【鲁教版】九年级数学上期中第一次模拟试题带答案(1)

一、选择题
1．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC ＝45°，点D 在AC 边上．将△ABD 绕点A 逆时针旋转45°得到△ACD ′，且D ′、D 、B 三点在同一条直线上，则∠ABD 的大小为（ ）
A ．15°
B ．22.5°
C ．25°
D ．30°
2．下列图形既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
3．下列图形中，是中心对称图形的是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
4．如图所示，在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，将ABC ∆绕顶点C 逆时针旋转得到
A B C ∆''，M 是BC 的中点，P 是A B ''的中点，连接PM ．若2BC =，30A ∠=︒，则线段PM 长的最大值是（ ）
A ．4
B ．3
C ．2
D ．1
5．如图，以点A 为中心，把△ABC 逆时针旋转120°，得到△AB'C′（点B 、C 的对应点分别为点B′、C′），连接BB'，若AC'∥BB'，则∠CAB'的度数为（ ）
A ．45°
B ．60°
C ．70°
D ．90°
6．如图①，正方形A 的一个顶点与正方形B 的对称中心重合，重叠部分面积是正方形A
面积的
1
2
，如图②，移动正方形A 的位置，使正方形B 的一个顶点与正方形A 的对称中心重合，则重叠部分面积是正方形B 面积的（ ）
A ．
12
B ．
14
C ．
16
D ．
18
7．设A(﹣2，y 1)，B(1，y 2)，C(2，y 3)是抛物线y ＝﹣（x ＋1）2＋a 上的三点，则y 1，y 2，y 3的大小关系为（ ） A ．y 1＞y 2＞y 3
B ．y 1＞y 3＞y 2
C ．y 3＞y 2＞y 1
D ．y 3＞y 1＞y 2
8．在同一直角坐标系中，一次函数y=ax+c 和二次函数y=ax 2+c 的图象大致为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
9．如图是函数y ＝x 2+bx+c 与y ＝x 的图象，有下列结论：
（1）b 2﹣4c ＞0；（2）b+c+1＝0；（3）方程x 2+（b ﹣1）x+c ＝0的解为x 1＝1，x 2＝3；（4）当1＜x ＜3时，x 2+（b ﹣1）x+c ＜0．其中正确结论的个数为（ ）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
10．已知二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象如图，有下列5个结论：①0abc <；②420a b c ++>；③b a c <+；④230c b -<；⑤2(1)a b an bn n +>+≠，其中正确的个数有（ ）
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个 11．用配方法解方程x 2﹣4x ﹣7＝0，可变形为（ ）
A ．（x+2）2＝3
B ．（x+2）2＝11
C ．（x ﹣2）2＝3
D ．（x ﹣2）2＝11
12．若关于x 的一元二次方程2(2)210m x x --+=有实数根，则m 的取值范围是（ ） A ．3m <
B ．3m
C ．3m <且2m ≠
D ．3m 且2m ≠
13．下列方程是关于x 的一元二次方程的是（ ） A ．2
12x x x
-=
B ．2(2)x x x -=
C ．23(2)x x =+
D ．20ax bx c ++=
14．已知方程2202030x x +-=的根分别为a 和b ，则代数式2a a 2020a b ++的值为（ ） A ．0
B ．2020
C ．1
D ．-2020
二、填空题
15．已知二次函数2y ax bx c =++的图象过点(1,2)A ，(3,2)B ，(5,7)C ．若点
1(2,)M y ，2(1,)N y -，3(8,)K y 也在二次函数2y ax bx c =++的图象上，则1y ，2y ，2
y 的从小到大的关系是___．
16．某商店销售一批头盔，售价为每顶60元，每月可售出200顶．在“创建文明城市”期间，计划将头盔降价销售，经调查发现：每降价1元，每月可多售出20顶．已知头盔的进价为每顶40元，则该商店每月获得最大利润时，每顶头盔的售价为__________元． 17．二次函数y=（x+2）2-5的最小值为_______．
