[经济学]第七章滞后变量
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例1．某地区制造行业历年库存Y与销售额X的统计资料， 试利用分布滞后模型建立库存函数。 表示滞后i期 表示超前i期 在EViews软件的命令窗口中依次键入以下命令： ①键入：CROSS Y X，输出结果见下图。 操作演示
从图中 Y与 X各 期滞后值的相 关系数可知， 库存额与当年 和前三年的销 售额相关，所 以设：
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经验加权法的特点是简单易行，少损失自由度，避免了多冲共线 性干扰，参数估计具有一致性。但权数设置的主观随意性较大。 通常是多选几组权数分别估计模型，再通过各种检验(R2,F,t,DW) 从中选择出一个较为合适的模型。
二、阿尔蒙估计法(S.Almom) 1、阿尔蒙估计法的原理
主要思想：针对有限滞后期模型，通过阿尔蒙变换，定义新变量， 以减少解释变量个数，然后用OLS法估计参数。 设有限分布滞后模型为 yt=a+b0xt+b1xt-1+…+bkxt-k+μt
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2、自回归模型 模型中包含解释变量x的本期值和被解释变量y的若干期 滞后值，即： yt=a+b0xt+b1yt-1+…+bkyt-k+μt 这类问题是时间序列中的 AR 模型，称其为 (k阶 ) 自回归 模型。
例如，消费函数：Ct=a+b0Yt+b1Ct-1+μt
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t 0t 1t
2t
对应各bi ˆt 的估计值 y 7140.75 0.6612 xtDW 1.的值 1311xt 1 0.7367 xt 2 0.5220 xt 3
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③还原成原分布滞后模 型： 在 Eviews 软件的输 出 窗口下部已给出了还 原后的bi估计值。 因此库存模型为：
经过试算发现，在2阶阿尔蒙多项式变换下，滞 后期数取到第6期，估计结果的经济意义比较合理。 2阶阿尔蒙多项式估计结果如下：
ˆ 3319 Y .5 3.061 W0t 0.101 W1t 0.271 W2t t
（13.62）（1.86） （0.15） （-0.67）
求得的分布滞后模型参数估计值为
第一节 第二节 第三节
滞后变量模型 分布滞后模型的估计 自回归模型的估计
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第一节
一、滞后变量
滞后变量模型
滞后效应：因变量受到自身或另一解释变量的几期值影响的现象。
滞后变量：指过去时期的、对当前被解释变量产生影响的变量。 滞后变量可分为滞后解释变量和滞后被解释变量。
滞后变量模型 , 又称动态模型（ Dynamical Model ）：含有滞后变 量的模型。 如：消费函数：
yt a b0 xt b1 xt 1 b2 xt 2 b3 xt 3 t
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并假定：bi可以用一个二次多项式逼近。
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②利用Almon法估计模型。键入： LS Y C PDL(X，3，2) 操作演示 输出结果见下图。经Almon变换之后的估计结果为（其中Zi用PDL 表示）： y ˆ 7140.75 101311Z 0.0377Z 0.4322Z
利用OLS法估计系数a，α0，α1，α2，进而得到bi的估计值。
ˆ ˆ ˆ ˆ0 ˆ1 ˆ2 b , b o 0 1 ˆ ˆ 0 2 ˆ1 4 ˆ 2 ,......, b 2 2 ˆ ˆ 0 k ˆ1 k ˆ2 bk
3、阿尔蒙估计法的特点 阿尔蒙估计法的原理巧妙、简单，估计参数时有效地消 除了多重共线性的影响，并且适用于多种形式的分布滞 后结构。 使用阿尔蒙估计时需要事先确定两个问题：滞后期长度 和多项式的次数。
2、阿尔蒙估计法的步骤 分布滞后模型可以表示成：
yt a bi xt i i
i合肥师范学院经济系 0
k
设bi可以用二次多项式近似表示，即： bi= α0+α1i+α2i2
将此代入分布滞后模型，整理得：
k k i 0 k i 0
