高考数学一轮复习 阶段检测试题(四)-人教版高三全册数学试题

阶段检测试题(四)
(时间:120分钟满分:150分)
【选题明细表】
知识点、方法题号
空间几何体结构特征1,16
三视图与直观图7,8,13
几何体的表面积与体积3,4,7,8,13,14,19,20
空间点、线、面关系2,5
空间中的平行关系9,12,17,18,19
空间中的垂直关系12,15,17,18,20
空间直角坐标系 4
综合问题6,8,10,11,16,19,20,21,22
一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分)
1.如图,将装有水的长方体水槽固定底面一边后倾斜一个小角度,则倾斜后水槽中的水形成的几何体是( A )
(A)棱柱 (B)棱台
(C)棱柱与棱锥的组合体(D)不能确定
解析:不妨固定底面左边后倾斜,所以前后两个面可看作棱柱的底面,该几何体是棱柱.
2.以下四个命题中,正确命题的个数是( B )
①不共面的四点中,其中任意三点不共线;
②若点A,B,C,D共面,点A,B,C,E共面,则A,B,C,D,E共面;
③若直线a,b共面,直线a,c共面,则直线b,c共面;
④依次首尾相接的四条线段必共面.
(A)0 (B)1 (C)2 (D)3
解析:①中,假设存在三点共线,则这四点必共面,与题设矛盾,故①
正确;
②中,若A,B,C三点共线,则A,B,C,D, E有可能不共面,故②错误;
③中,如图所示正方体的棱中,a,b共面,a,c共面,而b,c异面,故③
错误;
④中,空间四边形的四条线段不共面,故④错误.故选B.
3.一个平行于圆锥底面的平面将圆锥母线分成相等的两段,那么圆锥被分成的两部分侧面积之比为( C )
(A)1∶1 (B)1∶2 (C)1∶3 (D)1∶4
解析:母线被分成相等的两段,底面半径之比为1∶2,所以小圆锥的侧面积为大圆锥侧面积
的,故所求比值为1∶3.
4.(2015某某省适应性考试)一个四面体的顶点在空间直角坐标系O xyz中的坐标分别是(0,0,0),(0,1,1),(1,0,1),(1,1,0),该四面体的体积为( A )
(A)(B)(C)1 (D)2
解析:由已知四面体任意两顶点的距离即棱长a=,故其底面积S=×()2=,高h=,
所以体积V=Sh=××=.
5.(2016某某日照校级联检)设α,β,γ为平面,m,n为直线,则m⊥β的一个充分条件是
( D )
(A)α⊥β,α∩β=n,m⊥n
(B)α∩γ=m,α⊥γ,β⊥γ
(C)α⊥β,β⊥γ,m⊥α
(D)m⊥α,n⊥α,n⊥β
解析:A,B,C中条件均得不出m⊥β.对于选项D,因为n⊥α,m⊥α,所以m∥n,又因为n⊥β,所以m⊥β.
6.(2015某某某某4月模拟)设a,b,c表示三条直线,α,β表示两个平面,则下列命题中逆命题不成立的是( C )
(A)c⊥α,若c⊥β,则α∥β
(B)bα,c⊈α,若c∥α,则b∥c
(C)bβ,若b⊥α,则β⊥α
(D)a,bα,a∩b=P,c⊥a,c⊥b,若α⊥β,则cβ
解析:A的逆命题为c⊥α,若α∥β,则c⊥β,成立,B的逆命题为bα,c⊈α,若b∥c,则c ∥α,成立,C的逆命题为bβ,若β⊥α,则b⊥α,不成立.D的逆命题为a,bα,a∩b=P,c ⊥a,c⊥b,若cβ,则α⊥β,成立.
7.(2015某某某某二中月考)如图所示是一个几何体的三视图,则该几何体的体积为( A )
(A)2π+8 (B)8π+8
(C)4π+8 (D)6π+8
解析:由三视图可知该几何体上面为两个半圆柱,下面为一个长方体,所以其体积为π
×12×2+2×4×1=2π+8.
