2014年高二年级期末复习--《立体几何》1

4.将正三棱柱截去三个角（如图1所示A、B、 C分别是△GHI三边的中点）得到几何体如图 2，则该几何体按图2所示方向的侧视图（或 称左视图）为（.C ）
8.在如图 所示的空间直角坐标系 O xyz 中，一个四面体的顶点坐标
分别是（0,0,2），（2,2,0），（1,2，1），（2,2,2），给出编号①、②、
17、（本小题满分 13 分）
已知正方形 ABCD 的边长为 1， AC BD O ． 将正方形 ABCD 沿对角线 BD 折起，使 AC 1，得到三棱锥 A—BCD，如图所示．
（I）若点 M 是棱 AB 的中点，求证：OM∥平面 ACD；
（II）求证： AO 平面BCD ； （III）求二面角 A BC D 的余弦值．
2 22
BD FG =-m+ 1 +m- 1 +0=0,∴BD FG ， 22
（Ⅱ）要使 FG//平面 PBD，只需 FG//EP,而 EP =( 1 , 1 , a ),
22
由
FG
=
EP
可得
m
1 2
1 2
，解得=1，m=
3
,
∴G（ 3
， 3 ，0），
a 2
a
4
44
∴
AG
3 4
AC
，故当
AG=
2
3
2
俯视图
第9题
10.若一个底面是正三角形的三
棱柱的正视图如图所示,则侧视
图面积等于 3 ．其表面积
是__6_+_2__3__
考点三：线线、线面、面面平行、垂直的证明；
考点四：线线角、线面角、面面角的计算问题
11. 如图，在底面是正方形的四棱锥 P-ABCD 中， PA 面 ABCD，
BD 交 AC 于点 E，F 是 PC 中点，G 为 AC 上一点．
x
A
P Q
E D
M
∴ BE 1, 1,0, AC 1,0, 1 ………………11 分
设异面直线 BE 与 MQ 所成的角为 ，∵ MQ // AC ,
y
N B
C
x
∴ cos cos BE, AC BE • AC
11
1
BE AC 12 12 12 12 2
………………13 分
∵ 0 ，∴ ，即异面直线 BE 与 MQ 所成的角大小为 .…………14 分
2014学年第一学期高二级数学理科期末---《立体 几何》复习
【复习重点】 1、点、线、面位置关系的命题判断； 2、三视图的侧面积、表面积、体积计算； 3、线线、线面、面面平行、垂直的证明； 4、线线角、线面角、面面角的计算问题
考点一：点、线、面位置关系的命题判断；
2. 给定下列四个命题：
①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平 行，那么这两个平面相互平行；
（Ⅱ）设平面 PAB 的法向量为 n (x, y, z) ， AP (0, 0, 2), AB ( 2, a, 0) ，由
n
AP
0
2z
0
n (1,
n AB 0 2x ay 0
2 , 0) ， a
设 平面 PBC 的法向量为 m (x, y, z) ，又 BC ( 2, a, 0), CP (2 2, 0, 2) ，由
P A ；--------------------13 分
10 5
17、解：(I) 在正方形 ABCD 中， O 是对角线 AC、BD 的交点，
O 为 BD 的中点， M 为 AB 的中点，
OM∥AD.又 AD 平面 ACD，OM 平面 ACD，
OM∥平面 ACD. -----4 分
则 O(0, 0, 0), A(0, 0, 2 ), C( 2 , 0, 0), B(0, 2 , 0), D(0, 2 , 0) ，---9 分
2
2
2
2
OA (0, 0, 2 ) 是平面 BCD的一个法向量.---- -----10 分
2
AC ( 2 , 0, 2 ) ， BC ( 2 , 2 , 0) ，
2
3
3
解法二：由条件知 AD 1,DC 1,BC 2 ，
延长 ED到 R ，使 DR ED，连结 RC
A
则 ER BC， ER // BC ，故 BCRE为平行四边形
