现代控制理论 状态反馈与状态观测器

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现代控制理论---状态反馈和状态观测器

现代控制理论---状态反馈和状态观测器
第五章 系统的状态反馈及观测器
现代控制理论基础
主讲人: 主讲人:荣军 mail:rj1219 163. 1219@ E-mail:rj1219@
第五章 系统的状态反馈及观测器
在第二章, 在第二章,研究的是在己知系统的结构和参数情况下系统的 运动,从而了解系统的运动形态。 运动,从而了解系统的运动形态。第三章介绍了系统的能控性和 能观测性。第四章是系统稳定性问题。 能观测性。第四章是系统稳定性问题。如果将上述研究的内容概 括起来说,就是在已知系统的结构和参数情况下, 括起来说,就是在已知系统的结构和参数情况下,研究系统的性 能或特性,即所谓系统分析问题。 能或特性,即所谓系统分析问题。 本章将研究线性定常系统的综合。 本章将研究线性定常系统的综合。这是一个与系统分析相反 的命题,是在给定被控对象的情况下, 的命题,是在给定被控对象的情况下,通过设计控制器的结构和 参数,使系统满足预先规定的性能指标要求。 参数,使系统满足预先规定的性能指标要求。采用的方法是先测 量系统的状态,再用状态来确定被控对象上所加的控制输人, 量系统的状态,再用状态来确定被控对象上所加的控制输人,从 而构成状态反馈系统。 而构成状态反馈系统。
第五章 系统的状态反馈及观测器
采用状态反馈, 采用状态反馈,对系统能控性和能观测性有 无影响呢?这是本章讨论的重要内容之一 这是本章讨论的重要内容之一。 无影响呢 这是本章讨论的重要内容之一。同时 研究一个能控的系统, 研究一个能控的系统,引入状态反馈可以任意配 置状态反馈系统的极点, 置状态反馈系统的极点,保证系统具有所希望的 瞬态性能和稳态性; 瞬态性能和稳态性;对于系统的状态变量无法测 量但又要用它来实现反馈的情况, 量但又要用它来实现反馈的情况,通过状态重构 方法。设计状态观测器。 方法。设计状态观测器。

现在控制理论第五章状态反馈与状态观测器

现在控制理论第五章状态反馈与状态观测器

(5-5)
引出的反馈系数,则
变换后k的0, 状态, 反kn馈1系统动态方程为 :
x1, ,xn
式中:
xAbkxbv
y Cx
0
1
0
0
0
1
Abk
0
0
0
a0k0 a1k1 a2k2
(5-6)
(5-7)
0
0
1
an1kn1
I A (5 -b 9)k n a n 1 k n 1 n 1 a 2 k 2 2 a 1 k 1 1
过 行
待设 矩阵
计的 ,负
参 反
y Cx 馈至系统的参考输入,于是存在
01 式中v为纯量, 为 为 维行矩阵,为 环状态阵,
维向量, 为
维矩阵, 为
维向量, 为
维矩阵。
为闭环特征多项式。
维向量, 为闭
02 用状态反馈使闭环极点配置在任意位置上的充要条件是:受控对象能 控
03
证明 :0
若1式
(
k0, ,kn1
k
能控的多输入-多输出系统,经如上类似分析可知,
实现闭环极点任意配置的状态反馈阵 K为 pn维 。
若受控对象不稳定,只要有能控性,完全可由状态反馈配置极点使系统稳定。 状态变量受控情况下,引入状态反馈表示增加一条反馈通路,它能改变反馈所 包围环节的传递特性,即通过改变局部回路的极点来改变闭环极点配置。不能 控状态变量与控制量无关,即使引入状态反馈,对闭环极点位置也不会产生任 何影响,这是因为传递函数只与系统能控、能观测部分有关的缘故。若不能控 状态变量是稳定的状态变量,那么系统还是能稳定的,否则,系统不稳定。
0
1
0
A
h

《现代控制理论》线性定常系统的反馈结构及状态观测器

《现代控制理论》线性定常系统的反馈结构及状态观测器
2) 算
求解状态反馈阵k 的步骤:
1) 校验系统的可控性

计算k
小结
B
I s
A
x
u
k
v
用状态反馈配置系统闭环极点
结论:1.状态反馈不改变系统的可控性,但可改变可观测性.
2.状态反馈不改变系统的闭环零点。
状态反馈的影响
二、状态反馈对系统零点和可观测性的影响
【例】 系统S:
此时系统可控可观
1).复合系统结构图(状态反馈+状态观测器)
输出内反馈及状态可观测性

