湖北省武汉市江夏区山坡中学高三数学复习系列《知能提升训练》1

一、选择题
1．(2011·北京高考)已知全集U＝R，集合P＝{x|x2≤1}，那么∁U P()
A．(－∞，－1)B．(1，＋∞)
C．(－1,1) D．(－∞，－1)∪(1，＋∞)
【解析】∵x2≤1⇔－1≤x≤1，
∴∁U P＝(－∞，－1)∪(1，＋∞)．
【答案】 D
2．(2011·合肥模拟)a>1是不等式x2－2x＋a>0恒成立的()
A．充要条件B．必要不充分条件
C．充分不必要条件D．既不充分也不必要条件
【解析】当a>1时，Δ＝(－2)2－4a＝4(1－a)<0，不等式x2－2x＋a>0恒成立；反过来，当不等式x2－2x＋a>0恒成立时，有Δ＝(－2)2－4a＝4(1－a)<0，a>1.因此a>1是不等式x2－2x＋a>0恒成立的充要条件，选A.
【答案】 A
3．定义差集A－B＝{x|x∈A，且x∉B}，现有三个集合A、B、C分别用圆表示，则集合C－(A－B)可表示下列图中阴影部分的为()
【解析】如图，A－B表示图中阴影部分，因此C－(A－B)所含元素属于C，但不属于图中阴影部分．故选A.
【答案】 A
4．(2011·西安模拟)命题“对任意的x∈R，x3－x2＋1≤0”的否定是() A．不存在x∈R，x3－x2＋1≤0
B．存在x∈R，x3－x2＋1≤0
C．存在x∈R，x3－x2＋1>0
D．对任意的x∈R，x3－x2＋1>0
【解析】全称命题的否定为特称命题，故选C. 【答案】 C
5．下列命题：
①∀x∈R，不等式x2＋2x>4x－3成立；
②若log2x＋log x2≥2，则x>1；
③命题“若a>b>0且c<0，则c
a>
c
b”的逆否命题；
④若命题p：∀x∈R，x2＋1≥1，命题q：∃x∈R，x2－2x－1≤0，则命题p ∧綈q是真命题．
其中真命题只有()
A．①②③B．①②④
C．①③④D．②③④
【解析】①中x2－2x＋3＝(x－1)2＋2≥2>0，故①为真命题．
②中式子可变形为log2x＋
1
log2x≥2，这里要求log2x>0，即x>1.
③中，由a>b>0，得1
b>
1
a>0，又因c<0，所以有
c
b<
c
a，故③为真命题．
④中“∀x∈R，x2＋1≥1”是真命题，命题q也是真命题，因为x2－2x－1≤0有解，所以綈q是假命题，从而p∧綈q是假命题．故选A.
【答案】 A
二、填空题
6．(2011·江苏高考)已知集合A＝{－1,1,2,4}，B＝{－1，0,2}，则A∩B＝
__________.
【解析】A∩B＝{－1,1,2,4}∩{－1,0,2}＝{－1,2}．
【答案】{－1,2}
7．已知集合A＝{x|－2<x<－1或x>1}，集合B满足A∪B＝{x|x>－2}，且A∩B ＝{x|1<x≤5}，则集合B＝__________.
【解析】借助数轴知B＝{x|－1≤x≤5}．【答案】{x|－1≤x≤5}
8．设集合A ＝{x |－2－a <x <a ，a >0}，命题p ：1∈A ，命题q ：2∈A .若p ∨q 为真命题，p ∧q 为假命题，则a 的取值范围是__________．
【解析】 由命题p ：1∈A ，得⎩⎨⎧ －2－a <1，a >1.
解得a >1. 由命题q ：2∈A ，得⎩⎨⎧ －2－a <2，a >2.
解得a >2. 又∵p ∨q 为真命题，p ∧q 为假命题，即p 真q 假或p 假q 真，
当p 真q 假时，⎩⎨⎧ a >1，a ≤2，
即1<a ≤2，当p 假q 真时，⎩
⎨⎧ a ≤1，a >2，无解． 故所求a 的取值范围为(1,2]．
【答案】 (1,2]
三、解答题
9．已知p ：x 2－8x －20≤0，q ：x 2－2x ＋1－m 2≤0(m >0)，且綈p 是綈q 的必要不充分条件，求实数m 的取值范围．
【解】 由x 2－8x －20≤0，得－2≤x ≤10，由x 2－2x ＋1－m 2≤0(m >0)， 得1－m ≤x ≤1＋m .
∵綈p 是綈q 的必要不充分条件，
∴q 是p 的必要不充分条件，即p 是q 的充分不必要条件．
即p ⇒q 但qD ⇒/p ，
∴{x |－2≤x ≤10}是{x |1－m ≤x ≤1＋m }的真子集，
∴⎩⎨⎧
1－m ≤－2，1＋m ≥10，
解得m ≥9. ∴实数m 的取值范围为{m |m ≥9}．
10．已知集合A ＝{x |x 2－6x ＋8＜0}，B ＝{x |(x －a )(x －3a )＜0}．
(1)若A ⊆B ，求a 的取值范围；
(2)若A ∩B ＝{x |3＜x ＜4}，求a 的值．
【解】 A ＝{x |2＜x ＜4}，
(1)a ＞0时，B ＝{x |a ＜x ＜3a }，∵A ⊆B ，
∴应满足⎩⎨⎧
a ≤23a ≥4
⇒43≤a ≤2. a ＜0时，B ＝{x |3a ＜x ＜a }，显然A B .
a ＝0时，B ＝∅，显然不符合条件．
∴43≤a ≤2时，A ⊆B .
(2)要满足A ∩B ＝{x |3＜x ＜4}，显然a ＞0，a ＝3时成立． ∵此时B ＝{x |3＜x ＜9}，而A ∩B ＝{x |3＜x ＜4}， 故所求的a 值为3.。