8.(2015某某、某某、某某三省一模)某几何体的三视图如图所示,若其主视图为等腰梯形,左视图为正三角形,则该几何体的表面积为( B )
(A)2+2 (B)6 (C)4+2 (D)8
解析:根据几何体的三视图,得该几何体是三棱柱,两端各去掉一个全等的三棱锥,如图所示. 底面ABCD是矩形,AB=2,AD=1,
EF平行于底面,且EF=1,DE=AE==,
过点E作EM⊥AB,垂足为M,则AM=,
所以EM=1,
所以S梯形ABFE=×(1+2)×1==S梯形CDEF,
S△ADE=S△BCF=×1×=×1×1=,
S矩形ABCD=2×1=2,
所以该几何体表面积S表面积=2+2×+2×=6.
9.(2015某某某某二模)在正方体ABCD A1B1C1D1中,M是棱A1B1的中点,点P是侧面CDD1C1上的动点,且MP∥截面AB1C,则线段MP扫过的图形是( B )
(A)中心角为30°扇形
(B)直角三角形
(C)钝角三角形
(D)锐角三角形
解析:
取CD的中点N,CC1的中点R,B1C1的中点H,连接MN,NR,MH,RH,MR,则MN∥B1C∥HR,MH∥AC,故平面MNRH∥平面AB1C,MP平面MNRH,线段MP扫过的图形是△MNR,设AB=2,则
MN=2,NR=,MR=,所以MN2=NR2+MR2,所以△MNR是直角三角形.
10.(2015某某某某中学四调)已知直三棱柱ABC A1B1C1的各顶点都在球O的球面上,且
AB=AC=1,BC=,若球O的体积为π,则这个直三棱柱的体积等于( B )
(A)(B)(C)2 (D)
解析:由球的体积公式得球的半径R=,由AB=AC=1,BC=得△ABC是顶角是120°的等腰三角形,其外接圆半径r=1,所以球心到三棱柱底面的距离为2,所以此三棱柱的体积为
×1×1×sin 120°×4=.
11.(2015某某某某中学五调)将一X边长为6 cm的正方形纸片按如图(1)所示阴影部分裁去四个全等的等腰三角形,将余下部分沿虚线折叠并拼成一个有底的正四棱锥模型,如图(2)放置,若正四棱锥的主视图是正三角形(如图(3)),则正四棱锥的体积是( A )
(A) cm3(B) cm3
(C) cm3(D) cm3
解析:因为题图(1)中的虚线长为题图(2)正四棱锥的底面边长,设
为x,
又正四棱锥的主视图是正三角形,
所以正四棱锥的斜高也为x,
由题图(1)得x+=3,解得x=2,即正四棱锥的底面边长为2,
所以四棱锥的高为,
所以四棱锥的体积V=×8×=.
12.(2015某某、某某、某某三省一模)在多面体ABCDE中,AB⊥平面ACD,DE⊥平面ACD,AC=AD=CD=DE=2AB,F为棱CE上异于点C,E的动点,则下列说法正确的有( C )
①直线DE与平面ABF平行;
②当F为CE的中点时,BF⊥平面CDE;
③存在点F使得直线BF与AC平行;
④存在点F使得DF⊥BC.
(A)1个(B)2个(C)3个(D)4个
解析:
①因为AB⊥平面ACD,DE⊥平面ACD,
所以DE∥AB,而DE⊈平面ABF,AB平面ABF,
所以直线DE与平面ABF平行,正确;
②当F为CE的中点时,取CD的中点M,连接AM,MF,
则MF DE,
又AB DE,
所以AB MF,
所以四边形ABFM是平行四边形,BF∥AM.
而AM⊥CD,DE⊥AM,CD∩DE=D,
所以AM⊥平面CDE.
所以BF⊥平面CDE,正确;
③点C是平面ABF外的一点,因此BF与AC为异面直线,不可能平行,不正确;
④由②可得BF⊥DF,当F为CE的中点时,DF⊥CE,BF∩CE=F,
所以DF⊥平面BCE,
所以存在点F使得DF⊥BC,正确;
综上可得①②④正确.
