2019北京中考数学

中考精选试卷
2019 年北京市高级中等学校招生考试数学试
卷一、选择题（此题共 32 分，每题 4 分）
1、(2019 北京中考， 1，4 分) 2 的相反数是
、、、1D、
1
A 2
B -2C
22
【答案】 B
2、(2019 北京中考， 2，4 分)据报导，某小区居民李先生改良用水设备，在十年内帮助他居住小区的居民累计节水300 000 吨，将 300 000用科学计数法表示应为
、 0.3 106B、3 105C、3 106D、30 104
A
【答案】 B
3、(2019 北京中考， 3，4 分)如图，有 6 张扑克牌，从中随机抽取一张，点数为偶数的概率是
A、1
B、
1
C、
1
D、
1 6432
【答案】 D
4、(2019 北京中考， 4，4 分)右图是几何体的三视图，该几何体是
A、圆锥
B、圆柱
C、正三棱柱
D、正三棱锥
【答案】 C
5、(2019 北京中考， 5，4 分)某篮球队 12 名队员的年纪以下表所示：年纪（岁）18192021
人数5412
则这 12 名队员年纪的众数和均匀数分别是
A、18,19
B、19,19
C、18,19.5
D、19,19.5
中考精选试卷【答案】 A
6、(2019 北京中考， 6，4 分)园林队在某公园进行绿化，中间歇息了一
段时间，已知绿化面积S（单位：平方米）与工作时间t （单位：小时）的函数关系的图象以下图，则歇息后园林队每小时的绿化面积为
A、40 平方米
B、50 平方米
C、80 平方米
D、100 平方米【答案】 B
7、(2019 北京中考， 7，4 分)如图，○O 的直径 AB⊥弦 CD垂足是 E，∠A=22.5°， OC=4，CD的长为
A、2 2
B、4
C、4 2
D、8
【答案】 C
8、(2019 北京中考，8，4 分)已知点A 为某关闭图形界限上必定点，动点 P 从点 A 出发，沿其界限顺时针匀速运动一周，设点 P 运动的时间为 x，线段 AP 的长为 y，表示 y 与 x 的函数关系大概如右图所示，则该关闭图形可能是
【答案】A
二、填空题（此题共16 分，每题 4 分）
9、(2019 北京中考，9，4分)分解因式：ax49ay 2____________________ _【答案】a( x23y)( x2 3 y)
10、(2019北京中考，10，4分)在某一时辰，测得一根高为 1.8m的竹竿的影长为 3m，同时测得一根旗杆的影长为 25 米，那么这根旗杆的
高度为 _____________m
中考精选试卷【答案】15
11、(2019北京中考，11，4分)如，在平面直角坐系xoy 中，正方形OABC的2,写出一个函数y k( k0) 使它的象与正方形
x
OABC有公共点，个函数的表达式__________________
【答案】y1，y k(0k 4)，（答案不独一）
x x
12、(2019北京中考，12，4分)在平面直角坐系xoy中，于点P
（x，y）我把点 P’(-y+1,x+1)叫做点 P 的陪伴点，已知点 A1的陪伴点 A2，点 A2的陪伴点 A3，点 A3的陪伴点 A4，挨次获得
A1，A2，A3，⋯⋯ A n⋯⋯，若点 A1的坐（ 3,1），点 A3的坐
___________,点 A2019的坐 ___________;若点 A1的坐（a,b），于随意的正整数 n，点 A n均在 x 上方， a，b 足的条件
___________。

【答案】（-3,1）（0,4），-1＜a＜1 且 a＜b＜2
三、解答（本共30 分，每小 5 分）
13、(2019 北京中考， 13，5 分)如，点 B 在段 AD 上， BC∥DE，
AB=ED，BC=DB，求：∠ A=∠E
【答案】证明：∵ DE∥ BC
∠ABC= ∠ BDE
在△ ABC与△ EDB中，
AB=DE
∠ ABC= ∠BDE
BC=BD
∴△ ABC≌△ EDB（SAS）
∴∠ A=∠ E
14、(2019 北京中考， 14，5 分)算：(6π)01-1- 3tan30 | - 3 |
（ -）
5
【答案】解：原式 =1+（-5）- 3 + 3 =-4
中考精选试卷
15、(2019 北京中考， 15，5 分)解不等式1
x 1 2 x
1
，并把它的解232
集在数轴上表示出来。

