圆锥曲线求值问题中的奇思妙解

高效课堂
新课程
NEW CURRICULUM
在圆锥曲线数值问题中，如何结合题目条件，根据圆锥曲线的定义、性质以及相应的思维方法来分析与处理是解决问题的关键.下面结合实例就圆锥曲线中数值问题的巧解加以实例剖析.
一、妙用定义，巧求未知量圆锥曲线的定义揭示的是各对应的曲线的本质属性.对于涉
及的圆锥曲线中的参数问题，若能巧妙灵活应用定义，往往能达到化繁为简、事半功倍的效果.
例1.已知抛物线的顶点在原点，对称轴为x 轴，抛物线上的点M （-3，m ）到焦点距离等于5，求抛物线的方程和m 的值.
分析：解答本题可以直接利用抛物线的定义，得点M 到准线的距离为5，直接得出有关p 的关系式，从而求出p 的值.
解析：设抛物线的方程为y 2=-2px （p >0），则焦点F （p 2
，0）准线方程为x =p 2
，根据抛物线的定义，点M 到焦点的距离等于5，也
就是点M 到准线的距离等于5，
则有3+p 2
=5解得p =4，因此抛物线方程为y 2=-8x ，
又点M （-3，m ）在抛物线上，代入有m 2
=24，解得m =±26
√.
点评：利用圆锥曲线的定义来处理一些有关的参数问题能使
列式和解答简洁方便，避免繁琐的计算过程，能更好地充分体现圆锥曲线的定义在转化问题中的作用，真正达到巧妙转化、合理处置的目的.
二、妙设变量，
巧求面积涉及圆锥曲线的定义与标准方程有关的问题时，
如何在实际解答过程中回避复杂的计算，成了处理这类问题的难点和关键.
“设而不求，金蝉脱壳”是比较特殊的一种思想方法，
其实质是整体结构意义上的变式和整体思想的应用.
例2.F 1、F 2是椭圆x 2
49+y 249=1的两个焦点，P 是椭圆上一点，且PF 1⊥PF 2，试求△F 1PF 2的面积.分析：题设中有椭圆上一点到两个焦点间距离的信息，即可试探是否能用PF 1+PF 2=2a 解决.同时注意利用解三角形的相关知识加以综合.
解析：由题知：a =7，b =26√，
c =5，设PF 1=m ，PF 2=n ，由椭圆定义可知m +n=2a =14，又由于PF 1⊥PF 2，则有m 2+n 2
=F 1F 22=102=100，那么2mn =（m +n ）2
-（m 2+n 2）=142-100=96，即mn =48，所以S =12mn =24.
点评：通过设出椭圆上的点到焦点的距离，引进m ，n ，将距离符号化，既方便书写，又便于运算.这种“设而不求，金蝉脱壳”的整体思想在解题中常常被广泛应用.
三、妙引参数，
巧求最值对于圆锥曲线中的某些最值范围问题，有时用参数方程要比用普通方程更方便，除能简化解题过程外，在培养学生解题的针对性和灵活性方面大有益处.
例3.在平面直角坐标系xOy 中，点P （x ，y ）是椭圆x 2
3
+y 2=1上
的一个动点，求S=x+y 的最大值.
分析：通过把椭圆的直角坐标方程转化为相应的参数方程，结合对应的表达式转化为三角函数的最值问题再加以分析与求解.
