2017-2018学年广东省北京师范大学东莞石竹附属学校高一数学上第二次月考试题(含答案)

2017—2018学年度第一学期高一年级第二次月考数学试题
总分：150分 时长：120分钟
第Ⅰ卷
一、选择题：（本题共12小题，每小题5分，共60分 ） 1.下列各组中，全是数学家的一组是（ ）
A. 康托、高斯、苏步青、莫言
B. 纳皮尔、韦达、祖冲之、陈景润
C. 欧拉、莎士比亚、华罗庚、牛顿
D. 高斯、笛卡尔、莫扎特、康托 2. 两条直线a ，b 满足a ∥b ，b α⊂，则a 与平面α的关系是( )
A.a ∥α
B.a 与α相交
C.a 与α不相交
D.a α⊂
3、若两个球的表面积之比为1:4,则这两个球的体积之比为（ ）
A ．1:2
B ．1:4
C ．1:8
D ．1:16
4．已知幂函数αx x f =)(的图象过点（4，2），若f （m ）=3，则实数m 的值为（ ）
A ．3
B ．3±
C ．±9
D ．9
5． 设3log 2
1=a ,2
.0)31(=b ,31
2=c ,则a,b,c 的大小顺序为 ( )
A.a<b<c
B.c<b<a
C.c<a<b
D.b<a<c
6. c b a ,,为三条不重合的直线，γβα，，为三个不重合的平面，现给出四个命题其中正确的命题是（ ） ①
βαβα//////⇒⎭⎬⎫c c ② βαγβγα//////⇒⎭⎬⎫ ③ αα//////a c a c ⇒⎭⎬⎫ ④ αγαγ//////a a ⇒⎭
⎬⎫
A.①②③
B.①④
C.②
D.①③④
7、《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍，其中记载有求“囷盖”的术：置如其周，令相乘也. 又以高乘之，三十六成一. 该术相当于给出了由圆锥的底面周长L 与高h ，计算其体积V 的近似公h L V 2
36
1≈
. 它
实际上是将圆锥体积公式中的圆周率π近似取为3.那么，近似公式h L V 2
75
2=相当于将圆锥体积公式中的π近似取为（ ）
A.7
22 B.
825 C. 50
157
D.
113
355
8. 正方体ABCD A B C D ''''-中，直线D A '与DB 所成的角为( )
A ．0
30 B ．0
45 C ．0
60 D ．0
90
9．根据表格中的数据，可以判定函数3)(--=x e x f x 的一个零点所在的区间是（ ）
A ．（﹣1，0）
B ．（0，1）
C ．（1，2）
D ．（2，3）
10．已知函数x x x f 42)(2+-=在区间[m ，3]上的值域为[﹣6，2]，则实数m 的取值范围是（ ）
A ．[﹣1，1]
B ．（﹣1，1]
C ．[﹣1，3 ）
D ．[1，3）
11. 已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4体积为16，则这个球的表面积为（ ）
A.16π
B.20π
C.24π
D.32π
12．已知偶函数)(x f 与奇函数)(x g 的定义域都是]2,2[-，它们在[0，2]上的图象如图所示，则使关于x 的不等式0)()(<⋅x g x f 成立的x 的取值范围为（ ）
A ．（﹣2，﹣1）∪（1，2）
B ．（﹣1，0）∪（0，1）
C ．（﹣2，﹣1）∪（0，1）
D ．（﹣1，0）∪（1，2）
第Ⅱ卷
二、填空题：（本题共4小题，每小题5分）
13．定义集合A ﹣B={x|x ∈A 且x ∉B}，若M={1，2，3，4，5}，N={0，2，3，6，7}，则
集合N ﹣M= ． 14．函数x
x f x 3log 1
22)(+
-=
的定义域为 ． 15.一个四面体的三视图如图所示，则该四面体的表面积是 ．
16．若函数⎪⎩
⎪
⎨⎧≤+->=12)24(1)(x x a x a x f x 是R 上的增函数，则实数a 的取值范围为 ． 三、解答题：（共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（10分）设全集R U =，集合},41|{<≤=x x A }32|{a x a x B -<≤=． （1）若2-=a ，求)(,A C B A B U ⋂⋂；
（2）当1<a 时，若A B ⊆，求实数a 的取值范围．
18.（12分）如图所示(单位:cm),四边形ABCD 是直角梯形,求图中阴影部分绕AB 旋转一周所 成几何体的表面积和体积.
