第6章习题解

第六章 振动和波
6-1 一物体沿x 轴作简谐振动，振幅为12.0cm ，周期为2.0s ，在t = 0时物体位于6.0cm 处
且向正x 方向运动。

求 (1)初相位；(2) t = 0.5s 时，物体的位置、速度和加速度；(3)在x = -6cm 处且向负x 方向运动时，物体的速度和加速度。

解：（1）以 ,s
./2 , 2 ,12rad T s T cm A ππω====代入)cos(0ϕω+=t A x
中，
得
)12c o s (0ϕπ+=t x .
当0=t 时，353
2
,cos 1260π
π
πϕϕ=
-=∴=, 或3
π-. （2） ).3
5cos(12 , )35sin(122ππππππ+-==+-==t dt dv a t dt dx v 当5.0=t 时，cm x 4.1036)3
52cos(12==+=π
π, s cm v 8.186)352sin(12-=-=+-=ππ
ππ, 222
6.10236)3
52cos(12s cm a -=-=+
-=ππππ. (3) 由 21)35cos(),35cos(1261-=++=-ππππt t 得, s t 1=; s cm v 6.3236)3
5sin(12 -=-=+-=∴ππ
ππ, 222
2.596)3
5cos(12s cm a ==+
-=ππππ.
6-2 一简谐振动为x=cos(πt+α)，试作出初相位α分别为0、π/3、π/2、-π/3时的x-t 图。

解：当0=α时,t x πcos =; 当3
π
α=时, 31
,cos )3cos(11+==+=t t t t x ππ
π; 当2
π
α=
时, 2
1
,cos sin )2
cos(22+
==-=+
=t t t t t x πππ
π; 当3
π
α-
=时, 3
1
cos )3
cos(33-
==-
=t t t t x ππ
π.
6-3 三个频率和振幅都相同的简谐振动s 1(t)、s 2(t)、s 3(t)，设s 1(t)的图形如本题图所示，已知
s 2(t) 与s 1(t) 的相位差 α2-α1=2π/3，s 3(t)与s 1(t)的相位差 α3-α1=-2π/3，试在图中作出 s 2(t)和 s 3(t)的图形。

解： t T A t T A s παπ2cos )2cos(
11=+=; 3' , '2cos )322cos()2cos(22T t t t T A t T A t T A s +==+=+=πππαπ; 3
' ,'2c o s )322c o s ()2c o s (33T
t t t T A t T A t T A s -==-
=+=πππαπ.
6-4 一个质量为0.25g 的质点作简谐振动，其表达式为s = 6sin(5t-π/2)，式中s 的单位为cm ，
t 的单位为s ．求 (1)振幅和周期；(2)质点在t=0时所受的作用力；(3)振动的能量。

解: s rad 5. )2
5sin(6 25.0=-
==ωπ
t s g m (1) s T cm A 26.1522 ,0.6====πωπ
(2)2
150)2
sin(150(0)s
, )2
5sin(30)(s cm t t s =--=--=ππ , dyn s
m f 5.3715025.0)0(=⨯== . (3) erg A m E 5.1126525.02
1
212222=⨯⨯⨯==
ω
6-5 如本题图，把液体灌人U 形管内，液柱的振荡是简谐运动吗？周期多少？
解: 设进入U 形管的液体比重为ρ,管的截面积为S , 液体总长为L , 质量为m , 液体偏离平
衡位置的高度为y ；则运动方程为：
gSy y
m ma ρ2=-= ， 或 022=+=+ωρy
y m gS
y
，L
g
m gS 22=
=ρω ∴ 液体的振荡是简谐振动, 周期为 g
L g
L T 2222π
π
ω
π
===
.
6-6 如本题图，劲度系数为k 1和k 2的两个弹簧与质量为m 的物体组成一个振动系统。

求系
统振动的固有角频率。

解: 2212
212221)(21)(212121A k k x k k x k x k E m m m pm +=+=+=
, 2222
1
21A m x m E m km ω== ; 机械能守恒 E km = E pm : 2
2122)(2
121A k k A m +=ω
x k k m
T m k k 2
12122 , +==+=∴πωπω.
6-7 一竖直弹簧下挂一物体，最初用手将物体在弹簧原长处托住，然后撒手，此系统便上下
振动起来，已知物体最低位置在初始位置下方10.0cm 处。