18．若关于x 的一元二次方程210(0)ax bx a +-=≠有一根为2020x =，则一元二次方程
2(1)(1)1a x b x +++=必有一根为________．
19．填空：（1）214x x ++________2(7)x =+；（2）29x x -+_______=（x-____）2 20．某小区2019年的绿化面积为3000m 2，计划2021年的绿化面积为4320m 2，如果每年绿化面积的增长率相同，那么这个增长率是_________．
三、解答题
21．如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC 的三个顶点的坐标分别为A （1，0），B （4，0），C （5，2）．将△ABC 绕着点A 按逆时针方向旋转90︒后得到△AB 1C 1． （1）请画出△AB 1C 1； （2）写出点B 1，C 1的坐标； （3）求出线段1BB 的长．
22．把两个全等的等腰直角三角板ABC 和EFG 叠放在一起（如图①），两直角三角板的直角边长均为4，且使三角板EFG 的直角顶点G 与三角板ABC 的斜边中点O 重合．现将三角板EFG 绕O 点按顺时针方向旋转（旋转角α满足条件：090α︒<<︒），四边形
CHGK 是旋转过程中两三角板的重叠部分（如图②）．
（1）在上述旋转过程中，BH 与CK 有怎样的数量关系：________． （2）四边形CHGK 的面积有何变化？证明你发现的结论．
（3）连接HK ，在上述旋转过程中，设BH x =，GKH △的面积为y ，求y 与x 之间的关系，并通过“配方法”求出GKH △面积的最小值．
23．某商店销售一种进价50元/件的商品，经市场调查发现：该商品的每天销售量y （件）是售价x （元/件）的一次函数，其售价、销售量的二组对应值如下表： 售价x （元/件） 55 65 销售量y （件/天）
90
70
（2）由于某种原因，该商品进价提高了a 元/件（a ＞0），商店售价不低于进价，物价部门规定该商品售价不得超过70元件，该商店在今后的销售中，每天能获得的销售最大利润是960元，求a 的值．
24．已知抛物线 ()2
1y x m x m =-+-+经过点()23，
（1）求m 的值及抛物线的顶点坐标；
（2）当x 取什么值时，y 随着x 的增大而减小？
25．若a 为方程2(16x =的一个正根，b 为方程22113y y -+=的一个负根，求
+a b 的值．
26．某水果超市以每千克20元的价格购进一批大枣，规定每千克大枣的售价不低于进价又不高于40元．经市场调查发现：大枣的日销售量y （千克）与每千克售价x （元）之间满足一次函数关系，其部分对应数据如下表所示：
（2）该水果超市想要获利1000元的日销售利润，每千克大枣的售价应定为多少元?
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一、选择题 1．B 解析：B 【分析】
由旋转的性质可得∠BAC=∠CAD'=45°，AD=AD'，由等腰三角形的性质可得∠AD'D=67.5°，∠D'AB=90°，即可求∠ABD 的度数． 【详解】
解：∵将△ABD 绕点A 逆时针旋转45°得到△ACD′， ∴∠BAC=∠CAD'=45°，AD=AD'， ∴∠AD'D=
1
2
(180°-45°)=67.5°，∠D'AB=90°， ∴∠ABD=90°-67.5°=22.5°； 故选：B ． 【点睛】
本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，直角三角形两锐角互余等知识；熟练运用旋转的性质和等腰三角形的性质是解题的关键．
2．C
解析：C 【分析】
根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
【详解】
A 、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
B 、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
C 、是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项符合题意；
D 、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意； 故选：C ． 【点睛】
