2019-2020学年高中数学 第三章 推理与证明 1 归纳与类比 1.2 类比推理课后巩固提升 北师大版选修1-2(1)

1.2 类比推理
[A 组 基础巩固]
1．下列平面图形中与空间的平行六面体作为类比对象较合适的是( ) A ．三角形 B ．梯形 C ．平行四边形
D ．矩形
解析：因为平行六面体相对的两个面互相平行，类比平面图形，则相对的两条边互相平行，故选C. 答案：C
2．在R 上定义运算：x ⊗y ＝x (1－y )．若不等式(x －a )⊗(x ＋a )<1对任意实数x 成立，则( ) A ．－1<a <1 B ．0<a <2 C ．－12<a <32
D ．－32<a <12
解析：由题意得，(x －a )(1－x －a )<1，即x 2
－x －(a 2
－a －1)>0对于任意x 恒成立，所以Δ＝1＋4(a 2
－a －1)<0，解得－12<a <32，故选C.
答案：C
3．在平面直角坐标系内，方程x a ＋y b
＝1表示在x ，y 轴上的截距分别为a ，b 的直线，拓展到空间，在x ，y ，z 轴上的截距分别为a ，b ，c (abc ≠0)的方程为( ) A.x a ＋y b ＋z c
＝1 B.
x ab ＋y bc ＋z
ac
＝1 C.xy ab ＋yz bc ＋
zx
ca
＝1
D ．ax ＋by ＋cz ＝1
解析：由类比推理可知，方程应为x a ＋y b ＋z c
＝1. 答案：A
4．对命题“正三角形的内切圆切于三边中点”可类比猜想：正四面体的内切球切于四面体各正三角形的( )
A ．一条中线上的点，但不是重心
B ．一条垂线上的点，但不是垂心
C ．一条角平分线上的点，但不是内心
D ．中心
解析：由正四面体的内切球可知，内切球切于四个侧面的中心． 答案：D
5．设△ABC 的三边长分别为a 、b 、c ，△ABC 的面积为S ，内切圆半径为r ，则r ＝
2S
a ＋
b ＋c
，
类比这个结论可知：四面体S ­ABC 的四个面的面积分别为S 1、S 2、S 3、S 4，内切球半径为r ，四面体S ­ABC 的体积为V ，则r 等于( ) A.V
S 1＋S 2＋S 3＋S 4
B.2V
S 1＋S 2＋S 3＋S 4
C.
3V
S 1＋S 2＋S 3＋S 4
D.
4V
S 1＋S 2＋S 3＋S 4
解析：设四面体的内切球的球心为O ，则球心O 到四个面的距离都是R ，所以四面体的体积等于以O 为顶点，分别以四个面为底面的4个三棱锥体积的和． 则四面体的体积为V 四面体S ­ABC ＝1
3(S 1＋S 2＋S 3＋S 4)R ，
∴R ＝
3V
S 1＋S 2＋S 3＋S 4
.
答案：C
6．类比平面直角坐标系中△ABC 的重点G (x ，y )的坐标公式⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝x 1
＋x 2
＋x 3
3
y ＝y 1
＋y 2
＋y
3
3
(其中
A (x 1，y 1)、
B (x 2，y 2)、
C (x 3，y 3)，猜想以A (x 1、y 1、z 1)、B (x 2、y 2、z 2)、C (x 3、y 3、z 3)、
D (x 4、y 4、z 4)为顶点的四面体A ­BCD 的重点G (x ，y ，z )的公式为________．
答案：⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝
x 1＋x 2＋x 3＋x 4
4y ＝
y 1
＋y 2
＋y 3
＋y
4
4
z ＝z 1
＋z 2
＋z 3
＋z 4
4
7．在平面上，若两个正方形的边长的比为1∶2，则它们的面积比为1∶4.类似地，在空间中，若两个正方体的棱长的比为1∶2，则它们的体积比为________．
解析：V 1V 2＝S 1S 2·h 1h 2＝14×12＝18
.