求 (1)振动频率；(2)物体在初始位置下方8.0cm 处的速率大小；(3)若将一个300g 的砝码系在该物体上，系统振动频率就变为原来频率的一半，则原物体的质量为多少? (4)原物体与砝码系在一起时，其新的平衡位置在何处? 解： 0kx mg =, k
mg
x =0; )(0kx x x k mg x
m -=+-= . 0=+x m k
x
即
，)cos( 0ϕω+=t A x ， m
k =ω. 由初条件 ⎩⎨
⎧===⎩⎨
⎧-===-=cm x A A v A x x 5,
sin 0)0(cos )0(000
0π
ϕϕωϕ得
（1）s rad g
x g m k 145
0====ω ,或 z H v 23.272===
ππω. （2）由 )14cos(558π+=-=t x , 得6.0)14cos(=+πt , 8.0)14sin(-=+πt . s
cm t A v x 56)8.0(514)14sin()3(=-⨯⨯-=+-=∴=πω .
（3）g m m m
k
m m k g m 1003
1
;
21' , 300=∆=
=∆+==∆解得由ω. （4）cm x k
mg
g k m m x 205444'00=⨯===∆+=
.
6-8 如本题图，一单摆的摆长l = 100cm ，摆球质量m = 10.0g ，开始时处在平衡位置。

(1)若
给小球一个向右的水平冲量F ∆t = 10.0g ⋅cm/s ，以刚打击后为t = 0时刻，求振动的初相位及振幅；(2)若F ∆t 是向左的，则初相位为多少?
解：（1）s cm m t F v 110
.100==∆=,
设 l
g
t =
+=ωϕωθθ ,)c o s (00;则 )sin(),sin( 0
000ϕωωθθϕωωθθ+-=+-==t t l l v 由 00000sin ,cos 0ϕωθϕθθl v v -====； 得 rad l v 32
0001019.38
.9110,
2
3--⨯=⨯===ωθπ
ϕ.
（2）若t F ∆向左，则初相位为20π
ϕ=.
6-9 在劲度系数为k 的弹簧下悬挂一盘，一质量为m 的重物自高度h 处落到盘中作完全非弹
性碰撞。

已知盘子原来静止，质量为M ．求盘子振动的振幅和初相位 (以碰后为t = 0时刻) 。

解：重物从高h 处落到盘底时的速度为gh v 20=，与托盘发生完全非弹性碰撞后的速度
为gh m
M m
m M mv v 20+=+=
，方向向下；又g k m M x k mg x k Mg x +===1221 , ,. 以12x 处为坐标原点，方向向下为正, 则
kx x x k g m M x
m M -=+-+=+)()()(12 . m ∴ 及M 作简谐振动，圆频率 ,m
M k
+=
ω
即 )cos( 0ϕω+=t A x . 又由初条件 ;sin )0(,cos )0(0102ϕϕ-===-=v x
A x x 得g
m M kh
k mg A )(21++
=
振幅
, 初相位g
m M hk
arctg
)(20+=ϕ，在第三象限取值。

6-10 若单摆的振幅为θ0，试证明悬线所受的最大拉力等于mg (1+θ02)。

解： 设l
g t t =+-=+=ωϕωωθθϕωωθθ )sin( )cos(0
000 则 由向心力公式 22
c o s θθ ml l
v m mg T ==-； 得 )(s i n )]cos(cos[02
2000ϕωθϕωθ+++=t l
g ml t mg T .
在 ,2,1,0,2
20±±=±
=+n n t π
πϕω时; 1)sin(,0)cos(00===+ϕωϕωt t .
)1(2
020max θθ+=+==mg mg mg T T
6-11 如本题图，把一个周期为T 的单摆挂在小车里，车从斜面上无摩擦地滑下，单摆的周
期如何改变?
解：由于惯性力的作用, 小球所受的切向力为 αθθαθcos sin cos mg mg f ml t
-≈-== ; cos , 0cos 2l
g l
g α
ωθωθ
θαθ
=
=+=+其中 , 可见g l
T T T g l T π
α
απ
ω
π
2 ,cos cos 22 000=>===
, 周期变大.
6-12 如本题图，将一个匀质圆环用三根等长的细绳对称地吊在一个水平等边三角形的顶点上，绳皆铅直。