二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)
13.(2015某某某某一中等七校联考)一个几何体的三视图(单位:cm)如图所示,则该几何体的体积是cm3.
解析:由三视图可得几何体为下方是以4为边长的正方体,上方为底面为正方形高为3的四棱
锥,所以其体积为43+×4×4×3=80(cm3).
答案:80
14.(2015某某某某市一模)若正四棱锥P ABCD的底面边长及高均为2,则此四棱锥内切球的表面积为.
解析:根据题意得正四棱锥的底面面积为4,一个侧面面积为,设球的半径为R,则由等体积法得,(4+4)R=×4×2⇒R=,
所以球的表面积为2(3-)π.
答案:2(3-)π
15.如图所示,在四棱锥P ABCD中,PA⊥底面ABCD,且底面各边都相等,M是PC上的一个动点,当点M满足时,平面MBD⊥平面PCD.(只要填写一个你认为正确的条件即可)
解析:由定理可知,BD⊥PC.
所以当DM⊥PC(或BM⊥PC)时,即有PC⊥平面BMD,
又PC平面PCD,
所以平面MBD⊥平面PCD.
答案:DM⊥PC(或BM⊥PC)
16.(2016某某某某二中月考)已知正三棱锥P ABC,点P,A,B,C都在半径为的球面上,若PA,PB,PC两两相互垂直,则球心到底面ABC的距离为.
解析:由已知可把正三棱锥补形成球内接正方体,因为球的直径为2,所以正方体的棱长为2,则PA=PB=PC=2,AB=BC=AC=2,S△ABC=
×(2)2=2,设P到截面ABC的距离为d,则有×2×d=
××2×2×2,解得d=.所以球心到截面ABC的距离为-=.
答案:
三、解答题(本大题共6小题,共70分)
17.(本小题满分10分)(2015某某某某一中等七校二联考)如图四边形ABCD是正方形,O是正方形的中心,PO⊥底面ABCD,E是PC的中点.
求证:(1)PA∥平面BDE;
(2)平面PAC⊥平面BDE.
证明:
(1)连接AC,OE,
AC∩BD=O,
在△PAC中,
因为E为PC中点,O为AC中点,
所以PA∥EO,
又因为EO平面BDE,PA⊈平面BDE,
所以PA∥平面BDE.
(2)因为PO⊥底面ABCD,
所以PO⊥BD.
又因为BD⊥AC,
所以BD⊥平面PAC.
又BD平面BDE,
所以平面PAC⊥平面BDE.
18.(本小题满分12分)
如图,已知四棱锥P ABCD的底面为等腰梯形,AB∥CD,AC⊥BD,垂足为H,PH是四棱锥的高.
(1)证明:平面PAC⊥平面PBD;
(2)若AB=,∠APB=∠ADB=60°,求四棱锥P ABCD的体积.
(1)证明:因为PH是四棱锥P ABCD的高,所以AC⊥PH,
又AC⊥BD,PH,BD都在平面PBD内,且PH∩BD=H,
所以AC⊥平面PBD.
又AC平面PAC,故平面PAC⊥平面PBD.
(2)解:因为ABCD为等腰梯形,AB∥CD,AC⊥BD,AB=,
所以HA=HB=.
因为∠APB=∠ADB=60°,
所以PA=PB=,HD=HC=1,
可得PH=,AC=BD=+1.
等腰梯形ABCD的面积为S=AC×BD=2+,
所以四棱锥的体积为V=×(2+)×=.
19.(本小题满分12分)
(2015某某省实验中学二模)正方形ADEF与梯形ABCD所在平面互相垂直,AD⊥CD,AB∥CD,AB=AD=CD=2,点M是EC中点.
(1)求证:BM∥平面ADEF;
(2)求三棱锥M BDE的体积.
(1)证明:
取ED的中点N,连接MN,AN.
又因为点M是EC中点,
所以MN∥DC,MN=DC.
而AB∥DC,AB=DC.
所以MN BA,
所以四边形ABMN是平行四边形.
所以BM∥AN.
而BM⊈平面ADEF,AN平面ADEF,
所以BM∥平面ADEF.
