简阳市2016-2017学年高一下期末考试数学试题(文)含解析

2016—2017学年度第二学期期末教学质量检测试题
高一年级（下）数学（文）
一、选择题：本大题共12小题，每题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的。

1. 如果a<b<0，那么下列不等式成立的是( )
A. <
B. ab<b2
C. －ab<－a2
D. －<－
【答案】D
【解析】试题分析：特殊值法：取，代入得，排除A；
，排除B；，可排除C；故选项为D.
考点：不等式的证明.
2. 已知为等比数列，且则的值为（）
A. B. - C. D.
【答案】A
【解析】为等比数列，且,有.
所以.
故选A.
3. 若，满足，则的最大值为（）
A. 0
B. 3
C. 4
D. 5
【答案】C
【解析】试题分析：由图可得在处取得最大值，由最大值，故选C.
考点：线性规划.
【方法点晴】本题考查线性规划问题，灵活性较强，属于较难题型.考生应注总结解决线性规划问题的一般步骤（1）在直角坐标系中画出对应的平面区域，即可行域；（2）将目标函数变形为；（3）作平行线：将直线平移，使直线与可行域有交点，且观察在可行域中使最大（或最小）时所经过的点，求出该点的坐标；（4）求出最优解：将（3）中求出的坐标代入目标函数，从而求出的最大（小）值.
4. 设α，β为锐角，且sin α＝，cos β＝，则α＋β的值为( )
A. π
B. π
C.
D.
【答案】C
【解析】α，β为锐角,，.
.
.
所以.故选C.
5. 已知正四面体ABCD中，E是AB的中点，则异面直线CE与BD所成角的余弦值为( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】试题分析：如图，取中点，连接，因为是中点，则，
或其补角就是异面直线所成的角，设正四面体棱长为1，则，，
．故选B．
考点：异面直线所成的角．
【名师点睛】求异面直线所成的角的关键是通过平移使其变为相交直线所成角，但平移哪一条直线、平移到什么位置，则依赖于特殊的点的选取，选取特殊点时要尽可能地使它与题设的所有相减条件和解题目标紧密地联系起．如已知直线上的某一点，特别是线段的中点，几何体的特殊线段．
6. 已知cos α＝，α∈()，则cos等于( )
A. B. － C. D. －
【答案】B
【解析】cos α＝, 2
解得cos.
因为α∈()，所以,.
故选B.
7. 设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中正确的是( )
A. 若α⊥β，m⊂α，n⊂β，则m⊥n
B. 若α∥β，m⊂α，n⊂β，，则m∥n
C. 若m⊥n，m⊂α，n⊂β，则α⊥β
D. 若m⊥α，m∥n，n∥β，则α⊥β
【答案】D
.....................
解：选项A，若α⊥β，m⊂α，n⊂β，则可能m⊥n，m∥n，或m，n异面，故A错误；选项B，若α∥β，m⊂α，n⊂β，则m∥n，或m，n异面，故B错误；
选项C，若m⊥n，m⊂α，n⊂β，则α与β可能相交，也可能平行，故C错误；
选项D，若m⊥α，m∥n，则n⊥α，再由n∥β可得α⊥β，故D正确．
故选D．
考点：空间中直线与平面之间的位置关系；命题的真假判断与应用；平面与平面之间的位置关系．
8. 两直线和分别过定点，则等于( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】直线过定点满足，解得.
∴直线3a-y-2=0过定点A（0，-2）．
将直线整理为，满足
，解得.
∴直线过定点B（-1，）.
所以.
故选C.
点睛：直线含参求过定点的问题一般是将参数全部提出，让参数的系数为0，其余项也为0，列方程即可求解定点.
9. 三棱锥P－ABC三条侧棱两两垂直，三个侧面面积分别为、、，则该三棱锥的外接球的表面积为( )
A. 4π
B. 6π
C. 8π
D. 10π
【答案】B
【解析】三棱锥P−ABC的三条侧棱PA、PB、PC两两互相垂直，
它的外接球就是它扩展为长方体的外接球，
设，
则，
解得,.
则长方体的对角线的长为.
所以球的直径是6‾√,半径长R=，
则球的表面积S=4πR2=6π
故选B.
点睛：空间几何体与球接、切问题的求解方法
(1)求解球与棱柱、棱锥的接、切问题时，一般过球心及接、切点作截面，把空间问题转化为平面图形与圆的接、切问题，再利用平面几何知识寻找几何中元素间的关系求解．(2)若球面上四点构成的三条线段两两互相垂直，且
，一般把有关元素“补形”成为一个球内接长方体，利用
求解．
10. 把边长为1的正方形ABCD沿对角线BD折起，使得平面ABD⊥平面CBD，形成三棱锥C－ABD的正视图与俯视图如图所示，则侧视图的面积为( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】试题分析：：∵C在平面ABD上的射影为BD的中点O，在边长为1的正方形ABCD中，
所以：左视图的面积等于
考点：三视图
11. 已知数列{a n}满足：a1＝1，(n∈N*)，则数列{a n}的通项公式为( )
A. B. C. D. 已知数列
【答案】A
【解析】，所以是以为首项，1为公差的等差数列.
,所以a n=.
故选A.
点睛：已知数列的递推关系求通项一般有两个方法：构造新数列和归纳猜想.
一般用构造即为通过构造新的等差或等比数列求数列的通项公式；
归纳猜想适用于数列递推关系较为复杂不宜构造时，通过罗列数列的有限项观察规律. 12. 设，y∈R，a>1，b>1，若a＝b y＝3，a＋b＝2，则的最大值为( )
A. 2
B.
C. 1
D.
【答案】C
【解析】试题分析：∵a＝b y＝3，
∴，
∴
当且仅当a=b时取等号
考点：基本不等式在最值问题中的应用
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案直接填在题中横线上。