yt a 0 xt i 1 ixt i 2 i xt i i
根据滞后期的选取，又可以将滞后变量模型分成有限滞后模型 （若滞后期有限）和无限滞后模型（若滞后期无限）。 4、滞后变量模型的特点 ⑴滞后变量模型可以更加全面、客观地描述经济现象。
⑵使计量经济模型成为动态模型。
⑶可以定量地描述了经济变量的滞后效应，用以分析经济系统的变 化和调整过程。 估计滞后变量模型模型时存在以下问题： （1）多重共线性
（13.62） (0.19) (2.14) (1.88) (1.86)
2.891 X t 4 2.180 X t 5 0.927 X t 6
(1.96) (1.10) (0.24)
为了比较，下面给出直接对滞后6期的模型进行 OLS估计的结果：
Yt 3361 .9 8.424 X t 11 .43 X t 1 15 .14 X t 2 4.71 X t 3
估计方法：将分布滞后模型转化成形式较为简单的自回 归模型进行估计。 1、Koyck方法的原理 设模型为无限分布滞后模型：
yt a b0 xt b1 xt 1 ...... t
在许多情况下，滞后变量的影响随着时间的推移将越来 越小，即系数bi的值呈递减趋势。 设：bi=b0λi 其中λ是一个介于0和1之间的常数；λ值的大小决定了 递减速度的快慢， λ值越小则递减速度越快，所以称 λ 为衰退率或下降率，1- λ为调整速度。
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阿尔蒙方法和考耶克方法都可以用来估计分布滞后模型， 但各有特点。 阿尔蒙估计适用于多种类型的分布滞后模型，变换后的 模型中不存在与随机误差项相关的解释变量；但却需要 人为确定滞后期长度和多项式次数。考耶克方法不需要 事先确定滞后期长度，模型变换后形式比较简单，有效 地解决了多重共线性和自由度减少的问题；但模型只适 用于递减的几何分布滞后模型，而且还不能直接使用 OLS法估计变换后的自回归模型。 分布滞后模型最主要的问题就是多重共线性，以上讨论 的经验加权法，阿尔蒙估计法和考耶克方法，实际上都 是对模型参数的分布特征做了一些约定，利用这些“附 加信息”，才有效地消除了分布滞后模型中的多重共线 性问题。
Yt-1，Yt-2为滞后变量。 再如，通胀滞后：货币供应量的变化对通货膨胀的影响总存在一 定时滞。 Pt=a+b0Mt+b1Mt-1+b3Mt-2+……bkMt-k+μ t
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Ct=a+b0Yt+b1Yt-1+b3Yt-2+μ
t
二、产生滞后变量的原因
1、心理因素：
人们的心理定势、行为方式滞后于经济形势的变化。
阿尔蒙认为连续函数bi=f(i)可以用滞后期i的适当次多项式来逼近： bi=f(i)=α0+α1i+α2i2+…+αmim (m<k)
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将上一关系式代入原来的分布滞后模型，并经过适当的变 量变换，就可以减少模型中的变量个数，从而在削弱多 重共线性影响的情况下，估计模型中的参数。 bi bi * * * * * * * * * * * * i i bi= α0+α1i+α2 i2 bi= α0+α1i+α2i2 +α3i3
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在LS命令中使用PDL项，应注意以下几点： ①在解释变量 x之后必须指定 k和 m的值， d 为可选项，不 指定时取默认值0； ②如果模型中有多个具有滞后效应的解释变量，则分别用 几个PDL项表示；例如： LS Y C PDL(x1，4，2) PDL(x2，3，2，2) ③在估计分布滞后模型之前，最好使用互相关分析命令 CROSS，初步判断滞后期的长度k；命令格式为 CROSS Y X 接着输入滞后期 p之后，将输出 yt与 xt、 xt-1…xt-p的各期 相关系数。也可以在 PDL 项中逐步加大 k的值，再利用 调整的判定系数和SC判断较为合适的滞后期长度k。
其中， υt=μt-λμt-1 。称上述变换过程为考耶克变换，经 变换得到的自回归模型称为考耶克模型。 2、考耶克模型的特点 模型中解释变量个数的大幅度减少，也有效地解决了多 重共线性和样本自由度减少的问题。 考耶克变换虽然简化了分布滞后模型，但如果用OLS法 估计考耶克模型却又产生了模型存在一阶自相关性、模 型中存在与随机误差项相关的随机解释变量等新问题.
