四川省广元市2012年中考数学试题

广元市2012年初中学业及高中阶段学校招生考试试卷
数 学 试 题
考试时间120分钟，满分120分
一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 下列4个数中，最大的数是
A. 1
B. -1
C. 0
D. 2
2. “若a 是实数，则a ≥0”这一事件是
A. 必然事件
B. 不可能事件
C. 不确定事件
D. 随机事件 3. 下面的四个图案中，既可以用旋转来分析整个图案的形成过程，又可以用轴对称来分析
整个图案的形成过程的图案有
A. 4个
B. 3个
C. 2个
D. 1个
4. 一辆汽车在公路上行驶，两次拐弯后，仍在原来的方向上平行行驶，那么两个拐弯的角
度可能为
A. 先向左转130°，再向左转50°
B. 先向左转50°，再向右转50°
C. 先向左转50°，再向右转40°
D. 先向左转50°，再向左转40° 5. 若二次函数22
2
-++=a bx ax y （a ，b 为常数）的图象如图，则a 的值为
A. 1
B. 2
C. 2-
D. -2
6. 若以A （-0.5，0），B （2，0），C （0，1）三点为顶点要画平行
四边形，则第四个顶点不可能在
A. 第一象限
B. 第二象限
C. 第三象限
D. 第四象限 7. 一组数据2，3，6，8，x ，其中x 又是不等式组⎩⎨
⎧<->-0
70
42x x 的整数解，则这组数据的
中位数可能是
A. 3
B. 4
C. 6
D. 3或6 8. 如图，A ，B 是⊙O 上两点，若四边形ACBO 是菱形，⊙O 的半径
为r ，则点A 与点B 之间的距离为 A.
r 2 B. r 3
C. r
D. r 2
9. 如图，点A 的坐标为（-1，0），点B 在直线x y =上运动，当
线段AB 最短时，点B 的坐标为 A.（0，0） B.（2
1
-
，21-）
C.（
22，22-） D.（22-，2
2
-） 10. 已知关于x 的方程2)()1(2
2
=-++b x x 有唯一实数解，且反比例函数x
b
y +=
1的图象在每个象限内y 随x 的增大而增大，那么反比例函数的关系式为 A. x y 3-= B. x y 1= C. x
y 2
= D. x y 2-=
二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 函数1
1
-=
x y 中，自变量x 的取值范围是__________ 12. 在同一平面上，⊙O 外一点P 到⊙O 上一点的距离最长为6cm ，最短为2cm ，则⊙O 的
半径为__________cm
13. 分解因式：2
2
3
27183mn n m m +-=____________________
14. 已知等腰三角形的一个内角为80°，则另两个角的度数是____________________ 15. 已知一次函数b kx y +=，其中k 从1，-2中随机取一个值，b 从-1，2，3中随机取一
个值，则该一次函数的图象经过一，二，三象限的概率为__________
三、解答题（共75分） 16.（本小题7分）
计算：01
)3(8)4
1(45cos 2-----︒-π
已知21
1
=-a ，请先化简，再求代数式的值：412)211(22-++÷+-
a a a a
18.（本小题7分）
如图，在△AEC 和△DFB 中，∠E=∠F ，点A ，B ，C ，D 在同一直线上，有如下三个关系式：①AE ∥DF ，②AB=CD ，③CE=BF 。

（1）请用其中两个关系式作为条件，另一个作为结论，写出你认为正确的所有命题（用
序号写出命题书写形式：“如果，，那么”）； （2）选择（1）中你写出的一个命题，说明它正确的理由。

19.（本小题8分）
如图，A ，B 两座城市相距100千米，现计划要在两座城市之间修筑一条高等级公路（即线段AB ）。

经测量，森林保护区中心P 点在A 城市的北偏东30°方向，B 城市的北偏西45°方向上。

已知森林保护区的范围在以P 为圆心，50千米为半径的圆形区域内，请问：计划修筑的这条高等级公路会不会穿越保护区？为什么？
某乡要在生活垃圾存放区建一个老年活动中心，这样必须把1200m3的生活垃圾运走。