此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．
3．D
解析：D 【分析】
根据中心对称图形的定义和图形的特点即可求解． 【详解】
解：A 、不是中心对称图形，故此选项不符合题意； B 、不是中心对称图形，故此选项不符合题意； C 、不是中心对称图形，故此选项不符合题意； D 、是中心对称图形，故此选项符合题意； 故选：D ． 【点睛】
本题考查了中心对称图形的概念：如果一个图形绕某一点旋转180°后能够与自身重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心．
4．B
解析：B 【分析】
连接PC ，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求出PC ，利用中点求出CM ，再根据三角形两边之和大于第三边即可求得PM 的最大值． 【详解】 解：如图连接PC ．
在Rt △ABC 中，∵∠A=30°，BC=2， ∴AB=4，
根据旋转不变性可知，A′B′=AB=4，''90A CB ACB ∠=∠=︒， ∵P 是A B ''的中点，M 是BC 的中点，
∴CM=BM=1，PC=1
2
A′B′=2
又∵PM≤PC+CM，即PM≤3，
∴PM的最大值为3（此时P、C、M共线）．
故选：B．
【点睛】
本题考查旋转变换、直角三角形30度角的性质、直角三角形斜边中线定理，三角形的三边关系等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，学会利用三角形的三边关系解决最值问题，属于中考常考题型．
5．D
解析：D
【分析】
先根据旋转的性质得到∠BAB′=∠CAC′=120°，AB=AB′，根据等腰三角形的性质易得
∠AB′B=30°，再根据平行线的性质由AC′∥BB′得∠C′AB′=∠AB′B=30°，然后利用
∠CAB′=∠CAC′-∠C′AB′进行计算．
【详解】
∵以点A为中心，把△ABC逆时针旋转120°，得到△AB'C′，
∴∠BAB′=∠CAC′=120°，AB=AB′，
∴∠AB′B=1
2
（180°-120°）=30°，
∵AC′∥BB′，
∴∠C′AB′=∠AB′B=30°，
∴∠CAB′=∠CAC′-∠C′AB′=120°-30°=90°．
故选：D．
【点睛】
此题考查旋转的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，平行线的性质，解题关键在于掌握旋转前后两图形全等，对应点到旋转中心的距离相等，对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角．
6．D
解析：D
【分析】
设正方形B的面积为S，正方形B对角线的交点为O，标注字母并过点O作边的垂线，根据正方形的性质可得OE=OM，∠EOM=90°，再根据同角的余角相等求出∠EOF=∠MON，然后利用“角边角”证明△OEF和△OMN全等，根据全等三角形的面积相等可得阴影部分的面
积等于正方形B的面积的1
4
，再求出正方形B的面积=2正方形A的面积，即可得出答
案．
【详解】
解：设正方形B对角线的交点为O，如图1，
设正方过点O 作边的垂线，则OE ＝OM ，∠EOM ＝90°， ∵∠EOF+∠EON ＝90°，∠MON+∠EON ＝90°， ∴∠EOF ＝∠MON ， 在△OEF 和△OMN 中
EOF MON OE 0M
OEF OMN 90︒∠=∠⎧⎪
=⎨⎪∠=∠=⎩
， ∴△OEF ≌△OMN （ASA ），
∴阴影部分的面积＝S 四边形NOEP +S △OEF ＝S 四边形NOEP +S △OMN ＝S 四边形MOEP ＝1
4
S 正方形CTKW ， 即图1中阴影部分的面积＝正方形B 的面积的四分之一， 同理图2中阴影部分烦人面积＝正方形A 的面积的四分之一，
∵图①，正方形A 的一个顶点与正方形B 的对称中心重合，重叠部分面积是正方形A 面积的
12
， ∴正方形B 的面积＝正方形A 的面积的2倍， ∴图2中重叠部分面积是正方形B 面积的18
， 故选D ．
【点睛】
本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，熟记性质并作辅助线构造出全等三角形是解题的关键．
7．A
解析：A 【分析】
根据二次函数的性质解答． 【详解】
由抛物线y ＝﹣（x ＋1）2＋a 可知：抛物线开口向下，对称轴为直线x=-1， ∴点离对称轴越近该点的函数值越大， ∵2(1)1(1)2(1)---<--<--， ∴y 1＞y 2＞y 3，