(2)解:因为M为EC的中点,
所以S△DEM=S△CDE=2,
因为AD⊥CD,AD⊥DE,且DE与CD相交于D,
所以AD⊥平面CDE.
因为AB∥CD,
所以三棱锥B DME的高为AD=2,
所以==S△DEM·AD=.
20.(本小题满分12分)(2015某某某某二模)如图,几何体EF ABCD中,四边形CDEF为边长为2的正方形,四边形ABCD为直角梯形,AB∥CD,AD⊥DC,AD=2,AB=4,∠ADF=90°.
(1)求证:AC⊥FB;
(2)求几何体EF ABCD的体积.
(1)证明:由题意得,AD⊥DC,AD⊥DF,且DC∩DF=D,
所以AD⊥平面CDEF,
所以AD⊥FC,
因为四边形CDEF为正方形.
所以DC⊥FC,
由DC∩AD=D,所以FC⊥平面ABCD,
所以FC⊥AC.
又因为四边形ABCD为直角梯形,AB∥CD,AD⊥DC,AD=2,AB=4,CD=2, 所以AC=2,BC=2,则有AC2+BC2=AB2,
所以AC⊥BC,
由BC∩FC=C,
所以AC⊥平面FCB,
所以AC⊥FB.
(2)解:连接EC,
因为=+
=S四边形ABCD·DE+S△EFC·AD
=.
所以几何体EF ABCD的体积为.
21.(本小题满分12分)
(2015某某某某4月模拟)如图,在四棱锥P ABCD中,底面ABCD为菱形,∠BAD=60°,Q为AD 的中点.
(1)若PA=PD,求证:平面PQB⊥平面PAD;
(2)若平面PAD⊥平面ABCD,PA=PD=AD=2,点M在线段PC上,且PM=2MC,求四棱锥P ABCD与三棱锥P QBM的体积之比.
(1)证明:因为PA=PD,Q为AD的中点,
所以PQ⊥AD,
又因为底面ABCD为菱形,∠BAD=60°,
可证得BQ⊥AD,
又PQ∩BQ=Q,
所以AD⊥平面PQB,
又AD平面PAD,
所以平面PQB⊥平面PAD.
(2)解:
过点M作MH∥BC交PB于点H.
因为平面PAD⊥平面ABCD,平面PAD∩平面ABCD=AD,PQ⊥AD,
所以PQ⊥平面ABCD,
因为PA=PD=AD=2,所以PQ=BQ=,
所以=PQ·S菱形ABCD=××2×=2,
因为PQ⊥平面ABCD,且BC平面ABCD,
所以PQ⊥BC,
又因为BQ⊥AD,AD∥BC,
所以BQ⊥BC,
又因为QB∩QP=Q,
所以BC⊥平面PQB,
又因为MH∥BC,
所以MH⊥平面PQB,
又PM=2MC,
所以==,
因为BC=2,
所以MH=,
所以==××××=,
所以∶=3∶1.
22.(本小题满分12分)
如图,C,D是以AB为直径的圆上两点,AB=2AD=2,AC=BC,F是AB上一点,且AF=AB,将圆沿直径AB折起,使点C在平面ABD上的射影E在BD上,已知CE=.
(1)求证:AD⊥平面BCE;
(2)求证:AD∥平面CEF;
(3)求三棱锥A CFD的体积.
(1)证明:
依题AD⊥BD,
因为CE⊥平面ABD,
所以CE⊥AD,
因为BD∩CE=E,
所以AD⊥平面BCE.
(2)证明:Rt△BCE中,CE=,BC=,
所以BE=2,Rt△ABD中,AB=2,AD=,
所以BD=3.
所以==.
所以AD∥EF,
因为AD⊈平面CEF,EF平面CEF,
所以AD∥平面CEF.
(3)解:由(2)知AD∥EF,AD⊥ED,且ED=BD-BE=1, 所以F到AD的距离等于E到AD的距离为1.
所以S△FAD=××1=.
因为CE⊥平面ABD,
所以==×S△AFD×CE
=××
=.。