延平区第三中学校2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学

延平区第三中学校2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学
班级__________
姓名__________ 分数__________
一、选择题
1． 若圆上有且仅有三个点到直线是实数）的距离为，2
2
6260x y x y +--+=10(ax y a -+=则（
）
a =
A ．
B ．
C ．
D ．1±2． 设a ，b 为实数，若复数，则a ﹣b=（
）
A ．﹣2
B ．﹣1
C ．1
D ．2
3． 在△ABC 中，，则这个三角形一定是（
）
A ．等腰三角形
B ．直角三角形
C ．等腰直角三角
D ．等腰或直角三角形
4． 若函数()()22f x x πϕϕ⎛
⎫=+< ⎪⎝
⎭的图象关于直线12x π=对称，且当
12172123x x π
π⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭
，，，12x x ≠时，()()12f x f x =，则()12f x x +等于（
）
A
B
D 5． 设集合
,,则( )
A B
C D
6． 如图，某几何体的正视图（主视图），侧视图（左视图）和俯视图分别是等边三角形，等腰三角形和菱形，则该几何体体积为（
）
A ．
B ．4
C ．
D ．2
7． 幂函数y=f （x ）的图象经过点（﹣2，﹣），则满足f （x ）=27的x 的值是（ ）
A ．
B ．﹣
C ．3
D ．﹣3
8． （2014新课标I ）如图，圆O 的半径为1，A 是圆上的定点，P 是圆上的动点，角x 的始边为射线OA ，终边为射线OP ，过点P 做直线OA 的垂线，垂足为M ，将点M 到直线OP 的距离表示为x 的函数f （x ），则y=f （x ）在[0，π]的图象大致为（
）
A ．
B ．
C ．
D ．
9． 已知a=log 23，b=8﹣0.4，c=sin
π，则a ，b ，c 的大小关系是（
）
A ．a ＞b ＞c
B ．a ＞c ＞b
C ．b ＞a ＞c
D ．c ＞b ＞a
10．已知抛物线2
8y x =与双曲线的一个交点为M ，F 为抛物线的焦点，若，则该双曲
22
21x y a
-=5MF =线的渐近线方程为
A 、
B 、
C 、
D 、530x y ±=350x y ±=450x y ±=540x y ±=11．圆锥的高扩大到原来的 倍，底面半径缩短到原来的，则圆锥的体积（ ）1
2
A.缩小到原来的一半
B.扩大到原来的倍
C.不变
D.缩小到原来的
16
12．下列式子表示正确的是（ ）
A 、
B 、
C 、
D 、{}00,2,3⊆{}{}22,3∈{}1,2φ∈{}
0φ⊆二、填空题
13．设，记不超过的最大整数为，令.现有下列四个命题: x R ∈x []x {}[]x x x =-①对任意的，都有恒成立；x 1[]x x x -<≤②若，则方程的实数解为；
(1,3)x ∈{}2
2sin
cos []1x x +=6π-③若（），则数列的前项之和为；
3n n a ⎡⎤
=⎢⎥⎣⎦n N *∈{}n a 3n 23
1
22n n -④当时，函数的零点个数为，函数的0100x ≤≤{}2
2
()sin []sin
1f x x x =+-m {}()[]13
x
g x x x =⋅-
-零点个数为，则.
n 100m n +=其中的真命题有_____________.（写出所有真命题的编号）
【命题意图】本题涉及函数、函数的零点、数列的推导与归纳，同时又是新定义题，应熟悉理解新定义，将问题转化为已知去解决，属于中档题。

14．设A={x|x ≤1或x ≥3}，B={x|a ≤x ≤a+1}，A ∩B=B ，则a 的取值范围是 ．15．已知函数f （x ）=，若f （f （0））=4a ，则实数a= ．
16．已知（2x ﹣
）n 展开式的二项式系数之和为64，则其展开式中常数项是 ．
17．设曲线y=x n+1（n ∈N *）在点（1，1）处的切线与x 轴的交点的横坐标为x n ，令a n =lgx n ，则a 1+a 2+…+a 99的值为 ．　
18．已知,则函数的解析式为_________.