将环稍微扭动，此扭摆的运动是简谐的吗？其周期为多少？
解： [受力分析法] 体系受力（切向力）θθmg mg F t =⨯=sin 3
1
3 则：l
g
l g mg F ml t =
=+⇒-=-=ωθθθθ 0.... 故物理的运动是简谐的 周期为g
l
T π
ω
π
22== [势能法] 221)cos 1(313θθmgl mgl U E p ≈-⨯
== 0 ,00 '''>==⇒=
=∴mgl U mgl U θθθθ令
则U 有极小值也是最小值，故体系是在0=θ处是平衡位置，且是稳定的从而
'
'0222U l mg l mgl dx U d ===θ g l U m T ππ22 '
'0
==∴
6-13 如本题图，质量为M 的平板两端用劲度系数均为k 的相同的弹簧连到侧壁上，下垫有
一对质量各为m 的相同圆柱。

将此系统加以左右扰动后，圆柱上下都只滚不滑。

这系统作简谐振动吗? 周期是多少? 解：(1) 受力分析法:
对圆柱：⎪⎪⎪⎩
⎪⎪⎪⎨⎧==+===-2..
21(2
1m r I I r f f x r a m a f f c c c
c β
β）下上
下上 得 x
m mr f x m mr f 8
1
41 ,8343-=-===
ββ下上; 对平板：x m kx f kx x M
4
3
222--=--=上, 即 02)4
3
(=++kx x m M . 可见系统作简谐振动, 且 4
/32m M k
+=ω ,周期是k m M T 24/322+==π
ωπ . (2) 能量分析法:
系统势能 222)2(21
2121x k kx kx E p =+=
, 即相当于劲度系数为'2k k =的谐振子. 动能)2
1()43(21)2121(221222
2x r v x m M I mv x M E c c c p ==+=++=ωω; 相当于谐振子的等效质量为 '4
3
m m M =+
k
m M T m M k m k 24
/322 , 4/32''
+==+==
∴π
ωπω.
6-14 本题图中两个相同圆柱体的轴在同一水平面上，且相距2l ，，两圆柱体以相同的恒定角
速率按图中的转向很快地转动。

在圆柱体上放一匀质木板，木板与圆柱体之间的滑动摩擦系数为μ，设μ为常数。

把处在平衡位置的木板略加触动，(1)试证明木板的运动是简谐振动，并确定其固有角频率；(2)若两圆柱体的转动方向都反向，木板是否仍作简谐振动？ 解：（1）由力矩分析可见, 对O 1点，22)(lN x l Mg =+, 对O 2点，12)(lN x l Mg =-;
故木板的运动方程为 Mgx l
Mg l x l l x l N N f f x
M μ
μμ-=+--=-=-=)22()(2121 , 即 0=+x l
g
x μ
,可见木板作简谐运动，其固有角频率为 l
g
μω=
.
（2） 两圆柱转动返回时，有 Mgx l
f f x M μ
=+=12
, 即 0=-x l
g
x
μ .
可见木板不作简谐振动，而是向右（或向左）滑出。

6-15 竖直悬挂的弹簧振子，若弹簧本身质量不可忽略，试推导其周期公式：
k
m M T 3
/2+=π
，式中m 为弹簧的质量，k 为其劲度系数，M 为系于其上物体的质量(假定弹簧的伸长量由上到下与长度成正比地增加)。

解：弹簧的运动比较复杂，较严格的分析可参见：
[1]罗蔚茵，《力学简明教程》，广州，中山大学出版社，1985，340~346.
[2]钱伯初，美国研究生考题分析（三）——近似处理，大学物理，1983年第3期，第28页，例1.
下面以文献[2]的近似方法来处理：设弹簧上各点随物体M 作同相位振动。

