(新课标)高三数学一轮复习 第8篇 第2节 圆与方程课时训练 理-人教版高三全册数学试题

【导与练】（新课标）2016届高三数学一轮复习第8篇第2节圆
与方程课时训练理
【选题明细表】
知识点、方法题号
圆的方程 2
直线与圆的位置关系1、6、8、9、10、13、15、16
圆与圆的位置关系3、4、14
与圆有关的最值问题5、7、12
与圆有关的轨迹问题11、15
一、选择题
1.对任意的实数k,直线y=kx+1与圆x2+y2=2的位置关系一定是( C )
(A)相离
(B)相切
(C)相交但直线不过圆心
(D)相交且直线过圆心
解析:直线y=kx+1恒过定点(0,1),且定点(0,1)在圆x2+y2=2内,
故直线y=kx+1一定与圆相交.又圆心(0,0)不满足方程y=kx+1,
∴直线与圆相交但不过圆心.
2.(2014某某模拟)已知圆x2+y2-2x+my-4=0上两点M、N关于直线2x+y=0对称,则圆的半径为( B )
(A)9 (B)3 (C)2(D)2
解析:由题意知,圆心(1,-)在直线2x+y=0上,
∴2-m=0,解得m=4;
∴圆的方程为(x-1)2+(y+2)2=9,圆的半径为3.
3.(2014某某模拟)过点P(2,3)向圆x2+y2=1作两条切线PA、PB,则弦AB所在直线的方程为( B )
(A)2x-3y-1=0 (B)2x+3y-1=0
(C)3x+2y-1=0 (D)3x-2y-1=0
解析:以PO为直径的圆(x-1)2+(y-)2=与圆x2+y2=1的公共弦即为所求,直线方程为
2x+3y-1=0.
4.(2013高考某某卷)直线x+2y-5+=0被圆x2+y2-2x-4y=0截得的弦长为(C)
(A)1 (B)2 (C)4 (D)4
解析:直线与圆相交问题必考虑圆心到直线的距离,圆半径及半弦长组成的直角三角形.由
x2+y2-2x-4y=0得(x-1)2+(y-2)2=5,所以圆心为(1,2),半径为,又圆心到直线的距离为
=1,所以半弦长为2,弦长为4.故选C.
5.(2014某某模拟)过圆x2+y2=1上一点作圆的切线与x轴,y轴的正半轴交于A,B两点,则|AB|的最小值为( C )
(A)(B)(C)2 (D)3
解析:设圆上的点为(x0,y0),其中x0>0,y0>0,则切线方程为x0x+y0y=1.分别令x=0,y=0得
A(,0),B(0,),则|AB|==≥=2.当且仅当x0=y0时,等号成立.
6.(2013高考某某卷)过点(3,1)作圆(x-1)2+y2=1的两条切线,切点分别为A、B,则直线AB的方程为( A )
(A)2x+y-3=0
(B)2x-y-3=0
(C)4x-y-3=0
(D)4x+y-3=0
解析:由图知切点A(1,1),圆心坐标
C(1,0),
所以k CM==.
易证CM⊥AB,
所以k AB=-2.
直线AB的方程为y-1=-2(x-1),
即2x+y-3=0.
7.(2014高考卷)已知圆C:(x-3)2+(y-4)2=1和两点A(-m,0),B(m,0)(m>0).若圆C上存在点P,使得∠APB=90°,则m的最大值为( B )
(A)7 (B)6 (C)5 (D)4
解析:由题意知以AB为直径的圆与圆C有公共点,且|OC|=5,于是m-1≤5≤1+m即4≤m≤6. 故选B.
8.在圆x2+y2-2x-6y=0内,过点E(0,1)的最长弦和最短弦分别为AC和BD,则四边形ABCD的面积为( B )
(A)5(B)10(C)15(D)20
解析:圆的方程化为标准形式为(x-1)2+(y-3)2=10,由圆的性质可知最长弦AC=2,最短弦BD恰以E(0,1)为中点,设点F为其圆心,坐标为(1,3).
故EF=,
∴BD=2=2,
∴S四边形ABCD=AC·BD=10.
