有理数易错题(Word版 含答案)

一、初一数学有理数解答题压轴题精选（难）
1．点在数轴上分别表示有理数，两点间的距离表示为 .且 .
（1）数轴上表示2和5的两点之间的距离是________，
数轴上表示−2和−5的两点之间的距离是________，
数轴上表示1和−3的两点之间的距离是________；
（2）数轴上表示x和−1的两点A和B之间的距离是________，如果|AB|=2，那么x=________；
（3）当代数式|x+1|+|x−2|取最小值时，相应x的取值范围是________.
【答案】（1）3；3；4
（2）1；-3
（3）−1⩽x⩽2
【解析】【解答】解：(1)、|2−5|=|−3|=3；
|−2−(−5)|=|−2+5|=3；
|1−(−3)|=|4|=4；
( 2 )、|x−(−1)|=|x+1|，由|x+1|=2，得x+1=2或x+1=−2，
所以x=1或x=−3；
( 3 )、数形结合，若|x+1|+|x−2|取最小值，那么表示x的点在−1和2之间的线段上，
所以−1⩽x⩽2.
【分析】（1）根据数轴上任意两点间的距离等于这两点所表示的数的差的绝对值即可算出答案；
（2）根据数轴上任意两点间的距离等于这两点所表示的数的差的绝对值得出AB=,又 |AB|=2 ，从而列出方程，求解即可；
（3）|x+1|+|x−2| 表示数x的点到-1的点距离与表示x的点到2的点距离和，根据两点之间线段最短得出当表示x的点在-1与2之间的时候，代数式|x+1|+|x−2|有最小值，从而得出x的取值范围.
2．如图1，A、B两点在数轴上对应的数分别为﹣12和4.
（1）直接写出A、B两点之间的距离；
（2）若在数轴上存在一点P，使得AP＝ PB，求点P表示的数.
（3）如图2，现有动点P、Q，若点P从点A出发，以每秒5个单位长度的速度沿数轴向右运动，同时点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左运动，当点Q到达原点O后立即以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右运动，求：当OP＝4OQ时的运动时间t的值.
【答案】（1）解：A、B两点之间的距离是：4﹣（﹣12）＝16
（2）解：设点P表示的数为x.分两种情况：
①当点P在线段AB上时，
∵AP＝ PB，
∴x+12＝（4﹣x），
解得x＝﹣8；
②当点P在线段BA的延长线上时，
∵AP＝ PB，
∴﹣12﹣x＝（4﹣x），
解得x＝﹣20.
综上所述，点P表示的数为﹣8或﹣20
（3）解：分两种情况：
①当t≤2时，点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左运动，
此时Q点表示的数为4﹣2t，P点表示的数为﹣12+5t，
∵OP＝4OQ，
∴12﹣5t＝4（4﹣2t），
解得t＝，符合题意；
②当t＞2时，点Q从原点O开始以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右运动，
此时Q点表示的数为3（t﹣2），P点表示的数为﹣12+5t，
∵OP＝4OQ，
∴|12﹣5t|＝4×3（t﹣2），
∴12﹣5t＝12t﹣24，或5t﹣12＝12t﹣24，
解得t＝，符合题意；或t＝，不符合题意舍去.
综上所述，当OP＝4OQ时的运动时间t的值为或秒
【解析】【分析】（1）根据两点间的距离公式即可求出A、B两点之间的距离；（2）设点P表示的数为x.分两种情况：①点P在线段AB上；②点P在线段BA的延长线上.根据
AP＝ PB列出关于x的方程，求解即可；（3）根据点Q的运动方向分两种情况：①当
t≤2时，点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左运动；②当t＞2时，点Q从原点O开始以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右运动，根据OP＝4OQ列出关于t的方程，解方程即可.
