+⨯=
4.学校游园活动有这样一个游戏项目：甲箱子里装有3个白球，2个黑球；乙箱子里面装有1个白球，2个黑球；这些球除了颜色外完全相同，每次游戏从这两个箱子里各随机摸出2个球，若摸出的白球不少于2个，则获奖（每次游戏后将球放回原箱） （1）求在一次游戏中 ① 摸出3个白球的概率 ② 获奖的概率
（2）求在三次游戏中获奖次数X 的分布列与期望 【答案】（1）17,;510（2）分布列见解析，21
10
EX =
【解析】
② 设事件B 为“获奖”（即白球不少于2个）
()()()()111122
3212321120212222
535317
510
C C C C C C P B P A B P A B P A B C C C C ⋅∴=++=⋅+⋅+=
（2）思路：三次游戏可视为独立重复试验，所以获奖次数X 服从二项分布，由（1）可得
73,10X B ⎛⎫
⎪⎝⎭
: ，从而可利用公式计算概率，列出分布列
解：
X 可取的值为0,1,2,3，依题意可得：73,
10X B ⎛⎫
⎪⎝⎭
: ()3
033270101000P X C ⎛⎫∴=== ⎪⎝⎭ ()2
1373189110101000P X C ⎛⎫⎛⎫=== ⎪⎪
⎝⎭⎝⎭ ()2
2373441210101000P X C ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ()3
3373433101000
P X C ⎛⎫=== ⎪⎝⎭ X ∴的分布列为：
X 0
1
2
3
P
27
1000
189
1000
441
1000
343
1000
73,10X B ⎛⎫
⎪⎝⎭
Q :
72131010
EX ∴=⋅
= 5.一个袋子中装有6个红球和4个白球，假设袋子中的每一个球被摸到可能性是相等的. （1）从袋子中任意摸出3个球，求摸出的球均为白球的概率；
（2）一次从袋子中任意摸出3个球，若其中红球的个数多于白球的个数，则称“摸球成功”（每次操作完成后将球放回），某人连续摸了3次，记“摸球成功”的次数为ξ，求ξ的分布列和数学期望. 【答案】（1）1
30
（2）分布列见解析，2EX = 【解析】
()3431041
12030
C P A C ===
()213064643
10802
1203
C C C C P B C ⋅+⋅∴=== ξ的取值为0,1,2,3，依题意可得：23,3B ξ⎛⎫
⎪⎝⎭
:
()3
03110327P C ξ⎛⎫∴=== ⎪⎝⎭ ()2
1321613327P C ξ⎛⎫⎛⎫=== ⎪⎪⎝⎭⎝⎭ ()2
1
23
211223327P C ξ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ()3
33283327
P C ξ⎛⎫=== ⎪⎝⎭ ξ∴的分布列为：
ξ
1
2
3
P
127
29
49
827
101232279927
E ξ∴=⨯
+⨯+⨯+⨯= 6.袋中装着标有数字1,2,3,4的小球各3个，从袋中任取3个小球，每个小球被取出的可能性都相等.