答案：1∶8
8．有如下真命题：“若数列{a n }是一个公差为d 的等差数列，则数列{a n ＋a n ＋1＋a n ＋2}是公差为3d 的等差数列．”把上述命题类比到等比数列中，可得真命题是 (填上你认为可以成为真命题的一种情形即可)．
解析：可将加法类比为乘法，将公差中的倍数类比成公比的乘方得出相应结论．
答案：“若数列{b n }是公比为q 的等比数列，则数列{b n ·b n ＋1·b n ＋2}是公比为q 3
的等比数列” 9．在△ABC 中，余弦定理可叙述为a 2
＝b 2
＋c 2
－2bc cos A ，其中a 、b 、c 依次为角A 、B 、C 的对边，类比上述定理，给出空间四面体性质的猜想．
解析：如图，S 1，S 2，S 3，S 分别表示△PAB ，△PBC ，△PCA ，△ABC 的面积，α、
β、γ依次表示平面PAB 与平面PBC ，平面PBC 与平面PCA ，平面PCA 与平面ABP
之间所成二面角的大小．故猜想余弦定理类比推理到三维空间的表现形式为：S 2
＝S 2
1＋S 2
2＋S 2
3－2S 1S 2cos α－2S 2S 3cos β－2S 3S 1cos γ.
10.如图所示，在△ABC 中，射影定理可表示为a ＝b ·cos C ＋c ·cos B ，其中a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边，类比上述定理，写出对空间四面体性质的猜想．
解析：如图所示，在四面体P ­ABC 中，设S 1，S 2，S 3，S 分别表示△PAB ，△PBC ，△PCA ，△ABC 的面积，α，β，γ依次表示面PAB ，面PBC ，面PCA 与底面ABC 所成二面角的大小．
我们猜想射影定理类比推理到三维空间，其表现形式应为：S ＝S 1·cos α＋S 2·cos β＋
S 3·cos γ.
[B 组 能力提升]
1．三角形的面积为S ＝1
2(a ＋b ＋c )r ，a 、b 、c 为三角形的边长，r 为三角形内切圆的半径，
利用类比推理可以得出四面体的体积为( ) A ．V ＝13abc
B ．V ＝13
Sh
C ．V ＝1
3(S 1＋S 2＋S 3＋S 4)r (S 1、S 2、S 3、S 4为四个面的面积，r 为内切球的半径)
D ．V ＝1
3
(ab ＋bc ＋ac )h (h 为四面体的高)
解析：设△ABC 的内心为O ，连接OA 、OB 、OC ，将△ABC 分割为三个小三角形，这三个小三角形的高都是r ，底边长分别为a 、b 、c ；类比：设四面体A ­BCD 的内切球的球心为O ，连接OA 、
OB 、OC 、OD ，将四面体分割为四个以O 为顶点，以原来面为底面的四面体，高都为r ，所以有
V ＝13
(S 1＋S 2＋S 3＋S 4)r .
答案：C
2．把下面在平面内成立的结论类比地推广到空间，结论仍然正确的是( ) A ．如果一条直线与两条平行线中的一条相交，则也与另一条相交 B ．如果一条直线与两条平行线中的一条垂直，则也与另一条垂直 C ．如果两条直线同时与第三条直线相交，则这两条直线相交或平行 D ．如果两条直线同时与第三条直线垂直，则这两条直线平行 解析：推广到空间以后，对于A 、C 、D 均有可能异面，故选B. 答案：B
3．已知数列{a n }为等差数列，若a m ＝a ，a n ＝b (n －m ≥1，m ，n ∈N ＋)，则a m ＋n ＝
nb －ma
n －m
.类比等差数列{a n }的上述结论，对于等比数列{b n }(b n >0，n ∈N ＋)，若b m ＝c ，b n ＝d (n －m ≥2，m ，n ∈N ＋)，则可以得到b m ＋n ＝________.
解析：设数列{a n }的公差为d ，数列{b n }的公比为q . 因为a n ＝a 1＋(n －1)d ，b n ＝b 1q
n －1
，a m ＋n ＝
nb －ma
n －m
， 所以类比得b m ＋n ＝n －m d n
c m .