()2
12811f x x x -=-+()f x 三、解答题
19．在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为
（t 为参数）．再以原点为极点，以x 正半轴为
极轴建立极坐标系，并使得它与直角坐标系xOy 有相同的长度单位．在该极坐标系中圆C 的方程为ρ=4sin θ．（1）求圆C 的直角坐标方程；
（2）设圆C 与直线l 交于点A 、B ，若点M 的坐标为（﹣2，1），求|MA|+|MB|的值．　
20．某农户建造一座占地面积为36m 2的背面靠墙的矩形简易鸡舍，由于地理位置的限制，鸡舍侧面的长度x 不得超过7m ，墙高为2m ，鸡舍正面的造价为40元/m 2，鸡舍侧面的造价为20元/m 2，地面及其他费用合计为1800元．
（1）把鸡舍总造价y 表示成x 的函数，并写出该函数的定义域．（2）当侧面的长度为多少时，总造价最低？最低总造价是多少？
21．已知函数
．
（1）求f （x ）的周期．（2）当时，求f （x ）的最大值、最小值及对应的x 值．
22．如图，在三棱锥 中，分别是的中点，且
P ABC -,,,E F G H ,,,AB AC PC BC .
,PA PB AC BC ==
（1）证明： ；
AB PC ⊥（2）证明：平面 平面 .
PAB A FGH 23．设数列{a n }是等差数列，数列{b n }的前n 项和S n 满足S n =（b n ﹣1）且a 2=b 1，a 5=b 2（Ⅰ）求数列{a n }和{b n }的通项公式；
（Ⅱ）设c n =a n •b n ，设T n 为{c n }的前n 项和，求T n ．
24．（本小题满分12分）
设0
3πα⎛
⎫∈ ⎪⎝
⎭，αα+=（1）求cos 6πα⎛
⎫+ ⎪⎝
⎭的值；
（2）求cos 212πα⎛
⎫+ ⎪⎝
⎭的值．
延平区第三中学校2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学（参考答案）
一、选择题
1． 【答案】B 【解析】
试题分析：由圆，可得，所以圆心坐标为，半径为
2
2
6260x y x y +--+=2
2
(3)(1)4x y -+-=(3,1)，要使得圆上有且仅有三个点到直线是实数）的距离为，则圆心到直线的距离等于2r =10(ax y a -+=
，解得
B. 11
2r 1=a =±
考点：直线与圆的位置关系.
【方法点晴】本题主要考查了直线与圆的位置关系，其中解答中涉及到圆的标准方程、圆心坐标和圆的半径、点到直线的距离公式等知识点的综合考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力和转化的思想方法，本题的解答中，把圆上有且仅有三个点到直线的距离为，转化为圆心到直线的距离等于12
r 是解答的关键
.
2． 【答案】C 【解析】解：，因此
．a ﹣b=1．
故选：C ．
3． 【答案】A 【解析】解：∵，又∵cosC=，
∴
=
，整理可得：b 2=c 2，
∴解得：b=c ．即三角形一定为等腰三角形．故选：A ．　
4． 【答案】C 【
解
析
】
考
点：函数的图象与性质.
【方法点晴】本题主要考查函数的图象与性质，涉及数形结合思想、函数与方程思想、转化化归思想，考查逻辑推理能力、化归能力和计算能力，综合程度高，属于较难题型．首先利用数形结合思想和转化化归思想可得
()2122k k ππϕπ⨯
+=
+∈Z ，解得3π
ϕ=
，从而()23f x x π⎛
⎫=+ ⎪⎝
⎭，再次利用数形结合思想和转化化归思想
可得()()()()1122x f x x f x ，，，关于直线1112x π=-对称，可得12116
x x π
+=-，从而
()12113
3f x x ππ⎛⎫
+=-+=
⎪⎝⎭．5． 【答案】C
【解析】送分题,直接考察补集的概念,,故选C 。

6． 【答案】C
【解析】解：由已知中该几何中的三视图中有两个三角形一个菱形可得这个几何体是一个四棱锥
由图可知，底面两条对角线的长分别为2，2，底面边长为2
故底面棱形的面积为=2
侧棱为2，则棱锥的高h=
=3
故V=
=2
故选C
7． 【答案】A
【解析】解：设幂函数为y=x α，因为图象过点（﹣2，﹣），所以有=（﹣2）α，解得：α=﹣3
所以幂函数解析式为y=x ﹣3，由f （x ）=27，得：x ﹣3=27，所以x=．
故选A ．　
8． 【答案】 C
【解析】解：在直角三角形OMP 中，OP=1，∠POM=x ，则OM=|cosx|，∴点M 到直线OP 的距离表示为x 的函数f （x ）=OM|sinx|=|cosx||sinx|=|sin2x|，其周期为T=，最大值为，最小值为0，
故选C ．
【点评】本题主要考查三角函数的图象与性质，正确表示函数的表达式是解题的关键，同时考查二倍角公式的运用．　
9． 【答案】B
【解析】解：1＜log 23＜2，0＜8﹣0.4=2﹣1.2，sin
π=sin π
，
∴a ＞c ＞b ，故选：B ．
【点评】本题主要考查函数值的大小比较，根据对数函数，指数函数以及三角函数的图象和性质是解决本题的关键．　
10．【答案】Ａ
【解析】：依题意，不妨设点M 在第一象限，且Mx 0，y 0，
由抛物线定义，|MF |＝x 0＋，得5＝x 0＋2.
