2023-2024学年第一学期九年级期中质量监测数学试题及答案

注意事项：
1、本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分.全卷共8页，满分120分，考试时间120分钟.
2、答案全部在答题卡上完成，答在本试卷上无效.2023-2024学年第一学期九年级期中质量监测试题（卷）
数学
3、考试结束后，只收回答题卡.
第Ⅰ卷选择题（共30分）
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该选项涂黑）1．下列方程是关于x 的一元二次方程的是A．B．023
42
=++
x
x 0122
=--y x C．D．0
122
=++x ax ()0
24=-x x 2．如图，将含有30°角的三角尺ABC （∠BAC =30°），以点A 中心，顺时针方向旋转，使得点C ，A ，B ′在同一直线上，则旋转角的大小是A．30°B．60°C．120°D．150°
3．方程的两个实数根是x x =2
A．x 1=x 2=1
B．x 1=1，x 2=-1C．x 1=0，x 2=1
D．x 1=0，x 2=-1
4．将关于x 的方程配方成的形式，则的值是0862
=+-x x ()p x =-2
3p A．1
B．28
C．17D．44
5．如果关于x 的一元二次方程有两个实数根，则k 的取值范围是032
=+-k x x A．k≥
B．k≤
C．k＞
D．k＜
4
9
4
94
94
9C′
B′
C
B
A
6．将二次函数的图象先向左平移2个单位，再向上平移1个单
()2122
---=x y 位，则所得到的二次函数的解析式是A．B．()1
322
---=x y ()1
122
-+-=x y C．D．()3
122
-+-=x y ()3
322
---=x y 7．冠状病毒属的病毒是具有囊膜、基因组为线性单股正链的RNA 病毒，是自然界广泛存在的一大类病毒，冠状病毒可感染多种哺乳动物、鸟类和人．在某次冠状病毒感染中，有3只动物被感染，后来经过两轮感染后共有363只动物被感染．若每轮感染中平均一只动物会感染x 只动物，则下面所列方程正确的是A．3x（x+1）=363B．3+3x+3x ²=363
C．3（1+x）²=363
D．3+3（1+x）+3（1+x）²=363
8．已知二次函数（c 为常数）的图象与x 轴的一个交点为（1，0），c x x y +-=42
则关于x 的一元二次方程的两个实数根是042
=+-c x x A．x 1=1，x 2=-1
B．x 1=-1，x 2=2C．x 1=-1，x 2=0D．x 1=1，x 2=3
9．二次函数
的图象上部分点的坐标（x，y）对应值列表如下：
c bx ax y ++=2
则关于该二次函数的图象与性质，下列说法正确的是A．开口方向向上
B．当x＞-2时，y 随x 增大而增大C．函数图象与x 轴没有交点
D．函数有最小值是-2
10．在同一平面直角坐标系中，二次函数与一次函数
的图
bx ax y +=2
a bx y +=象可能是
x …-3
-2-1
01…y
…
-3
-2
-3
-6
-11
…
第Ⅱ卷非选择题（共90分）
二、填空题（每小题3分，共15分）
11．如图，在⊙O 中，AC =BC ，半径OC 与AB 交于点D ，若AB =8cm，OB =5cm，则CD =
▲
cm.
13．已知点A （4，y 1）和点B （-1，y 212．2022年2月4日—2月20日，北京冬奥会隆重开幕，北京成为世界上第一个既举办过夏季奥运会，又举办过冬季奥运会的国家.下面图片是在北京冬奥会会徽征集过程中，征集到的一副图片，整个图片由“京字组成的雪花图案”、“beijing2022”、“奥运五环”三部分组成.对于图片中的“雪花图案”，至少旋转
▲
°能与原雪花图案重合.
）是二次函数（m 为常数）()m x y +-=2
1-215．如图，在四边形ABCD 中，点E ，F ，G ，H 分别是AB ，
BC ，CD ，AD 的中点，若四边形EFGH 是矩形，且其周长
是20，则四边形ABCD 的图象上两点，则y 1和y 2的大小关系是
▲
.