状态反馈
状态观测器
复合系统
选状态变量
即:
y=Cx
输出内反馈及状态可观测性
2) 传递函数矩阵
结论:
状态观测器不影响传递函数
输出内反馈及状态可观测性
3)特征多项式
特征多项式
结论
1.引入观测器提高了系统的阶次(由n 2n )
2.整个闭环系统特征值由状态反馈下(A - BK)特征值和状态观测器下特征值(A-HC)组合而成,且相互独立。即观测器的引入不影响已配置好的系统特征值,而状态反馈也不影响观测性的特征值,这就是分离定理。
输出内反馈及状态可观测性
3.状态观测器的引入,不影响传递函数阵.且趋于 x(t) 的速度,取决于观测器的特征值。
分离定理
4).分离定理
定理: 若系统{A,B,C }可控又可观,用状态观测器估值形成状态反馈时,其系统的极点配置和观测器设计可分别独立运行,即K 和H 值的设计可分别进行,有时把K 和H 统称控制器. 一般观测器的响应速度应比状态反馈的响应速度快一些.
状态观测器概述
二、状态观测器概述
利用状态反馈能任意配置闭环系统的极点及有效改善系统性能,然而系统的状态变量并不能用物理方法测量.因此要使状态反馈在工程上实现就必须解决这个问题. 解决问题的方法之一就是重构系统的状态.并用这个重构状态代替原系统实际状态,实现状态反馈.

第六章 状态反馈与状态观测器

第六章 状态反馈与状态观测器

• 考察
T & u x = Ax+B z = A z +CTυ & 的对偶系统 n = BT z y =Cx
(4)Biblioteka 且定义 v=r-Kz • 则
T z =(A −CTk)z +CTr & n = BT z
(5)
• 注意到 AT −CTk =(A−kTC)T
(A−kTC)T 和 A−kTC • 而
(4).带观测器的状态反馈系统 带观测器的状态反馈系统. 带观测器的状态反馈系统 • 在状态反馈中 不采样原系统的状态进行反 在状态反馈中,不采样原系统的状态进行反 馈而采用状态观测器估计的状态进行反馈, 馈而采用状态观测器估计的状态进行反馈 其结构图如下图所示. 其结构图如下图所示
• 状态估计器
2.极点配置条件 极点配置条件 • 若被控系统 Σ0(A, B) 是状态完全能控的,那么 是状态完全能控的 那么 反馈系统的极点必是可以任意配置的,或者 反馈系统的极点必是可以任意配置的 或者 说,能使闭环系统极点任意配置的条件是被 能使闭环系统极点任意配置的条件是被 控系统完全可控. 控系统完全可控
极点配置(仅讨论单输入 单输出系统) 二.极点配置 仅讨论单输入 单输出系统 极点配置 仅讨论单输入/单输出系统 1.什么是极点配置 什么是极点配置. 什么是极点配置 A− • 如果 Σk[(A−Bk), B,C]的全部 个)极点可以通过 的全部(n个 极点可以通过 选择状态反馈矩阵K的各元素而移至 的各元素而移至S平面 选择状态反馈矩阵 的各元素而移至 平面 任意指定的位置,称该系统是极点可任意配 任意指定的位置 称该系统是极点可任意配 置的。 置的。
• 由(1)和(2)得 和 得

现代控制理论 状态反馈与状态观测器

现代控制理论 状态反馈与状态观测器
• 在状态反馈中,有些状态是无法观测的,或无 法用物理方法量测出来,因此可用状态观测 器来解决这一问题.
• 所谓状态观测器是物理上可以实现的动力 学系统,它在被观测系统输入量和输出量的 激励下,产生一组逼近于被观测系统的状态 变量的输出.
• 这组输出的状态变量便可作为被观测系统 状态变量的估计值.
2.极点配置条件
• 若被控系统0(A, B) 是状态完全能控的,那么 反馈系统的极点必是可以任意配置的,或者 说,能使闭环系统极点任意配置的条件是被 控系统完全可控.
• 注意:
(1).对不可控的系统则不可能采用状态反馈 方法重新配置所有极点. (2).状态反馈可改变系统的极点,但不改变零 点.
• 以上是状态观测器的整个设计思想和目的.
• 估计的模型
xˆAxˆBuG(yCxˆ) (2) (AGC)xˆBuGy
(1).G的选择原则.
由(1)和(2)建立误差方程 定义 exxˆ 则 exxˆ(AG C)e显然误差e的特性是由
(A-GC)的特征值决定,显然G选择的原则是使 e tt1 0,t1 足够地小,从而G的选择也是使 A-GC的特征根按要求放在合适的位置上.
自动控制原理Ⅱ
第六章 状态反馈与状 态观测器
主要讲述:
1).状态反馈. 2).极点配置. 3).状态观测器.
一.系统的状态反馈
• 对于方程
x Ax Bu

y

Cx
• 系统的性质完全是由A决定的,因此要改变 系统的性质,只需改变A的形式.
• 从数学上来讲,即构造u,从而导致下列方程 成立
四、降维观测器设计
x Ax Br