3．【新知理解】
如图①，点C在线段AB上，若BC=πAC，则称点C是线段AB的圆周率点，线段AC、BC 称作互为圆周率伴侣线段．
（1）若AC=3，则AB=________；
（2）若点D也是图①中线段AB的圆周率点（不同于点C），则AC________BD；（填“=”或“≠”）
（3）【解决问题】
如图②，现有一个直径为1个单位长度的圆片，将圆片上的某点与数轴上表示1的点重合，并把圆片沿数轴向右无滑动地滚动1周，该点到达点C的位置．
若点M、N是线段OC的圆周率点，求MN的长；
（4）图②中，若点D在射线OC上，且线段CD与以O、C、D中某两个点为端点的线段互为圆周率伴侣线段，请直接写出点D所表示的数．
【答案】（1）3+3
（2）=
（3）解：∵d=1，
∴c=d=，
∴C点表示的数为：+1，
∵M、N都是线段OC的圆周率点，
设点M离O点近，且OM=x，则CM=x，
∵OC=OM+ MC，
∴+1=x+x，
解得：x=1，
∴OM=CN=1，
∴MN=OC-OM-CN=+1-1-1=-1.
（4）解：设点D表示的数为x，则OD=x，
①若CD=OD，如图1，
∵OC=OD+CD，
∴+1=x+x，
解得：x=1，
∴点D表示的数为1；
②若OD=CD，如图2，
∵OC=OD+CD，
∴+1=x+，
解得：x=，
∴点D表示的数为；
③若OC=CD，如图3，
∵CD=OD-OC=x--1，
∴+1=（x--1），
解得：x=++1，
∴点D表示的数为++1；
④若CD=OC，如图4，
∵CD=OD-OC=x--1，
∴x--1=（+1），
解得：x=2+2+1，
∴点D表示的数为2+2+1；
综上所述：点D表示的数为：1、、++1、2+2+1.
【解析】【解答】解：（1）∵AC=3，BC=AC，
∴BC=3
∴AB=AC+CB=3+3.
故答案为：3+3.
（2）∵点D、C都是线段AB的圆周率点且不重合，
∴BC=AC，AD=BD，
设AC=x，BD=y，则BC=x，AD=y，
∵AB=AC+CB=AD+DB，
∴x+x=y+y，
∴x=y，
∴AC=BD.
故答案为：=.
【分析】（1）由已知条件求得BC长，再由AB=AC+CB即可求得答案.
（2）根据题意可得BC=AC，AD=BD，由此设AC=x，BD=y，则BC=x，AD=y，
由AB=AC+CB=AD+DB即可得AC=BD.
（3）根据题意可得C点表示的数为+1，根据M、N都是线段OC的圆周率点，设点M 离O点近，且OM=x，则CM=x，由OC=OM+ MC列出方程+1=x+x，解之可得OM=CN=1，由MN=OC-OM-CN即可求得.
（4）设点D表示的数为x，则OD=x，根据题意分情况讨论：①若CD=OD，②若OD=CD，③若OC=CD，④若CD=OC，根据题中定义分别列出方程，解之即可得出答案.
4．已知数轴上A，B两点对应数分别为-2和5，P为数轴上一点，对应数为x.
（1）若P为线段AB的三等分点（把一条线段平均分成相等的三部分的两个点），求P点对应的数.
（2）数轴上是否存在点P，使P点到A点，B点距离和为10？若存在，求出x值；若不存在，请说明理由.
（3）若点A，点B和点P（P点在原点）同时向左运动，它们的速度分别为1，6，3个长度单位/分，则第几分钟时，A，B，P三点中，其中一点是另外两点连成的线段的中点？【答案】（1）解：因数轴上A、B两点对应的数分别是﹣2和5，所以AB=7，又因P为线
段AB的三等分点，所以 AP=7÷3= 或AP=7÷3×2= ，所以P点对应的数为或
（2）解：若P在A点左侧，则﹣2﹣x+5﹣x=10，解得：x=﹣；
若P在A点、B中间.
∵AB=7，∴不存在这样的点P；
若P在B点右侧，则x﹣5+x+2=10，解得：x=
（3）解：设第x分钟时，点A的位置为：﹣2﹣x，点B的位置为：5﹣6x，点P的位置为：﹣3x，①当P为AB的中点，则
5﹣6x+（﹣2﹣x）=2×（﹣3x），解得：x=3；
②当A为BP中点时，则
2×（﹣2﹣x）=5﹣6x﹣3x，解得：x= ；
③当B为AP中点时，则
2×（5﹣6x）=﹣2﹣x﹣3x，解得：x= .