故选：A．
【点睛】
此题考查二次函数的增减性：当a>0时，对称轴左减右增；当a<0时，对称轴左增右减．8．D
解析：D
【分析】
根据二次函数的开口方向，与y轴的交点；一次函数经过的象限，与y轴的交点可得相关图象．
【详解】
解：∵一次函数和二次函数都经过y轴上的（0，c），
∴两个函数图象交于y轴上的同一点，故B选项错误；
当a＞0，c＜0时，二次函数开口向上，一次函数经过一、三、四象限，故C选项错误；当a＜0，c＞0时，二次函数开口向下，一次函数经过一、二、四象限，故A选项错误，D 选项正确；
故选：D．
【点睛】
本题考查二次函数及一次函数的图象的性质；用到的知识点为：二次函数和一次函数的常数项是图象与y轴交点的纵坐标；一次函数的一次项系数大于0，图象经过一、三象限；小于0，经过二、四象限；二次函数的二次项系数大于0，图象开口向上；二次项系数小于0，图象开口向下．
9．B
解析：B
【分析】
根据函数图象与x轴交点个数判断（1）；利用待定系数法求出函数解析式，代入计算判断（2）；由二次函数与一次函数的交点求出方程的解，判断（3）即可；利用函数图象比较函数值判断（4）．
【详解】
由图象知，二次函数过（3，3）（0，3），（1，1），
∴
933
1
3
a b c
a b c
c
++=
⎧
⎪
++=
⎨
⎪=
⎩
，
解得：
1
3
3
a
b
c
=
⎧
⎪
=-
⎨
⎪=
⎩
，
∴b+c+1＝﹣3+3+1＝1，故②错误；∵a＝1，
∴抛物线为y＝x2-3x+3，
∵函数y＝x2+bx+c与x轴无交点，
∴b 2﹣4c ＜0，故①错误；
由图象知，抛物线y ＝x 2+bx+c 与直线y ＝x 的交点坐标为（1，1）和（3，3）， ∴方程x 2+（b ﹣1）x+c ＝0的解为x 1＝1，x 2＝3，故③正确； ∵当1＜x ＜3时，二次函数值小于一次函数值， ∴x 2+bx+c ＜x ，
∴x 2+（b ﹣1）x+c ＜0．故④正确； 故选：B ． 【点睛】
此题考查待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的性质，二次函数与一元二次方程的关系，图象法比较函数值的大小，是一道较为基础的二次函数题．
10．D
解析：D 【分析】
根据抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标、最值、以及不等式的性质进行判断即可． 【详解】
抛物线开口向下，因此a ＜0，对称轴为x ＝−b
2a
＝1＞0，a 、b 异号，因此b ＞0，且2a ＋b ＝0，
抛物线与y 轴的交点在正半轴，因此c ＞0， 所以：abc ＜0，因此①正确；
当x ＝2时，y ＝4a ＋2b ＋c ＞0，因此②正确；
当x ＝−1时，y ＝a−b ＋c ＜0，即，a ＋c ＜b ，因此③不正确； ∵a−b ＋c ＜0，2a ＋b ＝0， ∴−
1
2
b−b ＋c ＜0，即2c−3b ＜0，因此④正确； 当x ＝1时，y 最大值＝a ＋b ＋c ，当x ＝n （n≠1）时，y ＝an 2＋bn ＋c ＜y 最大值，即：a ＋b
＋c ＞an 2＋b ＋c ，也就是2
a+b an +bn(n 1)>≠，因此⑤正确，
正确的结论有：①②④⑤， 故选：D ． 【点睛】
考查二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 系数符号由抛物线开口方向、对称轴和、抛物线与y 轴的交点、抛物线与x 轴交点的个数确定．
11．D
解析：D 【分析】
方程常数项移到右边，两边加上4变形得到结果即可． 【详解】
解：x 2﹣4x ﹣7＝0， 移项得：247x x -=
配方得：24474x x -+=+ ，即2()211x -=
故答案为：D ．
【点睛】
本题考查了解一元二次方程-配方法，熟练掌握完全平方公式是解题的关键．
12．D
解析：D
【分析】
根据一元二次方程ax 2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b 2-4ac 的意义得到m-2≠0且△≥0，即（-2）2-4×（m-2）×1≥0，然后解不等式组即可得到m 的取值范围．
【详解】
解：∵关于x 的一元二次方程（m-2）x 2-2x+1=0有实数根，
∴m-2≠0且△≥0，即（-2）2-4×（m-2）×1≥0，解得m≤3，
∴m 的取值范围是 m≤3且m≠2．
故选：D ．
【点睛】
