【单元练】天津市方舟实验学校高中物理必修2第七章【万有引力与宇宙航行】经典练习

一、选择题
1．如下图所示，惯性系S 中有一边长为l 的立方体，从相对S 系沿x 方向以接近光速匀速飞行的飞行器上观察该立方体的形状是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ． D
解析：D
根据相对论效应可知，沿x 轴方向正方形边长缩短，沿y 轴方向正方形边长不变。

故选D 。

2．我国的“神舟”系列航天飞船的成功发射和顺利返回，显示了我国航天事业取得的巨大成就。

已知地球的质量为M ，引力常量为G ，飞船的质量为m ，设飞船绕地球做匀速圆周运动的轨道半径为r ，则（ ） A Gm
r
B r GM
C ．飞船在此圆轨道上运行的周期为 32r GM
D 2Gm
r
C 解析：C
A ．研究飞船绕地球做匀速圆周运动，根据万有引力提供向心力，列出等式
22Mm v G m r r
= 解得
GM
v r
=
A 错误；
B ．根据万有引力提供向心力，得
2Mm
G
ma r = 所以
2GM a r
=
B 错误；
C ．根据万有引力提供向心力，得
2224Mm r
G m r T
π= 所以
3
2r T GM
π
= C 正确；
D ．飞船在此圆轨道上运行所受的向心力为万有引力，得
2
Mm
F G
r = D 错误。

故选C 。

3．如图所示，一颗人造卫星原来在椭圆轨道1绕地球E 运行，在P 点变轨后进入轨道2做匀速圆周运动。

下列说法正确的是（ ）
A ．不论在轨道1还是轨道2运行，卫星在P 点的速度都相同
B ．不论在轨道1还是轨道2运行，卫星在P 点的加速度都相同
C ．卫星在轨道1的任何位置都具有相同的加速度
D ．卫星在轨道2的任何位置都具有相同的速度B 解析：B
A ．卫星从轨道1在P 点加速才能进入轨道2，则卫星在轨道2上P 点的速度大于在轨道1上P 点的速度，A 错误；
B ．根据
2Mm
G
ma r
=
解得
2GM a r
=
可知，不论在轨道1还是轨道2运行，卫星在P 点的加速度都相同，B 正确； C ．根据
2
Mm
G
ma r = 解得
2
GM
a r =
可知，卫星在轨道1的不同位置具有的加速度不同，C 错误；
D ．卫星在轨道2的任何位置都具有相同大小的速度，但是方向不同，D 错误。

故选B 。

4．下列说法中错误的是（ ）
A ．在同一均匀介质中，红光的传播速度比紫光的传播速度大
B ．蜻蜓的翅膀在阳光下呈现彩色是由于薄膜干涉
C ．应用多普勒效应可以计算出宇宙中某星球靠近或远离我们的速度
D ．狭义相对性原理指出，在不同的参考系中，一切物理规律都是相同的D 解析：D
A ．对于同一介质，红光比紫光的折射率小，即
n n <红紫
由
c v n
=
可知红光的传播速度比紫光的传播速度大，故A 正确，不符合题意； B ．蜻蜓的翅膀在阳光下呈现彩色是由于薄膜干涉，故B 正确，不符合题意；
C ．宇宙中的星球都在不停地运动，测量星球上某些元素发出的光波的频率，然后与地球上这些元素静止时发出的光波的频率对照，就可以算出星球靠近或远离我们的速度，故C 正确，不符合题意；
D ．狭义相对性原理指出，在不同的惯性参考系中，一切物理规律都是相同的，故D 错误，符合题意。