y

Cx
• A 是满足要求的方阵

现代控制实验状态反馈器和状态观测器的设计

现代控制实验状态反馈器和状态观测器的设计

现代控制实验状态反馈器和状态观测器的设计现代控制实验中,状态反馈器和状态观测器是设计系统的重要组成部分。

状态反馈器通过测量系统的状态变量,并利用反馈回路将状态变量与控制输入进行耦合,以优化系统的性能指标。

状态观测器则根据系统的输出信息,估计系统的状态变量,以便实时监测系统状态。

本文将分别介绍状态反馈器和状态观测器的设计原理和方法。

一、状态反馈器的设计:状态反馈器的设计目标是通过调整反馈增益矩阵,使得系统的状态变量在给定的性能要求下,达到所需的一组期望值。

其设计步骤如下:1.系统建模:通过对被控对象进行数学建模,得到描述系统动态行为的状态空间表达式。

通常表示为:ẋ=Ax+Buy=Cx+Du其中,x为系统状态向量,u为控制输入向量,y为系统输出向量,A、B、C、D为系统的状态矩阵。

2.控制器设计:根据系统的动态性能要求,选择一个适当的闭环极点位置,并计算出一个合适的增益矩阵。

常用的设计方法有极点配置法、最优控制法等。

3.状态反馈器设计:根据控制器设计得到的增益矩阵,利用反馈回路将状态变量与控制输入进行耦合。

状态反馈器的输出为:u=-Kx其中,K为状态反馈增益矩阵。

4.性能评估与调整:通过仿真或实验,评估系统的性能表现,并根据需要对状态反馈器的增益矩阵进行调整。

二、状态观测器的设计:状态观测器的设计目标是根据系统的输出信息,通过一个状态估计器,实时估计系统的状态变量。

其设计步骤如下:1.系统建模:同样地,对被控对象进行数学建模,得到描述系统动态行为的状态空间表达式。

2.观测器设计:根据系统的动态性能要求,选择一个合适的观测器极点位置,以及一个合适的观测器增益矩阵。

常用的设计方法有极点配置法、最优观测器法等。

3.状态估计:根据观测器设计得到的增益矩阵,通过观测器估计系统的状态变量。

状态观测器的输出为:x^=L(y-Cx^)其中,L为观测器增益矩阵,x^为状态估计向量。

4.性能评估与调整:通过仿真或实验,评估系统的状态估计精度,并根据需要对观测器的增益矩阵进行调整。

现代控制理论-第六章_状态反馈与状态观测器-562

现代控制理论-第六章_状态反馈与状态观测器-562
23
6.2 极点配置问题
例6.3 考虑线性定常系统
x = Ax + Bu
0
1
0
0
A 0
0
1 , B 0
1 5 6
1
利用状态反馈控制 u = v - Kx
希望使该系统的闭环极点为s = -2±j4和s = -10。 试设计状态反馈增益矩阵K。
24
6.2 极点配置问题
0 1
0
0
A 0
0
1
,
2、以上原理同样适用于多输入系统,但具体设 计较困难。
22
6.2 极点配置问题
3、对于低阶系统(n≤3),求解状态反馈
阵K时,并不一定要进行能控标准型的变 换; 可以直接计算状态反馈后的特征多项式 (其系数均为k的函数),然后与闭环系 统希望的特征多项式的系数相比较,确定 出矩阵K——另一种解题思路
状态微分 x 处
u
B
x
x
y
1/s
C
-+
.
x
A
.
x
h
.
x Ax Bu hy, y Cx
.
x (A hC)x Bu, y Cx 28
6.2 极点配置问题
2. 输出反馈至参考输入的极点配置:
v
u B
x
x
1/s
C
y
-
+
A
f
引入输出反馈:
x (A BfC)x Bv, y Cx
29
6.2 极点配置问题 注意:关于输出反馈,有如下定理: • 定理:对单入单出系统,即使完全能控,
f () ( 2)( 1 j)( 1 j) 3 42 6 4 19

现代控制理论第六章

现代控制理论第六章

的列向量可以由 [ B AB A B] 的列向量 的线性组合表示。这意味着
rankuc ' ≤ rankuc
n1
系统 也可看成是由系统 K 经过状态反馈
( K,I ) 而获得的,因此,同理有
rankuc rankuc '
所以系统 K 的能控性等价于系统 的能控性,
于是定理得证。
例 6.1.1
系统
1 2 0 & : x x 1 u 3 1
y [1 2]x
完全能控能观,引入反馈
u [3 1]x V
则闭环系统 K的状态空间表达式为
1 2 0 & K : x x 1 v 0 0
1 式(6.3.2)可写为 y(s) G(s)u(s) C (sI A) Bu (s)
y1 ( s ) g11 ( s )u1 ( s ) g12 ( s )u2 ( s ) L L g1 p ( s )u p ( s ) y2 ( s ) g 21 ( s )u1 ( s ) g 22 ( s )u2 ( s ) L L g 2 p ( s )u p ( s ) M M yq ( s ) g q1 ( s )u1 ( s ) g q 2 ( s )u2 ( s ) L L g qp ( s )u p ( s )
y [1 2]x
不难判断,系统 K 仍然是能控的,但已不再 能观测。
6.2 极点配置
6.2.1 极点配臵定理 定理 6.2.1 给定系统
:
& x Ax Bu y Cx Du
u v kx
任意配臵极点的充
通过状态反馈
要条件 完全能控。

