概率赋范空间的乘积空间及拓扑

2002 年 9 月
Journal of Cangzhou Teachers’ College Sep.2002
概率赋范空间的乘积空间及拓扑
刘义芬
（沧州师范专科学校 河北 沧州 061001）
摘 要：本文定义了有限个概率线性赋范空间的乘积空间，它仍是一个概率线性赋范空间。

并证明了乘积空间中由
概率范数导出的拓扑与乘积拓扑的等价性。

本文将概率线性赋范空间简称 PN 空间。

关键词：乘积空间；概率赋范空间；拓扑结构 中图分类号：021 028
文献标识码：A
文章编号：1008-4762(2002)03-0010-03
一、有限个 PN 空间的乘积空间
n
设 n
是连接的（n+1）角范数，对任意的 ( x , x ， , x )
E i 1
1 2 n i
定义 1.1 设
n
是从 [0，1]n [0，1]的函数，且满足下面的条件：
（ n
— 1) n 关于 n 个变元是对称的
（ n — 2) （n a ,1,1, 1） a ， （n
0,0,0, 0） 0 。

n
令 F ( x 1 ,x 2， ,x n )
(t ) sup
(F 1x 1 (t 1 ), , F n x n (t n )) n
2 2
t
t i
（ n
— 3) （n a , a , a ）≥ （n
b ,b , b ），若 a ≥ b (i 1,2 n ) 1 2 n 1 2 n i i 则这是一个与 ( x , x ， , x ) 对应的分布函数，我们有下面的结论：
1 2 n 定理 1.1 若 ( E i ，F i ， i ) 是具连续三角范数的 MengerPN
n
n n
（ n — 4) （ (a 1 , a 2 , a n ），a n 1 , a 2 n 1 )
空间
= （n n
(a , a , a ），a , a
) ,其中
i 1
i 2
in
i (n 1)
i ( 2 n 1)
i 1, i 2, in , , i ( 2n 1) 是1，
2，3， 2n 1 的任意排列。

我们称 n
为（n+1）角范数（或 n-范数）。

（n+1）角范数有各种取法，下面是三个（n+1）角范数：
n
（n
a 1 , a 2 , a n ） max ｛ a i n 1，0｝
i 1
(i 1,2, , n ) ，则 (
E ，
F i 1 i ( x 1,x 2，
,xn )
) 是 PN 空间。

证明：只需检证 PN 空间的条件：
t 0
t 0
（( PN — 1）. F ( x1, x2 , xn) (0) 0 及 ，
1 （n a , a , a ） a
a a （PN — 2）. F ( x1, x2， , xn ) (t) H(t)
(x 1 , x 2， , x n ) ( 1, 2， , n ) 是显然的
1 2 n 1 2 n （a 1 , a 2 , a n ） min a 1 , a , a n
n
2 t
（PN — 3）. F a (x1, x 2， , x n) ( t ) F (x1, x 2， , x n ) ( ) 通常的三角范数是（n+1）角范数的特例。

定义 1.2 设 n 是（n+1）角范数， 是三角范数，若对任意的
a , a ,a ，
b , b ,b 0，1 有 这是因为： F a ( x 1,x 2， ,xn ) (t ) F ( ax 1,ax 2， ,axn )
(t ) （n (a , b )， (a , b )， ， (a , b )) ≥ （ n (a , a , a ）, 1 2 n 1 2 n 1 2 n
sup (F 1a x 1 (t 1 ), F 2a x 2 (t 2 ), , F na x n (t n ))
n n
n
((b 1 , b 2 , b n )) 我们称 与 是协调的。

n t
例.三角范数 （a , b ） a b 与 n 2 是协调的， （a , b ） a b
2
2
i 1
n
3 b 也是协调的。

设 ( E i ，F i ) 是 PN 空间 (i 1,2, , n ) ,令
t t t sup n (F ( 1 ), F (( 2
)),
, F (( n )))
1
x 1 2 x 2 n x n
n t 2
t
n
E i E 1 E 2
E n =
( x 1 , x 2， , x n ), x i E i , i 1,2, , n
i 1
t
= F ( x 1,x 2， ,xn ) (
a )
n
在 E i 中规定线性运算：
i 1
n
(Ⅰ)
( x 1 , x 2， , x n ) ( y 1 , y 2， , y n ) ( x 1 y 1 , x 2 y 2， , x n y n )
（PN — 4）. 当 x (x 1, x 2， , x n ), y (y 1, y 2， , y n ) E i
i 1
n
(Ⅱ) a ( x 1 , x 2， , x n ) (a x 1, a x 2， , ax n
),易见 E i 在上述运算下 i 1
t 1、t 2 0 使 F x (t 1 ) 1 , F y (t 2 ) 1 时有
这是因为，当
F x y (t 1 t 2 ) 1
构成线性空间。

