2019高考数学总练习练习-5-3平面向量的数量积

2019高考数学总练习练习-5-3平面向量的数量积
【一】选择题
1、(2017·大纲全国卷文，3)设向量a ，b 满足|a |＝|b |＝1，a ·b ＝－1
2，那么|a ＋2b |＝( )
A. 2
B. 3
C. 5
D.7 [答案] B
[解析] 此题主要考查了向量的基本运算，向量的数量积、向量的模与向量的平方的转化
|a ＋2b |＝a ＋2b 2＝a 2＋4a ·b ＋4b 2
＝1＋4×－1
2＋4×1＝ 3. 2、(文)假设向量a ＝(1,1)，b ＝(2,5)，c ＝(3，x )，满足条件(8a －b )·c ＝30，那么x ＝( )
A 、6
B 、5
C 、4
D 、3 [答案] C
[解析] (8a －b )·c ＝(6·3)·(3，x )＝18＋3x ＝30， ∴x ＝4.
(理)在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝4，那么AB →·AC →
等于( ) A 、－16 B 、－8 C 、8 D 、16 [答案] D
[解析] 因为∠C ＝90°，所以AC →·CB →＝0，所以AB →·AC →＝(AC →＋CB →)·AC →
＝(AC →)2＋AC →·CB →
＝16.
3、|a |＝1，|b |＝6，a ·(b －a )＝2，那么向量a 与b 的夹角是( ) A.π6 B.π4 C.π3 D.π2 [答案] C
[解析] 考查向量的运算以及两个向量夹角的求法、 a (b －a )＝a ·b －a 2＝|a |·|b |cos 〈a ，b 〉－|a |2
＝6cos 〈a ，b 〉－1＝2，∴cos 〈a ，b 〉＝1
2，
故a 与b 的夹角为π
3.
4、平面向量a 与b 的夹角为60°，a ＝(2,0)，|b |＝1，那么|a ＋2b |＝( )
A. 3 B 、2 3 C 、4 D 、12 [答案] B
[解析] 考查向量的数量积的定义及性质、 ∵a ＝(2,0)，∴|a |＝2，
|a ＋2b |2＝|a |2＋4|b |2
＋4a ·b ＝4＋4＋4×2×1×cos60°＝12， ∴|a ＋2b |＝23，∴选B.
5、a 、b 、c 是单位向量，且a ·b ＝0，那么(a －c )·(b －c )的最小值为( )
A 、－2 B.2－2 C 、－1 D 、1－ 2 [答案] D
[解析] 此题考查数量积的运算、
(a －c )·(b －c )＝a ·b －a ·c －c ·b ＋c 2
＝0－(a ＋b )·c ＋1＝1－(a ＋b )·c ＝1－|a ＋b |·|c |cos 〈a ＋b ，c 〉 ＝1－2·1·cos 〈a ＋b ，c 〉
∴最小值为1－2，即a ＋b 与c 同向共线时取得最小值、 6、a 、b 为非零向量，“a ⊥b ”是“函数f (x )＝(xa ＋b )·(xb －a )为一次函数”的( )
A 、充分而不必要条件
B 、必要而不充分条件
C 、充分必要条件
D 、既不充分也不必要条件 [答案] B
[解析] f (x )＝(xa ＋b )·(xb －a )＝(a ·b )x 2＋(|b |2－|a |2
)x －a ·b ，假设a ⊥b ，那么有a ·b ＝0，如果同时有|b |＝|a |，那么函数恒为0，不是一次函数，因此不充分，而如果f (x )为一次函数，那么a ·b ＝0，因此可得a ⊥b ，故该条件必要、
【二】填空题
7、(文)平面向量a ＝(2,4)，b ＝(－1,2)，假设c ＝a －(a ·b )b ，那么|c |＝________.
[答案] 8 2
[解析] a ·b ＝(2,4)·(－1,2)＝6， c ＝(2,4)－6(－1,2)＝(8，－8)， ∴|c |＝8 2.
(理)(2017·江西理)向量a ，b 满足|a |＝1，|b |＝2，a 与b 的夹角为60°，那么|a －b |＝________.
[答案] 3
[解析] |a －b |2＝|a |2－2a ·b ＋|b |2
＝1－2×1×2×cos 60°＋4＝3，那么|a －b |＝ 3.
8、(文)(2017·重庆理，12)单位向量e 1，e 2的夹角为60°，那么|2e 1
－e 2|＝________.
[答案] 3
[解析] 此题主要考查向量的模及数量积等基础知识、 ∵|e 1|＝|e 2|＝1，〈e 1，e 2〉＝60°，
∴e 1·e 2＝|e 1||e 2|cos60°＝1
2. ∴|2e 1－e 2|＝2e 1－e 2·2e 1－e 2
＝4|e 1|2＋|e 2|2
－4e 1·e 2＝4＋1－2＝ 3.