现代控制理论-第六章

现代控制理论-第六章

• 新系统的状态方程为
x1 0 x 0 2 x3 10000 y 1 0 0x 1 0 1510 x1 0 1 x2 0 u 114 .1 x3 10000 0
x Ax Bu

• 新系统
y Cx v Hy u x ( A BHC ) x Bv y Cx

2.输出反馈到状态微
• 原系统 • 完全可观 • 新系统
x Ax Bu y Cx


x Ax Bu Hy y Cx x ( A HC ) x Bu y Cx
• 新系统的方框图
第三节 全维状态观测器
•一.定义:若系统是完全可观的,但因种种原因,如空间 不足、成本较高等,无法将状态量测到,可人为建立全部 状态,使构建的状态变量无限接近原系统的状态变量,称 为全维状态观测器,简称状态观测器。 •二.实现条件:系统完全可观 •三.实现方法: •1.原系统 x Ax Bu, y Cx
1 S 3 114 .1S 2 1510 S lim 0.151 0.2 S 0 S S 3 114 .1S 2 1510 S 10000
• 新系统的传递函数为
G(S ) k 10000 3 ( S 100 )( S 7.07 j 7.07 )( S 7.07 j 7.07 ) S 114 .1S 2 1510 S 10000
2
• 3.利用状态反馈实现极点配置: I ( A BHC ) • 4.利用状态反馈实现极点配置: I ( A HC )
2
h
h1 h2

现代控制理论之状态反馈与状态观测器介绍课件

现代控制理论之状态反馈与状态观测器介绍课件
状态反馈控制器的设计需要考虑系统的可控性和可观测性,以确保控制器的有效性和可行性。
状态反馈的设计方法
确定系统状态方程
设计状态反馈控制器
计算状态反馈增益矩阵
验证状态反馈控制器的性能
状态反馈的优缺点
优点:能够有效地减小系统的动态响应时间,提高系统的稳定性和动态性能。
优点:可以实现对系统的解耦控制,使得系统的控制更加简单和直观。
现代控制理论之状态反馈与状态观测器介绍课件
演讲人
01.
状态反馈
02.
03.
目录
状态观测器
状态反馈与状态观测器的关系
状态反馈
状态反馈的基本概念
状态反馈是一种控制策略,通过调整系统的状态来达到控制目标。
状态反馈控制器的设计基于系统的状态方程,通过调整输入信号来影响系统的状态。
状态反馈控制器可以改善系统的动态性能,提高系统的稳定性和鲁棒性。
04
状态反馈与状态观测器的区别
状态反馈需要知道系统的模型,状态观测器不需要知道系统的模型
04
状态反馈用于控制系统,状态观测器用于估计系统状态
03
状态观测器:通过观测系统的输出,估计系统的状态
02
状态反馈:通过调整系统的输入,使系统达到期望的状态
01
状态反馈与状态观测器在实际应用中的选择
状态反馈适用于系统模型已知且可控的情况,能够实现最优控制。
02
状态观测器通过测量系统的输入和输出,利用数学模型来估计系统的内部状态。
04
状态观测器在现代控制理论中具有重要地位,广泛应用于各种控制系统的设计与实现。
状态观测器的设计方法
状态观测器性能评估:通过仿真或实验,评估观测器的性能,如观测精度、响应速度等

状态反馈和状态观测器1

状态反馈和状态观测器1

1 6)(s
12)
s3
1 18s 2
72s
综合指标为: % 5%;tS 0.5s,ep 0,试用状态反馈实现上述指标。
解:将极点配置为一对主导极点和一个非主导极点;根据二阶
系统的性能指标,求出 0.707,n 10。取 0.707,n 10
则,主导极点为:
s1,2 0.707 j7.07
状态反馈闭环系统的状态空间表达式为
x (A BK )x Br
y Cx
简记为 K (A BK ), B,C。该系统的闭环传递函数阵为
GK (s) CsI (A BK ) 1 B
经过状态反馈后,系数矩阵C和B没有变化,仅仅是系统矩阵A发生了变
化,变成了 (A BK )。也就是说状态反馈矩阵K的引入,没有增加新的状态
证明: 假定开环系统能控,A,b可为能控标准形
0 1 0 0
A
0
0
1
0
1
a0
a1
a
n
1
K K0 K1 Kn1
0 0 则 bK K0 K1
0
K
n
1
0
b
0
1
0
10
0
[A bK]
0
01
1
(a0 K0 ) (a1 K1)
(an1 Kn1)
sn rn1sn1 r0 0
实际系统与希望系统的特征方程的系数应当相一致。
3、状态反馈阵K的计算步骤 1)判断A,b能控性 2)写出实际的闭环特征方程(传递阵的分母为0的方程)
SI [A bK] 0
3)根据要配置的特征根,写出希望的特征方程
f (s) (s 1)(s n ) 0
4)对应实际的与希望的特征方程,求出K。