本题考查了一元二次方程ax 2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b 2-4ac ：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根． 13．C
解析：C
【分析】
根据一元二次方程的定义逐项判断即可得．
【详解】
A 、方程212x x x -=中的1x
不是整式，不满足一元二次方程的定义，此项不符题意； B 、方程2(2)x x x -=可整理为20x -=，是一元一次方程，此项不符题意；
C 、方程23(2)x x =+满足一元二次方程的定义，此项符合题意；
D 、当0a =时，方程20ax bx c ++=不是一元二次方程，此项不符题意；
故选：C ．
【点睛】
本题考查了一元二次方程，熟记一元二次方程的概念是解题关键．
14．A
解析：A
【分析】
将a 代入方程，可得2202030a a +-=，即220302a a =-，代入要求的式子，即可得到3+ab ，而a 、b 是方程的两个根，根据韦达定理，可求出ab 的值，即可求出答案．
【详解】
解：∵方程2202030x x +-=的根分别为a 和b
∴2202030a a +-=，即220302a a =-
∴2a a 2020a b ++=32020a -+ab+2020a=3+ab
∵ab=-3
∴2a a 2020a b ++=32020a -+ab+2020a=3+ab=3-3=0
故选：A ．
【点睛】
本题主要考查一元二次方程的解以及韦达定理，熟练解代入方程以及观察式子特点，抵消部分式子是解决本题的关键．
二、填空题
15．【分析】根据点ABC 的坐标可得二次函数的对称轴和增减性由此即可得
【详解】点在二次函数的图象上此二次函数的对称轴为点BC 的横坐标大小关系为纵坐标大小关系为当时y 随x 的增大而增大；当时y 随x 的增大而减小 解析：123y y y <<
【分析】
根据点A 、B 、C 的坐标可得二次函数的对称轴和增减性，由此即可得．
【详解】
点(1,2)A ，(3,2)B ，(5,7)C 在二次函数2
y ax bx c =++的图象上， ∴此二次函数的对称轴为1322
+=， 点B 、C 的横坐标大小关系为532>>，纵坐标大小关系为72，
∴当2x ≥时，y 随x 的增大而增大；当2x <时，y 随x 的增大而减小，
由二次函数的对称性得：1x =-时的函数值与5x =时的函数值相等，即为27y =， 又点1(2,)M y ，3(8,)K y 在二次函数2
y ax bx c =++的图象上，且258， 137y y ，即123y y y <<，
故答案为：123y y y <<．
【点睛】
本题考查了二次函数的图象与性质（对称性、增减性），熟练掌握二次函数的图象与性质是解题关键．
16．55【分析】根据题意可以得到利润和售价之间的函数关系然后化为顶点式即可得到当售价为多少元时利润达到最大值【详解】解：设每顶头盔的售价为x 元获得的利润为w 元w ＝（x−40）200＋（60−x ）×20＝
解析：55
【分析】
根据题意，可以得到利润和售价之间的函数关系，然后化为顶点式，即可得到当售价为多少元时，利润达到最大值．
【详解】
解：设每顶头盔的售价为x 元，获得的利润为w 元，
w ＝（x−40）[200＋（60−x ）×20]＝−20（x−55）2＋4500，
∴当x ＝55时，w 取得最大值，此时w ＝4500．
故答案为：55．
【点睛】
本题考查二次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答． 17．-5【分析】根据二次函数的顶点式的意义即可确定函数的最值【详解】解：∵y=（x+2）2-5∴当x=-2时函数有最小值为-5故答案为-5【点睛】本题主要考查了二次函数的最值掌握根据二次函数的顶点式求最
解析：-5
【分析】
根据二次函数的顶点式的意义即可确定函数的最值．
【详解】
解：∵y=（x+2）2-5
∴当x=-2时，函数有最小值为-5．
故答案为-5．
【点睛】
本题主要考查了二次函数的最值，掌握根据二次函数的顶点式求最值的方法是解答本题的关键．
18．x=2019【分析】对于一元二次方程设t=x+1得到at2+bt=1利用at2+bt-1=0有一个根为t=2020得到x+1=2020从而可判断一元二次方程a （x-1）2+b （x-1）-1=0必有一
解析：x=2019
【分析】
对于一元二次方程2
(1)(1)1a x b x +++=，设t=x+1得到at 2+bt=1，利用at 2+bt-1=0有一个根为t=2020得到x+1=2020，从而可判断一元二次方程a （x-1）2+b （x-1）-1=0必有一根为x=2019．