【答案】解： 3x-6≤4x-3
∴x≥-3
16、(2019 北京中考，16，5分 ) 已知x y3，求代数式( x 1) 22x y( y 2x) 的值
【答案】原式 = x22xy y 2 1 (x y)21
把 x-y= 3代入 y ，原式 =3+1=4
17 、(2019北京中考，17 ，5分)已知对于x的方程mx 2(m2) x20(m0)
（1）求证：方程总有两个实数根；
（2）若方程的两个根都是整数，求正整数 m 的值。

【答案】解法一、∵ m≠0，△ = m 224 2m m20
∴原方程有两个不等实数根
解法二、 mx2(m 2) x 20
即（ x-1）（mx-2）=0
∴ x12
1, x2
m
X1为整数，
一定x22
m
为整数即可
∴m=1 或 2
18、(2019 北京中考， 18，5 分)列方程或方程组解应用题。

小马自驾私人车从 A 地到 B 地，驾驶本来的燃油汽车所需邮费108元，驾驶新购置的纯电动汽车所需要电费27 元，已知每行驶 1 千米，本来的燃油汽车所需要的邮费比新购置的电动汽车所需要的电费多
0.54 元，求新购置的纯电动车每行驶 1 千米所需要的电费。

【答案】解：设新购置的纯电动汽车每行驶 1 千米所需电费为x 元由题可得：10827
x 0.54x
解之得： x=0.18
经查验 0.18 为原方程的解。

答：纯电动车每行驶 1 千米所需电费为0.18 元。

四、解答题（此题共20 分，每题 5 分）
19、(2019 北京中考， 19，5 分)如图，在□ABCD中， AE 均分∠ BAD，交 BC于点 E，BF 均分∠ ABC，交 AD于点 F，AE与 BF交于点 P，连结EF，PD。

（1）求证：四边形 ABEF是菱形
（2）若 AB=4，AD=6，∠ ABC=60°，求 tan ∠ADP的
值。

【答案】（1）易证： AF=AB=BE
∴A BEF为平行四边
形且 AB=BE
∴A BEF为菱形。

（2）
做 PH⊥AD于 H
则 PH= 3，DH=5
3
∴t an∠ADP=
5
20、(2019 北京中考， 20，5 分)依据某研究院宣布的2009~2019 年我国成年公民阅读检查报告的部分数据，绘制的统计图表以下：
依据以上信息解答以下问题：
（1）直接写出扇形统计图中 m 的值；
（2）从 2009 到 2019 年，成年公民年人均阅读图书的数目每年增加的幅度近似相等，预计 2019 年景年公民年人均阅读图书的数目约为
______________本。

（3）2019 年某小区偏向图书阅读的成年人有 990 人，若该小区 2019 年与 2019 年景年公民的人数基本持平，估量 2019 年该小区成年公民阅读图书的总数目约为 ______________本。

【答案】（1）66
（2）5.01
（3） 4960
21、(2019 北京中考， 21，5 分)如图， AB 是○ O
的直径， C 是弧 AB 的中点，○ O 的切线 BD 交
AC 的延伸线于点 D，E是 OB 的中点， CE的延伸
线交切线 BD 于点 F，AF 交○ O 于点 H，连结 BH。

（1）求证： AC=CD
中考精选试卷（2）若 OB=2，求 BH的长
【答案】
证明（ 1）连结 OC
∵C是 AB 中点， AB 是○ O 的直
径∴OC⊥AB
∵B D是○O切线
∴B D⊥AB
∴O C∥BD
∵A O=BO
∴A C=CD
（2）∵ E 是 OB 中点，
∴O B=BE
在△ COE与△ FBE中，
∠CEO=∠FEB
OE=BE
∠C OE=∠FBE
△C OE≌△ FBE（ASA）
∴B F=CO
∵OB=2，
∴BF=2
∴AF= 4222 2 5
∵AB是直
径
∴BH⊥AF
∴A B? BF=AF? BH
∴BH=AB?BF 4 2 4 5
AF 2 55
22、(2019 北京中考， 22，5 分)阅读下边的资料：
小腾碰到这样一个问题，如图1，在△ ABC中，点 D 在线段 BC上，∠B AD=75°，∠ CAD=30°,AD=2,BD=2DC,求 AC的长。

小腾发现，过点 C做 CE∥AB，交 AD的延伸线于点 E，经过结构△ACE，经过推理和计算可以使问题获得解决（如图 2）
请回答：∠ ACE的度数为 __________AC的长为 __________
参照小腾思虑问题的方法，解决问题：
如图 3，在四边形 ABCD中，∠BAC=90°，∠CAD=30°, ∠ADC=75°,AC 与 BD交于点 E，AE=2，BE=2ED,求 BC的长。