现代控制理论状态反馈和状态观测器的设计实验报告

现代控制理论状态反馈和状态观测器的设计实验报告

本科实验报告课程名称: 现代控制理论实验项目: 状态反馈与状态观测器得设计实验地点: 中区机房专业班级:自动化学号:学生姓名:指导教师:年月日现代控制理论基础一、实验目得(1)熟悉与掌握极点配置得原理。

(2)熟悉与掌握观测器设计得原理。

(3)通过实验验证理论得正确性。

(4)分析仿真结果与理论计算得结果。

二、实验要求(1)根据所给被控系统与性能指标要求设计状态反馈阵K。

(2)根据所给被控系统与性能指标要求设计状态观测器阵L。

(3)在计算机上进行分布仿真。

(4)如果结果不能满足要求,分析原因并重复上述步骤。

三、实验内容(一)、状态反馈状态反馈就是将系统得状态变量乘以相应得反馈系数,然后反馈到输入端与参考输入叠加形成控制作为受控系统得控制输入,采用状态反馈不但可以实现闭环系统得极点任意配置,而且也就是实现解耦与构成线性最优调节器得主要手段。

1、全部极点配置给定控制系统得状态空间模型,则经常希望引入某种控制器,使得该系统得闭环极点移动到某个指定位置,因为在很多情况下系统得极点位置会决定系统得动态性能。

假设系统得状态空间表达式为(1)其中引入状态反馈,使进入该系统得信号为(2)式中r为系统得外部参考输入,K为矩阵、可得状态反馈闭环系统得状态空间表达式为(3)可以证明,若给定系统就是完全能控得,则可以通过状态反馈实现系统得闭环极点进行任意配置。

假定单变量系统得n个希望极点为λ1,λ2,…λn, 则可以求出期望得闭环特征方程为(sλ1)(sλ2)…(sλn)=这就是状态反馈阵K可根据下式求得K= (4)式中,就是将系统期望得闭环特征方程式中得s换成系统矩阵A后得矩阵多项式。

例1已知系统得状态方程为采用状态反馈,将系统得极点配置到1,2,3,求状态反馈阵K、、其实,在MATLAB得控制系统工具箱中就提供了单变量系统极点配置函数acker,该函数得调用格式为K=acker(A,b,p)式中,p为给定得极点,K为状态反馈阵。

《现代控制理论》线性定常系统的反馈结构及状态观测器

《现代控制理论》线性定常系统的反馈结构及状态观测器

《现代控制理论》线性定常系统的反馈结构及状态观测器现代控制理论中,线性定常系统的反馈结构及状态观测器是控制系统中的关键部分。

反馈结构和状态观测器的设计对于控制系统的性能和稳定性有着重要的影响。

本文将从反馈结构和状态观测器的定义、功能和设计方法等方面进行详细介绍。

首先,我们来介绍反馈结构。

反馈结构是控制系统中最常见的一种控制方式,通过将系统的输出信号与期望值进行比较,计算出控制量,并作为输入信号对系统进行控制,以实现对系统输出的调节。

在线性定常系统中,反馈结构一般由比例控制器、积分控制器和微分控制器组成,通过调节这些控制器的参数,可以实现对系统性能的优化。

其中,比例控制器用于调节系统的过渡过程,积分控制器用于消除系统的稳态误差,微分控制器用于抑制系统的振荡和提高系统的动态响应速度。

通过适当选择和调节这些控制器的参数,可以使系统的性能指标如超调量、响应时间等得到满足。

接下来我们来介绍状态观测器。

状态观测器是用于估计和反馈系统状态的一种装置,通过测量系统的输出信号和输入信号,以及系统的数学模型,来估计系统的状态。

状态观测器在控制系统中起到了关键的作用,可以实现对系统状态的估计和补偿,从而提高系统的稳定性和性能。

在线性定常系统中,状态观测器一般由状态估计器和状态补偿器组成。

状态估计器根据系统的输出信号和输入信号,以及系统的数学模型,通过运算得到系统的状态估计值,以反馈给系统进行控制。

状态补偿器则根据系统的状态估计值和期望值,以及系统的数学模型,通过运算得到控制量,以控制系统的输出。

关于反馈结构和状态观测器的设计方法,一般可以采用经典控制理论方法和现代控制理论方法。

经典控制理论方法主要包括根轨迹法、频率响应法等。

根轨迹法可以通过绘制系统的根轨迹图来分析系统的稳定性和性能,并通过调节控制器参数来满足系统的性能指标。

频率响应法则通过分析系统的频率特性来设计合适的频率补偿器,以达到系统的优化。

现代控制理论方法则主要包括状态空间法和最优控制方法。

现代控制理论状态反馈和状态观测器的设计实验报告

现代控制理论状态反馈和状态观测器的设计实验报告

现代控制理论状态反馈和状态观测器的设计实验报告本次实验是关于现代控制理论中状态反馈与状态观测器的设计与实现。

本次实验采用MATLAB进行模拟与仿真,并通过实验数据进行验证。

一、实验目的1、学习状态反馈控制的概念、设计方法及其在实际工程中的应用。

3、掌握MATLAB软件的使用方法。

二、实验原理1、状态反馈控制状态反馈控制是指将系统状态作为反馈控制的输出,通过对状态反馈控制器参数的设计,使系统的状态响应满足一定的性能指标。

状态反馈控制的设计步骤如下:(1) 确定系统的状态方程,即确定系统的状态矢量、状态方程矩阵和输出矩阵;(2) 设计状态反馈控制器的反馈矩阵,即确定反馈增益矩阵K;(3) 检验状态反馈控制器性能是否满足要求。