解析：因椭圆x 23+y 2=1的参数方程为
x =3√cos θ
y =sin θ
{
（θ为参数），故可设动点P 的坐标为（3√cos θ，sin θ），其中0≤θ≤2π，
因此S=x+y =3√cos θ+sin θ=2
（3√2cos θ+12sin θ）=2sin （θ+π3
），所以当sin （θ+π3）=1，即θ=π6
时，S 取最大值2.
点评：由于椭圆标准方程x 2a 2+y 2
b
2=1
（a >b >0）可以看成是平方和等于1的结构，引导学生联想sin 2α+cos 2α=1，适合学生认知水
平.椭圆中参数方程的应用其实是三角换元法的良好体现，在最值问题中往往能一展身手.
四、妙用判别式，巧求范围
圆锥曲线方程是二次方程，在解决圆锥曲线变量的取值范围时，通过函数与方程思想，根据题中隐含条件，将问题化归为一元二次方程模型后，妙用根的判别式可以巧妙快捷地求出变量范围.例4.已知抛物线y 2=x 上存在两点关于直线l ：y=k （x-1）+1对
称，试求实数k 的取值范围.
分析：设出抛物线上关于直线l 对称的两点A 、B 的坐标，
根据对称性建立相应的方程组，得到涉及y 1+y 2，y 1y 2的关系式，结合根
与系数的方程得到对应的方程有不等实根的充要条件，转化为判
别式法来分析与处理.
解析：设抛物线上A 、B 两点关于直线l 对称，坐标分别为（y 21，
y 1），（y 22，y 2），则有y 1-y 2y 21-y 22·k=-1y 1+y 22=k （y 21+y 222-1）+1⎧⎩
⏐⏐⏐⏐⏐
⎨⏐⏐⏐
⏐
⏐，即y 1+y 2=-k y 1y 2=k 22+1k -12{
，构造一元二次方程：y 2+ky +12k 2+1k -12
=0，则该方程有两个
不等实根
所以Δ=k 2-4（12k 2+1k -12）>0，即（k +2）（k 2-2k +2）k
<0，解得-2<k <0，∴k 的取值范围为（-2，0）.
点评：本题涉及直线与抛物线的位置关系中的变量的取值范
围问题，通过方程有不等实根的充要条件的转化，
巧妙地把几何问题转化为代数问题，从而达到求解参数的取值范围的目的.构思
新颖，方法巧妙.
五、数形结合，
巧求离心率著名数学家华罗庚说过：“数形本是两相倚，
焉能分作两边飞.数缺形时少直观，形少数时难入微.”在圆锥曲线中的许多基本量都具有一定的几何意义，挖掘题目中的隐含条件，揭示图形的几何性质，采用数形结合的思想方法，可解决一些相应的参数问题.
圆锥曲线求值问题中的奇思妙解
杨
美
（江苏省张家港高级中学）
86--
. All Rights Reserved.
高效课堂
新课程
NEW CURRICULUM
《二氧化碳和一氧化碳》是九年级化学第五单元第二节内容，是在系统探究氧气性质和用途之后再次探究气体的性质和用途，教师在教学中不应简单地再现，而是充分发挥引导者的作用，采用情景—探究—总结—拓展的教学流程将学生引入自主探究、快乐学习中，构建一堂富有特色、凸显学生主体的成功的好课。