答：第分钟时，A为BP的中点；第分钟时，B为AP的中点；第3分钟时，P为AB的中点.
【解析】【分析】（1）根据两点间的距离公式得出AB=7，又因P为线段AB的三等分
点，所以 AP 或，进而再根据数轴上两点间的距离公式即可求出点P所表示的数；（2）分类讨论：若P在A点左侧，根据两点间的距离公式由PA+PB=10列出方程，求解算出x的值；若P在A点、B中间，由于PA+PB=AB=7,故不存在这样的点P；若P在B点右侧，根据两点间的距离公式由PA+PB=10列出方程，求解算出x的值，综上所述即可得出答案；
（3）设第x分钟时，点A的位置为：﹣2﹣x，点B的位置为：5﹣6x，点P的位置为：﹣3x ，然后分类讨论：①当P为AB的中点，②当A为BP中点时，③当B为AP中点时三种情况根据线段的中点性质列出方程，求解即可。

5．[背景知识]数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美的结合．研究数轴我们发现了许多重要的规律：数轴上A点、B点表示的数为a、b，则A，B两点之间的距离AB=|a﹣b|，若a＞b，则可简化为AB=a﹣b；线段AB的中点M表示的数为
．
[问题情境]
已知数轴上有A、B两点，分别表示的数为﹣10，8，点A以每秒3个单位的速度沿数轴向右匀速运动，点B以每秒2个单位向左匀速运动．设运动时间为t秒（t＞0）．
[综合运用]
（1）运动开始前，A、B两点的距离为________；线段AB的中点M所表示的数________．
（2）点A运动t秒后所在位置的点表示的数为________；点B运动t秒后所在位置的点表示的数为________；（用含t的代数式表示）
（3）它们按上述方式运动，A、B两点经过多少秒会相遇，相遇点所表示的数是什么？（4）若A，B按上述方式继续运动下去，线段AB的中点M能否与原点重合？若能，求出
运动时间，并直接写出中点M的运动方向和运动速度；若不能，请说明理由．（当A，B 两点重合，则中点M也与A，B两点重合）
【答案】（1）18；-1
（2）﹣10+3t；8﹣2t
（3）解：设它们按上述方式运动，A、B两点经过x秒会相遇，根据题意得﹣10+3x=8﹣2x，
解得x= ，
﹣10+3x= ．
答：A、B两点经过秒会相遇，相遇点所表示的数是；
（4）解：由题意得， =0，
解得t=2，
答：经过2秒A，B两点的中点M会与原点重合．M点的运动方向向右，运动速度为每秒
个单位长度．
故答案为18，﹣1；﹣10+3t，8﹣2t．
【解析】【解答】解：（1）运动开始前，A、B两点的距离为8﹣（﹣10）=18；线段AB
的中点M所表示的数为 =﹣1；（2）点A运动t秒后所在位置的点表示的数为﹣10+3t；点B运动t秒后所在位置的点表示的数为8﹣2t；
【分析】（1）根据A，B两点之间的距离AB=|a﹣b|，若a＞b，则可简化为AB=a﹣b及线
段AB的中点M表示的数为即可求解；（2）点A运动t秒后所在位置的点表示的数=运动开始前A点表示的数+点A运动的路程，点B运动t秒后所在位置的点表示的数=运动开始前B点表示的数﹣点B运动的路程；（3）设它们按上述方式运动，A、B两点经过x秒会相遇，等量关系为：点A运动的路程+点B运动的路程=18，依此列出方程，解方程即可；（4）设A，B按上述方式继续运动t秒线段AB的中点M能否与原点重合，根据线段AB的中点表示的数为0列出方程，解方程即可．
6．观察下列两个等式：2﹣＝2× +1，5﹣＝5× +1，给出定义如下：我们称使等式a ﹣b＝ab+1的成立的一对有理数a，b为“共生有理数对”，记为（a，b），如：数对（2，
），（5，），都是“共生有理数对”．
（1）数对（﹣2，1），（3，）中是“共生有理数对”的是________；
（2）若（m，n）是“共生有理数对”，则（﹣n，﹣m）________“共生有理数对”（填“是”或“不是”）；
（3）请再写出一对符合条件的“共生有理数对”为________；（注意：不能与题目中已有的“共生有理数对”重复）
（4）若（a，3）是“共生有理数对”，求a的值．
【答案】（1）
（2）是
（3）（0.-1）等
（4）解：∵（a，3）是“共生有理数对”，
∴a-3=3a+1
解之：a=-2.