2、状态观测器(1) 确定系统的状态方程;(2) 设计观测器的状态估计矩阵和输出矩阵;(3) 检验观测器的状态估计精度是否符合标准。

三、实验内容将简谐信号加入单个质点振动系统,并对状态反馈控制器和状态观测器进行设计与实现。

具体实验步骤如下:1、建立系统状态方程:(1)根据系统的物理特性可得单自由度振动系统的运动方程为:m¨+kx=0(2)考虑到系统存在误差、干扰等因素,引入干扰项,得到系统状态方程:(3)得到系统状态方程为:(1)观察系统状态方程,可以发现系统状态量只存在于 m 行 m 到 m 行 n 之间,而控制量只存在于 m 行 1 到 m 行 n 之间,满足可控性条件。

(2)本次实验并未给出状态变量的全部信息,只给出了系统的一维输出,因此需要设计状态反馈器。

(3)我们采用极点配置法进行状态反馈器设计。

采用 MATLAB 工具箱函数,计算出极点:(4) 根据极点求解反馈矩阵,得到状态反馈增益矩阵K:(1)通过矩阵计算得到系统的可观性矩阵:(2)由若干个实测输出建立观测器,可将观测器矩阵与可观测性矩阵组合成 Hankel 矩阵,求解出状态观测器系数矩阵:(3)根据系统的状态方程和输出方程,设计观测方程和状态估计方程,如下:4、调试控制器和观测器(1)经过上述设计步骤,将反馈矩阵和观测矩阵带入 MATLAB 工具箱函数进行仿真。

现代控制理论实验 状态控制器

现代控制理论实验 状态控制器

状态反馈与状态观测器一、 实验目的1. 研究现代控制理论中用状态反馈配置极点的方法。

2. 研究状态观测器的设计方法。

二、 实验内容1. 被控对象模拟电路图如下:2. 系统数学模型:(1)被控对象传递函数为:2()100()() 2.928103.57Y s Gp s U s s s ==++ (2)被控对象状态方程 xA xB u =+ YC x = 式中1103.57 3.928A ⎡⎤=⎢⎥--⎣⎦01B ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦[]1000C =(3)图中AT G e =()TH t dtB ϕ=⎰其中()At t e ϕ=K ——1*2维状态反馈系统矩阵,由计算机推出 L ——2*1维观测器的反馈矩阵,有计算机推出Kr ——为使y(t)跟踪r(t)乘的比例系数,由计算机自动递推算出(4)希望的系统极点(参考值):1,27.357.5S j =-± 它对应在Z 平面上应为:1,20.7120.22Z j =± (5)观测点极点参考值:1,20.10Z j =±三、 实验结果分析: 1. 无状态反馈系统输入输出响应如图所示:输入 阶跃信号 Ui=3V输出 百分超调量 PO = 100*(4.23-2.89)/2.89 = 46 稳态误差 e ss (t) = (3-2.89)/3 = 3.67% 上升时间 Tr = 190 ms 峰值时间 Ts = 340 ms 使用 Matlab 仿真,输入:a=[0 1;-103.57 -3.928];b=[0 1]';c=[100 0];d=0; step(a,b,c,d,1,t) 得到输出曲线:如图所示:百分超调量PO = 53.3 稳态误差 ess(t) = 3.4% 上升时间 Tr = 178 ms 峰值时间 Ts = 300 ms与实验结果基本相符。