故选D 。

5．2020年6月23日，北斗三号最后一颗全球组网卫星在西昌卫星发射中心发射成功，这颗卫星为地球静止轨道卫星，距地面高度为H 。

已知地球半径为R ，自转周期为T ，引力常量为G 。

下列相关说法正确的是（ ） A ．该卫星的观测范围能覆盖整个地球赤道线
B ．该卫星绕地球做圆周运动的线速度大于第一宇宙速度
C ．可以算出地球的质量为23
2
4πH GT
D ．可以算出地球的平均密度为3
23
3π)R H GT R +（ D
解析：D
A ．地球静止轨道卫星位于赤道平面内特定高度处，相对地球静止不动，只能观测到赤道线长的一部分，故A 错误；
B ．第一宇宙速度是近地卫星的环绕速度，也是人造卫星绕地球做圆周运动的最大环绕速度，所以该卫星绕地球做圆周运动的线速度小于第一宇宙速度，故B 错误； CD ．设地球质量为M ，卫星质量为m ，根据牛顿第二定律有
2
224π()()Mm G m R H R H T
=++ 解得
23
2
4πR H M GT +=（）
设地球的平均密度为ρ，则
34
π3
M R ρ=⋅
地球的平均密度为
323
3π)R H GT R ρ+=（
故C 错误，D 正确。

故选D 。

6．已知金星绕太阳公转的周期小于地球绕太阳公转的周期，它们绕太阳的公转均可看做匀速圆周运动，则据此信息可判定（ ） A ．金星到太阳的距离大于地球到太阳的距离 B ．金星公转的绕行速度小于地球公转的绕行速度 C ．金星的质量小于地球的质量
D ．金星的向心加速度大于地球的向心加速度D 解析：D
A ．设任意一行星的公转半径为r ，周期为T ，质量为m ，太阳的质量为M ，则由牛顿第二定律得
2224πMm r G m r T
= 得
=2T 可见，r 越小，T 越小。

由题金星绕太阳公转的周期小于地球绕太阳公转的周期，则金星到太阳的距离小于地球到太阳的距离，故A 错误； BC ．由
2
2
GMm v m r r
= 得
v =
r 越小，v 越大，则金星公转的绕行速度大于地球公转的绕行速度，T 、v 与行星的质量无关，无法判断金星与地球质量的大小，故BC 错误； D ．由
2
GMm
ma r
= 得行星的向心加速度
2
GM
a r =
可见金星的向心加速度大于地球的向心加速度，故D 正确。

故选D 。

7．2019年12月16日，我国的西昌卫星发射中心又一次完美发射两颗北斗卫星，标志着“北斗三号”全球系统核心星座部署完成。

若北斗卫星A 与B 运行时都绕地心做匀速圆周运动，轨道半径之比为2：3，且两者动能相等，则下列说法正确的是（ ） A ．A 、B 两颗卫星的运行速度都大于7.9km/s B ．A 、B 卫星所受到的万有引力大小之比是3：2 C ．A 、B 两颗卫星环绕地球的周期之比是2：3 D ．A 、B 两颗卫星的运行速度大小之比是2：3B 解析：B
卫星绕地球做匀速圆周运动，由地球的万有引力提供向心力，则
22
2
24πGMm v m m r r r T
== 解得
v =
2T =A ．7.9km/s 是第一宇宙速度，即为近地卫星的运行速度，A 、B 两颗卫星的轨道半径均大于地球的半径，则两颗卫星的运行速度均小于7.9km/s ，故A 错误； B ．卫星的动能2
k 12
E mv =
卫星所受到的万有引力大小为 2k
2E v F m r r
==
两卫星的动能相等，轨道半径之比为2：3，则A 、B 两颗卫星的万有引力之比为3：2，故B 正确；
C ．A 、B 两颗卫星轨道半径之比为2：3，根据周期公式32πr T GM
=可知，两颗卫星环绕地球的周期之比是22:33，故C 错误； D ．A 、B 两颗卫星轨道半径之比为2：3，根据GM
v r
=得A 、B 两颗卫星的运行速度大小之比是3:2，故D 错误。