M 的位移为
x (以右图中的平衡位置为原点,向下为正). 速度为x ，则弹簧+物体这一系统的势能为：
22
1)(kx x U =, 物体的动能为 221x M E k =. 假定弹簧的质量均匀地连续分布，它上面各点的速度均匀地从0点变到x
，对弹簧上的y 点，其速度即为 x
x
l l y
v y ++=
'00（设某时刻x 一定，与y 无关）; 则y v 平方的平均值为 2'02
3002'02002
3
1)'('10000x dy y x l l x dy v x l l v x l l x l l y y =++=++=⎰⎰++++ ∴ 弹簧的动能2
2)(6121x
m v m E y k =≈弹簧, 系统的总动能为222)31(216121x m M x m x M E k +=+=, 势能为22
1
kx E p =; 固有角频率为k m M 3/+=
ω, 周期为 k
m M T 3
/2+=π.
6-16 三个质量为m 的质点和三个劲度系数为k 的弹簧串联在一起，紧套在光滑的水平圆周
上(见本题图)。

求此系统简正模(即简正频率和运动方式)。

解：运动方程为 .
2,2,2321232
3212
22
32121
2⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-+=+-=++-=ks ks ks dt
s d m ks ks ks dt s d m ks ks ks dt s d m
令m
k
i t c a s i i μωϕω=
=+=;3,2,1),
sin( . 得 021*******
321=⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---a a a μμμ; 由 0)3(2
1
112
11
1
22=-=---μμμμμ.
解得
m
k
3,0321=
==ωωω. 讨论：（1）若 01=ω, 则 321a a a ==, 体系各质点给圆心作纯转动;
（2）若
m
k 332=
=ωω, 则要求 ),,( ; 3,2, 321a a a A p n A A np p n ++
==δ可解得：(a)⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
-==±=±===;
21,32 :,21-a a 0,a :132133212a a a a ωω对对
(b);cos 6
1sin 21,cos 61sin 21,cos 3
2
:,sin 61cos 21,sin 61cos 21,sin 32
321
33212⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
--=-==
--=-=
=α
ααααωαααααωa a a a a a 对：对 α在2，4象限取值，但6
11,35,65,32π
πππα≠
. 当4πα-=时，（b ）组的值为: 对⎪⎩⎪
⎨⎧-==-=21
.079.058
.0:3
212a a a ω , 对⎪⎩⎪⎨⎧-====79.021.058.03213a a a ω .
又 0 321=++a a a , 故此时32,ωω的简正模类似：两质点（1,3）↔2,或(1,2)↔3作相对扭动；质点类似图1中的)(b ,但此处的三个质点均不同步.当α值取其它值时亦类似.
例如变为质点(2,3)↔1作相对扭动；当α取值πππππππ2,3
5
,23,,65,32,2,0→时，才类
似图1的模式。

图1与图2的区别是：图1中总有一对质点的运动是同步的，而图2中的三个质点运动永不同步
6-17 阻尼振动起始振幅为3.0cm ，经过10s 后振幅变为1.0cm ．经过多长时间振幅将变为
0.30cm ？ 解： 由
t t Ae A β-= ,得 1
1ln 1 , ln
1
A A t A A t βπ
β
==
；
3ln 10113ln 101 ==
∴β, s t 213
ln 10ln 103.03ln 10/3ln 11===.
6-18 一音叉的频率为440Hz ，从测试仪器测出声强在4.0s 内减少到1/5，求音叉的Q 值(Q
=1/2Λ，Λ——阻尼度)
解：已知 s
rad v πππωω880
440220=⨯==≈ , 声强 2202
1
A c I s ωρ=, t s t t Ae A Ae A t b t a ∆==-==--4' , ,'ββ；
由：
t t t a
b a b e e A A I I ∆---====ββ2)'(22
)(51 得 5ln 8125ln =∆=
t β, 301087.68
/5ln 2880221⨯=⨯==Λ=π
βωQ .
6-19 一个弹簧振子的质量为5.0kg ，振动频率为0.50Hz ，已知振幅的对数减缩为0.02，求弹
簧的劲度系数k 和阻尼因数β． 解：已知 m
k
v H v kg m z =====ππω0002 ,5.0 ,0.5; 由此可得 m
N
s kg
m k 3.493.4952
2
2
====ππ （劲度系数）.
又
2
2
022 ,02.0β
ωπ
ω
π
βλ-=
=
==T T ；
s /01.0402.002
.042
2
2
2
0=+⨯=
+=∴π
ππ
λλωβ （阻尼系数）.
6-20 弹簧振子的固有频率为2.0Hz ，现施以振幅为100dyn 谐变力，使发生共振。