2. 有状态反馈Step ResponseTime (sec)A m p l i t u d e0123456789100.511.5系统极点和观测器极点均根据参考值设置,其中系统极点:1,27.357.5S j =-±,对应Z 平面:1,20.7120.22Z j =± 观测器极点:1,20.10Z j =±所得输入输出波形如图:输入阶跃信号Ui=2V输出百分超调量PO = 100*(2.09-2)/2 = 4.5 稳态误差e ss(t) = 0 峰值时间Ts = 328 ms通过Matlab 计算系统状态反馈矩阵和观测器反馈矩阵并仿真:1.判断系统能控性、能观性:a=[0 1;-103.57 -3.928];b=[0 1]';c=[100 0];d=0;ro=rank(obsv(a,c))rc=rank(ctrb(a,b))得:ro = 2 rc = 2,所以系统既能控又能观2.计算开环特征值:eol=eig(a)得:eol =-1.9640 + 9.9856i-1.9640 - 9.9856i3.配置观测器极点,计算观测器反馈增益:dpo=[-57.56+0*i -57.56-0*i];k=acker(a',c',dpo)得:k =1.1119 27.72824.配置期望闭环极点,计算系统状态反馈:dpp=[-7.35+7.5*i -7.35-7.5*i];g=acker(a,b,dpp)得:g =6.7025 10.77205.仿真:t=[0:0.05:10.0];step(a,b,c,d,1,t)hold onacl=[a-b*g b*g;[0 0;0 0] a-k'*c]bcl=[b;0;0];ccl=[c 0 0];dcl=d;step(acl,bcl,ccl,dcl,1,t)hold off所得波形如图:如图所示,蓝色波形为未加状态反馈的系统,其仿真波形上文已经分析过:百分超调量PO = 53.3 峰值时间 Tp = 300 ms 2%调节时间 Ts=1950ms 绿色为加了观测器的系统: 百分超调量PO = 4.5 峰值时间 Ts =400 ms 2%调节时间 Ts=570ms 与实验所得数据基本相符,由于仿真时输入没有乘Kr ,故不做稳态误差的比较。