故选B 。

8．宇航员在地球表面以初速度0v 竖直上抛一小球，经过时间t 小球到达最高点；他在另一星球表面仍以初速度0v 竖直上抛同一小球，经过时间5t 小球到达最高点。

取地球表面重力加速度g=10m/s 2，空气阻力不计。

则该星球表面附近重力加速度g′的大小为（ ） A ．2 m/s 2 B ．2m/s 2
C ．10 m/s 2
D ．5 m/s 2A
解析：A
根据逆向思维可知，在地球上有
0v gt =
在另一个星球上
0(5)v g t '=
解得，星球表面附近重力加速度的大小
22m/s 5
g
g '=
= 故A 正确，BCD 错误。

故选A 。

9．如图，在发射地球同步卫星的过程中，卫星首先进入椭圆轨道Ⅰ，然后在Q 点通过改变卫星速度，让卫星进入地球同步轨道Ⅱ。

则（ ）
A ．该卫星的发射速度必定大于第二宇宙速度11.2km/s
B ．卫星在同步轨道Ⅱ上的运行速度大于第一宇宙速度7.9km/s
C ．在轨道Ⅰ上，卫星在P 点的速度大于在Q 点的速度
D ．卫星在Q 点通过减速实现由轨道Ⅰ进入轨道ⅡC 解析：C
A ．如果该卫星的发射速度大于第二宇宙速度就离开地球绕太阳运动了，A 错误；
B ．7.9km/s 是近地卫星的速度，卫星在圆轨道运动时越高越慢，卫星在同步轨道Ⅱ上的运
行速度小于第一宇宙速度7.9km/s ；
C ．由开开普勒第二定律，近地点最快，远地点最慢，卫星在P 点的速度大于在Q 点的速度，C 正确；
D ．卫星在Q 点通过加速做离心运动，实现由轨道Ⅰ进入轨道Ⅱ，D 错误。

故选C 。

10．夜晚，人们面对月亮只能看到正面，看不到背面，这说明月球的公转周期等于自转周期。

已知引力常量为G ，月球半径为R 、质量为M 、公转周期为T 。

由此可求出（ ） A ．地球的质量 B ．月球公转的轨道半径 C ．月球公转的向心加速度 D ．月球“同步卫星”的高度D 解析：D
AB ．设地球质量为M 1，月球的公转半径为r ，由万有引力定律和牛顿第二定律得
21224MM G M r r T
π=
地球的质量M 1和月球的公转半径r 都是未知量，无法求出地球的质量M 1和月球的公转半径为r ，AB 错误； C ．月球公转的向心加速度为
2
24a r T
π=
月球的公转半径为r 未知，无法求出月球公转的向心加速度，C 错误； D ．设月球“同步卫星”的高度为h ，由万有引力定律和牛顿第二定律得
()
()2
2
24Mm
G
m R h T
R h π=++
解得
h R = D 正确。

故选D 。

二、填空题
11．一物体在地球表面重16N ，它在以25m/s 的加速度加速上升的火箭中的视重为9N ，（已知地球表面的重力加速度是10m/s 2），则此时火箭离地面的距离为地球半径的______倍。

3 解析：3
以物体为研究对象，物体的质量为
1.6kg G
m g
=
= 根据牛顿第二定律得
'N F mg ma -=
得此时火箭所在处重力加速度
'210m/s 1616
g
g =
= 设地球的质量为M ，火箭离地高度为h ，根据万有引力等于重力得
'2
()GMm
mg R h =
+
又在地面上时
2
GMm
mg R =
联立解得
3h R =
12．已知地球半径为R ，地球表面和重力加速度为g ，引力常量为G ，不考虑地球自转影响，则地球的质量为___________，卫星环绕地球运行的第一宇宙速度为___________，若某卫星绕地球做匀速圆周运动的周期为T ，则卫星的轨道半径为___________。