14．2021年我国高速铁路总里程为2.9万公里，2023年我国高速铁路总里程达到3.8
万公里，高速铁路已经覆盖了全国80%以上的大城市，形成以“八纵八横”主通道为骨架、区域连接线衔接、城际铁路补充的高速铁路网.若设2021年到2023年我国高速铁路总里程的平均年增长率为x，则依题意可列方程为
▲
.
的面积的最大值是
▲.
H
G F
E
D C
B
A
⌒⌒
三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
16．解方程（每小题5分，共10分）（1）()9
10-=+x x （2）()12
832+=+x x x 17．（本小题5分）如图，以□ABCD 的顶点A 为圆心，AB 为半径作⊙A ，分别交
BC ，AD 于E ，F 两点，交BA 的延长线于点G .
求证：EF =FG .
18．（本小题8分）在平面直角坐标系中，△ABC 三个顶点的坐标分别为A （5，4）
，B （1，3），C （3，1）.点P （a，b）是△ABC 内的一点.
（1）以点O 为中心，把△ABC 顺时针旋转90°，画出旋转后的△A 1B 1C 1，并写出
A 1，
B 1，
C 1的坐标：A 1▲，B 1
▲，C 1▲.
注：点A 与A 1，B 与B 1，C 与C 1分别是对应点.（2）点P 的对应点P 1的坐标是▲；（3）若以点O 为中心，把△ABC 逆时针旋转
则点P 的对应点P 2的坐标是▲
，点P 1与
点
P 2关于▲
对称.（填写“x 轴、y 轴或
原点”）
⌒⌒
19．（本小题8分）阅读下列材料，并完成相应学习任务：
一元二次方程在几何作图中的应用
如图1，在矩形ABCD 中，AB =3，BC =4.求作一个矩形，使其周长和面积分别是矩形ABCD 的周长和面积的2倍.
因为矩形ABCD 的周长是14，面积是12，所以所求作的矩形周长是28，面积是24.
若设所求作的矩形一边的长为x，则与其相邻的一边长为14-x.所以，得x（14-x）=24.解得x 1=2，x 2=12.
当x=2时，14-x=12；当x=12时，14-x=2.所以求作的矩形相邻两边长分别是2和12.
如图2，在边AB 的延长线取点G ，使得AG =4AB .在AD 上取AE =AD .2
1
以AG 和AE 为邻边作出矩形AGFE .
则矩形AGFE 的周长和面积分别是矩形ABCD 的周长和面积的2倍.学习任务：
（1）在作出矩形AGFE 的过程中，主要体现的数学思想是▲
；（填出序号
即可）
A.转化思想
B.数形结合思想
C.分类讨论思想
D.归纳思想
（2）是否存在一个矩形，使其周长与面积分别是矩形ABCD 的周长和面积的？2
1若存在，请在图1中作出符合条件的矩形；若不存在，请说明理由.
图1 图2
G
F
E
D
C
B
A D C
B
A
20．（本小题9分）漪汾桥是太原市首座对称双七拱吊桥，每个桥拱呈大小相等的抛物线型，桥拱如长虹出水，屹立于汾河之上，是太原市地标性建筑之一．如图2所示，单个桥拱在桥面上的跨度OA =60米，在水面的跨度BC =80米，桥面距水面的垂直距离OE =7米，以桥面所在水平线为x 轴，OE 所在直线为y 轴建立平面直角坐标系.
（1）求桥拱所在抛物线的函数关系表达式；（2）求桥拱最高点到水面的距离是多少米？
21．（本小题10分）下面是小明解决某数学问题的过程，请认真阅读并解决相应学习任务：
数学问题：某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件，市场调查反映：“，
”现已知商品的进价为每件40元，如何定价才能使每个星期的利润达到6080元，且顾客能够得到更大的实惠？
解：设….
根据题意，所列出方程：.()6080402300-20=⎪⎭
⎫
⎝⎛
⨯+x x …
根据小明所列方程，完成下列任务：（1）填空：数学问题中“”处短缺的条件是
▲
，小明所列方程中
未知数x 的实际意义是
▲
.