表明x对y的滞后影响分布在过去各个时期。 如：
ˆt a ˆ 0.4 xt 0.3xt 1 0.2 xt 2 y
这意味 ：当收入增加1元时，消费者将在本期增加0.4元的消费， 下一期增加0.3元，再下期增加0.2元；增加1元收入对消费的长期 作用为0.9元。其中，短期乘数为0.4，延期乘数为0.3、0.2，长期 乘数为0.9。
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滞后期长度可以根据经济理论或实际经验加以确定， 也可以通过相关系数、调整的判定系数、施瓦兹准则 SC 等统计检验获取信息。 利用 Evrews 软件可以直接得 到上述各项检验结果。 多项式次数可以依据经济理论和实际经验加以确定。一 般取m=1～3。 4、阿尔蒙估计的EViews软件实现 （选学） 在 EViews 软件的 LS 命令中使用 PDL 项，系统将自动使用 Almon方法估计分布滞后模型。其命令格式为： LS Y C PDL(X，k，m，d) 其中，k为滞后期长度，m为多项式次数，d是对分布滞后 特征进行控制的参数。
ˆ =3.061， ˆ =2.180， ˆ =0.927 ˆ =0.323， ˆ =1.777， ˆ =2.690， ˆ =2.891， 0 3 5 6 1 2 4
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最后得到分布滞后模型估计式为：
Yt 3319 .5 0.323 X t 1.777 X t 1 2.690 X t 2 3.061 X t 3
2、技术原因：
产品的生产周期有长有短，但都需要一定的周期。
3、制度原因：
某些规章制度的约束使人们对某些外部变化不能立即做出 反应，从而出现滞后现象。
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三、滞后变量模型
1、分布滞后模型
如果模型中的滞后变量只是解释变量x的过去各期值，即
yt=a+b0xt+b1xt-1+…+bkxt-k+（3）难以客观地确定滞后期的长度。
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第二节
分布滞后模型的估计
一、经验加权法 经验加权法就是针对问题的特点，根据实际经验指定各 期滞后变量的权数，再将各期滞后变量加权组合成新的 解释变量 wt ，然后估计变换后的模型 yi=f(wt)+μt ，得到 原模型中各参数的估计值。常使用的权数类型有： 1、递减型：即各期权值是递减的（权数值根据各期滞后 变量的影响确定，并不一定要求权数和等于1）。遵循 “远小近大”的原则。 2、常数型：即各期权数值相等，此时认为滞后变量的各 期影响是相同的，不随时间变化。又称不变滞后结构。 3、倒V型：即各期权数先递增后递减呈倒V型，其适用于 近、远期影响较小，中间影响较大的滞后变量模型。
2
k
定义：
Z 0t xt i , Z1t ixt i , Z 2t i xt i
2 i 0 i 0 i 0
k
i 0
k
称该变量变换为Almon变换；则原分布滞后模型可以表示 成：
yt a 0 Z 0t 1Z1t 2 Z 2t i
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例2（补充）根据中国电力基本建设投 资X与发电量Y的相关资料，拟建立一多项 式分布滞后模型来考察两者的关系。
由于无法预见知电力行业基本建设投资对发电量影响 的时滞期，需取不同的滞后期试算。
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将bi代入原模型，得
则原分布滞后模型变换成一个自回归模型：
yt a b0 xt b0 xt 1 b0 xt 2 ...... t yt yt 1 a a b0 xt t t 1
2
yt a(1 ) b0 xt yt 1 t
（12.43） (1.80) (-1.89) (1.21) (0.36)
14 .70 X t 4 26 .94 X t 5 25 .42 X t 6
(-0.93) (1.09) F=42.54 (-1.12)
R 2 =0.9770
DW=1.03
