林芝市第三高级中学2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析

林芝市第三高级中学2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析
班级__________ 姓名__________ 分数__________
一、选择题
1． 下列说法正确的是（ ）
A.圆锥的侧面展开图是一个等腰三角形；
B.棱柱即是两个底面全等且其余各面都是矩形的多面体；
C.任何一个棱台都可以补一个棱锥使他们组成一个新的棱锥；
D.通过圆台侧面上的一点，有无数条母线.
2． 若变量x y ，满足约束条件22024010x y x y x +-≥⎧⎪
-+≥⎨⎪-≤⎩
，则目标函数32z x y =-的最小值为（ ）
A ．-5
B ．-4 C.-2 D ．3 3． 函数f （x ）=sin ωx （ω＞0）在恰有11个零点，则ω的取值范围（ ） A ．
C ．
D ．时，函数f （x ）的最大值与最小值的和为（ ） A ．a+3 B ．6 C ．2
D ．3﹣a
4．
已知双曲线（a ＞0，b ＞0
）的一条渐近线方程为
，则双曲线的离心率为（ ）
A
． B
．
C
．
D
．
5． 若，则下列不等式一定成立的是（ ） A ． B ．
C ．
D ．
6． 数列1,3,6,10，…的一个通项公式是（ ）
A ．2
1n a n n =-+ B ．(1)2n n n a -=
C ．(1)2
n n n a += D ．2
1n a n =+ 7．
下面是关于复数的四个命题：
p 1：|z|=2， p 2：z 2=2i ，
p 3：z 的共轭复数为﹣1+i ，
p4：z的虚部为1．
其中真命题为（）
A．p2，p3B．p1，p2C．p2，p4D．p3，p4
8．函数y=sin2x+cos2x的图象，可由函数y=sin2x﹣cos2x的图象（）
A．向左平移个单位得到B．向右平移个单位得到
C．向左平移个单位得到D．向左右平移个单位得到
9．一个几何体的三视图如图所示，且其侧视图是一个等边三角形，则这个几何体的体积为（）
A． B．（4+π）C． D．
x ，则输出的所有x的值的和为（）
10．执行如图所示的程序，若输入的3
A．243B．363C．729D．1092
【命题意图】本题考查程序框图的识别和运算，意在考查识图能力、简单的计算能力．
11．已知||=||=1，与夹角是90°，=2+3，=k﹣4，与垂直，k的值为（）A．﹣6 B．6 C．3 D．﹣3
12．某程序框图如图所示，该程序运行后输出的S的值是（）
A ．﹣3
B ．﹣
C ．
D ．2
二、填空题
13．设曲线y=x n+1（n ∈N *）在点（1，1）处的切线与x 轴的交点的横坐标为x n ，令a n =lgx n ，则a 1+a 2+…+a 99的值为 ．
14．复数z=（i 虚数单位）在复平面上对应的点到原点的距离为 ．
15．三角形ABC 中，2,60AB BC C ==∠=，则三角形ABC 的面积为 .
16．已知曲线y=（a ﹣3）x 3+lnx 存在垂直于y 轴的切线，函数f （x ）=x 3﹣ax 2﹣3x+1在[1，2]上单调递减，则a 的范围为 ． 17．定义在R 上的偶函数f （x ）在[0，+∞）上是增函数，且f （2）=0，则不等式f （log 8x ）＞0的解集是 ．
18．已知数列{a n }中，a 1=1，a n+1=a n +2n ，则数列的通项a n = ．
三、解答题
19．已知a ＞0，b ＞0，a+b=1，求证：
（Ⅰ）++
≥8；
（Ⅱ）（1+）（1+）≥9．
20．若f （x ）是定义在（0，+∞）上的增函数，且对一切x ，y ＞0，满足f （）=f （x ）﹣f （y ） （1）求f （1）的值，
（2）若f （6）=1，解不等式f （x+3）﹣f （）＜2．
21．如图，在三棱锥 P ABC -中，,,,E F G H 分别是,,,AB AC PC BC 的中点，且
,PA PB AC BC ==.
（1）证明： AB PC ⊥； （2）证明：平面 PAB 平面 FGH .