∴ RC // EB ，又 MQ // AC
Q
∴ ACR 为异面直线 BE 与 MQ 所成的角
D
E M
B
（或 的补角） …………………………10 分
建立空间直角坐标系如图所示，设正方形 ABCD 的边长为 1，
则 A(0,0,0),B(1,0,0),C(1,1,0)，
D(0,1,0),P(0,0,a)(a>0),E( 1 , 1 , 0 ),F( 1 , 1 , a ),G(m,m,0)(0<m< 2 )
22
222
（Ⅰ） BD =（-1，1，0）， FG =（ m 1 , m 1 , a ），
2
2
22
设平面 ABC 的法向量 n (x, y, z) ,
则 n BC
0 ， n AC
0 .即 (x, y, z) (
2, 2
2 , 0) 0 2
，
(x, y, z) (
2 , 0, 2
2) 0 2
所以 y x, 且 z x, 令 x 1,则 y 1， z 1，解得 n (1, 1,1) . -----12 分
PA 底面 ABCD , AC 2 2 , PA 2 , E 是 PC 上的一点, PE 2EC ． （Ⅰ）证明： PC 平面 BED ； （Ⅱ）设二面角 A PB C 为 90°,求 PD 与平面 PBC 所成角的大小．
18.（1）【证明方法一】设 AC BD O ，连接 OE ， 因为 PA 底面 ABCD ， 所以 PAC 是直角三角形，所以 PC AC2 PA2 2 3 ，
EO EC2 CO2 2EC CO cos ECO 6 3
EO2 EC2 CO2 CEO PC EO ，又因为
2
PA BD
BD PC
AC BD
BD
PAC
EO
PC
PC
BDE
PA AC A
EO BD E
（1） 设 AC BD O , OM ABCD,OM / /PA，以 O 为原点， OC 为 x 轴， OD 为 y 轴， OM 为 z 轴建立如图 22 所示的空间直角坐标系，则 A( 2, 0, 0),C ( 2, 0, 0),P ( 2, 0, 2)，设 B(0,a, 0),C(0,a, 0),E (x, y,z )。 【证明方法二】由 PE 2EC ，则 E( 2 , 0, 2) ，
（Ⅰ）求证：BD FG；
（Ⅱ）确定点 G 在线段 AC 上的位置，使 FG//平面 PBD，并说明理由；
(Ⅲ)当二面角 B-PC-D 的大小为 2 时，求 PC 与底面 ABCD 所成角的正切值．
3
第二十周---《立体几何》练习
P
F
A
D
EG
B
C
11、解：以 A 为原点，AB,AD,AP 所在的直线分别为 x,y,z 轴
∴ M 、 N 、 P 、 Q 四点共面． ………4 分
（2）证明:由等腰直角三角形 ABC 有 AD DE ， CD DE ，
DE / /BC ,又 AD CD D ，∴ DE 平面 ACD ，……6 分
∵ DE / /BC ，∴ BC 平面 ACD ，……7 分
∵ BC 平面 ABC ， ∴平面 ABC ⊥平面 ACD 。……8 分
3 4
AC
时，FG//平面
PBD
(Ⅲ)设平面
PBC
的一个法向量为
u
=（x,y,z），则
u
PC
0
，
u BC 0
而
PC
(1,1,
a)
，
BC
(0,1,
0)
，∴
x y
y
0
az
0
，
取 z=1,得 u =（a,0,1）,
同理可得平面 PDC 的一个法向量为 v =（0，a,1）,
设 u ， v 所成的角为，则|cos|=|cos 2 |= 1 ,即 | u v | = 1 ，
从而 cosn,OA n OA | n || OA |
3 ，二面角 A BC D 的余弦值为
3
3 .-------13 分 3
12、已知梯形 ABCD 中，AD∥BC，∠ABC =∠BAD = ，AB=BC=2AD=4，
2
E、F 分别是 AB、CD 上的点,EF∥BC,AE = x，G 是 BC 的中点． 沿 EF 将梯形 ABCD 翻折，使平面 AEFD⊥平面 EBCF （如图）.