已知共振
时的振幅为5.0cm ，求阻力系数 γ 和阻力的幅度。

解：已知 βγππωm dyn F v H v z 2 ,100 ,42 ,2000=====. 近似地设阻尼很小，则
0220ωβω≈-.由0
2
2
0max 2γωβ
ωβF
m F A ≈
-=
；
得阻力系数
s kg
s g s g A F π
ππγ2001559.145100max =
==⨯==
, 阻力的幅度N dyn F F
m F v F 3max 0101002-======γ
γβγ
γ.
6-21 设有两个同方向同频率的简谐振动x 1=A cos(ωt +π/4)，x 2=3A cos(ωt +3π/4)。

求合成振动
的振幅和初相位。

解：)4
cos(1π
ω+
=t A x , )4
3cos(32π
ω+
=t A x ；)cos(21ϕω+=+=t A x x x 合 可求得合振动的振幅 A A A A 2)3(22=+=合；
33a r c t a n
π
θ===A
A ， ∴合振动的初相位01051274==+=πθπϕ.
6-22 说明下面两种情形下的垂直振动合成各代表什么运动，并画出轨迹图来。

两者有什么
区别 (1) ⎩⎨
⎧==t
B y t
A x ωωcos sin , （2）⎩⎨⎧==t A y t A x ωωsin cos .
解: (1) 轨迹为 122
22=+B
y A x 的正椭圆, 但相位差2πϕϕϕ=-=∆x y ，可见它为顺时针方
向旋转的正椭圆；
（2）轨迹同上，但相位差为2
π
ϕϕϕ-
=-=∆x y ，是逆时针方向旋转的正椭圆。

6-23 两支C 调音叉，其一是标准的256Hz ，另一是待校正的。

同时轻敲这两支音叉，在20s
内听到10拍。

问待校音叉的频率是多少。

解：s n t T 210
20===
拍 ，z z H H T 5.0256,5.010±=∆±===∆∴υυυυ拍。

6-24 本题图为相互垂直振动合成的李萨如图形。

已知横方向振动的角频率为ω，求纵方向振
动的角频率。

解：从左自右依次为： .3,3,3
4,23,23,
2ωωωωωωω=纵
6-25 已知平面简谐波在t=0时刻的波形如本题图所示，波朝正x 方向传播。

(1)试分别画出t = 0、T /4、T /2、3T /4三时刻的u-x 曲线； (2)分别画出x = 0、x 1、x 2、x 3四处的u-t 曲线。

解：一般的波动方程可表为： 2cos[),(A t x u =]2
πλπ+⎪⎭⎫
⎝⎛-x T t . (1) t = 0、T /4、T /2、3T /4 三时刻的u-x 曲线为:
()λ
πx
ASin x u 20, )1=，λπx ACos T x u 2)4,
( )2-=λ
πx
ASin
T x u 2)2,( )3-= ， λ
πx
A C o s T x u 2)43,
( )4=； (2) x = 0、x 1、x 2、x 3四处的u-t 曲线为:
()T
t
ASin
t u π2,0 )1-=，T t ACos t u πλ2),4( )2=， λπλt Sin t u 2),2( )3=，4)
T
t ACos
t u πλ2),4
3(
-=.
6-26 本题图为t=0时刻平面简谐波的波形，波朝负x 方向传播，波速为v=330m/s 。

试写出
波函数u (x,t )的表达式。

解：由图可见，,2.01.02m =⨯=λ A = 0.001m ， T =λ/v = 0.2/330 = 0.0006s ,
s rad v T /33002.0330222ππλππω=⨯===
, m k /102
.022ππ
λπ=== 又由图初条件可见, ()),2
2cos()2sin(0,π
λ
π
λ
π+
=-=x
A x
A x u 有 2/πϕ=;
故波函数的表达式为
()]2)2.00006.0(
2cos[0001,ππ++=x t t x u =)2
103300cos(001.0π
ππ++x t .
6-27 设有一维简谐波⎪⎭
⎫
⎝⎛-⨯=30010.02cos 0.2),(x t
t x u π，式中x 、u 的单位为cm ，t 的单
位为s ．求振幅、波长、频率、波速，以及x=10cm 处振动的初相位。