(理)(2017·安徽理，13)向量a 、b 满足(a ＋2b )·(a －b )＝－6，且|a |＝1，|b |＝2，那么a 与b 的夹角为________、
[答案] 60°
[解析] 此题主要考查平面向量的数量积及其运算、
(a ＋2b )·(a －b )＝－6，那么|a |2＋a ·b －2|b |2＝－6，即12
＋a ·b －2
×22
＝－6，a ·b ＝1，即cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a ||b |＝1
2，所以〈a ，b 〉＝60°.
【三】解答题
9、设向量a ＝(4cos α，sin α)，b ＝(sin β，4cos β)，c ＝(cos β，－4sin β)
(1)假设a 与b －2c 垂直，求tan(α＋β)的值； (2)求|b ＋c |的最大值；
(3)假设tan αtan β＝16，求证：a ∥b .
[解析] 此题主要考查了向量的平行、垂直和向量的模；考查了三角函数公式和学生的运算能力、
(1)∵a ＝(4cos α，sin α)，b ＝(sin β，4cos β)， c ＝(cos β，－4sin β)
由a 与b －2c 垂直，得a ·(b －2c )＝a ·b －2a ·c ＝0 4sin(α＋β)－8cos(α＋β)＝0，tan(α＋β)＝2.
(2)由b ＋c ＝(sin β＋cos β，4cos β－4sin β)
|b ＋c |2＝sin 2β＋2sin βcos β＋cos 2β＋16cos 2
β－32cos βsin β＋16sin 2
β
＝17－30sin βcos β＝17－15sin2β， 最大值为32，∴|b ＋c |的最大值为4 2.
(3)由tan αtan β＝16得sin αsin β＝16cos αcos β 即4cos α·4cos β－sin αsin β＝0，∴a ∥b .
【一】选择题
1、(2018·烟台模拟)在△ABC 中，(BC →＋BA →)·AC →＝|AC →|2
，那么△ABC 的形状一定是( )
A 、等边三角形
B 、等腰三角形
C 、直角三角形
D 、等腰直角三角形 [答案] C
[解析] 由(BC →＋BA →)·AC →＝|AC →|2
得 (BC →＋BA →)·AC →－|AC →|2
＝0， 即AC →·(BC →＋BA →－AC →
)＝0， 即AC →·(2BA →)＝0，故有AC →⊥BA →.
2、(文)两单位向量a ，b 的夹角为60°，那么两向量p ＝2a ＋b 与q ＝－3a ＋2b 的夹角为( )
A 、60°
B 、120°
C 、30°
D 、150° [答案] B
[分析] 此题求解中，要注意充分利用两向量的数量积及求向量模的运算公式及方法、
[解析] p ·q ＝(2a ＋b )·(－3a ＋2b )＝－6a 2＋ab ＋2b 2
＝－6a 2＋|a |·|b |·cos60°＋2b 2
＝－7
2，
|p |＝|2a ＋b |＝2a ＋b 2＝4a 2＋4ab ＋b 2
＝4a 2＋4|a ||b |·cos60°＋b 2
＝7，
|q |＝|－3a ＋2b |＝－3a ＋2b 2＝9a 2－12ab ＋4b 2
＝9a 2－12|a ||b |·cos60°＋4b 2
＝7，
而cos 〈p ，q 〉＝p ·q |p |·|q |＝－1
2.即p 与q 的夹角为120°.
(理)在△ABC 中，AB →·BC →＝3，△ABC 的面积S ∈⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥
⎤32，32，那么AB →与BC →夹
角的取值范围是( )
A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π3
B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤
π6
，π4 C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π3 D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤
π3
，π2 [答案] B
[解析] ∵sin 〈BA →，BC →〉＝sin 〈AB →，BC →
〉，
∴S ＝12|AB →|·|BC →|sin 〈AB →，BC →〉∈⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥
⎤32，32①
又AB →·BC →＝|AB →||BC →|cos 〈AB →，BC →
〉＝3，
∴|AB →||BC →
|＝3cos 〈AB →，BC →〉
.②
∴将②代入①得tan 〈AB →，BC →〉∈⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥
⎤33，1，
又两向量夹角的范围为[0，π]、
∴〈AB →，BC →〉∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π4，应选B.
【二】填空题
3、(文)(2017·江西文，11)两个单位向量e 1，e 2的夹角为π
3，假设向量b 1＝e 1－2e 2，b 2＝3e 1＋4e 2，那么b 1·b 2＝________.