13. 已知不等式2－2＋2－1>0对一切实数恒成立，则实数的取值范围为______________．【答案】(－∞，－)∪(，＋∞)
【解析】∵不等式2－2＋2－1>0对一切实数恒成立，
∴△=(−2)2−4(2−1)<0，
解得2>2，
实数的取值范围为(－∞，－)∪(，＋∞).
14. 在△ABC中，A＝60°，是方程的两个实根，则边BC长为___________。

【答案】
【解析】∵a和b是方程的两根，
∴=3，且=2，从而得到b2+c2=(b+c)2−2bc=5
∵△ABC中，已知A＝60°，
∴BC2=b2+c2−2bc cos A=5−2×2×()=3，
可得
15. 如图，在三棱柱A1B1C1－ABC中，D，E，F分别是AB，AC，AA1的中点，设三棱锥F－ADE的体积为V1，三棱柱A1B1C1－ABC的体积为V2，则V1∶V2＝________.
【答案】1∶24
【解析】试题分析：因为D，E，分别是AB，AC的中点，所以S△ADE：S△ABC=1：4，又F是AA1的中点，所以A1到底面的距离H为F到底面距离h的2倍．
即三棱柱A1B1C1-ABC的高是三棱锥F-ADE高的2倍．
所以V1：V2=S△ADE•h/S△ABC•H＝=1：24
考点：棱柱、棱锥、棱台的体积
16. 设数列{a n}，若a n＋1＝a n＋a n＋2(n∈N*)，则称数列{a n}为“凸数列”，已知数列{b n}为“凸数列”，且b1＝2，b2＝－1，则________．
【答案】2
＝a n＋a n＋2
【解析】a
a
＝a n+1＋a n＋3
n＋2
=-a n，a n＋6=- a n＋3= a n.
+得：a
所以数列{a n}是周期为6的数列，即数列{b n}是周期为6的数列，
所以.
点睛：已知数列的递推关系求通项一般有两个方法：构造新数列和归纳猜想.
一般用构造即为通过构造新的等差或等比数列求数列的通项公式；
归纳猜想适用于数列递推关系较为复杂不宜构造时，通过罗列数列的有限项观察规律.本题亦可通过归纳得到周期为6.
三、解答题：本大题共6个小题，共70分。

解答要写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17. （1）已知点A(－1，－2)和B(－3,6)，直线经过点P(1，－5)．且与直线AB平行，求
直线的方程
(2)求垂直于直线，且与点的距离是的直线的方程。

