积分中值(函数平均值)

一元函数积分学
三、函数的平均值
实例：用某班所有学生身高的算术平均值来描述这 个班学生身高的概貌.
y y1 y2 yn n
算术平均值公式 只适用于有限个数值
问题：求气温在一昼夜间的平均温度（气温的变 化是连续的）.
所求功为 w

b
a
krq2 dr

kq
1b r a

kq
1 a

1 b
.
若要考虑将单位电荷移到无穷远处，则所须功为
w


a
kq r 2 dr

kq
1 r a

kq a
.
第三章
课题十九 定积分在物理上的应用
一元函数积分学
[例 2] 一圆柱形 蓄水池高为 5 米，底半 径为 3 米，池内盛满了 水.问要把池内的水全 部吸出，需作多少功？
第三章
课题十九 定积分在物理上的应用
一元函数积分学
用元素法求一个量的一般步骤：
1）选取一个积分变量，确定积分区间；
2）在积分区间上任取一小区间，以直代曲， 得所求量的微分元素（简称微元）；
3）在积分区间上对微元求定积分，得所求量.
这种方法通常叫做元素法（或微元法）．
第三章
课题十九 定积分在物理上的应用
5
x
即 dw 8.82 104 xdx
w 58.82 104 xdx

0
8.82

104


x2 2
5
0
3.462106 (J)．
第三章
课题十九 定积分在物理上的应用
一元函数积分学
[例3] 使宇宙飞船脱离地球引力的速度叫第二宇宙 速度，计算第二宇宙速度.
一元函数积分学
一、变力沿直线所作的功
由物理学知道，如果物体在作直线运动的过程中
有一个不变的力F 作用在这物体上，且这力的方向与
物体的运动方向一致，那么，在物体移动了距离 s
时，力F 对物体所作的功为W F s.
如果物体在运动的过程中所受的力是变化的，那 么就不能直接使用此公式，而采用“微元法”思想.
解 建立坐标系如图，
取x为积分变量，x [0,5]
取任一小区间[ x, x dx],
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o
x x dx
5
x
第三章
课题十九 定积分在物理上的应用
一元函数积分学
这一薄层水的质量为 32 dx
o
x
功元素为 dw gx 32 dx,
x dx
dw 9.8x 103 32 dx
解 与例1类似，克服地球引力把飞船从地面R处发
发射到距地心H处需作的功
WH
H R
GM r2
mdr

GMm
1 R

1 H

使飞船脱离地球引力场，即相当于
把飞船发射到无穷远处，所需作功
W lim GMm 1 1 GMm
H
R H
R
r
mH
R
Mo
第三章
第三章
课题十九 定积分在物理上的应用
一元函数积分学
[例 1] 把一个带 q 电量的点电荷放在 r 轴上坐
标原点处，它产生一个电场．这个电场对周围的电荷有作
用力．由物理学知道，如果一个单位正电荷放在这个电场
中距离原点为 r 的地方，那么电场对它的作用力的大小
为
F

k
q r2
（k
是常数），当这个单位正电荷在电场中从
r a 处沿 r 轴移动到 r b 处时，计算电场力 F 对
它所作的功．
第三章
课题十九 定积分在物理上的应用
一元函数积分学
解 取r 为积分变量， 积分区间是 [a,b],
q
•o
a
1
•

r r dr
b
r
在[a,b]上任取小区间[r, r dr],
得功元素
dw

kq r 2 dr,
Mo
这就是第二宇宙速度．
第三章
课题十九 定积分在物理上的应用
一元函数积分学
二、液体的压力
由物理学知道，在水深为 h 处的压强为 p h ，
这里 是水的密度．若有一面积为 A 的平面薄板水平
地放置在水深为 h 处，则该薄板一侧所受的水压力为 F p A．
如果平板垂直放置在水中，由于水深不同的点
在积分区间上任取小区间[ x, x dx]，
小矩形片上各处的压强近似相等
p x
小矩形片的面积为 2 R2 x2dx.
o
x
x dx
x
第三章
课题十九 定积分在物理上的应用
一元函数积分学
一端侧面的压力元素为
dF 2x R2 x2dx
一端侧面上所受的压力
F
R
2x
R2 x2 dx
受的压力．
解 建立坐标系如图所示，
o
y
直线AB的方程
2a
y 0 x 3a , 2a 0 2a 3a
即
y 6a 2x
2a B(2a,2a) a
A(3a,0)
以x为积分变量 ，积分区间是[2a,3a].
x
第三章
课题十九 定积分在物理上的应用
一元函数积分学
在[2a,3a]上任取小区间[x, x dx],
面积元素 dA (6a 2x)dx,
压力元素
dF x(6a 2x)dx
薄板一侧所受的压力
o
y
2a a
2a B(2a,2a)
A(3a,0)
3a
F x(6a 2x)dx 2a
x


[3ax2
7 a3.

2 3
x 3 ]32aa
3
第三章
课题十九 定积分在物理上的应用
0
R R2 x2d(R2 x2 ) 0


2 3
R2ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ

x2
3

R 0

2
3
R3 .
第三章
课题十九 定积分在物理上的应用
一元函数积分学
[例 5] 将直角边各为a及2a的直角三角形薄板垂直
地浸入水中，斜边朝下，直角边的边长与水面平行，且
该边到水面的距离恰好等于该边的边长，求薄板一侧所
课题十九 定积分在物理上的应用
一元函数积分学
在地球表面地球对物体的引力就是重力
即
mg

GMm R2
,
则有 mgR GMm ,
R
因而 W mgR.
发射宇宙飞船所作的功等于飞船飞行时的动能，有
mgR 1 mv2 2
r
mH
v 2gR 2 9.86371103
R
11.2(km/ s)
处压强 p 不相等，那么平板一侧所受的水压力就不
能直接使用此公式，而采用“微元法”思想．
第三章
课题十九 定积分在物理上的应用
一元函数积分学
[例 4] 一个横放着的圆柱形水桶，桶内盛有半桶水，设
桶的底半径为 R，水的密度为 ，计算桶的一端侧面上所受
的压力．
解 在一端侧面建立坐标系如图，
取x为积分变量，积分区间是 [0, R],