（2）请你重新设一个未知数，要求所设未知数与小明所列方程中未知数的意义不
同，并结合所补充的条件，解决上面的数学问题.
图1
图
2
22．（本小题12分）综合与实践
问题情境：数学活动课上，老师出示了一个问题：如图1，在正方形ABCD 中，点E 是边CD 上一点，将△ADE 以点A 为中心，顺时针旋转90°，得到△ABF ，连接EF ．过点A 作AG ⊥EF ，垂足为G ．试猜想FG 与GE 的数量关系，并证明.（1）独立思考：请你解决老师所提出的问题；
（2）拓展探究：智慧小组在老师所提问题的基础上，连接DG ，他们认为DG 平分∠ADC ．请你利用图2说明，智慧小组所提出的结论是否正确？请说明理由；（3）问题解决：在图2中，若AD +DE =28，则四边形AGED 的面积为▲
.
（直接写出答案即可）
图1 图2
A
B C
D
E
F
G
G
F
E
D
C
B
A
23．（本小题13分）综合与探究
已知抛物线与x 轴交于A ，B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 32-2
-=x x y 轴交于点C ，点D 是y 轴右侧抛物线上一个动点.（1）求出点A ，B ，C 的坐标；
（2）如图1，当点D 在第四象限时，求出△BCD 面积的最大值，并求出这时点D 坐标；
（3）当∠DAB =∠ABC 时，求出点D
的坐标.
图1 备用图
一、选择题：1—10：DDCAB BCDCC
二、填空题：11.2；12.60°；13.y 1＜y 2；14.2.9（1+x）²=3.8；15.50.
三、解答题：
16.解：（1）x 1=-1，x 22023～2024学年第一学期九年级期中质量监测试题
数学参考答案
=-9；…………………………………………………………5分（2）x 1=，x 2=4.…………………………………………………………………5分2
3
-注：阅卷组自行制定评分细则17.证明：∵AB=AE，∴∠B=∠AEB.……………………………………………………………………1分∵四边形ABCD 是平行四边形，
∴AD∥BC，……………………………………………………………………2分
∴∠B=∠GAF，
∠FAE=∠AEB，……………………………………………………………………3分∴∠GAF=∠FAE，…………………………………………………………………4分∴EF=FG.……………………………………………………………………5分18.解：（1）画图略，画图正确.………………………………………………2分
A 1（4，-5）
，B 1（3，-1），C 1（1，-3）.………………………………………5分（2）（b,-a）.……………………………………………………………………6分（3）（-b,a），原点.………………………………………………………………8分
19.解：（1）B；…………………………………………………………………2分（2）不存在.
……………………………………………………………………3分
理由如下：若存在矩形，其周长与面积分别是矩形ABCD 的周长和面积的，2
1
则所求的矩形周长为7，面积为6.
………………………………………………4分
设所求的矩形一边长为x，则与其相邻的另一边的长为-x.………………5分
2
7所以，得x（
-x）=6.……………………………………………………………6分2
7
整理，得2x ²-7x+12=0.…………………………………………………………7分因为△=（-7）²-4×2×12=49-96＜0.
所以该方程无解.
…………………………………………………………8分
所以，不存在矩形，其周长与面积分别是矩形ABCD 的周长和面积的
……9分
2
1⌒
⌒
20.解：（1）设桥拱所在抛物线的函数关系表达式为y=ax ²+bx.………………1分
∵OA=60，∴A 点坐标为（60，0）.
∵BC=80，根据对称性可知，点C 坐标为（70，-7）.…………………………2分把A（60，0），B（70，-7）代入y=ax ²+bx，得………3分
⎩⎨
⎧-=+=+7
7049000
603600b a b a 解得………………………………………………………………4分
⎪⎩
⎪⎨
⎧=
-=531001b a ∴桥拱所在抛物线的函数关系表达式是.………………5分
x x y 5
3
10012+-=（2）∵x x y 5
3
10012+-
=……………………………………………………7分().930100
1
2+--
=x ∴该函数的顶点为（30，9）.……………………………………………………8分
∵9+7=16.