解析：2R g G [1]设一物体静止在地球表面，不考虑地球自转影响，物体受到的万有引力等于重力，则有
2
Mm
G
mg R = 解得
2R g
M G
= [2]卫星环绕地球表面做圆周运动，万有引力提供向心力，由牛顿第二定律可得
22Mm v G m R R
= 将前面求得地球质量的表达式代入解得
v =
[3]卫星所需的向心力由万有引力提供，由牛顿第二定律可得
2
22Mm G mr r T π⎛⎫= ⎪⎝⎭
又
2R g
M G
= 联立解得
r =
13．最早用扭秤实验测得万有引力常量的科学家_______，实验不仅验证了万有引力定律的正确性，而且应用引力常量还可以测出地球的质量，因此也被称为“能称出地球质量的人”。

设地球表面物体受到的重力等于地球对物体的万有引力，已知地球表面重力加速度为g ，半径为R ，引力常量G ，则地球质量为M =__________（用上述已知量表示）。

卡文迪
许
解析：卡文迪许 2
gR G
[1]最早用扭力秤测得万有引力常量的科学家是卡文迪许。

[2]地球表面受到的重力等于地球对物体的万有引力，即
2
Mm
G
mg R = 则地球的质量为
G
gR M 2
= 14．如图所示，在距一质量为M 、半径为R 、密度均匀的球体R 处有一质量为m 的质点，此时球体对质点的万有引力F 1=______；若以球心O 为中心挖去一个质量为2
M
的球体，则剩下部分对质点的万有引力F 2=________。

解析：
24GMm R 2
8GMm
R [1]根据万有引力定律可知
12
2
(2)4Mm GMm
F G
R R == [2]挖去部分对质点的万有引力为
222(2)8M m
Mm
F G G R R
==
则
21222
488GMm Mm GMm
F F F
G R R R
=-=
-= 15．两颗人造地球卫星的质量之比m A :m B =2:1，轨道半径之比R A :R B =3:1，那么，它们的周期之比T A :T B =______，它们所受向心力之比F A :F B =______。

解析：33 2:9 根据万有引力提供向心力，有
2
22()GMm F F m r r T
π==
=向 得
2T = 因轨道半径之比
A B 3R R :=:1
则他们的周期之比为
A B T T :=
又因质量之比为
A B 2m m :=:1
故它们所受向心力之比为
A B 2F F :=:9
16．若地球的第一宇宙速度近似等于8km/s 。

某人造地球卫星离地面的高度等于地球半径，则它绕地球运行的速率大约为___________ km/s 。

若地球表面的重力加速度为10m/s 2，该人造地球卫星绕地球运行的向心加速度_________ m/s 2。

25
2.5
[1]．人造地球卫星在圆形轨道上运行时，由万有引力提供向心力，则有：
22Mm v G m r r
= 解得
v =
=
对于地球的第一宇宙速度，即为：
1v =
所以
1v =
= [2]．对人造地球卫星，根据牛顿第二定律得：
2
mM
ma G
r = 得加速度为
22
(2)GM GM
a r R =
= 又
2
mM
mg G
R = 联立两式得
210
2.5m/s 44
g a =
== 17．卡文迪许把他自己的实验说成是“称地球的重量”（严格地说应是“测量地球的质量”）。

如果已知引力常量G 、地球半径R 和重力加速度g ，那么我们就可以计算出地球的质量M =____________，进一步可以计算出地球的密度ρ=_______________；如果已知某行星绕太阳运行所需的向心力是由太阳对该行星的万有引力提供的，该行星做匀速圆周运动，只要测出行星的公转周期T 和行星距太阳的距离r 就可以计算出太阳的质量
M =太_______________.
解析：2
gR G
34g GR π 232
4r GT π [1][2]．根据万有引力等于重力
2
Mm
G
mg R ＝ 得：
G
gR M 2
= 则地球密度为：
2
33443
gR M g G R V GR ρππ＝＝＝
[3]．根据万有引力提供向心力，有：
2
22()Mm G
m r r T
π= 解得：
23
2
4r M GT
π= 知只要知道行星的公转周期T 和行星距太阳的距离r ，即可计算出太阳的质量． 18．月球质量是地球质量的
181，月球半径是地球半径的13.8
，人造地球卫星的第一宇宙速度为7.9km/s 。