* 收稿日期：2002-06-16 作者简介：刘义
芬，沧州师专数学系教师。

·10·
a
a
a a
刘义芬：概率赋范空间的乘积空间及拓扑
第 3 期
n
F x (t 1 ) = sup n
(F 1 x 1 (s 1 ), F 2 x 2 (s 2 ), , F n x n (s n )) 1
（ 2
）1/ 2
i i
n
i 1 2
i 2 t 1
s i 1
n
事实上，对于任意的 ( x 1, x 2， , x n )
E i ，有
i 1
F x (t 1 ) sup (F 1 y 1 ( 1 ), F 2 y 2 ( 2 ), , F nyn ( n )) =1
n
n
sup 2
F (t ) 1
2n
(H (t
x ），
， H (t
x ))
t 2
i
2
n
i 1
2
t i
2
n
i 1
（ s 1k ，s 2k ， ，s nk ）
2 t 时必有序列
s
ik
1 n
t （
2 1/ 2
0 ） i
i n 1
（ 1k ， 2k ， ， nk ）
2 2 t 1
n
2 ）1/ 2
t （
i 1
ik
i
i 1
Lim n ( F 1x 1 (s 1k ), F 2 x 2 ( s 2 k ),
, F n x n (s nk ))
1 k
使
定理 1.2 设（E ，F ）是具有连续三角范数的 MengerPN
空间。

n 是 i i i Lim n ( F 1 y 1 ( 1k ), F 2 y 2 ( 2 k ),
, F nyn ( nk )) 1
k
(i 1,2, , n ) 是与 n
协调的连续的三角
连接的（n+1）角范数， i
由（n+1）角范数的定义可见 n
范数，则由上述定义的乘积空间（ E i F ( x 1, x 2 , ,xn )）在三角范数
下是 Menger
i 1
Lim F ixi (s i k ) 1
k
(1)
空间。

证明：只需证明 Menger 广义三角不等式：
F x y (t 1 t 2 ) （F x (t 1 )，F y (t 2 )）
Lim F iyi ( ik ) 1
k
(2)
(i 1,2, , n )
又由于(3) F x y (t 1 t 2 )
n
其中 x , y
E i , t 1 , t 2 0 ,令
i 1
sup
n
(F 1 (x 1 y 1 )(q 1 ), F 2 ( x 2 y 2 )(q 2 ), , F n (x n y n ) (q n ))
x ( x 1 , x 2， , x n )
y ( y 1, y 2， , y n ) 则
n
(t 1 t 2 )2
i i 1
n sup
(F （1 x 1 y 1) (s 1), , F n （xn yn ) (s n ))
F x y (t 1
t 2 ) 由欧式空间内积的性质可证：
n
s 2
2 （t 1 2
) i i 1
t n
n
2
2
2
t 2
2
若 t
1 S
i
i 1
i 1
sup n ( （1 F 1x 1 (
p 1), F 1 y 1( q 1)), , n (F n xn ( p n ), F nyn (q n ))) t 1 t 2 s 1 1 s 2 2 s n n
则
n
n
2
2
2
2
, t 2 q ,且 p q s (i
1,2, , n ) i
i
i i i 2
其中 t
p
n
1 从而使（t 1 t 2）2
( s i i )
i 1
i 1
i 1
n
由（）可见这是办得到的。

从由 i 及 与 是协调的得
进而由（3）可见
sup F x y (t 1 t 2 ) n
n
sup (F （x
y ）(s ), , F （x y ）(s )) F x y (t 1 t 2 )
( F 1x 1 ( p 1 ),
, F nxn ( p n )), ,( F 1 y 1 (q 1 ), , F nyn (q n )))
n
n
2
2
t 1 p 2
t 1
i 2
i
i 1
i 1 n
n
2
2
t 2
t 2
i 2
2
q i 1
i
1 sup ( （1 F 1x (s 1 ), F 1y ( 1 )), , n (F nx (s n ), F 1 y ( n ))) n
s up 连续 ( n F ( p ), ,
F nxn ( p n )), , n F y (q
), , F nyn (q n ))) sup 1 x 1 1 1 1 1 1 1 n
1 n
s i
2
2
t p
t q
t 1 i 1
n
2 2
t 2 i
（F x (t 1 ), F y (t 2 ))
i 1
= SUP n （F , F s F ( 1 1x 1 ( 1k ), 1y 1( 1k ), n ( nxn ( nk ), nyn ( nk ))) s F 二、乘积空间的诱导拓扑与积拓扑的等价性
= 1k (由（1）与（2）)，定理 1.1 证毕。