【答案】
∠ACE的度数是 75°， AC的长为 3
过点 D做 DF⊥AC于 F
∵∠ BAC=90°，∴ AB∥DF
∴△ ABE∽△ FDE
AB AE BE
2
DF EF ED
∴E F=1
∵在△ ACD中，∠ CAD=30°，∠ ADC=75°
∴∠ ACD=75°∴ AC=AD
∵D F⊥AC，∴∠ AFD=90°
在△ AFD中， AF=2+1=3，∠ FAD=30°
∴D F=AFtan30°= 3，AD=2DF=23
∴A C=2 3，AB=2DF=23
∴BC= AB2AC 2 2 6
五、解答题（此题共22 分，第 23 题 7 分，第 24 题 7 分，第 25 题 8分）
23、(2019 北京中考， 23， 7 分)在平面直角坐标系xoy 中，抛物线
y2x 2 mx n 经过点A（0，-2）B（3,4）
（1）求抛物线的表达式及对称轴
（2）设点 B 对于原点的对称点为 C，点 D 是抛物线对称轴上一动点，记抛物线在 A，B 之间的部分为图象 G（包括 A、B 两点，）若直线 CD 与图象 G 有公共点，联合函数图像，求点 D 纵坐标 t 的取值范围。

【答案】
（1）∵ y=2x2+mx+n 经过点 A（0，-2）B（3,4）
代入得： n=-2m=-4
18+3m+n=4n=-2
∴抛物线的表达式为：y=2x2-4x-2
对称轴 x41
2 2
（2）由题意可知 C（-3，-4）
二次函数 y=2x2-4x-2 的最小值为 -4
由图像可知 D 点纵坐标最小值即为 -4
最大值即 BC与对称轴交点
直线 BC的分析式y 4 x
43
X=1时，y
3
-4≤t ≤
4
3
24、(2019 北京中考， 24，7 分)在正方形 ABCD外侧作直线 AP，点 B 对于直线 AP的对称点为 E，连结 BE、DE，此中 DE交直线 AP于点 F。

（1）依题意补全图 1；
（2）若∠ PAB=20°，求∠ ADF的度数。

（3）如图 2，若 45°＜∠ PAB＜90°，用等式表示线段 AB，FE，FD 之间的数目关系，并证明
【答案】
（1）依题意补全图形为：
（2）连结 AE
则∠ PAB=∠ PAB=20°， AE=AB=AD
∵ABCD是正方
形∴∠BAD=90°
∴∠ EAD=130°
∴∠ ADF=25°
（3）连结 AE、BF、BD
由对称轴的性质可得：
EF=BF， AE=AB=AD，∠ ABF=
∠A EF=∠ADF
∴∠ BFD=∠BAD=90°
222
∴BF+FD=BD
222
∴EF+FD=2AB
25、(2019 北京中考， 25，8 分)对某一个函数给出以下定义，若存在实数 M>0,对于随意的函数值y，都知足 -M≤y＜M，则称这个函数是有界函数，在全部知足条件的M 中，其最小值称为这个函数的界限值，比如，以下图中的函数是有界函数，其界限值是1,。

1(
x 0)和（＜≤ ）是否是有界函数？
（1）分别判断函数y
y=x+1 -4x2
x
假如有界函数，求出其界限值。

（2）若函数 y=-x+1（a≤x≤b， b＞a）的界限值是 2，且这个函数的最大值也是 2，求 b 的取值范围。

（3）将函数y x2（-1≤x≤m，m≥0）的图象向下平移 m 个单位，获得的函数的界限值是t 当 m 在什么范围时知足 3 ≤t≤1？
4
【答案】
（1）y 1
( x 0) 不是x
Y=x+1（-4＜ x≤2）是，界限为 3
（2）∵ y=-x+1 y 随 x 的增大而减小，
当 x=a 时， y=-a+1=2 a=-1
当 x=b 时， y=-
b+1 -2≤-b+1＜2
b＞a
∴-1＜b≤3
（3）若 m＞1，函数向下平移 m 个单位后， x=0 时，函数值小于-1，此时函数的界限值 t 大于 1，与题意不符，故 m≤1
当 x=-1 时， y=1（-1，1）
当 x=0 时， y min=0（0,0）
都向下平移 m 个单位，
（-1，-1-m）
（0，-m）
3
m1或13
1m
4
1或34
∴ 0m m1
44。