(新课标)高三数学一轮复习 大题冲关集训(三)理

大题冲关集训(三)
1.(2014哈尔滨一模)数列{a n}满足a n+1-a n=2,a1=2,等比数列{b n}满足b1=a1,b4=a8.
(1)求数列{a n},{b n}的通项公式;
(2)设c n=a n b n,求数列{c n}的前n项和T n.
解:(1)a n+1-a n=2,a1=2,
所以数列{a n}为等差数列,
则a n=2+(n-1)×2=2n,
b1=a1=2,b4=a8=16,
所以q3==8,q=2,
则b n=2n.
(2)c n=a n b n=n·2n+1,
则T n=1×22+2×23+3×24+…+n·2n+1,
2T n=1×23+2×24+3×25+…+n·2n+2,
两式相减得-T n=1×22+23+24+…+2n+1-n·2n+2,
整理得T n=(n-1)2n+2+4.
2.(2013高考福建卷)已知等差数列{a n}的公差d=1,前n项和为S n.
(1)若1,a1,a3成等比数列,求a1;
(2)若S5>a1a9,求a1的取值范围.
解:(1)因为数列{a n}的公差d=1,且1,a1,a3成等比数列,
所以=1×(a1+2),
即-a1-2=0,
解得a1=-1或a1=2.
(2)因为数列{a n}的公差d=1,且S5>a1a9,
所以5a1+10>+8a1,
即+3a1-10<0,
解得-5<a1<2.
3.在正项数列{a n}中,a1=2,点A n(,)在双曲线y2-x2=1上,数列{b n}中,点(b n,T n)在直线y=-x+1上,其中T n是数列{b n}的前n项和.
(1)求数列{a n}的通项公式;
(2)求证:数列{b n}是等比数列.
(1)解:由题a n+1-a n=1,
即{a n}是以2为首项,公差为1的等差数列.
a n=2+n-1=n+1.
(2)证明:由(b n,T n)在y=-x+1上,
则T n=-b n+1,
T n-1=-b n-1+1,n≥2,
b n=-b n+b n-1,n≥2,
b n=b n-1,n≥2.
又b1=-b1+1,
得b1=,
则{b n}是以为首项,公比为的等比数列.
4.(2014高考新课标全国卷Ⅰ)已知数列{a n}的前n项和为S n,a1=1,a n≠0,a n a n+1=λS n-1,其中λ为常数.
(1)证明:a n+2-a n=λ;
(2)是否存在λ,使得{a n}为等差数列?并说明理由.
(1)证明:由题设,a n a n+1=λS n-1,a n+1a n+2=λS n+1-1.
两式相减得a n+1(a n+2-a n)=λa n+1.
由于a n+1≠0,所以a n+2-a n=λ.
(2)解:存在满足题意的λ,
由题设,a1=1,a1a2=λS1-1,可得a2=λ-1.
由(1)知,a3=λ+1,
令2a2=a1+a3,解得λ=4.
故a n+2-a n=4,由此可得
{a2n-1}是首项为1,公差为4的等差数列,a2n-1=4n-3;
{a2n}是首项为3,公差为4的等差数列,a2n=4n-1.
所以a n=2n-1,a n+1-a n=2.
因此存在λ=4,使得数列{a n}为等差数列.
5.(2014洛阳模拟)已知函数f(x)=(x≠-1,x∈R),数列{a n}满足a1=a(a≠-1,a∈R),a n+1=f(a n)(n∈N*).
(1)若数列{a n}是常数列,求a的值;
(2)当a1=4时,记b n=(n∈N*),证明数列{b n}是等比数列,并求出通项公式a n. 解:(1)因为f(x)=,
a1=a,a n+1=f(a n)(n∈N*),
数列{a n}是常数列,
所以a n+1=a n=a,
即a=,
解得a=2或a=1.
所以所求实数a的值是1或2.
(2)因为a1=4,b n=(n∈N*),
所以b1=,
b n+1===,
即b n+1=b n(n∈N*).
所以数列{b n}是以b1=为首项,q=为公比的等比数列,
于是b n=（）n-1=（）n(n∈N*),
由b n=,
即=（）n,
解得a n=(n∈N*),
所以所求的通项公式a n=(n∈N*).
6.已知等差数列{a n}的首项a1=3,且公差d≠0,其前n项和为S n,且a1,a4,a13分别是等比数列{b n}的b2,b3,b4.
(1)求数列{a n}与{b n}的通项公式;
(2)证明:≤++…+<.
(1)解:设等比数列{b n}的公比为q,
∵a1,a4,a13分别是等比数列{b n}的b2,b3,b4,
∴(a1+3d)2=a1(a1+12d).
又a1=3,
∴d2-2d=0,
∴d=2或d=0(舍去).
∴a n=3+2(n-1)=2n+1.
等比数列{b n}的公比为q===3,b1==1.
∴b n=3n-1.
(2)证明:由(1)知S n=n2+2n,
∴==（-）,
∴++…+
=
=（1+--）
=-（+）<.
∵+≤+=,
∴-(+)≥,
∴≤++…+<.
7.(2015上饶六校月考)已知等差数列{a n}的前n项和为S n,且a2=2,S5=15,数列{b n}满足
b1=,b n+1=b n.
(1)求数列{a n},{b n}的通项公式;
(2)记T n为数列{b n}的前n项和,f(n)=,试问f(n)是否存在最大值,若存在,求出最大值;若不存在,请说明理由.
解:(1)设等差数列{a n}的首项为a1,公差为d,
则
解得a1=1,d=1,
∴a n=n,
由题意知=,
∴=()n-1,
∴b n=.
(2)由(1),得T n=+++…+,
T n=+++…+,
所以T n=2-,
又S n=,
所以f(n)==,
f(n+1)-f(n)=-=,
当n≥3,n∈N*时,f(n+1)-f(n)<0,
当n<3,n∈N*时,f(n+1)-f(n)≥0,
又f(1)=1,f(2)=,f(3)=,
∴f(n)存在最大值,为.
8.某企业的资金每一年都比上一年分红后的资金增加一倍,并且每年年底固定给股东们分红500万元.该企业2010年年底分红后的资金为1000万元.
(1)求该企业2014年年底分红后的资金;
(2)求该企业从哪一年开始年底分红后的资金超过32500万元.
解:设a n(单位:万元)为(2010+n)年年底分红后的资金,其中n∈N*, 则a1=2×1000-500=1500,
a2=2×1500-500=2500,…,a n=2a n-1-500(n≥2).
∴a n-500=2(a n-1-500)(n≥2),
即数列{a n-500}是以a1-500=1000为首项,
公比为2的等比数列,
∴a n-500=1000×2n-1,
∴a n=1000×2n-1+500.
(1)a4=1000×24-1+500=8500,
∴该企业2014年年底分红后的资金为8500万元.
(2)由a n>32500,即2n-1>32,得n>6,
∴该企业从2017年开始年底分红后的资金超过32500万元.。