若（E ， ）是通常的线性赋范空间 (i 1,2, , n ) 。

由上述定义得到 i i n 在定理 2.1 条件下，（
E i
F
(x 1, x 2, , xn )
， ）是具连续三角范数的 MengerPN
i 1
的乘积空间是通常线性赋范空间的笛卡尔乘积，其范数为
空间。

由 Schweizer 和 Sklar 文[1]r 的结果可知它是由下面邻域所导出的
·11·
沧州师范专科学校学报
第 18 卷
Hausdorff 线性拓扑空间（亦可参见文献[2]）。

由 n
的连续性可知
n
（4） {U y ( ， )，y E i 0， 0}
i 1
n
0, { y U ( ， )，y E i 0， 0}
i 1
sup （n
a , a ,
, a ） 1 故可取充分（1）的 当 1 2
n
a ( 0,1 )
i 1,2 , ,n
n
其中 U ( ， ) { y E i 0， 0}
i 1
（6） F ixi (
1 , i 1,2, , n 时，有
同理 (E i , F i , i ) 是下面邻域所导出的 Hausdorff 线性拓扑空间。

（5） {U yi ( ， )，y E i 0， 0}
= {y i U i ( ， )，y E i 0， 0}
n
n
( F i x i ( ）, , F nxn ( )) 1 ｝
n n
其中 U i ( ， )
x i E i 0， 0
(i 1,2, , n )
n
从而对于满足（）的（x , x ， , x ）
E 有
1 2
n
i
n
i
i
( x 1, x 2， , x n ) U ( , ) 进而使
U ( ， ) U 1 ( ， ) U 2 ( ， ) U n ( ， )U ( ，
),
n
i (i 1,2, , n ) 。

进而令 i
1 2
n
i 1
其中 。

n
为 1， 2， ， n 的积拓扑。

下面我们证明
与 是同一拓扑。

n
n
i E i i i 1
i 1
n
（ii ）的证明：
任取 i 的一个零邻域：
i 1 n
n n
定理 2.1 在定理 1.2 条件下，（ E ， n ）与（ E ， ）是同一
i i E i i i
i 1 i 1 i 1 i 1
Hausdorff 线性拓扑空间。

U U 1 ( ， ) U 2 ( ， ) U n ( ，
n
n
n
证明：由于（ E ， ）与（ E ， n ）均为线性拓扑空间，故只 我们取 及充分小的 0 使
i i i i E i
i 1
i 1
i
1 i 1
F ( x 1 , x 2， , x n ) ( ) sup (F ( ）, , F ( )) 1 1x 1 1 nxn n
n
需证：
n
2
i 2
n
（i ）任给
n 的一个零邻域U ( ， ) ，可找到 中的零邻域： 时，存在一个 n 元素数组
，
2 0，
， n 0
使
i
E i i 1
i i 1
1 U U 1 ( ， ) U
2 ( ， ) U n ( ，
n
n ( F ( 0）, , F ( 0
)) 1 2
( 0 )2
1x 1 1 nxn n
i i 1
使 U U ( ， )
且由 n 的连续性，当
充分小时，有
i 1,2, , n
F ( 0） 1 n
i x i i
（ii ）任给 i 中的一个零邻域
i 1
又由于 0 故当 (x , x ， , x ) U ( , ) 时 1 2 n
i 有 F i x i ( ） 1 则
U U ( ， ) U 2 ( ， ) U n ( ，
)
(x , x ， , x ) U
U 1( ， ) U 2 ( ， ) U n ( ， )
1 2 n 即是 U ( ， )
U )
可找到 n
中的零邻域
U ( ， ) 使 U ( ， ) U i E i i 1
（i ）的证明：
参考文献：
[1] B,Schweizer,A.Sklar,Pacific J.Math.10(1960).313-334 [2] 张石生.不动点理论及应用[M].重庆出版社，1983.
[责任编辑：陈景普]
任取 n 的零邻域 U ( ， ) ， U (
， ) =
i E i i 1
n
｛（x 1 , x 2， , x n ） E
i ，sup
n
(F 1（x 1 y 1) ( 1）, , F nxn ( n ))
1 ｝
i 1
n
2
i
2
On product space of probailistic normed space and its tpology
(Depratment of mathematics,Cangzhou teachers ’colleg e ,Cangzhou 061001，China)
Abstract: In this paper,the product space of probababilistic normed space is defined,that is also a probabilistic normed space.We also proved that
the topology.
Key words: product space;probabilistic ；normed space ；topology structure
·12·。