“嫦娥”月球探测器进入月球的近月轨道绕月飞行，在月球表面附近运行时的速度大小为___________km/s ；若在月球上，距月球表面56m 高处，有一个质量为20kg 的物体自由下落，它落到月球表面的时间为___________s 779 解析：7 7.9
[1]根据2
2Mm v G m R R
＝知第一宇宙速度为：
v =
则探测器在月球表面附近运行的速度与第一宇宙速度之比为：
则在月球表面附近运行时的速度大小为：
7.9 1.71km/s v =≈ [2]不考虑自转时，万有引力近似等于重力，则在天体表面有：
2
Mm
G
mg R ＝ 得：
2
GM
g R =
得月球与地面表面重力加速度之比为：
221 6
g M R g M R =⋅=月月地月地地 得：
1
6g g =
月地
物体落到月球表面的时间为：
7.9s t =
==≈ 19．如图,质量分别为m 和M 的两个星球A 和B 在引力作用下都绕O 点做匀速周运动,星球A 和B 两者中心之间距离为L 。

已知A,B 的中心和O 三点始终共线,A 和B 分别O 的两侧。

引力常数为G 。

则两星球做圆周运动的周期为_______________,在地月系统中,若忽略其它星球的影响,可以将月球和地球看成上述星球A 和B ,月球绕其轨道中心运行的周期记为1T 。

但在近似处理问题时,常常认为月球是绕地心做圆周运动的,这样算得的运行周期2T .已知地球和月球的质量分别为24
5.9810kg ⨯和22
3510kg ⨯。

则2T 与1T 两者平方之比为
___________________（结果保留3位有效数字）01
解析：201 （1）令A 和B 圆周运动的半径分别为r A 和r B ，根据题意有：
r A +r B =L ①
22
222 ()()A B mM G
mr Mr L T T
ππ＝＝ ② 可得
A M
r L m M
+＝ B m
r L m M
+＝
③ 将③代入②可得周期
2T =④ （2）在地月系统中，由于地月系统旋转所围绕的中心O 不在地心，由题意知，月球做圆周运动的周期可由下式得出
12T =⑤ 式中，M 和m 分别是地球与月球的质量，L 是地心与月心之间的距离。

若认为月球在地球的引力作用下绕地心做匀速圆周运动，则
2
22
2Mm G
m L L T π=（） ⑥ 式中，T 2为月球绕地心运动的周期。

由⑥式得：
2 2T =⑦
由⑤⑦式得：
2211T m T M =+（
） 代入题给数据得：
2
1
1.01T T = 20．A 为地球赤道上的物体，随地球自转的速度为v 1，B 为近地卫星，在地球表面附近绕地球运行，速度为v 2，C 为地球同步卫星，距地面高度为地球半径的5倍，绕地球运行的速度为v 3，则v 1∶v 2∶v 3＝________.【分析】同步卫星与随地球自转的物体具有相
同的角速度根据v=rω去求线速度之比近地卫星和同步卫星都是绕地球做匀速圆周运动根据万有引力提供向心力去求线速度之比
解析：1:6
【分析】
同步卫星与随地球自转的物体具有相同的角速度，根据v=rω去求线速度之比．近地卫星和同步卫星都是绕地球做匀速圆周运动，根据万有引力提供向心力去求线速度之比． 地球赤道上的物体和同步卫星具有相同的周期和角速度，根据v ＝ωr ，地球的半径与同步
卫星的轨道半径比为1∶6，所以v 1：v 3＝1∶6；近地卫星和同步卫星都是绕地球做匀速圆
周运动，根据万有引力提供向心力2
2mM v G m r r
＝，解得v 两卫星的轨道半径比
为1∶6，所以v 2∶v 3∶1，所以v 1∶v 2∶v 3＝1∶∶6. 【点睛】
解决本题的关键知道同步卫星与随地球自转的物体具有相同的角速度，以及知道近地卫星和同步卫星都是绕地球做匀速圆周运动，根据万有引力提供向心力可求出线速度之比．
三、解答题
21．木星的卫星“埃欧”是太阳系中火山活动最剧烈的星体，“埃欧”的火山会喷出硫磺、二氧化硫及矽酸盐岩块，如果喷发的岩块竖直初速度为 20 m/s ，上升高度可达 100 m 。