（1）假如每天能运x m3，所需时间为y天，写出y与x之间的函数关系式；
（2）若每辆拖拉机一天能运12m3，则5辆这样的拖拉机要多少天才能运完？
（3）在（2）的情况下，运了8天后，剩下的任务要在不超过6天的时间完成，那么至少需要增加多少辆这样的拖拉机才能按时完成任务？
21.（本小题8分）
市教育局行政部门对某县八年级学生的学习情况进行质量监测，在抽样分析中把有一道四选一的单选题的答题结果绘制成了如下两个统计图。

请你根据图中信息，解决下列问题：
（1）一共随机抽样了多少名学生？
（2）请你把条形统计图补充完整；
（3）在扇形统计图中，该县八年级学生选C的所对应圆心角的度数是多少？
（4）假设正确答案是B，如果该县区有5000名八年级学生，请估计本次质量监测中答对此道题的学生大约有多少名？
某中心城市有一楼盘，开发商准备以每平方米7000元的价格出售。

由于国家出台了有关调控房地产的政策，开发商经过两次下调销售价格后，决定以每平方米5670元的价格销售。

（1）求平均每次下调的百分比；
（2）房产销售经理向开发商建议：先公布下调5%，再下调15%，这样更有吸引力。

请问房产销售经理的方案对购房者是否更优惠？为什么？
23.（本小题9分）
如图，AB是⊙O的直径，C是AB延长线上一点，CD与
⊙O相切于点E，AD⊥CD
（1）求证：AE平分∠DAC；
（2）若AB=3，∠ABE=60°，
①求AD的长；②求出图中阴影部分的面积。

如图，在矩形ABCO 中，AO=3，tan ∠ACB=
3
4
，以O 为坐标原点，OC 为x 轴，OA 为y 轴建立平面直角坐标系。

设D ，E 分别是线段AC ，OC 上的动点，它们同时出发，点D 以每秒3个单位的速度从点A 向点C 运动，点E 以每秒1个单位的速度从点C 向点O 运动，设运动时间为t 秒。

（1）求直线AC 的解析式；
（2）用含t 的代数式表示点D 的坐标； （3）当t 为何值时，△ODE 为直角三角形？
（4）在什么条件下，以Rt △ODE 的三个顶点能确定一
条对称轴平行于y 轴的抛物线？并请选择一种情况，求出所确定抛物线的解析式。

2012年四川广元中考数学试题参考答案
一、选择题：
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 选项 D
A
B
B
C
C
D
B
D
D
二、填空题：
11. 1≠x ； 12. 2 ； 13. 2
)3(3n m m - ； 14. 20°，80°或50°，50° ； 15. 1/3
三、解答题
16. 01
)3(8)4
1(45cos 2-----︒-π=32122)4(2
2
2+-=----⨯
17. ∵
211=-a ， ∴211=-a ，2
3=a ， 原式=
12
)1()2)(2(2122
+-=+-+⨯+-+a a a a a a a ，
当23=a 时，原式=5
12521)123()223(-=÷-=+÷-。

18. （1）命题1：如果①，②，那么③； 命题2：如果①，③，那么②。

（2）命题1的证明：
∵①AE ∥DF ， ∴∠A=∠D ，
∵②AB=CD ，∴AB+BC=CD+BC ，即AC=DB ， 在△AEC 和△DFB 中，
∵∠E=∠F ，∠A=∠D ，AC=DB ， ∴△AEC ≌△DFB （AAS ），
∴CE=BF ③（全等三角形对应边相等）； 命题2的证明：
∵①AE ∥DF ， ∴∠A =∠D ， ∵②AB=CD ，∴AB+BC=CD+BC ，即AC=DB ， 在△AEC 和△DFB 中，
∵∠E=∠F ，∠A=∠D ，③CE=BF ， ∴△AEC ≌△DFB （AAS ），
∴AC=DB （全等三角形对应边相等），则AC -BC=DB -BC ，即AB=CD ②。

注：命题“如果②，③，那么①”是假命题。

19. 解：作点P 到直线AB 的垂线段PE ，则线段PE 的长，就是点P 到直线AB 的距离，
根据题意，∠APE=∠PAC=30°，∠BPE=∠PBD=45°， 则在Rt △PAE 和Rt △PBE 中，
PE PE APE PE AE 3
3
30tan tan =
︒⋅=∠⋅=， BE=PE ， 而AE+BE=AB ， 即100)13
3
(
=+PE ， ∴PE=)33(50-， ∵PE>50，即保护区中心到公路的距离大于半径50千米，∴公路不会穿越保护区。