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三、考耶克（Koyck）方法
例1．某地区制造行业历年库存Y与销售额X的统计资料， 试利用分布滞后模型建立库存函数。 表示滞后i期 表示超前i期 在EViews软件的命令窗口中依次键入以下命令： ①键入：CROSS Y X，输出结果见下图。 操作演示
从图中 Y与 X各 期滞后值的相 关系数可知， 库存额与当年 和前三年的销 售额相关，所 以设：
合肥师范学院经济系
经验加权法的特点是简单易行，少损失自由度，避免了多冲共线 性干扰，参数估计具有一致性。但权数设置的主观随意性较大。 通常是多选几组权数分别估计模型，再通过各种检验(R2,F,t,DW) 从中选择出一个较为合适的模型。
二、阿尔蒙估计法(S.Almom) 1、阿尔蒙估计法的原理
主要思想：针对有限滞后期模型，通过阿尔蒙变换，定义新变量， 以减少解释变量个数，然后用OLS法估计参数。 设有限分布滞后模型为 yt=a+b0xt+b1xt-1+…+bkxt-k+μt
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2、自回归模型 模型中包含解释变量x的本期值和被解释变量y的若干期 滞后值，即： yt=a+b0xt+b1yt-1+…+bkyt-k+μt 这类问题是时间序列中的 AR 模型，称其为 (k阶 ) 自回归 模型。
例如，消费函数：Ct=a+b0Yt+b1Ct-1+μt
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t 0t 1t
2t
对应各bi ˆt 的估计值 y 7140.75 0.6612 xtDW 1.的值 1311xt 1 0.7367 xt 2 0.5220 xt 3
合肥师范学院经济系
③还原成原分布滞后模 型： 在 Eviews 软件的输 出 窗口下部已给出了还 原后的bi估计值。 因此库存模型为：
经过试算发现，在2阶阿尔蒙多项式变换下，滞 后期数取到第6期，估计结果的经济意义比较合理。 2阶阿尔蒙多项式估计结果如下：
ˆ 3319 Y .5 3.061 W0t 0.101 W1t 0.271 W2t t
（13.62）（1.86） （0.15） （-0.67）
求得的分布滞后模型参数估计值为
第一节 第二节 第三节
滞后变量模型 分布滞后模型的估计 自回归模型的估计
合肥师范学院经济系
第一节
一、滞后变量
滞后变量模型
滞后效应：因变量受到自身或另一解释变量的几期值影响的现象。
滞后变量：指过去时期的、对当前被解释变量产生影响的变量。 滞后变量可分为滞后解释变量和滞后被解释变量。
滞后变量模型 , 又称动态模型（ Dynamical Model ）：含有滞后变 量的模型。 如：消费函数：
yt a b0 xt b1 xt 1 b2 xt 2 b3 xt 3 t
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并假定：bi可以用一个二次多项式逼近。
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②利用Almon法估计模型。键入： LS Y C PDL(X，3，2) 操作演示 输出结果见下图。经Almon变换之后的估计结果为（其中Zi用PDL 表示）： y ˆ 7140.75 101311Z 0.0377Z 0.4322Z
利用OLS法估计系数a，α0，α1，α2，进而得到bi的估计值。
ˆ ˆ ˆ ˆ0 ˆ1 ˆ2 b , b o 0 1 ˆ ˆ 0 2 ˆ1 4 ˆ 2 ,......, b 2 2 ˆ ˆ 0 k ˆ1 k ˆ2 bk
3、阿尔蒙估计法的特点 阿尔蒙估计法的原理巧妙、简单，估计参数时有效地消 除了多重共线性的影响，并且适用于多种形式的分布滞 后结构。 使用阿尔蒙估计时需要事先确定两个问题：滞后期长度 和多项式的次数。
2、阿尔蒙估计法的步骤 分布滞后模型可以表示成：
yt a bi xt i i
i合肥师范学院经济系 0
k
设bi可以用二次多项式近似表示，即： bi= α0+α1i+α2i2
将此代入分布滞后模型，整理得：
k k i 0 k i 0
yt a 0 xt i 1 ixt i 2 i xt i i