（1）求取出的3个小球上的数字互不相同的概率；
（2）用X 表示取出的3个小球上所标的最大数字，求随机变量X 的分布列和数学期望. 【答案】（1）2755（2）分布列见解析，155
44
EX = 【解析】
（1）思路：本题的特点在于每个编号都有3个球，若将这12个球视为不同元素，则可利用古典概型进行计算，设Ω为“12个球中任取3个”，则()3
12n C Ω=，事件A 为“三个球数字
各不相同”，则计数时第一步要先选出不同的三个编号，即3
4C ，然后每个编号中都有3个小球可供选择，即1
11
3
3
3C C C
⋅⋅，所以
()()
2
3143n A C C
=⋅.进而可计算出()P A
解：设事件A为“三个球数字各不相同”
()() (
)
()3
31
43
3
12
27
55
C C
n A
P A
n C
⋅
∴===
Ω
()33
3
12
1
1
220
C
P X
C
∴===()
33
63
3
12
19
2
220
C C
P X
C
-
===
()33
96
3
12
64
3
220
C C
P X
C
-
===()
33
129
3
12
136
4
220
C C
P X
C
-
===
X
∴的分布列为：
X1234
P
1
220
19
220
16
55
34
55
1234
220220555522044
EX
∴=⨯+⨯+⨯+⨯==
7.一个盒子中装有大小相同的小球n个，在小球上分别标有1,2,3,,n
L的号码，已知从盒子中随机的取出两个球，两球的号码最大值为n的概率为
1
4
，
（1）盒子中装有几个小球？
（2）现从盒子中随机的取出4个球，记所取4个球的号码中，连续自然数的个数的最大值为随机变量ξ（如取2468时，1
ξ=；取1246时，2
ξ=，取1235时，3
ξ=）
【答案】（1）8（2）分布列见解析，
33
14
EX=
【解析】
（1）思路：以两球号码最大值为n的概率为入手点，则该叙述等价于“取出一个n号球和一
个其它号码球的概率为1
4
，从而利用古典概型列出关于n的方程并解出
n
解：设事件A为“两球号码最大值为n”
()11
2
11
4
n
n
C
P A
C
-
⋅
∴==即()11
14
2
n
n n
-
=
-
解得：8
n=
（2）思路：由（1）可得小球的编号为18
-，结合所给的例子可知ξ的取值为1,2,3,4，其概率可用古典概
解：ξ的取值为1,2,3,4
()
4
8
51
1
14
P
C
ξ===()4
8
4234202
3
707
P
C
ξ
⨯+⨯
====
()
4
8
551
4
7014
P
C
ξ====
()()()()4
21134
7
P P P P
ξξξξ
∴==-=-=-==
ξ
∴的分布列为：
ξ1234
P
1
14
4
7
2
7
1
14
1234
14771414
Eξ
∴=⨯+⨯+⨯+⨯=
8.甲、乙两人对弈棋局，甲胜、乙胜、和棋的概率都是
3
1
，规定有一方累计2胜或者累计2和时，棋局结束.棋局结束时，若是累计两和的情形，则宣布甲乙都获得冠军；若一方累计2胜，则宣布该方获得冠军，另一方获得亚军.设结束时对弈的总局数为X．
（1）设事件A：“3
X=且甲获得冠军”，求A的概率；
（2）求X的分布列和数学期望.
【答案】（1）827（2）分布列见解析，26
9
EX = 【解析】
（1）思路：事件A 代表“对弈3局且甲获胜”所以甲必须在第三场获胜，且前两场为一胜一和或一胜一负（胜负先后顺序均可）.按照这几种情况找到对应概率相乘即可 解：设事件i A 为“甲在第i 局取胜”，事件j B 为“第j 局和棋”， 事件k C 为“乙在第k 局取胜”
()()()()()
123123123123P A P A A A P A A A P B B B P B B B ∴=+++
1212111212118
33333333333327
=
⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=
（2）思路：依题意可得只要有两个相同的结果就结束比赛，所以最多进行4次比赛，最少进行2次比赛，
()()()()1212121111111
23333333
P X P A A P B B P C C ==++=⨯+⨯+⨯=
()33111243339
P X A ==⋅⋅⋅=
()()()4
31249
P X P X P X ==-=-==
X ∴的分布列为 X 2 3 4
P
13 49 29
2343999
EX ∴=⨯+⨯+⨯=
点睛：在随机变量所取的值中，如果只有一个值的概率包含情况较多不易计算，那么可以考虑先计算出其他取值的概率，再用1减去其他概率即可
9．某项选拔共有三轮考核，每轮设有一个问题，回答问题正确者进入下一轮考核，否则即被
淘汰．已知某选手能正确回答第一、二、三轮的问题的概率分别为45，35，2
5
，且各轮问题能否正确回答互不影响． （1）求该选手被淘汰的概率；
（2）记该选手在考核中回答问题的个数为ξ，求随机变量ξ的分布列与数学期望． 【答案】（1）101125（2）分布列见解析，57