参考公式：
l r R S )(+=π圆台侧面积
24R S π=球
h S SS S V )(3
1''++=’
‘
台
33
4R V π=球
俯视图
侧（左）视图
正（主）视图2
2
2
1
1
1
2
1
19．（12分）已知函数1
)(+-=
x c
x x f , 其中c 为常数，且函数)(x f 图像过原点. (1) 求c 的值，并求证：1)()1
(=+x f x
f
(2) 证明函数)(x f 在[0,2]上是单调递增函数
20. （12分）直三棱柱111ABC A B C -中，ABC ∆是边长为
2的等边
三角形，D 为AB 边中点，且12CC AB =． （1）求证：1AC ∥平面1CDB ； （2）求三棱锥1D CBB -的体积．
21．（12分）已知函数))1(log )1(log )(22R a x a x x f ∈-++=（的图象关于y 轴对称．
（1）求函数)(x f 的定义域； （2）求a 的值；
（3）若函数t x x g x f 22)()(--=有两个不同的零点，求实数t 的取值范围．
C 1
B 1
A 1
D C
B A
22. （12分）已知函数m mx x x f -+-=2)(. （1）若函数)(x f 的最大值为0，求实数m 的值；
（2）是否存在实数m ，使得)(x f 在]3,2[上的值域恰好是]3,2[？若存在求出m 的值，若不存在说明理由
13. }7,6,0{
14.（0,1）
15. 32+ 16. )8,4[ 17. 解：（Ⅰ）∵集合A={x|1≤x ＜4}，∴C U A={x|x ≥4或x ＜1}，
a=﹣2时，B={x|﹣4≤x ＜5}，…（2分）
∴B ∩A={x|1≤x ＜4}，B ∩C U A={x|﹣4≤x ＜1或4≤x ＜5}．…（5分） （Ⅱ）∵A ∪B=A ，∴B ⊂A ， （6分）
当1<a 时，B ≠∅时，则有，解得．…（9分）
所求a 的取值范围为{a|
}．…（10分）
18. 解： 3
23212344225531
32
2πππππ=⨯⨯-⨯⨯+⨯⨯+⨯=）
（V （3cm ） （6分）
ππππ685)52(52
1
2422
=⨯++⨯+⨯
⨯=S （2cm ） （6分）
19. 解: (1) 函数)(x f 图像过原点,
∴ 0)0(=f ,即0=c . （1分）
11
111
)1(,1)(+=
+=+=∴x x
x x f x x x f 1)1()(=+∴x f x f （4分） (2)设2021≤<≤x x , 则11)()(112212+-+=
-x x x x x f x f )
1()1(121
2+⋅+-=x x x x （6分） 2021≤<≤x x ,
01,01,01212>+>+>-∴x x x x . （10分 ）
)()(12x f x f >∴, 即函数)(x f 在[0,2]上是单调递增. （12分）
20.（1）证明：连结1BC 交1B C 于O ，连结DO ，则O 是1BC 的中点， （2分）
DO 是1BAC ∆的中位线．所以1DO AC ∥． （4分）
因为DO ⊂平面1CDB ，所以1AC ∥平面1CDB ； （6分）
（2）因为1CC ⊥平面ABC ，所以1BB ⊥平面ABC ，所以1BB 为三棱锥1D CBB -的高． （8分）
112111124332D CBB B CBD BCD V V S BB --∆==⋅=⨯⨯=．（11分）
所以三棱锥1D CBB -．（12分）
21解：（1）由解得﹣1＜x ＜1，所以函数f （x ）的定义域为（﹣1，1）． （3
分）
（2）依题意，可知f （x ）为偶函数，所以f （﹣x ）=f （x ），即log 2（1﹣x ）+alog 2（1+x ）
=log 2（1+x ）+alog 2（1﹣x ），
即（a ﹣1）[log 2（1+x ）﹣log 2（1﹣x ）]=0，即在（﹣1，1）上恒
成立，
所以a=1． （7分）
（3）解法一：由（2）可知
，
所以g （x ）=x 2
+x ﹣1﹣2t ，它的图象的对称轴为直线
．
依题意，可知g （x ）在（﹣1，1）内有两个不同的零点，
只需，解得．
所以实数t 的取值范围是． （12分）
解法二：由（2）可知
，
所以g （x ）=x 2
+x ﹣1﹣2t ．
依题意，可知g （x ）在（﹣1，1）内有两个不同的零点，
即方程2t=x 2
+x ﹣1在（﹣1，1）内有两个不等实根，
即函数y=2t 和y=x 2
+x ﹣1在（﹣1，1）上的图象有两个不同的交点．
在同一坐标系中，分别作出函数y=x 2
+x ﹣1（﹣1＜x ＜1）和y=2t 的图象，如图所示．
观察图形，可知当，即
时，两个图象有两个不同的交点．
所以实数t 的取值范围是
．
22.解： ⑴2().f x x mx m =-+-，当2
m
x =
时，有最大值0， 即22022m m m -+-=（），即2
04
m m -=，
0m ∴=或4m =. （4分）
⑵假设存在实数m ，使得()f x 在]23⎡⎣，上的值域恰好是]23⎡⎣，
①当
22
m
<时，即4m <时， ()f x 在]23⎡⎣，为减函数，所以(2)3
(3)2f f =⎧⎨=⎩
，解集为空集. （6分）
②当232m
≤
≤时，即46m ≤≤时， 当2
m
x =时，有最大值3，
即2
2322
m m m -+-=（），解得6m =或2m =-（舍）
当6m =时，2()6 6.f x x x =-+-
()f x 在]23⎡⎣，
为减函数，使得(2)2f = 存在实数6m =，使得()f x 在]23⎡⎣，上的值域恰好是]23⎡⎣，
（9分） ③当
32m
>时，即6m >时()f x 在]23⎡⎣，为增函数， 所以(3)3
(2)2f f =⎧⎨=⎩
，解得6m =（舍）. （11分）
综上所述，存在实数6m =，使得()f x 在]23⎡⎣，上的值域恰好是]23⎡⎣，
（12分）
《高一数学试题答案》第4页（共4页）
《高一数学试题答案》第4页（共4页）。