【解析】【解答】（1）数对（﹣2，1）
∴-2×1+1=-1，-2-1=-3
-1≠-3
∴数对（﹣2，1）不是“共生有理数对”；
数对（3，）
∴，
∴数对（3，）是“共生有理数对”；
故答案为：（3，）；
（2）∵（m，n）是“共生有理数对”
∴m-n=mn+1
∴-n-（-m）=m-n
-n（-m）+1=mn+1
∴-n-（-m）=-n（-m）+1，
∴（﹣n，﹣m）是“共生有理数对”
故答案为：是.
（3）∵0×（-1）+1=1
0-（-1）=1
∴（0，-1）是“共生有理数对”.
【分析】（1）利用“共生有理数对”的定义：若（a，b）是“共生有理数对”，可得到a-b=ab+1，通过计算可作出判断。

（2）若（a，b）是“共生有理数对”，可得到a-b=ab+1，通过计算可作出判断。

（3）利用“共生有理数对”的定义，写出符合题意的“共生有理数对”即可。

（4）根据（a，3）是“共生有理数对”，建立关于a的方程，解方程求出a的值。

7．我国著名数学家华罗庚说过“数缺形时少直观，形少数时难入微”；数形结合是解决数学问题的重要思想方法.例如，代数式的几何意义是数轴上x所对应的点与2所对应的点之间的距离；因为，所以的几何意义就是数轴上x 所对应的点与-1所对应的点之间的距离．
⑴发现问题：代数式的最小值是多少？
⑵探究问题：如图，点分别表示的是，．
∵的几何意义是线段与的长度之和
∴当点在线段上时， ;当点点在点的左侧或点的右侧时
∴的最小值是3．
⑶解决问题：
①. 的最小值是 ________ ；
②.利用上述思想方法解不等式：
________
③.当为何值时，代数式的最小值是2________．
【答案】6；设A表示-3，B表示1，P表示x，∴线段AB的长度为4，则，的几何意义表示为PA+PB，∴不等式的几何意义是PA+PB＞AB，∴P 不能在线段AB上，应该在A的左侧或者B的右侧，即不等式的解集为或．故答案为：或．；设A表示-a，B表示3，P表示x，则线段AB 的长度为，的几何意义表示为PA+PB，当P在线段AB上时PA+PB取得最小值，∴∴或，即
或；故答案为：或 .
【解析】【解答】解：(3)①设A表示的数为4，B表示的数为-2，P表示的数为x ，
∴表示数轴上的点P到4的距离，用线段PA表示，
表示数轴上的点P到-2的距离，用线段PB表示，
∴的几何意义表示为PA+PB，当P在线段AB上时取得最小值为AB，且线段AB的长度为6，
∴的最小值为6.
故答案为：6.
【分析】(3)①根据绝对值的几何意义可知，变成数轴上的点到-2的距离和到4的距离之和的最小值；②根据题意画出相应的图形，确定出所求不等式的解集即可；③根据原式的最小值为2，得到3左边和右边，且到3距离为2的点即可．
8．已知点在数轴上对应的数为，点对应的数为，且 G 为线段上一点，两点分别从点沿方向同时运动，设点的运动速度为点的运动速度为，运动时间为 .