【答案】（1）；（2）.
【解析】试题分析：（1）根据平行关系得直线斜率，金额由点斜式写方程即可；（2）由垂直得斜率，设直线m的方程为，利用点到直线距离列方程求解即可.
试题解析：
（1）直线又过点P(1，－5)，则直线的方程为：
（2）由已知条件可得，则设直线m的方程为，
又与点的距离是，则，得到，
.
18. 已知函数
（1）求的最小正周期和最值
（2）设是第一象限角，且求的值。

【答案】（1）的最小正周期是，最大值为，最小值为；（2）.
试题解析：
(1)
的最小正周期是，最大值为，最小值为
（2）
则
则
即
又为第一象限的角
则
.
19. 如图，梯形中，且，沿
将梯形折起，使得平面⊥平面.
(1)证明：；
(2)求三棱锥的体积；
（3）求直线。

【答案】（1）见解析；（2）；（3）.
【解析】试题分析：（1）取BF中点为M，AC与BD交点为O，连结MO，ME，由已知结合三角形中位线定理可得四边形OCEM为平行四边形，然后利用线面平行的判定得答案；
（2）由线面垂直的性质定理可得BC⊥平面DEF，然后把三棱锥D-BEF的体积转化为三棱锥B-DEF的体积求解．
（3）分析条件得，连结,，由求解即可.
试题解析：
(1)证明如图，取BF的中点，设与交点为，连接.
由题设知，，
∴，故四边形为平行四边形，
即.
又,，
∴.
(2)解∵平面⊥平面，平面∩平面＝，⊥，
∴⊥平面.
∴三棱锥的体积为
.
（3）∵平面⊥平面，平面∩平面＝，又
又,
又在正方形中
连结,
20. 在对应的边分别为,且
,
(1)求角A,
（2）若，且BC边上的中线AM长为，求的面积。

【答案】（1）；（2）.
【解析】试题分析：（1）已知等式利用正弦定理化简，利用两角和与差的正弦函数公式及二倍角的正弦函数公式化简，再利用诱导公式化简求出sinA的值，即可确定出A的度数；
（2）由a=b，得到A=B，求出C的度数，在三角形AMC中，由AM的长与cosC的值，求出AC的长，利用三角形面积公式求出三角形ABC面积即可．
试题解析：
（1），,
即
又，，.
（2）由及（1），知
在中，由余弦定理
得，解得.
21. 某企业开发一种新产品，现准备投入适当的广告费，对产品进行促销，在一年内，预计年销量Q（万件）与广告费(万件)之间的函数关系为，已知生产此产品的年固定投入为3万元，每年产1万件此产品仍需要投入32万元，若年销售额为
，而当年产销量相等。

（1）试将年利润P（万件）表示为年广告费(万元)的函数；
（2）当年广告费投入多少万元时，企业年利润最大？
【答案】（1）；（2）当年广告费投入8万元时，企业年利润最大，最大值为41.5万元.
【解析】试题分析：（1）根据生产此产品的年固定投入为3万元，每生产1万件此产品仍需后期再投入32万元，若每件售价为“年平均每件投入的150%”与“年平均每件所占广告费的50%”之和，可建立函数关系式；
（2）借助于基本不等式，即可求得最值．
试题解析：
（1）
.
（2），
当且仅当时，即时，P有最大值41.5万元。

答：当年广告费投入8万元时，企业年利润最大，最大值为41.5万元.
22. 设数列的前项和为，且成等差数列。

（1）求
（2）证明为等比数列，并求数列的通项；
（3）设，且，证明。

【答案】（1）；（2）；（3）见解析.
【解析】试题分析：（1）令，即可求解；
（2）当时，由，得到，则
即可证得；
（3）由，利用裂项相消求和即可.
试题解析：
（1）在中
令，得即，①
令，得即，②
又，③
则由①②③解得.
（2）当时，由，得到
则.
由（1）得，则
是以为首项，为公比的等比数列，
，即.
（3），则
则
点睛：这类型题使用的公式是，一般条件是
，若是消，就需当时构造
，两式相减，再变形求解；
若是消，就需在原式将变形为：，再利用递推求解通项公式.。