2.1圆1教学设计

数学教学设计教材：义务教育教科书·数学（九年级上册）
作者：濮磊（南京市第五十中学）
2.1 圆（1）
教学目标1．经历圆的有关定义的形成过程，理解圆的描述定义和集合定义；
2．理解点与圆的位置关系以及如何确定点与圆的三种位置关系；了解“圆是到定点距离等于定长的点的集合”，并能应用它解决相关的问题；
3．经历探索点与圆的位置关系的过程，会运用点到圆心的距离与圆的半径之间的数量关系判断点与圆的位置关系，逐步学会用运动的观点及数形结合的思想去解决问题．
教学重点探索点与圆的三种位置关系．
教学难点用集合的观点描述圆的定义．
教学过程（教师）学生活动设计思路引入
出示套圈游戏的图片，让学生体会到生活中圆的必要性．问题：只有一个小立柱，若全班同学沿着红线站成一横排，请问游戏对所有同学公平吗？如何使得游戏对所有人公平？1．学生交流讨论．
2．学生交流已有的对圆的认识．
由于授课对象是九年级
学生，故本课没有选择从生活
中圆的形象进行引入.而是从
生活中游戏的公平性入手，提
出了对圆的数学思考．同时学
生交流已有的圆的认识，教师
帮助学生找到新旧知识的“联
结点” .
实践探索一
1．形成定义．
教师展示两件物品：一段（两端已打结）的棉线、一段皮筋（两端已打结）．学生两人一小组进行合作，利用它们以及手中的笔，在练习纸上分别作出圆．
2．思考：如何确定一个圆？
1．学生交流操作过程并抽象，互相讨论，最终形成圆的描
述定义：
在同一平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，
另一端点A运动所形成的图形叫做圆．
2．学生先独立思考并画图，再互相讨论，得出结论：圆
心确定圆的位置，半径确定圆的大小．这个以点O为圆心的圆
叫作“圆O”，记为“⊙O”．
学生通过实际动手操作，
体会并总结在操作中的要点，
对实际操作的工具进行抽象，
得到圆的描述定义，活动培养
了学生的动手能力和抽象能
力．圆的描述定义形成时学生
操作的材料，在准备、提供和
组织形式上是极具深意的，除
了让学生感受“定点，定长，
旋转”，也有益于促进学生的
合作意识、合作能力、合作情
感的自觉增长．
实践探索二
1．回归游戏．
（1）请学生思考：为什么站成圆形，游戏就公平？
（教师）设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP＝d，则有？
（2）甲、乙两人分别站在图中A、B两点处，他俩正准备参加游戏，后来丙、丁也赶来
参加，并分别站在了图中所示的P、Q两点处．如果你是甲同学，你会有怎样的看法？
1．小组讨论，代表回答：
（1）学生思考后回答，其他学生补充后，可得：圆上各
点到圆心的距离都等于半径．
（学生将刚才的文字语言符号化）点P在⊙O上d＝r．
（2）学生从游戏的公平性出发进行思考，并得到：
圆内各点到圆心的距离都小于半径．点P在⊙O内d＜r．
圆外各点到圆心的距离都大于半径．点Q在⊙O外d＞r．
从情境中的游戏出发，抽
象到点与圆的位置关系，进而
得出点到圆心的距离与半径
的数量关系．此处还体现了将
文字语言符号化的过程．
利用情境，分析点与圆的
其他两种位置关系，为下面得
出“到圆心距离等于半径的点
都在圆上”埋下伏笔．
“到圆心距离等于半径
的点都在圆上”的得出对于
学生来说难以理解，特别是
“都”字．学生经历上述活
（3）再后来，小兵同学也来参加游戏，他站的位置是图中所示的M点，但他发现地上的线几乎看不清了，请问小兵同学怎样才能知道自己恰好站在圆上？
2．请你总结一下点与圆有哪些关系？如何判断？
（3）学生回答：测量OM＝OA＝r即可．
于是得到：到圆心距离等于半径的点都在圆上．点M在⊙O
上d＝r．
2．回归游戏，出现动画，学生归纳．
点P在⊙O内d＜r；
点P在⊙O上d＝r；
点P在⊙O外d＞r．
动，先由点与圆的三种位置关
系得出点到圆心的距离与半
径间的数量关系，进而得出：
不在圆上的点，到圆心的距离
不等于半径．因此到圆心距离
等于半径的点都只能在圆上．
用制作的动画让学生回
归情境，再将情境中的脚印抽
象为点，点越来越多，结合上
述“纯粹性”和“完备性”进
行分析，让学生感受并体会
“点集”，说出“符合条件的”
点集，最终形成圆的集合定
义.即：圆是平面内到定点距
离为定长的点的集合．
知识应用
例1 已知⊙O的半径为4cm，如果点P 到圆心O的距离为 4.5cm，那么点P与⊙O有怎样的位置关系？如果点P到圆心O的距离为4cm、3cm呢？
2．如图，已知点A，请作出到点A的距离等于2cm的点的集合．
（1）这个圆的外部是满足什么条件的点的
集合？
（2）请用阴影表示出到点A的距离小于或等于2cm的点的集合．
3．如图，已知点P、Q，且PQ＝4cm．
（1）画出下列图形：到点P的距离等于2 cm的点的集合；到点Q的距离等于3cm的点的集合；
（2）在所画图中，到点P的距离等于2cm，且到点Q的距离等于3cm的点有几个？请在图中将它们表示出来；
（3）在所画图中，到点P的距离小于或等于2cm，且到点Q的距离大于或等于3cm的点的集合是怎样的图形？把它表示出来．
4．如图，已知BD、CE是△ABC的高，M 学生先独立完成，然后让学生展示交流．
学生先独立思考，然后小组讨论，最后让学生展示交流．
学生先独立思考，然后让学生展示交流．
（要引导学生从定义入手考虑．）
学生先独立完成，然后让学生展示交流．
可以分步点拨：（1）如何说明点在圆上？
通过一个简单的实例，让
学生对“判断位置，比较大
小”，即由数量关系来刻画位
置关系进行应用．
让学生对“位置关系”和
“数量关系”的相互转化进
行应用，学生再次体会集合思
想，并自然地将新知识内化，
同已有的知识形成知识体系．
在该活动中，引导学生用
集合的观点理解图形．此外，
这里还渗透了一种常用的数
学思想方法——交集法．所谓
交集法，就是先由部分条件构
成一个集合，然后再由剩余的
条件构成另一个集合，两个集
合的交集就是问题的解．
通过本题让学生进一步
P Q
为BC 的中点．试说明点B 、C 、D 、E 在以点M 为圆心的同一圆上．
（2）怎么证明点B 、C 、D 、E 到点M 的距离相等？理解点与圆的位置关系．
总结
通过今天的学习，你能谈谈你对圆有什么新的认识吗？讨论后共同小结．让学生谈谈对圆新的认识，教师再对学生的观点进行总结．
课后作业
课本P40第1、2、3．
M
E
D
C
B
A。