9.(2014高考某某卷)已知圆C:(x-a)2+(y-b)2=1,平面区域Ω:若圆心C∈Ω,且圆C与x轴相切,则a2+b2的最大值为( C )
(A)5 (B)29 (C)37 (D)49
解析:作出不等式组表示的平面区域Ω(如图阴影部分所示,含边界),圆
C:(x-a)2+(y-b)2=1的圆心坐标为(a,b),半径为1.由圆C与x轴相切,得b=1.解方程组得即直线x+y-7=0与直线y=1的交点坐标为(6,1),设此点为P.
又点C∈Ω,则当点C与P重合时,a取得最大值,
所以,a2+b2的最大值为62+12=37.
二、填空题
10.(2014高考某某卷)在平面直角坐标系xOy中,直线x+2y-3=0被圆(x-2)2+(y+1)2=4截得的弦长为.
解析:由题意可得,圆心为(2,-1),r=2,圆心到直线的距离d==,
所以弦长为2=2=.
答案:
11.(2014 某某省瑞安十校联考)点P(4,-2)与圆x2+y2=4上任一点连线的中点的轨迹方程是.
解析:设圆上任一点为Q(x0,y0),PQ的中点为M(x,y),则解得
又因为点Q在圆x2+y2=4上,
所以+=4,
即(2x-4)2+(2y+2)2=4,
即(x-2)2+(y+1)2=1.
答案:(x-2)2+(y+1)2=1
12.已知x,y满足x2+y2=1,则的最小值为.
解析:表示圆上的点P(x,y)与点Q(1,2)连线的斜率,
所以的最小值是当直线PQ与圆相切时的斜率.
设直线PQ的方程为y-2=k(x-1),
即kx-y+2-k=0,
由=1得k=,
结合图形可知≥,
∴最小值为.
答案:
13.已知直线x+y=a与圆x2+y2=4交于A、B两点,且|+|=|-|,其中O为坐标原点,则实数a的值为.
解析:如图,作平行四边形OADB,则+=,-=,
∴||=||.
又||=||,
∴四边形OADB为正方形.
∴a=±2.
答案:±2
14.在平面内,与点A(1,2)距离为1,与点B(3,1)距离为2的直线共有
条.
解析:与点A距离为1的直线是以A为圆心,1为半径的圆的切线,同理与点B距离为2的直线是以B为圆心,2为半径的圆的切线,即所求直线为两圆的公切线,由于|AB|=,所以两圆相交,公切线有2条.
答案:2
三、解答题
15.已知圆C:x2+(y-2)2=5,直线l:mx-y+1=0.
(1)求证:对m∈R,直线l与圆C总有两个不同交点;
(2)若圆C与直线相交于点A和点B,求弦AB的中点M的轨迹方程.
(1)证明:法一直线方程与圆的方程联立,消去y得(m2+1)x2-2mx-4=0,
∵Δ=4m2+16(m2+1)=20m2+16>0,
∴对m∈R,直线l与圆C总有两个不同交点.
法二直线l:mx-y+1=0恒过定点(0,1),且点(0,1)在圆C:x2+(y-2)2=5内部,
∴对m∈R,直线l与圆C总有两个不同交点.
(2)解:设A(x1,y1),B(x2,y2),M(x,y),
由方程(m2+1)x2-2mx-4=0,
得x1+x2=,∴x=.
当x=0时m=0,点M(0,1),
当x≠0时,由mx-y+1=0,
得m=,
代入x=,得x[()2+1]= ,
化简得x2+(y-)2=.
经验证(0,1)也符合,
∴弦AB的中点M的轨迹方程为x2+(y-)2=.
16.已知直线l:mx-(m2+1)y=4m(m∈R)和圆C:x2+y2-8x+4y+16=0,是否存在实数m,使得直线l 将圆C分割成弧长的比值为的两段圆弧,若存在,求出m的值;若不存在,说明理由.
解:直线l的方程可化为y=x-,此时l的斜率k=,因为|m|≤(m2+1), 所以|k|=≤,当且仅当|m|=1时等号成立,所以斜率k的取值X围是[-,].
又y=(x-4),
即l的方程为y=k(x-4),
其中|k|≤,圆C的圆心为C(4,-2),半径r=2;
圆心C到直线l的距离d=,
由|k|≤,得2>d≥>1,
即r>d>,
从而l与圆C相交,且直线l截圆C所得的弦所对的圆心角小于, 所以l不能将圆C分割成弧长的比值为的两段弧.。