③、④的四个图，则该四面体的正视图和俯视图分别为（ ）
A.①和②
B.③和①
D
C. ④和③ D.④和②
考点二:三视图的侧面积、表面积、体积计算；
9. (2012年广州一模5)．如图1是 一个空间几何体的三视图，则该 几何体的侧面积为__8___,体积为
2
2
2 正(主)视图
2
2
2 侧(左)视图
_____4__3___
(3) 解法一：∵平面 ADE 平面 BCDE ,交线为 DE , AD DE , AD 平面 ADE
DE 两两互相垂直
可以以 D 为原点建立如图空间直角坐标系，
由条件得 AD 1,DC 1,BC 2 ，
则 C1,0,0, A0,0,1,E0,1,0,B1,2,0,
33 所以 PC (2 2, 0, 2), BE ( 2 , a, 2) ， BD (0, 2a, 0) ，所以
33 PC BE (2 2, 0, 2) ( 2 , a, 2) 0 ， PC BD (2 2, 0, 2) (0, 2a, 0) 0 ，所以
33 PC BE, PC BD PC BDE ；
所以 PD与平面 PBC 所成角为 30°；
17．（本小题满分 14 分）如图，等腰直角三角形 ABC 的直角边长为 2 ， 沿其中位线 DE 将平面 ADE 折起，使平面 ADE ⊥平面 BCDE ， 得到四棱锥 A BCDE ，设 CD 、 BE 、 AE 、 AD 的中点分别为
（ （M12、 ） ）求 求N证 证、： ：P平M、面、QA.NBC、⊥P平、面QA四C点D共；面；考 面点 角四、：面线面线角角的、计线算 （3）求异面直线 BE 与 MQ 所成的角. 问题
m
BC
0
2x ay 0
m (1,
m CP 0 2 2x 2z 0
2, a
2) ，
因为二面角 A PB C 为 90 ，所以 m n 0 a 2 ；
所以 PD ( 2, 2, 2) ，平面 PBC 的法向量为 m (1, 1, 2) ，
所以 PD与平面 PBC 所成角的正弦值为 | PD m | 1 ， | PD | | m | 2
（II）证明：在 AOC 中， AC 1， AO CO 2 ，
2
AC2 AO2 CO2 ， AO CO . --6 分 又 AC、BD 是正方形 ABCD 的对角线， AO BD ，又 BD CO O
AO 平面BCD --8 分
（III）由（II）知 AO 平面BCD ，则 OC，OA，OD 两两互相垂直， 如图，以 O 为原点，建立空间直角坐标系 O xyz .
②若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直；
③垂直于同一直线的两条直线相互平行；
④若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直
D 其中，为真命题的是 ( )
A．①和②
B．②和 ③
C．③和④
D．②和④
线线、线面、面面平行、垂直的证明；
考点二：三视图的侧面积、表面积、体积计算；
A
A
A
D
E
E
P Q
E
N
D
BD
B
C
E
B
C
M C
2014学年度第一学期高二年级数学（理）
第二十一周综合练习卷 （1、21）
17.(1) 证明:由条件有 PQ 为 ADE 的中位线， MN 为梯形 BCDE 的中位线 ∴ PQ / /DE ， MN / /DE …2 分 ∴ PQ / /MN ……3 分
3 2 | u || v | 2
∴
1
1 ，∴a=1 ∵ PA 面 ABCD,
a2 1 a2 1 2
∴PCA 就是 PC 与底面 ABCD 所成的角, ∴tanPCA= PA 1 2
AC 2 2
秀全中学高二理科20周末练习题(1.17)
18.如图 21，四棱锥 P ABCD 中，底面 ABCD 为菱形，
R
C
∵ DA DC DR ，且三线两两互相垂直，
∴由勾股定理得 AC AR RC 2 ，……12 分
∴ ACR为正三角形，∴ ACR ＝ ……13 分
3
∴异面直线 BE 与 MQ 所成的角大小为 . ………14 分
3
2014学年度第一学期高二年级数学（理） 第二十二周综合练习卷 （1、28）