22．某小区在一次对20岁以上居民节能意识的问卷调查中，随机抽取了100份问卷进行统计，得到相关的数
（2）据了解到，全小区节能意识强的人共有350人，估计这350人中，年龄大于50岁的有多少人？ （3）按年龄分层抽样，从节能意识强的居民中抽5人，再从这5人中任取2人，求恰有1人年龄在20至50岁的概率．
23．（本小题满分13分） 已知函数32()31f x ax x =-+， （Ⅰ）讨论()f x 的单调性；
（Ⅱ）证明：当2a <-时，()f x 有唯一的零点0x ，且01
(0,)2
x ∈．
24．已知曲线2
1()f x e x ax
=+（0x ≠，0a ≠）在1x =处的切线与直线2
(1)20160e x y --+= 平行．
（1）讨论()y f x =的单调性；
（2）若()ln kf s t t ≥在(0,)s ∈+∞，(1,]t e ∈上恒成立，求实数的取值范围．
林芝市第三高级中学2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析（参考答案） 一、选择题
1． 【答案】C 【解析】
考
点：几何体的结构特征. 2． 【答案】B 【解析】
试题分析：根据不等式组作出可行域如图所示阴影部分，目标函数可转化直线系31
y 22
x z =
+，直线系在可行域内的两个临界点分别为)2,0(A 和)0,1(C ，当直线过A 点时，32224z x y =-=-⨯=-，当直线过C 点
时，32313z x y =-=⨯=，即的取值范围为]3,4[-，所以Z 的最小值为4-.故本题正确答案为B.
考点：线性规划约束条件中关于最值的计算. 3． 【答案】A
【解析】A ． C ． D ．恰有11个零点，可得5π≤ω•＜6π，
求得10≤ω＜12， 故选：A ． 4． 【答案】A
【解析】解：∵双曲线的中心在原点，焦点在x 轴上，
∴设双曲线的方程为，（a ＞0，b ＞0）
由此可得双曲线的渐近线方程为y=±x ，结合题意一条渐近线方程为y=x ，
得=，设b=4t ，a=3t ，则c==5t （t ＞0）
∴该双曲线的离心率是e==．
故选A ．
【点评】本题给出双曲线的一条渐近线方程，求双曲线的离心率，着重考查了双曲线的标准方程、基本概念和简单几何性质等知识，属于基础题．
5． 【答案】D 【解析】
因为，有可能为负值，所以排除A ，C ，因为函数为减函数且
，所以
，排除B ，
故选D
答案：D
6． 【答案】C 【解析】
试题分析：可采用排除法，令1n =和2n =，验证选项，只有(1)
2
n n n a +=，使得121,3a a ==，故选C ． 考点：数列的通项公式． 7． 【答案】C
【解析】解：p
1：|z|==
，故命题为假；
p 2：z 2=
=
=2i ，故命题为真；
，∴z 的共轭复数为1﹣i ，故命题p 3为假；
∵
，∴p 4：z 的虚部为1，故命题为真．
故真命题为p 2，p 4 故选：C ．
【点评】本题考查命题真假的判定，考查复数知识，考查学生的计算能力，属于基础题．
8． 【答案】C
【解析】解：y=sin2x+cos2x=sin （2x+），
y=sin2x ﹣cos2x=
sin （2x ﹣
）=
sin[2（x ﹣
）+
）]，
∴由函数y=sin2x ﹣cos2x 的图象向左平移个单位得到y=
sin （2x+
），
故选：C ．
【点评】本题主要考查三角函数的图象关系，利用辅助角公式将函数化为同名函数是解决本题的关键．
9． 【答案】 D
【解析】解：由三视图知，几何体是一个组合体， 是由半个圆锥和一个四棱锥组合成的几何体， 圆柱的底面直径和母线长都是2， 四棱锥的底面是一个边长是2的正方形，
四棱锥的高与圆锥的高相同，高是=，
∴几何体的体积是=
，
故选D ．
【点评】本题考查由三视图求组合体的体积，考查由三视图还原直观图，本题的三视图比较特殊，不容易看出直观图，需要仔细观察．
10．【答案】D
【解析】当3x =时，y 是整数；当2
3x =时，y 是整数；依次类推可知当3(*)n x n N =∈时，y 是整数，则
由31000n
x =≥，得7n ≥，所以输出的所有x 的值为3，9，27，81，243，729，其和为1092，故选D ．
11．【答案】B
【解析】解：∵ =（2+3）（k ﹣4）
=2k +（3k ﹣8）
﹣12
=0，
又∵=0．∴2k ﹣12=0，k=6．
故选B
【点评】用一组向量来表示一个向量，是以后解题过程中常见到的，向量的加减运算是用向量解决问题的基础，要学好运算，才能用向量解决立体几何问题，三角函数问题，好多问题都是以向量为载体的
12．【答案】 B
【解析】解：由程序框图得：第一次运行S=
=﹣3，i=2；