p
2
∴x 0＝3，则y ＝24，所以M 3，2，又点M 在双曲线上，2
06∴－24＝1，则a 2＝，a ＝，32a 292535因此渐近线方程为5x ±3y ＝0.11．【答案】A 【解析】
试题分析：由题意得，设原圆锥的高为，底面半径为，则圆锥的体积为，将圆锥的高扩大到原来2
113
V r h π=
的倍，底面半径缩短到原来的，则体积为，所以，故选A.
122
22111(2)326
V r h r h ππ=⨯=122V V =考点：圆锥的体积公式.112．【答案】D 【解析】
试题分析：空集是任意集合的子集。

故选D 。

考点：1.元素与集合的关系；2.集合与集合的关系。

二、填空题
13．【答案】①③
【解析】对于①，由高斯函数的定义，显然，①是真命题；对于②，由得，
1[]x x x -<≤{}2
2sin
cos []1x x +=，即.当 时，，，此时
{}22sin 1cos []x x =-{}22sin sin []x x =12x <<011x <-<0sin(1)sin1x <-<化为，方程无解；当 时，，，
{}22sin sin []x x =22sin (1)sin 1x -=23x ≤<021x ≤-<0sin(2)sin1x ≤-<此时化为，所以或，即或，所以原方
{}2
2sin
sin []x x =sin(2)sin 2x -=22x -=22x π-+=4x =x π=程无解.故②是假命题；对于③，∵（），∴，，，
3n n a ⎡⎤
=⎢⎥⎣⎦n N *∈1103a ⎡⎤
==⎢⎥⎣⎦2203a ⎡⎤
==⎢⎥⎣⎦3313a ⎡⎤
==⎢⎥⎣⎦
，…，，，所以数列的前项之和4413a ⎡⎤==⎢⎥⎣⎦31311[]133n n a n n --⎡⎤==-=-⎢⎥⎣⎦33[]3n n a n n ⎡⎤
===⎢⎥⎣⎦
{}n a 3n 为，故③是真命题；对于④，由
3[12(1)]n n +++-+= 231
22
n n -
14．【答案】　a≤0或a≥3　．
【解析】解：∵A={x|x≤1或x≥3}，B={x|a≤x≤a+1}，且A∩B=B，∴B⊆A，
则有a+1≤1或a≥3，
解得：a≤0或a≥3，
故答案为：a≤0或a≥3．
15．【答案】　2　．
【解析】解：∵f （0）=2，
∴f （f （0））=f （2）=4+2a=4a ，
所以a=2
故答案为：2．
16．【答案】　60　．
【解析】解：由二项式系数的性质，可得2n =64，解可得，n=6；
（2x ﹣）6的展开式为为T r+1=C 66﹣r •（2x ）6﹣r •（﹣）r =（﹣1）r •26﹣r •C 66﹣r •，
令6﹣r=0，可得r=4，
则展开式中常数项为60．
故答案为：60．
【点评】本题考查二项式定理的应用，注意系数与二项式系数的区别．
17．【答案】　﹣2　．
【解析】解：∵曲线y=x n+1（n ∈N *），
∴y ′=（n+1）x n ，∴f ′（1）=n+1，
∴曲线y=x n+1（n ∈N *）在（1，1）处的切线方程为y ﹣1=（n+1）（x ﹣1），
该切线与x 轴的交点的横坐标为x n =
，
∵a n =lgx n ，
∴a n =lgn ﹣lg （n+1），
∴a 1+a 2+…+a 99
=（lg1﹣lg2）+（lg2﹣lg3）+（lg3﹣lg4）+（lg4﹣lg5）+（lg5﹣lg6）+…+（lg99﹣lg100）
=lg1﹣lg100=﹣2．
故答案为：﹣2．
18．【答案】()2245
f x x x =-+【解析】
试题分析：由题意得，令，则，则，所以函数1t x =-1x t =+()222(1)8(1)11245f t t t t t =+-++=-+()f x
的解析式为.()2
245f x x x =-+考点：函数的解析式.
