《微积分》《高等数学》第二章测试题

《微积分》第二章测试题

1. 【导数的概念】已知()23f '=，求()()

22lim

h f h f h h

→+--

解()()

()()

()()()0

0222222lim lim 226h h f h f h f h f f h f f h

h h →→+--+---⎛⎫'=+== ⎪-⎝⎭

2. 设函数cos ln x

y x e

a -=++，求

d y d x

解

sin x

dy x e

dx

-=--

3. 设函数arctan

x

y e

=，求

d y d x

解

d y d x

()

arctan arctan

1

1

1221x

x

e

e x x

x x =⋅

⋅

=

++

4. 设函数2

sin cos 2y x x =，求

d y d x

，

x dy dx

=

解()2

2

2

2

4

sin cos 2sin 12sin sin 2sin y x x x x x x ==-=-

()()3

2

2

2sin cos 8sin cos 2sin cos 14sin sin 214sin dy x x x x x x x x x dx

=-=-=-，

0x dy dx

==

5. 【函数的微分，记得加dx 】设函数2

sin 2x y x

=

，求dy

解2

4

3

3

2cos 22sin 22cos 22sin 22cos 22sin 2,dy x x x x

x x x

x x x

dy dx dx

x

x

x

---==

∴=

6. 【高阶导数】设函数11

y x =

-，求

n

n

d y dx

解

()

()

()

()

()

()

()

2

3

1

2

3

4

1

23

!

11,

21,

3!1,,

1n

n

n n

dy d y d y d y n x x x x dx

dx

dx

dx

x ----+'

=

-=--=-=--=--

7.【隐函数求导】 设函数()y y x =由方程2

sin 20xy y -=确定，求

d y d x

解 等式两边同时对x 求导2

22sin 20,y xyy y y ''+-=则

()

2

2

2

2sin 222221dy y

y

y y dx

y xy

xy xy

x y '==

=

=

---

8. 求曲线y x =

在点()4,2处的切线方程 解41114

224

x y y x

=''=

∴=

=

切线方程为114

y x =

+

9. 设函数()2,1

,,1

x x f x a bx x ⎧≤=⎨

+>⎩在1x =处可导，求常数,a b 的值 解 由()f x 在1x =处可导，则()f x 在1x =处连续

()()()()()2

1

1

1

1

1

1

lim lim 1,lim lim ,lim lim 1x x x x x x f

x x f

x a bx a b f

x f

x a b --+--+→→→→→→=

==

+=+=

+= 则有

()()()()()2

1

1

1

1

1

11111

lim lim lim 12,lim lim 1

1

1

1

x x x x x f x f x a bx b bx f x x f x b x x x x -

-

-+

+

-+→→→→→--+--+-''===+====----

()(),2f x f x b -+''==则有，所以11a b =-=-，综上所述1,2a b =-=

10. 【幂指类函数求导数等式两边先取对数】设函数()

sin tan x

y x =，求

d y d x

解对()s i n

t a n x y x =两边同时取对数得，ln sin ln tan y x x =等式两边同时对x 求导得

()

()s i n

22

111s i n c o s l n t a n

s i n t a n c o s l n t a n t a n 11t a n x d y

x y x x x x x

x y

x x d x

x x ⎛

⎫

' ⎪=+⋅⋅∴=+ ⎪++⎝

⎭

11. 已知某商品的成本函数为求()2

3

156C x x x x =-+()x 为产量，单位：件，试问：生产数量为多少

件时，可使平均成本最小？ 解 平均成本为()()()2

3

2

1561560C x x x x

C x x x

x x

x

-+=

=

=-+≥

()()62,3C

x x C x x '

'∴=-+=令=0,则

()()()()30,30,x C

x C x x C x C x '

'<<>> 当时，有则单调递减；当时，有则单调递增

所以当()36x C x ==时平均成本最小，且平均成本为 即生产数量为3件时，可使平均成本最小，且为6