【详解】
解：对于一元二次方程2(1)(1)1a x b x +++=，
设t=x+1，
所以at 2+bt=1，即at 2+bt-1=0，
而关于x 的一元二次方程ax 2+bx-1=0（a≠0）有一根为x=2020，
所以at 2+bt-1=0有一个根为t=2020，
则x+1=2020，
解得x=2019，
所以2(1)(1)1a x b x +++=必有一根为x=2019．
故答案为：x=2019．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
19．49【分析】运用配方法的运算方法填写即可【详解】解：（1）x2+14x+49=（x+7）2故答案为：49；（2）x2-9x+=（x-）2故答案为：【点睛】此题主要考查了配方法的应用熟练掌握完全平方公
解析：49
814 92 【分析】
运用配方法的运算方法填写即可．
【详解】
解：（1）x 2+14x+49=（x+7）2
故答案为：49；
（2）x 2-9x+
814=（x-92）2， 故答案为：
814，92
． 【点睛】
此题主要考查了配方法的应用，熟练掌握完全平方公式是关键． 20．20【分析】设每年绿化面积的增长率为x 根据该小区2019年及2021年的绿化面积即可得出关于x 的一元二次方程解之取其正值即可得出结论【详解】解：设每年绿化面积的增长率为x 依题意得：3000（1+x ）
解析：20%
【分析】
设每年绿化面积的增长率为x ，根据该小区2019年及2021年的绿化面积，即可得出关于x 的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．
【详解】
解：设每年绿化面积的增长率为x ，
依题意，得：3000（1+x ）2=4320，
解得：x 1=0.2=20%，x 2=-2.2（不合题意，舍去）．
故答案为：20%．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
三、解答题
21．（1）见解析；（2）11(13)(14)B C ，
，，；（3）1BB
【分析】
（1）根据旋转的性质确定点B 1、C 1的位置，顺次连线即可得到图形；
（2）依据（1）即可得到答案；
（3）根据勾股定理计算得出答案．
【详解】
解：（1）如图
（2）由（1）可知：11(13)(14)B C -，
，，； （3）由勾股定理可得：22133BB
=+=32．
【点睛】
此题考查旋转画图，旋转的性质，根据点在直角坐标系中的位置确定坐标，勾股定理，正确画出旋转图形是解题的关键． 22．（1）BH CK =；（2）不变，证明见解析；（3）2482
x x y -+=；2 【分析】
（1）连接CG ，可通过证明KCG HBG ≅△△则可证得BH=CK ；
（2）由KCG HBG ≅△△可得它们的面积相等，进而得出四边形CHGK 的面积不变； （3）过点G 作GQ BC ⊥于点Q ，利用等腰三角形的性质和勾股定理可求得
222248GH GQ QH x x =+=-+，再利用KCG HBG ≅△△证得KGH 为等腰直角三角形，再根据三角形的面积公式可得到y 与x 之间的关系式，然后利用二次函数的最值求法即可解答．
【详解】
（1）连接CG ，如图：
∵
ABC 为等腰直角三角形，G 为AB 中点，
∴CG BG =，45ACG CBG ∠=∠=︒，
90CGB ∠=︒，
∵90KGC CGF ∠+∠=︒，
90CGF FGB ∠+∠=︒，
∴KGC FGB ∠=∠，
∴在KCG △与HBG 中，
KCG HBG CG BG
CGK BGH ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩
， ∴()KCG HBG ASA ≅△△，
∴BH CK =，
故答案为：BH=CK ．
（2）∵KCG HBG ≅△△，
∴CGK S △=GHB S
∴CHGK CGK CGH S S S =+△△四边形
CGH GHB S S =+△△
CGB S =△
12
ABC S =
△ 4=．
故四边形CHGK 面积不变，为4．
（3）过点G 作GQ BC ⊥于点Q ， ∵ABC 为等腰直角三角形，G 为AB 中点，
∴2GQ =，2BQ =， ∴2QH x =-．
故222248GH GQ QH x x =+=-+．
由（1）可知GH KG =，
又∵90KGH ∠=︒，
∴GKH △为等腰直角三角形， ∴212
GKH S GH =⨯△， ∴2482