已知“埃欧”的半径为 R ＝2000 km ，忽略“埃欧”的自转及岩块运动过程中受到稀薄气体的阻力，引力常量 G ＝6.67×10－11 N·m 2 /kg 2，（结果均保留 2 位有效数字）求： （1）“埃欧”的质量； （2）“埃欧”的第一宇宙速度。

解析：（1）23
1.210kg ⨯；（2）
2.0×103 m/s （1）岩块做竖直上抛运动，有
22
02t v v gh -=-
解得
22
22020m/s =2.0m/s 22100
v g h ==⨯
忽略“埃欧”的自转，则有
2
Mm
mg G
R = 解得
G gR M 2= ()2
311
2.0200010 k g 6.6710-⨯⨯=⨯231.210kg =⨯。

（2）某卫星在“埃欧”表面绕其做圆周运动时有
22Mm v G m R R
= 则
v =
= 代入数据解得
v ＝2.0×103 m/s 。

22．已知某星球自转周期为T ，它的同步卫星离星球表面的高度为该星球半径的3倍，该星球卫星最小的发射速度为v ，万有引力常量为G ，求该星球的质量M 。

解析：316v T
M G
π=
设该星球半径为R ，卫星的质量为m ，卫星离球心距离为4R ，对同步卫星有
2
2
24(4)(4)GMm m R R T
π= 该星球第一宇宙速度为v ，则
2
2''GMm m v R R
=
联立两式可得
316v T
M G
π=
23．我国计划在2030年之前制造出可水平起飞、水平着陆并且可以多次重复使用的航天飞机。

假设一航天员乘坐航天飞机着陆某星球后，由该星球表面以大小为v 0的速度竖直向上抛出一物体，经时间t 后物体落回抛出点。

已知该星球的半径为R ，该星球没有大气层，也不自转，万有引力常量为G 。

求： (1)该星球的平均密度； (2)该星球的第一宇宙速度大小。

解析：(1) 0
32v GtR ρπ=
；(2) v =
(1)根据物体做竖直上抛运动的速度时间关系可知
t ＝02v g
所以星球表面的重力加速度
g ＝
2v t
星球表面重力与万有引力相等，即
mg ＝
2
GMm
R 解得
2
202v R gR M G Gt
==
由
M
V
ρ=
34
3
V R π=
解得
32v GtR
ρπ=
(2)近地卫星的轨道半径为R ，由万有引力提供圆周运动向心力有
2
2
GMm v m R R
= 联立解得该星球的第一宇宙速度
v =
24．某宇航员到一个星球后想分析这个星球的相关信息，于是做了两个小实验：一是测量了该星球的一个近地卫星绕该星球做匀速圆周运动（不计空气阻力）飞行N 圈用了时间t ；二是将一个小球从星球表面竖直上抛，测出上升的最大高度为h ，第一次上升的时间为t 1，第一次下降的时间为t 2。