解：与标准式 ()))(2
c o s [,ϕλ
π+-=x
T t A t x u ] 比较，得：振幅：A =2.0cm ，波长：cm 30=λ，频率：Hz T v 10001
.011===， 波速：s cm v c /300030100=⨯==λ. 在x = 10cm 时，())3201.02cos(
0.210,ππ-=t t u ,此时的初相位为3
432π
πϕ或-=.
6-28 写出振幅为A 、频率为v 、波速为c 、朝正x 方向传播的一维简谐波的表达式。

解：()])(2cos[])(cos[,ϕπνϕω+-=+-
=c
x
t A c x t A t x u . 6-29 频率在20至20×103Hz 的弹性波能触发人耳的听觉。

设空气里的声速为330m/s ，求这
两个频率声波的波长。

解：
m v c 5.162033011===
λ, cm v c 65.11065.110
203302322=⨯=⨯==-λ.
6-30 人眼所能见到的光(可见光)的波长范围是400nm (紫光)到760nm (红光)，求可见光的频
率范围(光速c = 3×108m/s )。

解：对紫光: Hz c
v 14
10
811105.7104000103⨯=⨯⨯==-λ,
对红光:Hz c
v 14
10
8221095.310
7600103⨯=⨯⨯==-λ; ∴可见光的频率范围为:14105.7⨯~Hz 14
1095.3⨯.
6-31 一无限长弹簧振子链，所有弹簧的劲度系数皆为k ，自然长度为a /2，振子质量m 和m ’
相间。

试证明：此链有两支频谱，即对应每个波数k 有两个角频率 ω1(k ) 和 ω2(k )，在
m >>m ’的情况下有：)
( '
2)() ( 2sin 2)(21光频支声频支m k
k ka
m k k ==
ωω，对于低频的声频支，A A ~'~=，即m 、m ′的振动同相位，对于高频的光频支，m A m A /~
''~-=，即m 、m ′的振动反相位，且与m ′相比，m 几乎不动。

解: 运动方程为
)2()()('
'1'1'12
21-+-=---=+++n u u u k u u k u u k dt
u d m n u u n n u n (1) )2()()(121'1'22
1
2'
n n u u n n u n u u u k u u k u u k dt
u d m +-=---=++++++ (2) 设 )2()(~~),(~~ka n
t j kx t j n n e
A e A t x u u n --===ωω (3)
)21
(')('1
1
~~),(~~1ka n t j kx t j n n e A e A t x u u n +--++===+ωω （4）
令 ,,'2
'02
0m
k m k ==
ωω (3)、(4)式代入(1)、(2)得: ⎪⎪⎩⎪⎪⎨
⎧=-+=+-)6( 0~)2(~2
cos 2)5( 0~2cos 2~)2('2022'0'20202A A ka A ka A ωωωωωω 令
02 2
cos
22
cos 2 22
'022'02
0202=--ωωωωωωka ka
， 解得
2
1212'
222''22
1
212'222''1}]2cos 4)11[()11({)(}]2cos 4)11[()11({)(ha mm
k k m m m m k k ha mm k k m m m m k k ++++=++-+=ωω )8()7(
讨论: 当m>>m ’时)1
'1(
m
m >>， )
(2
sin 2)2cos 22( )]2
cos '21)(1'1('11[ ]2
cos '41)1'1('11[)(2
1
221
22
1
21声频率ka m k ka m m k ka m m m m m m k ka
m m m m m m k k =-≈+--+≈+--+≈ω (9) '
2)]2cos '21)(1'1('11[)(21
22m k
ka m m m m m m k k ≈
+--+≈ω(光频率) (10) 将(9)式代入(5)、(4)式, 得即,2
cos
~
'~ka
A A =m 、m’的振动同相位, 将(10)式[)2cos 2'2(22
2αωk m m k +=] 代入(5)、(6)式，得2
cos '~'~ka A m m A -=. 即m,m ’的振动反相位,与m ’相比,m 几乎不动()0'~
,0~≠→A A .
6-32 本题图中O 处为波源，向左右两边发射振幅为A 、角频率ω的简谐波，波速为c ．BB ’
为反射面，它到O 的距离为5λ/4。