∴桥拱最高点到水面的距离是16米.…………………………………………9分21.解：（1）每件商品的售价每降价2元，每个星期的销售量可增加40件；每件商品的售价降了x 元.
………………………………………………………………2分
（2）设每件商品的定价为x 元，根据题意可列方程…………………………3分
.………………………………………6分
()6080402
6030040=⎪⎭
⎫ ⎝
⎛⨯-+
-x x 整理，得x ²-115x+3304=0.……………………………………………………7分
解得x 1=59，x 2=56.
……………………………………………………………8分
为了让每位顾客得到更大的实惠，所以x=59舍去.…………………………9分
答：每件商品的定价为56元，每个星期的利润能达到6080元，且顾客能够得到更
大的实惠.…………………………………………………………………10分
22.（1）FG=EG.………………………………………………………………1分证明：∵△ABF 是由△ADE 顺时针方向旋转90°得到的，
∴△ABF≌△ADE，………………………………………………………………2分∴AF=AE.
(3)
分
∵AG⊥EF，∴FG=EG.
………………………………4分（2）连接CG.
……………………………5分
∵四边形ABCD 是正方形，
∴AD=CD，∠FCE=90°.……………………6分由（1）可知，FG=EG，
∴CG=EF.………………………………7分
2
1
∵∠EAF=90°，∴AG=
EF.………………………………8分2
1
∴AG=CG.∵DG=DG，
∴△ADG≌△CDG，………………………………………………………………9分∴∠ADG=∠CDG，即DG 平分∠ADC.…………………………………………10分
（3）196
………………………………………………………………………12分
23.解：（1）当y=0时，.032-2
=-x x 解得x 1=-1，x 2=3.
∴点A（-1，0），B（3，0）.……………………………………………………2分当x=0时，y=-3，
∴点C（0，-3）……………………………………………………………………3分（2）如图，过点D 作DE⊥x 轴，垂足为E，并且交直线BC 于点F.过点C 作CH⊥DE，垂足为H.……………………4分设BC 的解析式为y=kx+b.
把点B（3，0），点C（0，-3）代入，得，
⎩⎨⎧-==+3
3b b k 解得k=1，b=-3.
∴直线BC 的解析式为y=x-3.
……………………5分
设点D（m，m ²-2m-3），则点F（m，m-3）.则DF=m-3-（m ²-2m-3）=-m ²+3m.……………6分
∵S △BCD =S △CDF +S △BDF =
×DF×CH+×DF×BE=×DF（CH+BE）=
2121212
1
A
C
D
E
F
G
∴S △BCD =
（-m ²+3m）×3=-m ²+m.………………………………7分21
2329=-（m-）²+.（0＜m＜3）…………………………………………8分
2323
8
27∵-＜0，∴当m=时，S △BCD 有最大值，S △BCD 的最大值为.………9分
2123
8
27（3）∵点B（3，0），点C（0，-3）.∴OB=OC.
∵∠BOC=90°，∴∠OBC=∠OCB=45°.设点D（m，m ²-2m-3）.
如图，当点D 在x 轴下方时，过点D 作DP⊥OB，垂足为P.∵∠DAB=∠ABC=45°，∠APD=90°.∴∠PDA=∠PAD，∴PA=PD.
∴m-（-1）=-（m ²-2m-3）.……………………10分
解得m=2或m=-1（舍去）.当m=2时，m ²-2m-3=-3.∴点D 坐标为（2，-3）.
…………………………11分
如图，当点D 在x 轴上方时，过点D 作DQ⊥OB，垂足为Q.∵∠DAB=∠ABC=45°，∠AQD=90°.∴∠QDA=∠QAD，∴QA=QD.
∴m-（-1）=m ²-2m-3.…………………………………………………………12分
解得m=4或m=-1（舍去）.
当m=4时，m ²-2m-3=5.∴点D 坐标为（4，5）.
∴当∠DAB=∠ABC 时，点D（2，-3）或（4，5） (13)
分。