20. 解：（1）每天运量x m 3时，需时间x
y 1200
=
天； （2）5辆拖拉机每天能运5×12m 3=60 m 3，则y=1200÷60=20，即需要20天运完； （3）假设需要增加n 辆，根据题意：8×60+6×12（n +5）≥1200，n ≥5，
答：至少需要增加5辆。

21. 解：（1）15÷5%=300；
（2）由图知，选B 的学生有300人×60%=180人，
则选D 的学生有300人-（15人+180人+60人）=45人，补充条形统计图如图； （3）选C 所对应圆心角是20%×360°=72°； （4）5000人×60%=3000人， 答：共随机抽取了300名学生，C 所对
圆心角72°，答对此题的学生约有3000人。

22. 解：（1）设平均每次下调%p ，则有5670%)1(70002
=-p ，81.0%)1(2
=-p
∵1-p%>0， ∴1-p%=0.9， p%=0.1=10%，
答：平均每次下调10%；
（2）先下调5%，再下调15%，这样最后单价为7000元×(1-5%)×(1-15%）=5652.5元
∴ 销售经理的方案对购房者更优惠一些。

23.（1）证明：∵CD 切⊙O 于E ，∴∠3=∠4
∵AB 是直径，∴∠AEB=90°， 又∵AD ⊥CD ，∴∠D=90°，
∴∠1+∠3=90°=∠2+∠4， 而∠3=∠4，∴∠1=∠2，即AE 平分∠DAC ；
（2）①Rt △ABE 中，AE=AB •sin ∠4=3×sin60°=2
3
3233=⨯
， Rt △AED 中，AD=AE •sin ∠3=
2
3
3×sin60°=4923233=⨯； ②连结OE ，则有∠AOE=2∠4=120°，∴4
3π
=AOE S 扇形， Rt △ABE 中，∠2=90°-∠4=30°， 作EH ⊥AB 于点H ，则EH=AE •sin30°=
4
3
3， ∴16
27433232121=⨯⨯=⋅=
∆EH AO S AOE ， ∴16
27
-121627-43-ππ=
=
=∆AOE AOE S S S 扇形弓形。

24. 解：（1）根据题意，得CO=AB=4，则A （0，3），B （4，3），
∴直线AC ：34
3
+-
=x y ； （2）分别作DF ⊥AO ，DH ⊥CO ，垂足分别为F ，H ，
则有△ADF ∽△DCH ∽△ACO ，
∴AD ：DC ：AC=AF ：DH ：AO=FD ：HC ：OC ，
而AD=t 3（其中0≤t ≤
3
5），OC=AB=4，AC=5，∴FD=54AD=512t ，AF=53AD=5
9t ，
DH=5
93t
-
，HC=5124t -，
∴D （512t ，5
93t -）；
（3）CE=t ，E （t ，0），OE=OC -CE=4-t ，HE=|CH -CE|=5
174)5124(t
t t -=--
， 则OD 2=DH 2+OH 2=22)512()593(t t +-
=9554
92+-t t ， DE 2=DH 2+HE 2=22)5174()593(t t -+-=25385
742
+-t t ，
当△ODE 为Rt △时，有OD 2+DE 2=OE 2，或OD 2+OE 2=DE 2，或DE 2+OE 2=OD 2，
即222
)4()2538574
()95549(t t t t t -=+-++-
①， 或2538574)4()95549(222
+-=-++-t t t t t ②，
或95
549)4()2538574(222+-=-++-t t t t t ③，
上述三个方程在0≤t ≤3
5
内的所有实数解为
19151=t ，12=t ，03=t ，17
20
4=
t ； （4）当DO ⊥OE ，及DE ⊥OE 时，即03=t 和17
20
4=t 时，以Rt △ODE 的三个顶点不
确定对称轴平行于y 轴的抛物线，其它两种情况都可以各确定一条对称轴平行于
y 轴的抛物线D （
512t ，593t
-），E （4-t ，0） 当12=t 时，D （512，5
6
），E （3，0），因为抛物线过O （0，0），
所以设所求抛物线为bx ax y +=2
，将点D ，E 坐标代入，求得65-=a ，2
5
=b ， ∴所求抛物线为x x y 2
5
652+-= （当19151=
t 时，所求抛物线为x x y 30
61
30192+-=）。