广东省鹤山市2012-2013学年高二数学上学期期中试题 理 新人教A版

某某省鹤山市鹤山二中2012—2013学年度第一学期期中考试
高二级理科数学试卷
（考试时间：120分钟 卷面总分：150分）
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分。

在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的．
⒈在等比数列{a n }中，a 2＝8，a 5＝64，则公比q 为
A ．2
B ．3
C ．4
D ．8
⒉若等差数列{n a }的前三项和93=S 且11=a ，则2a 等于
A ．3
B ．4
C ．5
D ．6
⒊等差数列{}n a 的前n 项和为x S 若＝则432,3,1S a a ==
A ．12
B ．10
C ．8
D ．6
⒋已知在∆ABC 中，sin :sin :sin 1:2:3A B C =，求::a b c =
A.3:2:1
B.2:1:3
C.1：2：3
D.1:3:2
⒌已知三角形的三边长分别为4、6、8，则此三角形为
A.等边三角形
B.锐角三角形
C.直角三角形
D.钝角三角形
⒍已知锐角ABC ∆的面积为33，BC=4，CA=3，则角C 的大小为
A. 75°
B. 60°
C.45°
D.30°
⒎设变量x y ，满足约束条件⎪⎩
⎪⎨⎧≤-≥+-≥-3311y x y x y x ，则目标函数4z x y =+的最大值为
Ａ．4 Ｂ．11 Ｃ．12 Ｄ．14
⒏已知函数2,
0()2,0x x f x x x +⎧=⎨-+>≤⎩，则不等式2()f x x ≥的解集是
A.[1,1]-
B.[2,2]-
C.[2,1]-
D.[1,2]-
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，满分30分．
⒐等比数列{}n a 中，44a =，则26a a ⋅等于
⒑数列{}n a 的前n 项和为n S ，若1(1)
n a n n =+，则5S 等于 ⒒在△ABC 中，已知BC=12，A=60°，B=45°，则AC=
⒓在△ABC 中，若=++=A c bc b a 则,2
22
⒔不等式0212<-+x
x 的解集是 ⒕已知,x y R +∈，且41x y +=，则x y ⋅的最大值为．
三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． ⒖（本小题满分12分）
等差数列{}n a 的前n 项和记为n S .已知102030,50==a a .
（I ）求通项n a ；
（Ⅱ）若n S =242，求n .
⒗（本小题满分12分）（I ）解不等式2450-++<x x ；
（Ⅱ）若不等式2
10-+>mx mx ，对任意实数x 都成立，求m 的取值X 围.
⒘（本小题满分14分）
在∆ABC 中，已知02,150===a c B ，求边b 的长及∆ABC 的面积.
⒙（本小题满分14分）
在ABC ∆中，角A 、B 、C 的对边分别为a ，b ，c ，角A ，B ，C 成等差数列。

(Ⅰ)求cos B 的值；
(Ⅱ)边a ，b ，c 成等比数列，求sin sin A C 的值。

⒚（本小题满分14分）
已知数列{n a }的前n 项和为S n ，且S n =2
2n n +，n ∈N ﹡，数列{b n }满足 n a =4log 2b n ＋3，n ∈N ﹡.
(Ⅰ)求n a ，b n ；
(Ⅱ)求数列{n a ·b n }的前n 项和T n .
⒛（本小题满分14分）
某厂使用两种零件A 、B 装配两种产品P 、Q ，该厂的生产能力是月产P 产品最多有2500件，月产Q 产品最多有1200件；而且组装一件P 产品要4个A 、2个B ，组装一件Q 产品要6个A 、8个B ，该厂在某个月能用的A 零件最多14000个；B 零件最多12000个。

已知P 产品每件利润1000元，Q 产品每件2000元，欲使月利润最大，需要组装P 、Q 产品各多少件？最大利润多少万元？
鹤山二中2012—2013学年度第一学期期中考试
高二级理科数学试卷答案
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分。