25
EX = 【解析】
（1）思路：依题可知，比赛规则为：只要打错一个即被淘汰，如果从问题的正面考虑，则要考虑到是第几轮被淘汰，情况较多.但此问题的反面为“答对所有问题”，概率易于表示，所以考虑利用对立事件进行求解
()115P ξ==
()42825525P ξ==⨯= ()4312
35525
P ξ==⨯=
ξ∴的分布列为
ξ 1 2 3
P
15 825 1225
1235252525
E ξ∴=⨯+⨯+⨯=
10.某区要进行中学生篮球对抗赛，为争夺最后一个小组赛名额，甲、乙、丙三支篮球队要进行比赛，根据规则：每两支队伍之间都要比赛一场；每场比赛胜者得3分，负者得0分，没有平局，获得第一名的将夺得这个参赛名额．已知乙队胜丙队的概率为
5
1
，甲队获得第一名的
概率为
61，乙队获得第一名的概率为15
1． （1）求甲队分别战胜乙队和丙队的概率21,P P ；
（2）设在该次比赛中，甲队得分为X ，求X 的分布列及期望． 【答案】（1）1221,34
P P ==（2）分布列见解析，11
4EX =
【解析】
（1）思路：解决21,P P 要通过甲队第一的概率与乙队第一的概率两个条件.若甲队第一名，则甲战胜乙且战
（2）思路：依题意可知X 可取的值为0,3,6，0X =即两战全负；3X =即一胜一负，要分成“胜乙负丙”和“负乙胜丙”两种情况讨论；6X =即两战全胜；分别求出概率即可. X 可取的值为0,3,6
()()()121
0114
P X P P ∴==--=
()()()1212731112
P X P P P P ==-+-= ()121
66
P X PP ===
X ∴的分布列为 X 0
3
6
P
14 712 16
03641264
EX ∴=⨯+⨯+⨯=
11.甲、乙两支篮球队赛季总决赛采用7场4胜制，每场必须分出胜负，场与场之间互不影响，只要有一队获胜4场就结束比赛．现已比赛了4场，且甲篮球队胜3场．已知甲球队第5，6
场获胜的概率均为
53，但由于体力原因，第7场获胜的概率为5
2
． （1）求甲队分别以2:4，3:4获胜的概率；
（2）设X 表示决出冠军时比赛的场数，求X 的分布列及数学期望． 【答案】（1）8125（2）分布列见解析，13925
EX = 【解析】
()()
562365525P A P A A ∴==
⋅= ()()
5672228
555125
P B P A A A ==⋅⋅=
（2）思路：比赛的场数取决于甲是否取胜，所以X 可取的值为5,6,7，若5X =，则甲4:1获胜，即胜第五场；若6X =则甲4:2获胜，即乙胜第五场，甲胜第六场；若7X =，则只需前六场打成3:3即可，所以只需乙连赢两场.分别计算概率即可得到分布列和期望 比赛场数X 可取的值为5,6,7
()()5355P X P A ∴=== ()()
566
625P X P A A ===
()()
56224
75525
P X P A A ===⋅=
X ∴的分布列为 X
5
6 7
P
35 625 425
5675252525
EX ∴=⨯+⨯+⨯=
12.某电视台举办的闯关节目共有五关，只有通过五关才能获得奖金，规定前三关若有失败即结束，后两关若有失败再给一次从失败的关开始继续向前闯的机会（后两关总共只有一次机会），已知某人前三关每关通过的概率都是23，后两关每关通过的概率都是1
2
（1）求该人获得奖金的概率
（2）设该人通过的关数为X ，求随机变量X 的分布列及数学期望
【答案】（1）
4
27
（2） ξ
1
2
3
4
5
P 13
29
427
227
227
427
9
EX =
【解析】
（1）思路：若该人获得奖金，则前三关必须通过，后两关可以通过，或者只有一次未通过，借助机会再次
4X =为第四关通过且第五关失利两次；5X =为五关全部通过获得奖金（即第一问的结果），其中由于4X =情况较为复杂，所以考虑利用
()()()()()101235P X P X P X P X P X -=+=+=+=+=⎡⎤⎣⎦进行处理
X 的取值为0,1,2,3,4,5
()()1103P X P A ∴=== ()()
12212
1339P X P A A ===⋅=
()()
1232214
233327
P X P A A A ===⋅⋅=
()()
32
1234421233227P X P A A A A A ⎛⎫⎛⎫
==== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
()()4
527
P X P A ===
()()()()()()2410123527
P X P X P X P X P X P X ∴==-=+=+=+=+==
⎡⎤⎣⎦ X ∴的分布列为：
ξ
0 1 2 3 4
5
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01234539272727279
EX ∴=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=。