第二次运行S==﹣，i=3；
第三次运行S==，i=4；
第四次运行S==2，i=5；
第五次运行S==﹣3，i=6，
…S的值是成周期变化的，且周期为4，
当i=2015时，程序运行了2014次，2014=4×503+2，
∴输出S=﹣．
故选：B．
【点评】本题考查了循环结构的程序框图，根据程序的运行功能判断输出S值的周期性变化规律是关键．
二、填空题
13．【答案】﹣2．
【解析】解：∵曲线y=x n+1（n∈N*），
∴y′=（n+1）x n，∴f′（1）=n+1，
∴曲线y=x n+1（n∈N*）在（1，1）处的切线方程为y﹣1=（n+1）（x﹣1），
该切线与x轴的交点的横坐标为x n=，
∵a n=lgx n，
∴a n=lgn﹣lg（n+1），
∴a1+a2+…+a99
=（lg1﹣lg2）+（lg2﹣lg3）+（lg3﹣lg4）+（lg4﹣lg5）+（lg5﹣lg6）+…+（lg99﹣lg100）
=lg1﹣lg100=﹣2．
故答案为：﹣2．
14．【答案】．
【解析】解：复数z==﹣i（1+i）=1﹣i，
复数z=（i虚数单位）在复平面上对应的点（1，﹣1）到原点的距离为：．
故答案为：．
【点评】本题考查复数的代数形式的混合运算，复数的几何意义，考查计算能力．
15．【答案】【解析】
试题分析：因为ABC ∆中，2,60AB BC C ===︒2
sin A
=
，1sin 2A =，又
BC AB <，即A C <，所以30C =︒，∴90B =︒，AB BC ⊥，1
2
ABC
S AB BC ∆=⨯⨯=． 考点：正弦定理，三角形的面积．
【名师点睛】本题主要考查正弦定理的应用，三角形的面积公式．在解三角形有关问题时，正弦定理、余弦定理是两个主要依据，一般来说，当条件中同时出现ab 及2
b 、2
a 时，往往用余弦定理，而题设中如果边和正
弦、余弦交叉出现时，往往运用正弦定理将边化为正弦，再结合和、差、倍角的正弦公式进行解答．解三角形时．三角形面积公式往往根据不同情况选用不同形式1sin 2ab C ，12ah ，1()2a b c r ++，4abc R
等等．
16．【答案】 ．
【解析】解：因为y=（a ﹣3）x 3
+lnx 存在垂直于y 轴的切线，即y'=0有解，即
y'=在x ＞0时有解，
所以3（a ﹣3）x 3
+1=0，即a ﹣3＜0，所以此时a ＜3．
函数f （x ）=x 3﹣ax 2
﹣3x+1在[1，2]上单调递减，则f'（x ）≤0恒成立，
即f'（x ）=3x 2
﹣2ax ﹣3≤0恒成立，即
，
因为函数在[1，2]上单调递增，所以函数
的最大值为
，
所以，所以．
综上．
故答案为：
．
【点评】本题主要考查导数的基本运算和导数的应用，要求熟练掌握利用导数在研究函数的基本应用．
17．【答案】 （0，）∪（64，+∞） ．
【解析】解：∵f（x）是定义在R上的偶函数，
∴f（log8x）＞0，等价为：f（|log8x|）＞f（2），
又f（x）在[0，+∞）上为增函数，
∴|log8x|＞2，∴log8x＞2或log8x＜﹣2，
∴x＞64或0＜x＜．
即不等式的解集为{x|x＞64或0＜x＜}
故答案为：（0，）∪（64，+∞）
【点评】本题考查函数奇偶性与单调性的综合，是函数性质综合考查题，熟练掌握奇偶性与单调性的对应关系是解答的关键，根据偶函数的对称性将不等式进行转化是解决本题的关键．
18．【答案】2n﹣1．
【解析】解：∵a1=1，a n+1=a n+2n，
∴a2﹣a1=2，
a3﹣a2=22，
…
a n﹣a n﹣1=2n﹣1，
相加得：a n﹣a1=2+22+23+2…+2n﹣1，
a n=2n﹣1，
故答案为：2n﹣1，
三、解答题
19．【答案】
【解析】证明：（Ⅰ）∵a+b=1，a＞0，b＞0，
∴++==2（）=2（）
=2（）+4≥4+4=8，（当且仅当a=b时，取等号），
∴++≥8；
（Ⅱ）∵（1+）（1+）=1+++，
由（Ⅰ）知，++≥8，
∴1+++≥9，
∴（1+）（1+）≥9．
20．【答案】
【解析】解：（1）在f（）=f（x）﹣f（y）中，
令x=y=1，则有f（1）=f（1）﹣f（1），
∴f（1）=0；
（2）∵f（6）=1，∴2=1+1=f（6）+f（6），
∴不等式f（x+3）﹣f（）＜2
等价为不等式f（x+3）﹣f（）＜f（6）+f（6），∴f（3x+9）﹣f（6）＜f（6），
即f（）＜f（6），
∵f（x）是（0，+∞）上的增函数，
∴，解得﹣3＜x＜9，
即不等式的解集为（﹣3，9）．
21．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析．【解析】
考点：平面与平面平行的判定；空间中直线与直线的位置关系.