[答案] －6
[解析] 此题主要考查向量的基本知识与运算. b 1·b 2＝(e 1－2e 2)·(3e 1＋4e 2)
＝3|e 1|2－2e 1·e 2－8|e 1|2
又∵〈e 1，e 2〉＝π
3，|e 1|＝1，|e 2|＝1，
∴b 1·b 2＝3－2cos π
3－8＝3－1－8＝－6.
(理)(2017·江西理，11)|a |＝|b |＝2，(a ＋2b )·(a －b )＝－2，那么a 与b 的夹角为________、
[答案] π
3
[解析] 此题主要考查平面向量的数量积的运算、
(a ＋2b )·(a －b )＝－2，即|a |2＋a ·b －2|b |2
＝－2，
∴22
＋a ·b －2×22
＝－2，a ·b ＝2，又cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a ||b |＝2
2×2＝
12，
〈a ，b 〉∈[0，π]，所以a 与b 的夹角为π3. 4、向量m ＝(sin θ，2cos θ)，n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫
3，－12，当θ∈[0，π]时，函
数f (θ)＝m ·n 的值域为________、
[答案] [－1,2]
[解析] 由f (θ)＝m ·n ，得f (θ)＝3sin θ－cos θ
＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫
θ－π6，
∵θ∈[0，π]，∴θ－π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤
－π6
，5π6， ∴f (θ)的值域为[－1,2]、 【三】解答题
5、向量a ＝(x 2
，x ＋1)，b ＝(1－x ，t )、假设函数f (x )＝a ·b 在区间(－1,1)上是增函数，求t 的取值范围、
[分析] 先求出f (x )的表达式，然后利用导数与函数单调性的关系及增函数的性质求解，注意x 的取值范围、
[解析] 因为f (x )＝a ·b ＝x 2(1－x )＋t (x ＋1)＝－x 3＋x 2
＋tx ＋t ，所
以f ′(x )＝－3x 2
＋2x ＋t .
假设f (x )在(－1,1)上是增函数， 那么在(－1,1)上f ′(x )≥0，
所以f ′(x )≥0⇔⎩⎪⎨⎪⎧
f ′
－1≥0，f ′
1≥0
⇔⎩⎪⎨⎪⎧
－5＋t ≥0，
－1＋t ≥0
⇔t ≥5.
而当t ≥5时，f ′(x )在(－1,1)上满足f ′(x )>0，
即假设f (x )在(－1,1)上是增函数，那么t 的取值范围为[5，＋∞)、
6、向量OP →＝(cos x ，sin x )，OQ →
＝(－33sin x ，sin x )，定义函数f (x )＝OP →·OQ →.
(1)求f (x )的最小正周期和最大值及相应的x 值；
(2)当OP →⊥OQ →
时，求x 的值、
[解析] (1)f (x )＝OP →·OQ →＝－33sin x cos x ＋sin 2
x
＝－36sin2x ＋1
2(1－cos2x )
＝12－33⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12sin2x ＋32cos2x
＝12－33sin ⎝
⎛
⎭⎪⎫2x ＋π3，∴周期T ＝π. 由2x ＋π3＝2k π－π2得x ＝k π－5π
12(k ∈Z)，
∴当x ＝k π－5π12(k ∈Z)时，f (x )取最大值12＋3
3.
(2)当OP →⊥OQ →时，f (x )＝0，即12－33sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＝0.
解得x ＝k π或k π＋π
6，k ∈Z.
[点评] 向量知识与三角、数列、不等式、解析几何、函数等的结合是
7、在平行四边形ABCD 中，A (1,1)，AB →
＝(6,0)，点M 是线段AB 的中点，线段CM 与BD 交于点P .
(1)假设AD →
＝(3,5)，求点C 的坐标、
(2)当|AB →|＝|AD →
|时，求点P 的轨迹、 [解析](1)设点C 的坐标为(x 0，y 0)、 ∵AC →＝AD →＋AB →
＝(3,5)＋(6,0)＝(9,5)，
即(x 0－1，y 0－1)＝(9,5)，∴x 0＝10，y 0＝6，即点C 的坐标为(10,6)、 (2)设P (x ，y )，那么 BP →＝AP →－AB →
＝(x －1，y －1)－(6,0)＝(x －7，y －1)， AC →＝AM →＋MC →＝12AB →＋3MP →＝12AB →＋3(AP →－12AB →) ＝3AP →－AB →
＝(3(x －1)，3(y －1))－(6,0) ＝(3x －9,3y －3)、 ∵|AB →|＝|AD →
|，∴平行四边形ABCD 为菱形，
∴AC →⊥BP →
，∴(x －7)(3x －9)＋(y －1)(3y －3)＝0， ∴x 2＋y 2
－10x －2y ＋22＝0(y ≠1)、
故点P 的轨迹是以(5,1)为圆心，2为半径的圆去掉与直线y ＝1的两个交点、。