（1）点对应的数为________，点对应的数为________；
（2）若，试求为多少时，两点的距离为；
（3）若，点为数轴上任意一点，且，请直接写出的值. 【答案】（1）-4；11
（2）解：∵，且 ,
∴，
①
即
解得：
②
即
解得： ,
（3）解：①当点H在点B的左侧时，如图：
设，
∵，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
②当点H在点B的右侧时，如图：
∵，
而
∴
∴，
故答案为：或
【解析】【解答】（1）∵，
∴，，
∴，，
故答案为：；；
【分析】（1）根据平方与绝对值的和为0，可得平方、绝对值同时为0，可得答案；（2）分两种情况讨论：① ，② 分别列式计算即可；（3）也分两种情况讨论：①当点H在点B的左侧时，设，列式计算即可；②当点H在点B的右侧时，直接列式计算即可；
9．数轴上两个质点A．B所对应的数为−8、4，A．B两点各自以一定的速度在数轴上运动，且A点的运动速度为2个单位/秒。

（1）点A．B两点同时出发相向而行，在4秒后相遇，求B点的运动速度；
（2）A、B两点以(1)中的速度同时出发，向数轴正方向运动，几秒钟时两者相距6个单位长度；
（3）A、B两点以(1)中的速度同时出发，向数轴负方向运动，与此同时，C点从原点出发作同方向的运动，且在运动过程中，始终有CA=2CB，若干秒钟后，C停留在−10处，求此时B点的位置?
【答案】（1）解：设B点的运动速度为x个单位/秒，A.B两点同时出发相向而行，他们的时间均为4秒，
则有：，
解得x=1，
所以B点的运动速度为1个单位/秒
（2）解：设经过时间为t.
则B在A的前方，B点经过的路程−A点经过的路程=6，则
2t−t=6，解得t=6
A在B的前方，A点经过的路程−B点经过的路程=6，则
2t−t=12+6，解得t=18
（3）解：设点C的速度为y个单位/秒，运动时间为t，始终有CA=2CB，
即：
解得y=
当C停留在−10处,所用时间为：秒
B的位置为
【解析】【分析】（1）设B点的运动速度为x个单位/秒，根据A.B两点同时出发相向而行，时间均为4秒，列出方程即可，解得x即可；（2）分两种情况讨论：设经过时间为t 后，则B在A的前方，B点经过的路程-A点经过的路程=6；A在B的前方则A点经过的路程-B点经过的路程=6；列出等式解出t即可；（3）设点C的速度为y个单位/秒，运动时
间为t，始终有，，得y= ，当C停留在−10处,所用时间为：秒，B的位置为
10．点A、O、B、C从左向右依次在数轴上的位置如图所示，点O在原点，点A、B、C表示的数分别是a、b、c .
（1）若a=﹣2，b=4，c=8，D为AB中点，F为BC中点，求DF的长.
（2）若点A到原点的距离为3，B为AC的中点.
①用b的代数式表示c；
②数轴上B、C两点之间有一动点M，点M表示的数为x，无论点M运动到何处，代数式|x﹣c|﹣5|x﹣a|+bx+cx 的值都不变，求b的值.
【答案】（1）解：∵a=﹣2，b=4，c=8,
∴AB=6，BC=4，
∵D为AB中点，F为BC中点，
∴DB=3，BF=2，
∴DF=5
（2）解：①∵点A到原点的距离为3且a＜0，
∴a＝﹣3，
∵点B到点A，C的距离相等，
∴c-b＝b-a,
∵c﹣b＝b﹣a,a＝﹣3,
∴c＝2b+3,
答:b、c之间的数量关系为c＝2b+3.
②依题意，得x﹣c＜0，x-a＞0，
∴|x﹣c|＝c﹣x，|x-a|＝x-a，
∴原式＝bx+cx+c﹣x﹣5（x-a）＝bx+cx+c﹣x﹣5x+5a＝（b+c﹣6）x+c+5a,
∵c＝2b+3,
∴原式＝（b+2b+3﹣6）x+c+5×（﹣2）＝（3b﹣3）x+c-10,
∵当 P 点在运动过程中，原式的值保持不变，即原式的值与x无关,
∴3b﹣3＝0，
∴b＝1.