22．【答案】
相差较大，所以节能意识强弱与年龄有关
（2）由数据可估计在节能意识强的人中，年龄大于50岁的概率约为
∴年龄大于50岁的约有（人）
（3）抽取节能意识强的5人中，年龄在20至50岁的（人），
年龄大于50岁的5﹣1=4人，记这5人分别为a，B1，B2，B3，B4．
从这5人中任取2人，共有10种不同取法：（a，B1），（a，B2），（a，B3），（a，B4），（B1，B2），（B1，B3），（B1，B4），（B2，B3），（B2，B4），（B3，B4），
设A表示随机事件“这5人中任取2人，恰有1人年龄在20至50岁”，
则A中的基本事件有4种：（a，B1），（a，B2），（a，B3），（a，B4）
故所求概率为
23．【答案】（本小题满分13分）
解：（Ⅰ）2()363(2)f x ax x x ax '=-=-， （1分）
①当0a >时，解()0f x '>得2x a >或0x <，解()0f x '<得20x a <<， ∴()f x 的递增区间为(,0)-∞和2(,)a
+∞，()f x 的递减区间为2
(0,)a ． （4分）
②当0a =时，()f x 的递增区间为(,0)-∞，递减区间为(0,)+∞． （5分）
③当0a <时，解()0f x '>得20x a
<<，解()0f x '<得0x >或2
x a <
∴()f x 的递增区间为2(,0)a ，()f x 的递减区间为2
(,)a
-∞和(0,)+∞． （7分）
（Ⅱ）当2a <-时，由（Ⅰ）知2(,)a -∞上递减，在2
(,0)a
上递增，在(0,)+∞上递减．
∵2
2
240a f a a -⎛⎫=> ⎪⎝⎭
，∴()f x 在(,0)-∞没有零点． （9分） ∵()010f =>，11
(2)028
f a ⎛⎫=+< ⎪⎝⎭，()f x 在(0,)+∞上递减，
∴在(0,)+∞上，存在唯一的0x ，使得()00f x =．且01
(0,)2x ∈ （12分）
综上所述，当2a <-时，()f x 有唯一的零点0x ，且01
(0,)2
x ∈． （13分）
24．【答案】（1）()f x 在1(,)e -∞-，1(,)e +∞上单调递增，在1(,0)e -，1(0,)e 上单调递减；（2）1
[,)2
+∞.
【解析】
试题解析：（1）由条件可得2
21
'(1)1f e e a
=-
=-，∴1a =， 由21()f x e x x =+，可得222
22
11'()e x f x e x x
-=-=，
由'()0f x >，可得2210,0,
e x x ⎧->⎨≠⎩解得1x e >或1
x e <-；
由'()0f x <，可得2210,0,
e x x ⎧-<⎨≠⎩解得10x e -<<或1
0x e <<．
所以()f x 在1(,)e -∞-，1(,)e +∞上单调递增，在1(,0)e -，1
(0,)e
上单调递减．
（2）令()ln g t t t =，当(0,)s ∈+∞，(1,]t e ∈时，()0f s >，()ln 0g t t t =>，
由()ln kf s t t ≥，可得ln ()
t t
k f s ≥在(0,)x ∈+∞，(1,]t e ∈时恒成立，
即max ln ()t t k f s ⎡⎤≥⎢⎥⎣⎦max
()()g t f s ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，故只需求出()f s 的最小值和()g t 的最大值．
由（1）可知，()f s 在1(0,)e 上单调递减，在1
(,)e +∞上单调递增，
故()f s 的最小值为1
()2f e e
=，
由()ln g t t t =可得'()ln 10g t t =+>在区间(1,]e 上恒成立， 所以()g t 在(1,]e 上的最大值为()ln g e e e e ==，
所以只需122
e k e ≥
=， 所以实数的取值范围是1
[,)2
+∞.
考点：1、利用导数研究函数的单调性及求切线斜率；2、不等式恒成立问题.
【方法点晴】本题主要考查的是利用导数研究函数的单调性、利用导数研究函数的最值、不等式的恒成立和导数的几何意义，属于难题．利用导数研究函数()f x 的单调性进一步求函数最值的步骤：①确定函数()f x 的定义域；②对()f x 求导；③令()0f x '>，解不等式得的范围就是递增区间；令()0f x '<，解不等式得的范围就是递减区间；④根据单调性求函数()f x 的极值及最值（闭区间上还要注意比较端点处函数值的大小）.。