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，满分30分．
9、16 . 10、
56. 11
、12、0120.
13、{xlx>2}_. 14、116. 15、（本小题满分12分）
等差数列{}n a 的前n 项和记为n S .已知102030,50==a a .
（I ）求通项n a ；
（Ⅱ）若n S =242，求n .
解：(Ⅰ)设等差数列{}n a 的公差为d ，因为1(1),=+-n a a n d ………………2分
由102030,50==a a ，得方程组 11
9301950+=⎧⎨+=⎩a d a d ………………………………4分 解得112,2==a d ，所以 210=+n a n ……………………………………………6分
(Ⅱ)因为1(1),2
-=+n n n S na d ……………………………………………………8分 由242=n S 得方程(1)1222422
-+⨯=n n n …………………………………10分 解得11=n 或22=-n （舍去）
所以11=n ……………………………………………………………………………12分
16、（本小题满分12分）（I ）解不等式2
450-++<x x ；
（Ⅱ）若不等式210-+>mx mx ，对任意实数x 都成立，求m 的取值X 围.
解：(Ⅰ)不等式可化为2450-->x x
因16200,∆=+>方程2450--=x x 有两个实数根,即125,1==-x x ………4分 所以原不等式的解集是{15}x x x <->或…………………………………………6分 (Ⅱ)当010时，
=>m ，不等式成立，∴0=m …………………………………8分 当0≠m 时,则有2000()40
即>>⎧⎧⎨⎨∆<∆=--<⎩⎩m m m m ⇒04<<m …………11分 ∴m 的取值X 围{
}04≤<m m ………………………………………………12分
17、（本小题满分14分）
在∆ABC
中，已知02,150===a c B ，求边b 的长及∆ABC 的面积.
解：在∆ABC 中,由余弦定理得:2222cos =+-b a c ac B …………………3分
22322332492⎛⎫=+--= ⎪ ⎪⎝⎭
∴7=
b ………………………………………………………………………………7分
由三角形的面积公式得：
1sin 2
=S ac B …………………………………………10分 11222=⨯⨯=14分
18、（本小题满分14分）
在ABC ∆中，角A 、B 、C 的对边分别为a ，b ，c ，角A ，B ，C 成等差数列。

(Ⅰ)求cos B 的值；
(Ⅱ)边a ，b ，c 成等比数列，求sin sin A C 的值。

解：（1）由已知12=+,++=,=
,cos =32B A C A B C B B ππ∴………………………6分 （2）解法一：2=b ac ，由正弦定理得23sin sin =sin =
4A C B 解法二：2=b ac ，222221+-+-=cos ==222a c b a c ac B ac ac
，由此得22+-=,a c ac ac 得=a c 所以===3A B C π，3sin sin =4
A C …………………………………………14分
19、（本小题满分14分）
已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n =2
2n n +，n ∈N ﹡，数列{b n }满足
a n =4log 2
b n ＋3，n ∈N ﹡.
(Ⅰ)求a n ，b n ；
(Ⅱ)求数列{a n ·b n }的前n 项和T n .
解：(Ⅰ)由S n =22n n +，得
当n=1时，113a S ==； …………………………………2分
当n ≥2时，1n n n a S S -=-=2222(1)(1)41n n n n n ⎡⎤+--+-=-⎣⎦，n ∈N ﹡.………5分
由a n =4log 2b n ＋3，得21n b n =-，n ∈N ﹡…………………………………8分
(Ⅱ)由(Ⅰ)知1(41)2n n n a b n -=-⋅，n ∈N ﹡
所以()21372112...412n n T n -=+⨯+⨯++-⋅，
()2323272112...412n n T n =⨯+⨯+⨯++-⋅，
()212412[34(22...2)]n n n n T T n --=-⋅-++++
(45)25n n =-+
(45)25n n T n =-+，n ∈N ﹡. ………………………………………………………………14分
20、（本小题满分14分）
某厂使用两种零件A 、B 装配两种产品P 、Q ，该厂的生产能力是月产P 产品最多有2500件，月产Q 产品最多有1200件；而且组装一件P 产品要4个A 、2个B ，组装一件Q 产品要6个A 、8个B ，该厂在某个月能用的A 零件最多14000个；B 零件最多12000个。

已知P 产品每件利润1000元，Q 产品每件2000元，欲使月利润最大，需要组装P 、Q 产品各多少件？最大利润多少万元？
解：设分别生产P 、Q 产品x 件、y 件，则有 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤≤≤≤≤+≤+120002500012000821400064y x y x y x 依题意有 设利润 z =1000x +2000y =1000(x +2y )
要使利润最大，只需求z 的最大值.
作出可行域如图示（阴影部分及边界）
作出直线l:1000(x +2y )=0，即x +2y =0 …………8分
由于向上平移平移直线l 时，z 的值增大，所以在点A 处z 取得最大值
由⎩⎨⎧=+=+60004700032y x y x 解得⎩⎨⎧==1000
2000y x ，即A(2000,1000) …………12分
因此，此时最大利润z max =1000(x +2y )=4000000=400(万元). …………14分
答：要使月利润最大，需要组装P 、Q 产品2000件、1000件，此时最大利润为400万元。