答：b的值为1
【解析】【分析】（1）先求出AB、BC的长，然后根据中点的定义计算即可；（2）①由B为AC的中点可得，AB=BC，然后根据点B到点A，C的距离相等列式求解即可；
②先去绝对值化简，然后根据当 P 点在运动过程中，原式的值保持不变，即可求出x的值.
11．已知M＝（a＋24）x3﹣10x2＋10x＋5是关于x的二次多项式，且二次项系数和一次项系数分别为b和c，在数轴上A、B、C三点所对应的数分别是a、b、c.
（1）则a＝________，b＝________，c＝________.
（2）有一动点P从点A出发，以每秒4个单位的速度向右运动，多少秒后，P到A、B、C 的距离和为40个单位？
（3）在（2）的条件下，当点P移动到点B时立即掉头，速度不变，同时点T和点Q分别从点A和点C出发，向左运动，点T的速度1个单位/秒，点Q的速度5个单位/秒，设点
P、Q、T所对应的数分别是x P、x Q、x T，点Q出发的时间为t，当＜t＜时，求2|x P ﹣x T|＋|x T﹣x Q|＋2|x Q﹣x P|的值.
【答案】（1）﹣24；﹣10；10
（2）解：①当点P在线段AB上时，14＋（34﹣4t）＝40，解得t＝2.
②当点P在线段BC上时，34＋（4t﹣14）＝40，解得t＝5，
③当点P在AC的延长线上时，4t+（4t-14）+（4t-34）=40，解得t= ,不符合题意，排除，
∴t＝2s或5s时，P到A、B、C的距离和为40个单位.
（3）解：当点P追上T的时间t1= .
当Q追上T的时间t2= .
当Q追上P的时间t3= =20，
∴当＜t＜时，位置如图，
∴2|x P﹣x T|＋|x T﹣x Q|＋2|x Q﹣x P|
＝2(3t－14)＋34－4t＋2(20－t)6t－28＋34－4t＋40－2t
＝74－28
＝46.
【解析】【解答】解：（1）∵M＝（a＋24）x3﹣10x2＋10x＋5是关于x的二次多项式，∴a＋24＝0，b＝﹣10，c＝10，∴a＝﹣24，
故答案为﹣24，﹣10，10.
【分析】（1）根据二次多项式的定义，列出方程求解即可；（2）分三种情形，分别构建方程即可解决问题；（3）当点P追上T的时间t1= .当Q追上T的时间t2=
.当Q追上P的时间t3= =20，推出当＜t＜时，位置如图，利用绝对值的性质即可解决问题.
12．小红和小明在研究绝对值的问题时，碰到了下面的问题：
“当式子|x+1|+|x﹣2|取最小值时，相应的x的取值范围是，最小值是”．
小红说：“如果去掉绝对值问题就变得简单了．”
小明说：“利用数轴可以解决这个问题．”
他们把数轴分为三段：x＜﹣1，﹣1≤x≤2和x＞2，经研究发现，当﹣1≤x≤2时，式子|x+1|+|x﹣2|的最小值为3．
请你根据他们的解题解决下面的问题：
（1）当式子|x﹣2|+|x﹣4|取最小值时，相应的x的取值范围是________，最小值是________．
（2）已知y=|x+8|﹣|x－2|，求相应的x的取值范围及y的最大值．写出解答过程．
【答案】（1）；2
（2）解：当x＞2时y＝x+8﹣（x－2）=10，
当−8≤x≤2时，y＝x+8+（x－2）=2x＋6，当x=2时，y最大＝10；
当x＜−8，时y＝-x-8+（x－2）=-10，
综上所以x≥2时，y有最大值y＝10．
【解析】【解答】（1）当x＜2时，原式＝6−2x，此时6−2x＞2；当2≤x≤4时，原式＝2；
当x＞4时，原式＝2x−6＞2，
∴当2≤x≤4时，|x−2|＋|x−4|取最小值时，最小值为2．
故答案为：2≤x≤4；2．
【分析】（1）根据线段上的点与线段的端点的距离最小，可得答案；（2）根据两个绝对值，可得分类的标准，根据每一段的范围，可得到答案．。