根据滞后期的选取，又可以将滞后变量模型分成有限滞后模型 （若滞后期有限）和无限滞后模型（若滞后期无限）。 4、滞后变量模型的特点 ⑴滞后变量模型可以更加全面、客观地描述经济现象。
⑵使计量经济模型成为动态模型。
⑶可以定量地描述了经济变量的滞后效应，用以分析经济系统的变 化和调整过程。 估计滞后变量模型模型时存在以下问题： （1）多重共线性
（13.62） (0.19) (2.14) (1.88) (1.86)
2.891 X t 4 2.180 X t 5 0.927 X t 6
(1.96) (1.10) (0.24)
为了比较，下面给出直接对滞后6期的模型进行 OLS估计的结果：
Yt 3361 .9 8.424 X t 11 .43 X t 1 15 .14 X t 2 4.71 X t 3
估计方法：将分布滞后模型转化成形式较为简单的自回 归模型进行估计。 1、Koyck方法的原理 设模型为无限分布滞后模型：
yt a b0 xt b1 xt 1 ...... t
在许多情况下，滞后变量的影响随着时间的推移将越来 越小，即系数bi的值呈递减趋势。 设：bi=b0λi 其中λ是一个介于0和1之间的常数；λ值的大小决定了 递减速度的快慢， λ值越小则递减速度越快，所以称 λ 为衰退率或下降率，1- λ为调整速度。
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阿尔蒙方法和考耶克方法都可以用来估计分布滞后模型， 但各有特点。 阿尔蒙估计适用于多种类型的分布滞后模型，变换后的 模型中不存在与随机误差项相关的解释变量；但却需要 人为确定滞后期长度和多项式次数。考耶克方法不需要 事先确定滞后期长度，模型变换后形式比较简单，有效 地解决了多重共线性和自由度减少的问题；但模型只适 用于递减的几何分布滞后模型，而且还不能直接使用 OLS法估计变换后的自回归模型。 分布滞后模型最主要的问题就是多重共线性，以上讨论 的经验加权法，阿尔蒙估计法和考耶克方法，实际上都 是对模型参数的分布特征做了一些约定，利用这些“附 加信息”，才有效地消除了分布滞后模型中的多重共线 性问题。
Yt-1，Yt-2为滞后变量。 再如，通胀滞后：货币供应量的变化对通货膨胀的影响总存在一 定时滞。 Pt=a+b0Mt+b1Mt-1+b3Mt-2+……bkMt-k+μ t
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Ct=a+b0Yt+b1Yt-1+b3Yt-2+μ
t
二、产生滞后变量的原因
1、心理因素：
人们的心理定势、行为方式滞后于经济形势的变化。
阿尔蒙认为连续函数bi=f(i)可以用滞后期i的适当次多项式来逼近： bi=f(i)=α0+α1i+α2i2+…+αmim (m<k)
合肥师范学院经济系
将上一关系式代入原来的分布滞后模型，并经过适当的变 量变换，就可以减少模型中的变量个数，从而在削弱多 重共线性影响的情况下，估计模型中的参数。 bi bi * * * * * * * * * * * * i i bi= α0+α1i+α2 i2 bi= α0+α1i+α2i2 +α3i3
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在LS命令中使用PDL项，应注意以下几点： ①在解释变量 x之后必须指定 k和 m的值， d 为可选项，不 指定时取默认值0； ②如果模型中有多个具有滞后效应的解释变量，则分别用 几个PDL项表示；例如： LS Y C PDL(x1，4，2) PDL(x2，3，2，2) ③在估计分布滞后模型之前，最好使用互相关分析命令 CROSS，初步判断滞后期的长度k；命令格式为 CROSS Y X 接着输入滞后期 p之后，将输出 yt与 xt、 xt-1…xt-p的各期 相关系数。也可以在 PDL 项中逐步加大 k的值，再利用 调整的判定系数和SC判断较为合适的滞后期长度k。
其中， υt=μt-λμt-1 。称上述变换过程为考耶克变换，经 变换得到的自回归模型称为考耶克模型。 2、考耶克模型的特点 模型中解释变量个数的大幅度减少，也有效地解决了多 重共线性和样本自由度减少的问题。 考耶克变换虽然简化了分布滞后模型，但如果用OLS法 估计考耶克模型却又产生了模型存在一阶自相关性、模 型中存在与随机误差项相关的随机解释变量等新问题.