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• 设计方法见书。
五、带观测器的状态反馈系统 • 在状态反馈中,不采样原系统的状态进行反 馈而采用状态观测器估计的状态进行反馈, 其结构图如下图所示.
• 状态估计器
x ( A GC ) x Bu Gy ˆ ˆ ˆ y Cx
• 原系统
x Ax Bu ˆ x Ax Bkx Bv y Cx ˆ x ( A Bk ) x Bk ( x x) Bv u v kx ˆ
• 传函不变,即
y C (sI A Bk ) B.v
1
• 显然系统的特性由矩阵的特征多项式
ˆ A Bk A 0 A GC Bk
决定.
• 由
ˆ det[ I A] det( I A Bk ) det( A GC ) 0
• 注意上述方法仅适用于SISO系统.
4.几点说明
(1).对SISO系统来说,状态反馈只改变极点位 臵,不影响零点. (2).由于改变了极点,因此可能出现零极点对 消,从而影响系统的可观性.
(3).从实现的角度,状态反馈比输出反馈 困难,复杂. (4)对SISO系统来说,极点配臵只改变了极 点在S平面上的位臵,显然不采用这种方法 难于达到系统动静性能的一致. (5).对MIMO来说,极点配臵的方法与SISO 方法是一致的,但SISO的k阵是唯一的,而 MIMO的k阵是非唯一的.
• 系统的状态估计器极点可任意配臵的充要 条件是:该系统的状态是可观的.
(3).状态估计器的设计方法. • 仿照状态反馈的极点配臵设计方法,只需先 进行可控性检验,改成可观性检查即可,其余 步骤相同.
四、降维观测器设计
• 一般情况下观测器是建立在对原系统模拟基 础上的,因而其维数和受控系统维数是相同 的,称为全维观测器(或估计器)。
T
• 即 rankQO n是式(4)极点可任意配臵的主 要条件.也就是式(3)G存在的充要条件. • 而
C CA n rankQO rank n 1 CA
• 恰好是系统(1)可观测的充要条件.
• 从而
x Ax Bu y Cx
• 估计的模型
ˆ ˆ ˆ x Ax Bu G ( y Cx) ˆ ( A GC ) x Bu Gy
(2)
(1).G的选择原则.
由(1)和(2)建立误差方程 定义 e x x 则 ˆ
ˆ e x x ( A GC )e 显然误差e的特性是由
三.状态观测器 • 在状态反馈中,有些状态是无法观测的,或无 法用物理方法量测出来,因此可用状态观测 器来解决这一问题. • 所谓状态观测器是物理上可以实现的动力 学系统,它在被观测系统输入量和输出量的 激励下,产生一组逼近于被观测系统的状态 变量的输出.
• 这组输出的状态变量便可作为被观测系统 状态变量的估计值. • 以上是状态观测器的整个设计思想和目的.
( A k T C )T 和 A k T C • 而
的特征值是相同的, • 故而 det[sI ( AT CT k )] det[sI ( A k T C )]
• 而方程(3)的特征方程为 det[sI-(A-GC)] • 从而只要 G k ,即若定义 r G z ,则.方 程(4)经过状态反馈后的(5)式,其特征值与 式(3)相同.
(A-GC)的特征值决定,显然G选择的原则是使
e
t t1
0, t1 足够地小,从而G的选择也是使
A-GC的特征根按要求放在合适的位臵上.
(2).状态观测器极点配臵的充分必要条件. • 考虑极点配臵后的方程是.
ˆ ˆ x ( A GC ) x Bu Gy (3)
• 问题可转化为,方程(3)的原系统满足何种 条件时,方程(3)中的极点才可任意配 臵,(实际上是仿照极点配臵的方法). • 或者说是构造一个系统使得经过状态反馈 后,则特征根是由A-GC所决定的.
T T
• 因此可以认为式(4)是(3)的一个原系统,这 样式(4)极点配臵的条件即是式(3)G存在的 条件.
• 显然对式(4)而言,极点可任意配臵的充要条 件是:
rank[C T , AT C T ,,( AT )n1 C T ] n
上式左边 rank[C T , (CA)T , , (CAn 1 )T ] C CA rankQOT rankQO 右边 n rank n 1 CA
• 即
g11 y( s) O
g 22
O u ( s) g pp
• 实现这一目的称为系统解耦. • 显然解耦后的传函阵是对角形且上式 ˆ x ( A Bk ) x Bke Bv (1) • 且 e ( A GC)e (2)
• 由(1)和(2)得
Bk x B x A Bk e 0 e 0 v A GC x y C 0 e
自动控制原理Ⅱ
第六章 状态反馈与状 态观测器
主要讲述: 1).状态反馈. 2).极点配臵. 3).状态观测器.
一.系统的状态反馈 • 对于方程
x Ax Bu y Cx
• 系统的性质完全是由A决定的,因此要改变 系统的性质,只需改变A的形式.
• 从数学上来讲,即构造u,从而导致下列方程 成立
(4).根据给定的一组任意特征值 1 , 2 ,, n 计算式
f ( ) ( 1 )( 2 ) ( n ) n n 1 n2 an 1 an 2 a1 a0
(5).令 f ( ) f ( ) ,并使对应幂次的系数相等,则可得 到n个关于 k1 , k2 ,, kn 为未知数的方程组. (6).解上述方程组得到 k1 , k2 ,, kn 从而得 k [k1 , k2 ,, kn ]
二.极点配臵(仅讨论单输入/单输出系统) 1.什么是极点配臵.
• 如果 k [( A Bk ), B, C ] 的全部(n个)极点可以通 过选择状态反馈矩阵k的各元素而移至S平 面任意指定的位臵,称该系统是极点可任意 配臵的。
2.极点配臵条件
• 若被控系统 0 ( A, B) 是状态完全能控的,那么 反馈系统的极点必是可以任意配臵的,或者 说,能使闭环系统极点任意配臵的条件是被 控系统完全可控.
x Ax Bu y Cx
的传函阵
G(s) C ( sI A)1 B
• 即
• 则
y C (sI A)1 Bu G(s)u
G R p p
y1 ( s ) g11 ( s )u1 ( s ) g1 p ( s )u p ( s ) y ( s ) g ( s )u ( s ) g ( s )u ( s ) p1 1 pp p p
• 考察
x Ax Bu y Cx
z AT z C T 的对偶系统 n BT z
(4)
且定义 v=r-Kz • 则
z ( AT C T k ) z C T r n BT z (5)
• 注意到 AT CT k ( A k T C )T
• 即每一个输出由多个输入控制,每一个输入 也影响多个输出,这种现象称为耦合.
• 因此希望,当u=v-kx使得一个输出只受一个 输入控制.同时一个输入也只能控制一个输 出, • 即 y ( s ) g ( s )u ( s )
1 11 1 y ( s ) g ( s )u ( s ) 2 22 2 y p ( s ) g pp ( s )u p ( s )
• 该式说明.状态反馈增益K和状态观测器增 益G将只能影响彼此的系统,即K影响 ∑(A,B,C)即G影响观测器本身,这意味着极 点配臵和观测器设计是相互独立的,它们可 以分别进行设计,设计完后再合并成一个系 统,这种特性称为分离特性.
六、用状态反馈实现解耦 • 考虑∑(A,B,C),设 x Rnn , u R p1 , y R p1且p n • 从而
• 注意:
(1).对不可控的系统则不可能采用状态反馈 方法重新配臵所有极点. (2).状态反馈可改变系统的极点,但不改变零 点.
3.极点配臵的设计方法
(1).对∑(A,B,C)进行可控性检查. (2).将 k [k1 , k2 ,, kn ]代入式A-Bk (3).求出det(A-Bk)得到关于 k1 , k2 ,, kn 的特征 式,f(λ)=det(A-Bk)
• 由于输出中总是为部分原系统状态变量的线 性组合,因此可用输出来代替部分状态,可 以证明如下结论。
• 若系统可观且 rankC m,则原系统的 m 个状态可用输出 来表示。而其余的 m y n
个状态则需要用估计器进行估计,从而
估计器的状态是 n m 个而 n m n ,因
此称这种估计器是降维估计器。
x Ax Br y Cx
• A 是满足要求的方阵
• 若u=f(r,x)或u=r-kx则
x ( A kB) x Br y Cx
(1)
• 从而 A A kB 显然调整k可以得到合适的 A
• 实际上,由于A决定了系统的特征值或系统 的极点位臵,因此通过调整k,可以使A的极 点位臵按要求进行变化,即其极点位臵由 A 决定,这是状态反馈的重要意义和研究目的. • 现在的问题是:系统应满足什么条件,系统 的极点可任意地改变或任意地配臵到S平面 的任意位臵,总而言之即极点任意配臵.
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