一、情景诱发，突出主体“巧”
老师可通过各种多媒体创设与生活密切相关的真实情景，如，用新闻视频“地球温室效应带来的各种特点的地球危害”，把生活中关注的问题与所学的知识紧密结合在一起，激起学生探究的兴趣和欲望，引发学生的认知需要。

运用干冰升华、死狗洞中狗的死亡，以及引导的灯火实验，让学生把生活中的化学与化学知识紧密结合在一起，让学生充分感悟，也充分体现了以学生为主体的新课标理念，让生活走向化学，同时让化学走向生活。

二、实验创新，体验生活“活”
本节课可用多个实验活动，其中在课本的基础上改进和创新的实验，已在使学生有更多的亲力亲为和动手动脑的直接体验，培养起探究能力。

一是增加灯火实验，没有简单的叙述和讨论，而是让学生根据所学知识对模仿的地窖进行灯火实验，学生体验深
刻。

在探究雪碧中溶解的气体，让学生自主设计实验，学生跃跃欲试，说出了各种方案，并现场操作。

这样增补实验，灵活处理学生的各种探究欲望，切合学生的心理特点和学科特点。

在改进石蕊实验与二氧化碳的反应中，采取递进的引导探究方式，更有利于体现其学科素质培养。

三、问题引领，启发思维“深”
在教学中，均以实验探究为先，以问题为载体创设学习契机，将教学内容转化为生活中的问题，
唤起学生的探究欲望和思考问题的深度。

如，二氧化碳气体使蜡烛熄灭的实验，让学生找到熄灭的原因，揭示二氧化碳的性质，再有二氧化碳的性质拓展到生活中的用途，前后照应。

在二氧化碳与水反应的实验中，老师按照探究实验的原则，让学生观察到二氧化碳使紫色石蕊试液变红，猜想变红的物质是什么，让学生设计各种方案，学生进行分组分析进行对比，引导提问，引出二氧化碳与水反应生成一种酸，是学生思维深度层层递进，
完成了科学探究能力的培养。

然后适时总结归纳，使学生思维得到提升。

如，通过实验来反思二氧化碳性质，提高学生的辨别能力。

四、课件辅助美，提高效率“显”
本节课采用多媒体创设了丰富的教学情境：
有由温室效应造成的地球上极端灾害天气的视频，找出灾害的罪魁祸首；干冰升华等不能在课堂上直接演示的试验，
节约大量学生时间；以及死狗洞动画视频，使课堂教学的容量增大，效率提高，而且课件制作切合学生实际，制作精美。

在整个教学过程中，不让多媒体代替板书，代替思考，
也不要代替学生的思维活动和师生的实验活动，恰到好处地发挥了学生辅助教学的作用。

五、凸显主体，拓展课堂“实”
整个课堂中对学生知识的反馈是整体教学的一部分，本课应充分运用家庭小实验和小探究实验，
实现课堂的延伸，改革作业形式，又体现了探究主线贯穿始终，将课内课外融为一体：如，雪碧中气体成分的验证，体现了化学与生活的密切联系，激发了学习兴趣，培养了学生乐于探究、勤于动手和勇于创新的能力，当然给学生留下了更多的探究空间，也是课堂生成的好机会，对发展学生的
终身学习能力有十分重要的作用。

•编辑马燕萍
引导探究，构建思维有效课堂
———以《二氧化碳和一氧化碳》教学流程为例探讨
张思锦
（湖北省襄阳市襄州区四中）
例5.设F 是双曲线x 2a 2-y 2
b
2=1（a 跃0，b >0）的右焦点，双曲线两
渐近线分别为l 1、l 2，过F 作直线l 1的垂线，分别交l 1、l 2于两点，
若OA 、AB 、OB 成等差数列，且向BF 与FA 向，则双曲线的离心
率e 的大小为.
分析：通过数形结合，结合等差数列的性质、双曲线的性质以及角平分线定理（或相关原三角函数关系式）来处理相应的圆锥曲线问题.
解析：如图，由题意知OA+OB=2AB
OB 2-OA 2=AB 2=（OB-OA ）（OA+OB ）{
，即
OA+OB=2AB OB-OA=12AB {
，所以OA=34AB OB=54AB ⎧⎩⏐⏐⏐⏐⏐⎨⏐⏐⏐⏐⏐，则OB=53a BF=43a-b ⎧⎩
⏐⏐⏐⏐⏐
⎨⏐⏐⏐
⏐⏐，由角平分线定理可得OA OB =FA BF ，即35=b 43
a-b
，所以a=2b ，
则易得e=c a =a 2+b 2
√a =5
√2
点评：数形结合的思想是数学重要的思想方法之一，其实质就是把抽象的数学语言与直观的图形结合起来，使抽象思维与形象思维结合起来.其具有直观性、灵活性、深刻性，能够跨越各知识点的界限，有较强的综合性.利用数形结合来求解参数问题，解答更形象、直观，一目了然.
总之，定义法、判别式法、参数法以及设而不求、数形结合、函数与方程等思想是解题求值问题中常用的思想方法.根据问题条件灵活地应用，可摆脱生搬硬套，形成低耗高效的奇思妙解.
•编辑马燕萍
87--
. All Rights Reserved.。