三、解答题
19．【答案】
【解析】解：（1）方程ρ=4sin θ的两边同时乘以ρ，得ρ2=4ρsin θ，将极坐标与直角坐标互化公式
代入上式，
整理得圆C 的直角坐标方程为x 2+y 2﹣4y=0．
（2）由消去t ，得直线l 的普通方程为y=x+3，因为点M （﹣2，1）在直线l 上，可设l 的标准参数方程为
，代入圆C 的方程中，得
．设A ，B 对应的参数分别为t 1，t 2，由韦达定理，得＞0，t 1t 2=1＞0，
于是|MA|+|MB|=|t 1|+|t 2|=
，即|MA|+|MB|=．【点评】1．极坐标方程化直角坐标方程，一般通过两边同时平方，两边同时乘以ρ等方式，构造或凑配ρ2，ρcos θ，ρsin θ，再利用互化公式转化．常见互化公式有ρ2=x 2+y 2，ρcos θ=x ，ρsin θ=y ，（x ≠0）等．2.参数方程化普通方程，关键是消参，常见消参方式有：代入法，两式相加、减，两式相乘、除，方程两边同时平方等．
3.运用参数方程解题时，应熟练参数方程中各量的含义，即过定点M 0（x 0，y 0），且倾斜角为α的直线的参数方程为
，参数t 表示以M 0为起点，直线上任意一点M 为终点的向量的数量，即当
沿直线向上时，t=；当沿直线向下时，t=﹣．　20．【答案】
【解析】解：（1）…
=…
定义域是（0，7]…
（2）∵，…
当且仅当即x=6时取=…
∴y≥80×12+1800=2760…
答：当侧面长度x=6时，总造价最低为2760元．…
21．【答案】
【解析】解：（1）∵函数．
∴函数f（x）=2sin（2x+）．
∴f（x）的周期T==π
即T=π
（2）∵
∴，
∴﹣1≤sin（2x+）≤2
最大值2，2x=，此时，
最小值﹣1，2x=此时
【点评】本题简单的考察了三角函数的性质，单调性，周期性，熟练化为一个角的三角函数形式即可．　
22．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析．
【解析】
考点：平面与平面平行的判定；空间中直线与直线的位置关系.
23．【答案】
【解析】解：（Ⅰ）∵数列{b n}的前n项和S n满足S n=（b n﹣1），
∴b1=S1=，解得b1=3．
当n≥2时，b n=S n﹣S n﹣1=，
化为b n=3b n﹣1．
∴数列{b n}为等比数列，
∴．
∵a2=b1=3，a5=b2=9．
设等差数列{a n}的公差为d．
∴，解得d=2，a1=1．
∴a n =2n ﹣1．
综上可得：a n =2n ﹣1，．
（Ⅱ）c n =a n •b n =（2n ﹣1）•3n ．
∴T n =3+3×32+5×33+…+（2n ﹣3）•3n ﹣1+（2n ﹣1）•3n ，
3T n =32+3×33+…+（2n ﹣3）•3n +（2n ﹣1）•3n+1．
∴﹣2T n =3+2×32+2×33+…+2×3n ﹣（2n ﹣1）•3n+1=
﹣（2n ﹣1）•3n+1﹣3=（2﹣2n ）•3n+1﹣6．∴．
【点评】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式、“错位相减法”和等比数列的前n 项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
24．【答案】（1；（2．【解析】
试题分析：（1αα=⇒ sin 6πα⎛⎫+= ⎪⎝
⎭03πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，⇒662πππα⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，
⇒cos 6πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭；（2）由（1）可得21cos 22cos 1364ππαα⎛⎫⎛⎫+=+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⇒sin 23πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭
⇒cos 2cos 2cos 2cos sin 2sin 12343434πππππππαααα⎡⎤⎛⎫
⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+-=+++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦=．
试题解析：（1αα+∴
sin 6πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭
………………………………3分
∵03πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，∴662πππα⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，，∴cos 6πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭
………………………………6分
（2）由（1）可得2
21cos 22cos 121364ππαα⎛⎫⎛⎫+=+-=⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．………………………………8分
∵03πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，∴233ππαπ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，，∴sin 23πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭．……………………………………10分∴cos 2cos 2cos 2cos sin 2sin 12343434πππππππαααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+-=+++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝
⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦
=．………………………………………………………………………………12分考点：三角恒等变换．。