北京市四中2021-2022学度高二下学期期中测试数学试卷(理)

北京市四中2021-2022学度高二下学期期中测试数学
试卷（理）
（试卷满分为150分，考试时刻为120分钟） 试卷分为两卷，卷（Ⅰ）100分，卷（Ⅱ）50分
卷（Ⅰ）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分 1. 复数i
-12等于
A. 1＋i
B. 1－i
C. －1＋i
D. －1－i
2.
⎰
2
1
2xdx
等于 A. 6
B. 5
C. 4
D. 3
3. 下列推理所得结论正确的是
A. 由ac ab c b a +=+)(类比得到y x y x a a a log log )(log +=+
B. 由ac ab c b a +=+)(类比得到y x y x sin sin )sin(+=+
C. 由)()(c b a c b a ++=++类比得到)()(yz x z xy =
D. 由n n n b a ab =)(类比得到n n n y x y x +=+)( 4. 若
x x x f sin 1)(2-=
，则)(x f 的导数是
A.
x
x x x x 22sin cos )1(sin 2---
B.
x
x x x x 22sin cos )1(sin 2-+-
c. x x x x sin )1(sin 22-+-
D. x
x x x sin )1(sin 22---
5. 复数i z +=1，z 为z 的共轭复数，则=--1z z z
A. －2i
B. –i
C. i
D. 2i
6. 已知函数)(x f y =，其导函数)('x f y =的图象如下图，则关于函数)(x f y =的描述正确的是
A. 在)0,(-∞上为减函数
B. 在0=x 处取得最大值
C. 在),4(+∞上为减函数
D. 在2=x 处取得最小值
7. 函数1)(3++=x ax x f 有极值的充要条件是
A. 0>a
B. 0≥a
C. 0<a
D. 0≤a
8. 函数x e x x f -⋅=)(的一个单调递增区间是
A. ()0,1-
B. ()8,2
C. ()2,1
D. ()2,0
9. 函数24-+=x x y 图象上的点到直线4-=x y 的距离的最小值是
A.
2
25 B.
2
2 C. 2 D.
2
10. 函数
4
33
12
23---=x a ax x y 在()+∞,3上是增函数，则实数a 的取值范畴是 A. (][)+∞-∞-,13,
B. []1,3-
C. ()1,3-
D. ()()+∞-∞-,13,
11. 函数cx bx ax x f ++=23)(的图象如图所示，且)(x f 在0x x =与2=x 处取得极值，
则)1()1(-+f f 的值一定
A. 等于0
B. 大于0
C. 小于0
D. 小于或等于0
12. 已知定义在R 上的函数)(x f 满足)(',1)2(x f f =为)(x f 的导函数。

已知)('x f y =的图象如图所示，若两个正数b a ,满足1)2(>+b a f ，则2
1--a b 的取值范畴是
A.
)1,2
1(- B.
)
,1()2
1
,(+∞--∞
C. )1,2(-
D. ),1()2,(+∞--∞
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分
13. 在曲线133+-=x x y 的所有切线中，斜率最小的切线所对应的方程为 。

14. 设i 是虚数单位，复数i
ai -+21为纯虚数，则实数a 的值为 。

15. 由曲线x x y 42+-=与曲线2x y =围成的平面图形的面积是 。

16. 对大于或等于2的自然数m 的n 次方幂有如下分解方式：
3122+= 53132++=
753142+++= 5323+= 119733++=
1917151343+++=
依照上述分解规律，则9753152++++=，若)(*3N n m ∈的分解中最小的数是73，则m 的值为 。

三、解答题：本大题共2小题，共20分 17. 已知*N n ∈，且2≥n ，求证：1
1
-->n n n。

18. 已知函数
x a x x f ln 2)(2+=。

（Ⅰ）若函数)(x f 的图象在))2(,2(f 处的切线斜率为1，求实数a 的值；
（Ⅱ）求函数)(x f 的单调区间； （Ⅲ）若函数
)
(2
)(x f x
x g +=在[]2,1上是减函数，求实数a 的取值范畴。

卷（Ⅱ）
一、选择题：本大题共3小题，每小题5分，共15分 1. 下列函数中，0=x 是极值点的函数是
A. 3x y -=
B. x y 2cos =
C. x x y -=sin
D.
x
y 1=
2. 对任意复数),(R y x yi x z ∈+=，i 为虚数单位，则下列结论正确的是
A. y z z 2=-
B. 222y x z +=
C.
x
z z 2≥-
D.
y
x z +≤
3. )(x f 是定义在),0(+∞上的可导函数，且满足0)()('≤+x f x xf 。

对任意正数b a ,，若,b a <则必有
A. )()(a bf b af ≤
B. )()(b af a bf ≤
C. )()(b bf a af ≤
D. )()(a af b bf ≤
二、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分 4. 若函数
5
)1('3
1)(2
3++⋅--=x x f x x f ，则=-)1('f 。

5. 设b ax ax x f +-=236)(在区间[]2,1-上的最大值为3，最小值为－29，且b a >，则
=a ，=b 。

6. 设S 为复数集C 的非空子集。

若对任意S y x ∈,，都有S xy y x y x ∈-+,,，则称S 为
封闭集。

下列命题：
①集合
b
a bi a S ,{+=为整数，i 为虚数单位}是封闭集；
②若S 为封闭集，则一定有S ∈0； ③封闭集一定是无限集；
④若S 为封闭集，则满足C T S ⊆⊆的任意集合T 也是封闭集。