试在有、无半波相位突变的两种情况下，讨论O 点两边合成波的性质。

解: 已知 πλπνωλ2
54/52 ,45=⋅==
c c
d d ，c =νλ， )cos(),0(0ϕω+=t A t u ；
])(c o s [),(0ϕω+-=+c x t A t x u ，
])(cos[),(0ϕω++=-c
x
t A t x u (以O 点为x 轴原点). （1）无半波相位突变：])(cos[]2)(cos['00πϕωωϕω-+-=⋅-+-=+c
x
t A c d c x t A u ，
(a) O 点左边: t
x
t A u u u ω
ϕωsin )sin(2'0+-=+=-+；是驻波. 波腹位置: ,2)21(λ
+
-=n x n = 0, 1, 2, 即4
5,43,4λλλ---=x ; 波节位置: 2λn x -
=, n = 0, 1, 2, 即λλ
--=,2
,0x . (b) O 点右边: 2
cos ])(sin[2'0π
ϕω+-
-=+=++c x t A u u u =0, 不动. (2) 有半波相位突变: ]2)(cos['0πωϕω+-+-=+c d
c x t A u +=+-=u c
x t A ])(cos[0ϕω
(a) O 点左边: c
x
t A u u u ω
ϕωcos )cos(2'0+=+=-+, 是驻波. 波腹位置: 2,1,0,2=-
=n n x λ, 即λλ
--=,2
,0x ; 波节位置: 2,1,0,2)21(=+
-=n n x λ
, 即4
5,43,4λλλ---=x . (b) O 点右边: ])(cos[2'0ϕω+-
=+=++c
x
t A u u u , 是一振幅加倍的行波. 如设00=ϕ, 则有 )](cos[2c
x t u -
=ω.
6-33 本题图中所示为某一瞬时入射波的波形，在固定端全反射。

试画出此时刻反射波的波
形。

解: 反射波(向左)在固定端有180°的相位跃变(设振幅无损失).故其波形如下图所示.
6-34 入射简谐波的表达式为 ⎥⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
++=4)(2cos ),(πλπx T t A t x u ，在x=0处的自由端反射，设振幅无损失，求反射波的表达式。

解: 由于在0=x 处的自由端没有相位跃变,故只须将),(t x u 中的x 替换为-x 即可：
]4
)(2cos[π
λπ+-=x T t A t x u ），（反
6-35 设入射波为)(
2cos ),(λ
πx
T t A t x u +=，在x=0处发生反射，反射点为一自由端。

求(1)反射波的表达式；(2)合成的驻波的表达式，并说明哪里是波腹，哪里是波节。

解:
)]cos[()](
2cos[λλπx T t A x T t A u ++-= )](2)(2cos[)](2)(2[21cos 2λπλπλπλπx
T t x T t x T t x T t A +--++-=
λ
ππx
T t A 2cos 2cos 2=.
波腹: ,2,1,0,2,2±±===n n x n x λ
πλπ; 波节: ,2,1,02
)21(,)21(2±±=+=+=n n x n x λ
πλπ.
6-36 在同一直线上相向传播的两列同频同幅的波，甲波在A 点是波峰时乙波在B 点是波谷，
A 、
B 两点相距20.0m ．已知两波的频率为100Hz ，波速为200m/s ，求AB 联线上静止不动点的位置。