表明x对y的滞后影响分布在过去各个时期。 如：
ˆt a ˆ 0.4 xt 0.3xt 1 0.2 xt 2 y
这意味 ：当收入增加1元时，消费者将在本期增加0.4元的消费， 下一期增加0.3元，再下期增加0.2元；增加1元收入对消费的长期 作用为0.9元。其中，短期乘数为0.4，延期乘数为0.3、0.2，长期 乘数为0.9。
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滞后期长度可以根据经济理论或实际经验加以确定， 也可以通过相关系数、调整的判定系数、施瓦兹准则 SC 等统计检验获取信息。 利用 Evrews 软件可以直接得 到上述各项检验结果。 多项式次数可以依据经济理论和实际经验加以确定。一 般取m=1～3。 4、阿尔蒙估计的EViews软件实现 （选学） 在 EViews 软件的 LS 命令中使用 PDL 项，系统将自动使用 Almon方法估计分布滞后模型。其命令格式为： LS Y C PDL(X，k，m，d) 其中，k为滞后期长度，m为多项式次数，d是对分布滞后 特征进行控制的参数。
ˆ =3.061， ˆ =2.180， ˆ =0.927 ˆ =0.323， ˆ =1.777， ˆ =2.690， ˆ =2.891， 0 3 5 6 1 2 4
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最后得到分布滞后模型估计式为：
Yt 3319 .5 0.323 X t 1.777 X t 1 2.690 X t 2 3.061 X t 3
2、技术原因：
产品的生产周期有长有短，但都需要一定的周期。
3、制度原因：
某些规章制度的约束使人们对某些外部变化不能立即做出 反应，从而出现滞后现象。
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三、滞后变量模型
1、分布滞后模型
如果模型中的滞后变量只是解释变量x的过去各期值，即
yt=a+b0xt+b1xt-1+…+bkxt-k+（3）难以客观地确定滞后期的长度。
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第二节
分布滞后模型的估计
一、经验加权法 经验加权法就是针对问题的特点，根据实际经验指定各 期滞后变量的权数，再将各期滞后变量加权组合成新的 解释变量 wt ，然后估计变换后的模型 yi=f(wt)+μt ，得到 原模型中各参数的估计值。常使用的权数类型有： 1、递减型：即各期权值是递减的（权数值根据各期滞后 变量的影响确定，并不一定要求权数和等于1）。遵循 “远小近大”的原则。 2、常数型：即各期权数值相等，此时认为滞后变量的各 期影响是相同的，不随时间变化。又称不变滞后结构。 3、倒V型：即各期权数先递增后递减呈倒V型，其适用于 近、远期影响较小，中间影响较大的滞后变量模型。
2
k
定义：
Z 0t xt i , Z1t ixt i , Z 2t i xt i
2 i 0 i 0 i 0
k
i 0
k
称该变量变换为Almon变换；则原分布滞后模型可以表示 成：
yt a 0 Z 0t 1Z1t 2 Z 2t i
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例2（补充）根据中国电力基本建设投 资X与发电量Y的相关资料，拟建立一多项 式分布滞后模型来考察两者的关系。
由于无法预见知电力行业基本建设投资对发电量影响 的时滞期，需取不同的滞后期试算。
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将bi代入原模型，得
则原分布滞后模型变换成一个自回归模型：
yt a b0 xt b0 xt 1 b0 xt 2 ...... t yt yt 1 a a b0 xt t t 1
2
yt a(1 ) b0 xt yt 1 t
（12.43） (1.80) (-1.89) (1.21) (0.36)
14 .70 X t 4 26 .94 X t 5 25 .42 X t 6
(-0.93) (1.09) F=42.54 (-1.12)
R 2 =0.9770
DW=1.03
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三、考耶克（Koyck）方法