设小球运动中受到的空气阻力大小不变，万有引力常量为G ，不计星球自转。

求： (1)该星球的密度；
(2)该星球表面的重力加速度； (3)该星球的半径。

解析：(1) 223N Gt π；(2) 2212
h h t t +；(3) 22
21222
4h
h t t t N π⎛⎫
+ ⎪⎝⎭ （1）近地卫星周期
t
T N
=
① 卫星圆周运动的向心力由万有引力提供，由向心力公式得
2
224mM G mR R T
π＝ ② 由密度定义
3=
4
3
M
R ρπ ③ 解得
2
2
3=N Gt
πρ ④ （2）上升过程，由牛顿第二定律得
mg +f =ma 1 ④
由位移公式得
2
1112
h a t =
⑤ 下降过程，由牛顿第二定律得
mg -f =ma 2 ⑥
由位移公式
22212
h a t = ⑦
解得
22
12h h g t t =
+ ⑧ （3）在球星表面附近时，不计星球自转，万有引力等于重力，有
2Mm
G
mg R
= ⑨ 由③④⑧⑨式解得，该星球的半径为
2221222
4h h t t t R N
π⎛⎫+ ⎪⎝⎭= 25．某课外小组经长期观测，发现靠近某行星周围有众多卫星，且相对均匀地分布于行星周围，假设所有卫星绕该行星的运动都是匀速圆周运动，通过天文观测，测得离行星最近的一颗卫星的运动半径为R 1，周期为T 1，已知万有引力常为G ．求： ⑴行星的质量；
⑵若行星的半径为R ，行星的第一宇宙速度；
⑶通过天文观测，发现离行星很远处还有一颗卫星，其运动半径为R 2，周期为T 2，试估算靠近行星周围众多卫星的总质量． 解析：（1）（2）
（3）
【解析】
⑴设卫星质量为m ，万有引力提供向心力：21
22114m R GMm R T π=,2312
14R M GT π=……2分⑵2
2GMm v m
R R
=,得第一宇宙速度: 11
12R R v T R
π=分 ⑶因为行星周围的卫星均匀分布，研究很远的卫星可把其他卫星和行星整体作为中心天
体，设总质量为T M ，由2222224T GM m m R R T π=，得23
2
224T R M GT π=……2分 所以靠近该行星周围的众多卫星总质量,23
23
2122
2144R R M GT GT ππ∆=
- ……1分 26．如图所示，A 是地球的同步卫星。

另一卫星B 的圆形轨道位于赤道平面内，离地面高度为h ，已知地球半径为R ，地球自转角速度为ω0，地球表面的重力加速度为g ，O 为地球中心，如果卫星B 绕行方向与地球自转方向相同，某时刻A 、B 两卫星相距最近（O 、B 、A 在同一直线上），则至少经过多长时间，它们相距最远？
解析：
()
2
03
t gR R h ω=
-+由
2
24()()B
Mm G m R h R h T π=++ '
'2Mm G m g R
= 所以
3
2
()2B R h T gR
π+=由题意得
0()B t ωωπ-=
又
2
3
2()B B gR T R h πω==+代入上式得
()
2
03
t gR R h ω=
-+27．火星将成为中国深空探测第二颗星球。

2020年4月24日，中国行星探测任务被命名为“天问系列”，预计年内首次发射火星探测器“天问一号”。

若火星探测器环绕火星做“近地”匀速圆周运动N 圈，用时为t ，已知火星的半径为R ，引力常量为G ，求： (1)探测器在轨道上运动的周期T ； (2)火星的质量M ；
(3)火星表面的重力加速度g 。

解析：(1)t T N =；(2)23224R N Gt π；(3)22
2
4RN t
π （1） 探测器在轨道上运动的周期
t T N
=
（2）根据万有引力提供向心力，有
222m 4M R G m R T
π= 得
23232
22
44R R N M GT Gt ππ==
（3）由万有引力提供重力，有
2
m
M G
mg R = 得
22
22
4GM RN g R t
π== 28．我国预计于2020年7月采用长征五号遥四运载火箭执行首次火星探测任务。

查阅资料可知火星半径为R 、第一宇宙速度为v 1，现有一探测器绕火星做匀速圆周运动，轨道离火星表面的高度为h 。

已知引力常量为G 。

求： (1)火星的质量M ；
(2)火星表面的重力加速度g ； (3)该探测器在轨道上的绕行速度v 。

解析：(1)21Rv G ；(2)21v R
；(3)1R
v R h +
(1)由于万有引力提供向心力即
212v Mm
G m R R
= 可得
2
1Rv M G
= (2)在近地轨道有
2
Mm
G
mg R = 代入有
21v g R
=
(3)在高度h 轨道上有
()
2
2
Mm
v G
m R h
R h =++
解得
v v =
=。