答案：n －m d n
c m
4．已知x ∈R 且f (x ＋1)＝－f (x )，则f (x ＋2)＝－f (x ＋1)＝－[－f (x )]＝f (x )，得f (x )的一个周期为2，类比上述结论，请写出下列两个函数的一个周期．
(1)已知a 为正的常数，x ∈R 且f (x ＋a )＝－f (x )，则f (x )的一个周期为________； (2)已知a 为正的常数，x ∈R 且f (x ＋a )＝f (x )－1
f (x )＋1
，则f (x )的一个周期为________．
解析：(1)∵f (x ＋a )＝－f (x )， ∴f (x ＋2a )＝f (x ＋a ＋a )＝－f (x ＋a ) ＝－[－f (x )]＝f (x )． ∴f (x )的一个周期为2a . (2)∵f (x ＋a )＝
f (x )－1
f (x )＋1
，
∴f (x ＋2a )＝f (x ＋a )－1f (x ＋a )＋1＝f (x )－1
f (x )＋1－1
f (x )－1f (x )＋1
＋1
＝－1
f (x )
.
∴f(x＋4a)＝－
1
f(x＋2a)
＝－
1
－
1
f(x)
＝f(x)．
∴f(x)的周期为4a.
答案：(1)2a(2)4a
5.如图所示为m行m＋1列的士兵方阵(m∈N＋，m≥2)．
(1)写出一个数列，用它表示当m分别是2,3,4,5，…时，方阵中士兵的
人数；
(2)若把(1)中的数列记为{a n}，归纳该数列的通项公式；
(3)求a10，并说明a10表示的实际意义；
(4)已知a n＝9 900，问a n是数列的第几项？
解析：(1)当m＝2时，表示一个2行3列的士兵方阵，共有6人，依次可以得到当m＝3、4、5，…时的士兵人数分别为12,20,30，….故所求数列为6,12,20,30，….
(2)因为a1＝2×3，a2＝3×4，a3＝4×5，…，
所以猜想a n＝(n＋1)(n＋2)，n∈N＋.
(3)a10＝11×12＝132.a10表示有11行12列的士兵方阵的人数为132.
(4)令(n＋1)(n＋2)＝9 900，所以n＝98，即a n是数列的第98项，此时方阵有99行100列．6.如图，点P为斜三棱柱ABC­A1B1C1的侧棱BB1上一点，PM⊥BB1交AA1于点M，
PN⊥BB1交CC1于点N.
(1)求证：CC1⊥MN；
(2)在任意△DEF中有余弦定理：
DE2＝DF2＋EF2－2DF·EF·cos∠DFE.
拓展到空间，类比三角形的余弦定理，写出斜三棱柱的三个侧面面积与其中两个侧面所成的二面角之间的关系式，并予以证明．
解析：(1)证明：∵PM⊥BB1，PN⊥BB1，
又PM∩PN＝P，
∴BB1⊥平面PMN，∴BB1⊥MN.
又CC1∥BB1，∴CC1⊥MN.
(2)在斜三棱柱ABC­A1B1C1中，有
S2ABB1A1＝S2BCC1B1＋S2ACC1A1－2S BCC1B1S ACC1A1cos α.
其中α为平面CC1B1B与平面CC1A1A所成的二面角．
∵CC1⊥平面PMN，
∴上述的二面角的平面角为∠MNP.
在△PMN中，
∵PM2＝PN2＋MN2－2PN·MN cos∠MNP
∴PM2·CC21＝PN2·CC21＋MN2·CC21－2(PN·CC1)·(MN·CC1)cos∠MNP，由于S BCC1B1＝PN·CC1，S ACC1A1＝MN·CC1，
S ABB1A1＝PM·BB1＝PM·CC1，
∴S2ABB1A1＝S2BCC1B1＋S2ACC1A1－2S BCC1B1·S ACC1A1·cos α.。