其中真命题是 。

（写出所有真命题的序号）
三、解答题：本大题共2小题，每小题10分，共20分 7. 设函数
x
b x a x x f +
-=ln )(在1=x 处取得极值。

（Ⅰ）求a 与b 满足的关系式； （Ⅱ）求函数)(x f 的单调区间。

8. 已知函数x x x f -=3)(。

（Ⅰ）求曲线)(x f y =在点))(,(t f t M 处的切线方程；
（Ⅱ）设0>a ，假如过点),(b a 可作曲线)(x f y =的三条切线，证明：)(a f b a <<-。

【试题答案】
卷（Ⅰ）
1—5 ADCAB 6—10 CCADB 11—12 BA 13. 13+-=x y 14. 2
15. 3
8 16. 9
17.
1
11-+>n n n
18. 解：对函数)(x f 求导得：)1)(2()('-+=x ax e x f ax
2分
（Ⅰ）当1=a 时，)1)(2()('-+=x x e x f 令0)('>x f 解得1>x 或2-<x ，
0)('<x f 解得12<<-x ，因此)(x f 的单调增区间为)2,(--∞和),1(+∞， )(x f 的单调减区间为)1,2(-。

5分
（Ⅱ）令0)('=x f ，即0)1)(2(=-+x ax ，解得
a
x 2-
=或1=x 6分
当0>a 时，列表得：
x
)
2,(a
--∞
a
2- )1,2(a
- 1 ),1(+∞
)('x f ＋ 0 － 0 ＋ )(x f
↗
极大值
↘
极小值
↗
8分
关于
a x 2-<时，因为0,2,02>>->a a
x x ，因此0
12
>--a x x ， 0)(>∴x f
10分
关于
a x 2-≥时，由表可知函数在1=x 时取得最小值0
1)1(<-=a
e a
f 因此，当R x ∈时，
a e
a
f x f 1)1()(min -==
11分
由题意，不等式
5
)(.
≥+a x f 对R x ∈恒成立， 因此得
05
1≥+-a
e a a ，解得5ln 0≤<a
13分
卷（Ⅱ）
1—3 BDD 4. －2
5. 29,2-=-=b a
6. ①②
7. 解：（Ⅰ）由题意知
0)1(',1)('2
22=--=--=f x
b
ax x x b x a x f 可知)2(1≠=+a b a ； （Ⅱ）由（Ⅰ）知
,)
1)(1(1)('2
22>-+-=++-=x x x a x x a ax x x f 。

令0)('=x f ，解得1=x 或1-=a x 。

1°.当,01≤-a 即1≤a 时，
x
)1,0(
1 ),1(+∞
)('x f － 0 ＋ )(x f
↘
极小值)1(f
↗
因此)(x f 的单调递减区间为)1,0(，而)(x f 的单调递增区间为),1(+∞。

2°.当110<-<a ，即21<<a 时，
x
)1,0(-a
1-a
)1,1(-a
1 ),1(+∞
)('x f ＋ 0
－ 0 ＋ )(x f
↗
)1(-a f
↘
极小值)1(f
↗
因此)(x f 的单调递增区间为)1,0(-a ，),1(+∞，而)(x f 的单调递减区间为)1,1(-a 。

3°.当11=-a ，即2=a 时，)(x f 的单调递增区间为),0(+∞。

4°.当11>-a ，即2>a 时，
x
)1,0(
1 )1,1(-a
1-a
),1(+∞-a
)('x f ＋ 0
－ 0 ＋ )(x f
↗
)1(-a f
↘
极小值)1(f
↗
因此)(x f 的单调递增区间为)1,0(，),1(+∞-a ，而)(x f 的单调递减区间为)1,1(-a 。

8. 解：（1）求函数)(x f 的导数：13)('2-=x x f 。

曲线)(x f y =在点))(,(t f t M 处的切线方程为：))((')(t x t f t f y -=-，即322)13(t x t y --=。

（2）假如有一条切线过点),(b a ，则存在t ，使322)13(t a t b --=。

因此，若过点),(b a 可作曲线)(x f y =的三条切线，则方程03223=++-b a at t 有三个相异的实数根。

记b a at t t g ++-=2332)(，则)(666)('2a t t at t t g -=-=。

当t 变化时，)('),(t g t g 的变化情形如下表：
t
)0,(-∞
0 ),0(a
a
),(+∞a
)('t g ＋ 0 － 0 ＋ )(t g
↗
极大值
b a +
↘
极小值
)(a f b -
↗
由)(t g 的单调性，当极大值0<+b a 或极小值0)(>-a f b 时，方程0)(=t g 最多有一个实数根；
当0=+b a 时，解方程0)(=t g 得0=t ，
2
3a t =
，即方程0)(=t g 只有两个相异的实
数根；
当0)(=-a f b 时，解方程0)(=t g 得
a
t a
t =-=,2
，即方程0)(=t g 只有两个相异的实数根。

综上，假如过),(b a 可作曲线)(x f y =的三条切线，即0)(=t g 有三个相异的实数根，
则
⎩⎨
⎧<->+.
0)(,0a f b b a 即)(a f b a <<-。