x x y -+=． ∵旋转角度为090α<<︒，
∴x 的取值范围为02x <≤．
又GKH △的面积：
2482
x x y -+=
2(2)42
x -+= 2
(2)2(02)2
x x -=+<≤ ∵()2
20x -≥， ∴022y ≥+=（当x=2时取等号）．
故GKH △面积最小值为2．
【点睛】
本题考查了旋转的性质、等腰三角形的性质、同角的余角相等、全等三角形的判定与性质、勾股定理、二次函数的性质，通过全等三角形将面积进行转换是解答的关键，综合性很强，平时应加强对各知识的综合运用．
23．（1）60元或者90元；（2）a =4．
【分析】
（1）设y =kx +b ，根据题意可列出方程组，求出k 和b ，即可得到每天销量y 和与售价x 之间的关系式．再由总利润=单件利润×销量，即可列出等式，求出x 即可．
（2）由总利润=单件利润×销量可列出二次函数关系式w =（x -50-a ）（-2x +200），再根据二次函数的性质，即可知当x =70时，w 最大，即可求出a ．
【详解】
（1）依题意设y =kx +b ，
则有55906570
k b k b +=⎧⎨+=⎩ ， 解得：2200k b =-⎧⎨
=⎩， 所以y =-2x +200，
若某天销售利润为800元，
则（x ﹣50）（-2x +200）=800，
解得：x 1=60，x 2=90，
故该天的售价为60元或者90元；
（2）设总利润为w ，根据题意得：
w =（x -50-a ）（-2x +200）
=-2x 2+（300+2a ）x -10000-200a
∵a ＞0，
∴对称轴x =
150752
a +＞． ∵-2＜0，
∴抛物线的开口向下．
∵x ≤70，
∴w 随x 的增大而增大，
当x =70时，w 最大=960，
即960=-2×702+（300+2a ）×70-10000-200a ，
解得：a =4．
【点睛】
本题考查二次函数的实际应用．结合总利润=单件利润×销量列出二次函数的关系式是解答本题的关键．
24．（1）m=3，（1，4）；（2）当x ＞1时，y 随x 的增大而减小.
【分析】
（1）将已知点的坐标代入函数解析式，建立关于m 的方程，解方程求出m 的值，再将函数解析式转化为顶点式，可得到抛物线的顶点坐标.
（2）利用函数解析式可知a=-1＜0，结合对称轴可得到y 随x 的增大而减小时自变量x 的取值范围.
【详解】
（1）解：由题意得
-4+2（m-1）+m=3
解之：m=3，
∴抛物线的解析式为y=-x 2+2x+3
∴y= -（x-1）2+4
∴抛物线的顶点坐标为（1，4）；
（2）解：∵a=-1＜0，
∴当x ＞1时，y 随x 的增大而减小.
【点睛】
本题考查了二次函数的性质以及求二次函数的顶点坐标、二次函数的增减性，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
25．a+b= 5
【分析】
先求出2(16x =的根4x ，由a 为方程2(16x =的一个正根，得
4a =+，再求22113y y -+=的根=1y ±b 为方程22113y y -+=的一个
负根，得1b =+a b 即可．
【详解】
2(16x -=，
4x -=±，
4x ，
a
为方程2(16x =的一个正根，
4a =+，
22113y y -+=，
()2113y -=，
1y -=
=1y ±
b 为方程22113y y -+=的一个负根，
1b =
415a b +=+=．
【点睛】
本题考查一元二次方程的解法，会比较方程根的正负与大小，掌握一元二次方程的解法是解题关键．
26．（1）2160y x =-+；（2）商贸公司该水果超市想要获利1000元的日销售利润，每千克大枣的售价应定为30元．
【分析】
（1）用待定系数法求解即可；
（2）根据总利润=每千克利润×数量列方程求解即可．
【详解】
解：（1）设一次函数解析式为：y kx b =+，将：()25,110；()30,100代入，得 ∴2511030100k b k b +=⎧⎨+=⎩解得：2160
k b =-⎧⎨=⎩， ∴一次函数解析式为：2160y x =-+；，
（2）由题意得：()()2021601000x x --+=
整理得：210021000x x -+=，
解得130x =，270x =（不合题意，舍去），
即商贸公司该水果超市想要获利1000元的日销售利润，每千克大枣的售价应定为30元．
【点睛】
本题考查了待定系数法求函数解析式，一元二次方程的应用，熟练掌握待定系数法是解（1）的关键，列出方程式解（2）的关键．。