解: O 点为原点,向右为x 轴正向,则
])(
2cos[甲甲ϕλπ+-=x T t A u , ])(2cos[乙乙ϕλ
π++=x
T t A u ; 按题设 v=100Hz, c=200m/s. m v c 2100
200
===
λ， AB=20m=10λ. 又由 A t x u ===)0,0(甲, 得 0,1cos ==甲甲ϕϕ,
A A t x u -=+===)102cos()0,20(乙乙ϕλ
λ
π
, 得 πϕϕ=-=乙乙,1cos ;
x
T
t
A x T t A x
T t A x T t A u u u ππλπππλ
πλπsin 2sin 22sin 2sin 2 ])(2cos[)](
2cos[==+++-=+=∴乙甲
是驻波. AB 上不动点即为波节: ,2,1,0,===n x n x ππ;
即x = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 ,8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20共21个点.
6-37 利用表面张力波的色散关系(6.95)式求其群速，并证明相速等于群速时相速最小。

解: 由关系式 ρ
ωρ
ωrk
k g k
c rk gk +
=
=
+
=
,3
, 可得群速: ωρ
ρρ
ω2/3)3(/1
2
1
22
3rk g rk g rk gk dk d v g +=
++=
=.
在 v g = c 时,
k
rk g ω
ωρ=+2/32, 即 )/(22/3323ρωρrk gk rk kg +==+, 由此解得 r
g
k ρ=
; 代入
)(//121
2ρρ
r
k g rk k g dk dc +-+= 中, 得 0=dk dc . 可见在相速等于群速v g =c 时, 相速有极小值, 也是最小值(4
1
min )(
2|
ρ
ρrg
v c r
g k g ===
).
6-38 （1）沿一平面简谐波传播的方向看去，相距2cm 的A 、B 两点中B 点相位落后π/6．已
知振源的频率为10Hz ，求波长与波速。

(2)若波源以40cm/s 的速度向着A 运动，B 点的相位将比A 点落后多少? 解: (1) 已知
,6
2π
λ
π=
∆x
cm AB x 2==∆;
故波长cm x 2421212=⨯=∆=λ, 波速 s cm v c /2402410=⨯==λ.
(2) A 、B 处的波长变为cm T v s 2010/4024''=-=-=λλ, B 点比A 点的相位落后: 5
2022'2π
πλπϕ=⨯=∆=
∆x .
6-39 两个观察者A 和B 携带频率均为1000Hz 的声源。

如果A 静止，B 以10m/s 的速率向A
运动，A 和B 听到的拍频是多少？设声速为340m/s ． 解: 已知 v 0=1000Hz , c =340m/s , v s =10m/s ;
(1) A 为观察者: v A = v 0 = 1000Hz , 0033
34
100010340340v v v c c v s A B =⨯-=-=
→; A 听到的拍频为 Hz v v v A A B A 3.301000)133
34
(
=⨯-=-=∆→. (2) B 为观察者: v B = v 0 = 1000Hz , 00034
35
34010340v v v c v c v D B A =+=+=
→, B 听到的拍频为Hz v v v B B A B 4.291000)134
35
(
=⨯-=-=∆→.
6-40 一音叉以2.5m/s 的速率接近墙壁，观察者在音叉后面听到拍音的频率为3Hz ，求音叉
振动的频率。

已知声速340m/s ． 解: 已知 v s = 2.5m/s , c = 340m/s , =∆拍v 3, v v c c
v v v c c
v s
s
-=
+=
",'. 2'"22s
s s s v c v cv v c cv
v c cv v v v -=+--=
-=∆拍 ,
Hz v cv v c v s s 20435
.234025.23402 2
222=⨯⨯⨯-=∆-=∴拍.
6-41 装于海底的超声波探测器发出一束频率为30000Hz 的超声波，被迎面驶来的潜水艇反
射回来。

反射波与原来的波合成后，得到频率为以240的拍。

求潜水艇的速率。

设超声波在海水中的传播速度为1500m/s. 解: 已知ν= 30000Hz , c = 1500m/s , Δv 拍=241Hz , v v
c v c v v c c v v v
v
c v -+=-=
+=
'",'; 又由 v v
c v
v v v c v c v v v -=--+=
-=∆2"拍, 最后得 s m c v v v v /61500241
3000022412=⨯+⨯=∆+∆=
拍拍, 这就是潜水艇的速率.
6-42 求速度为声速的1.5倍的飞行物艏波的马赫角。

解: 马赫锥半顶角 8.415.1arcsin arcsin ===c
c v c s α。