2021-2022学年-有答案-湖南省某校初三(上)12月月考数学试卷

2021-2022学年湖南省某校初三（上）12月月考数学试卷一、选择题
1. 已知反比例函数y=k
x
(k≠0)的图象经过点M(−2, 2)，则k的值是()
A.−4
B.−1
C.1
D.4
2. 若关于x的方程(a+1)x2+x+4=0是一元二次方程，则a满足的条件是( )
A.a≠0
B.a≠−1
C.a>−1
D.a<−1
3. 如果a
b =3
2
，那么a
a+b
等于( )
A.3:2
B.2:3
C.3:5
D.5:3
4. 如图，一次函数y=kx+b的图象与反比例函数y=m
x
的图象交于A(−2,1)，
B(1,−2)两点．当一次函数的值大于反比例函数的值时，自变量x的取值范围是( )
A.−2<x<1
B.0<x<1
C.−2<x<1或x>1
D.x<−2或0<x<1
5. 某“中学生暑期环保组”的同学，随机调查了“幸福小区”10户家庭一周内使用环保方
便袋的数量，数据如下（单位：只）：6，5，7，8，7，5，8，10，5，9．利用上述
数据估计该小区2000户家庭一周内需要环保方便袋约( )
A.2000只
B.14000只
C.21000只
D.9800只
6. 如图，在宽度为20m，长为32m的矩形地面上修筑同样宽的道路（图中阴影部分），余下的部分种上草坪，要使草坪的面积为540m2，求道路的宽．如果设小路宽为xm，
根据题意，所列方程正确的是( )
A.(20+x)(32−x)=540
B.(20−x)(32−x)=100
C.(20−x)(32−x)=540
D.(20+x)(32−x)=100
7. 如图，电线杆CD的高度为ℎ，两根拉线AC与BC相互垂直，∠CAB=α，则拉线BC的长度为（A，D，B在同一条直线上）( )
A.ℎ
sinαB.ℎ
cosα
C.ℎ
tanα
D.ℎ⋅cosα
8. 如图，为了量山坡护坡石坝的坡度，把一根长5m的竹竿AC斜靠在石坝旁，量出竿长1m处的点D离地面的高度DE=0.6m，又量得竿底与坝脚的距离AB=3m，则石坝的坡度为( )
A.3：4
B.3：1
C.3：5
D.4：1
二、填空题
若反比例函数y=3−2m
x
的图象在x>0时，y随x的增大而减小，则m的取值范围是________.
如果关于x的一元二次方程x2+4x−m=0没有实数根，那么m的取值范围是
________．
如图，函数y=x与y=4
x
的图象交于A、B两点，过点A作AC垂直于y轴，垂足为C，则△ABC的面积为________．
点C 是线段AB 的黄金分割点(AC <BC )，若AB =5cm ，则BC 的长是________.
已知两个相似三角形对应角平分线的比为4:5，周长和为18cm ，则这两个三角形的周长分别是________．
跳远训练时，甲、乙两名同学在相同条件下各跳了10次，统计他们的平均成绩都是
5.68m ，且方差为S 甲2=0.3，S 乙2
=0.4，则成绩较稳定的是________．
如图，△ABC 与△DEF 是位似图形，点O 是位似中心，若OA =2AD ，S △ABC =8，则S △DEF 等于________．
在综合实践课上，小聪所在小组要测量一条河的宽度，如图，河岸EF // MN ，小聪在河岸MN 上点A 处用测角仪测得河对岸小树C 位于东北方向，然后沿河岸走了30米，到达B 处，测得河对岸电线杆D 位于北偏东30∘方向，此时，其他同学测得CD =10米．请根据这些数据求出河的宽度为________米．（结果保留根号）
三、解答题
解方程：−3x 2−6x +4=0.
计算：(√2020−1)0
−(12)−1
+|−√3|−2sin60∘.
如图，在△ABD中，∠B=90∘，C是BD上一点，DC=10，∠ADB=30∘，∠ACB= 60∘，求AB的长（结果保留根号）.
(m≠0)的图象交于点
如图，一次函数y1=kx+b(k≠0)与反比例函数y2=m
x
A(−1,6)，B(a,−2).
(1)求一次函数与反比例函数的表达式；
≥kx+b的解集.
(2)根据函数图象，直接写出不等式m
x
如图，在▱ABCD中，E是BA延长线上的一点，CE交对角线DB于点G，AD于点F．
(1)求证△DGF∼△BGC；
(2)求证：CG2=GF⋅GE.
某店只销售某种进价为40元/kg的特产．已知该店按60元/kg出售时，平均每天可售出100kg，后来经过市场调查发现，单价每降低1元，则平均每天的销售量可增加10kg．若该店销售这种特产计划平均每天获利2240元．
(1)每千克该种特产应降价多少元？
(2)为尽可能让利于顾客，则该店应按原售价的几折出售？
中华文明，源远流长；中华汉字，寓意深广．为传承中华优秀传统文化，某校团委组织了一次全校3000名学生参加的“汉字听写”大赛．为了解本次大赛的成绩，校团委随机抽取了其中200名学生的成绩(成绩x 取整数，总分100分)作为样本进行统计，制成如下不完整的统计图表：
90≤x ≤100 50
0.25
(1)m =________，n =________；
(2)补全频数直方图；
(3)若成绩在90分以上(包括90分)为“优”等，请你估计该校参加本次比赛的3000名学生中成绩是“优”等的约有多少人？
如图，某数学活动小组为测量学校旗杆AB 的高度，沿旗杆正前方2√3米处的点C 出发，沿斜面坡度i =1:√3的斜坡CD 前进4米到达点D ，在点D 处安置测角仪，测得旗杆顶部A 的仰角为37∘，量得仪器的高DE 为1.5米．已知A ，B ，C ，D ，E 在同一平面内，AB ⊥BC ，AB // DE ．求旗杆AB 的高度．（参考数据：sin 37∘≈3
5，cos 37∘≈4
5，tan 37∘≈
3
4
．计算结果保留根号）
如图，已知直线y=1
2x与双曲线y=k
x
(k>0)交于A、B两点，且点A的横坐标为4.
(1)求k的值及A、B两点的坐标；
(2)若双曲线y=k
x
(k>0)上一点C的纵坐标为8，求△AOC的面积；
(3)过原点O的另一条直线l交双曲线y=k
x
(k>0)于P，Q两点（P点在第一象限），则
由点A，B，P，Q为顶点组成的四边形为平行四边形吗？请说明理由．
如图，四边形OABC为矩形，OA=4，OC=5，正比例函数y=2x的图象交AB于点D，连接DC，动点Q从D点出发沿DC向终点C运动，动点P从C点出发沿CO向终点O运
动．两点同时出发，速度均为每秒1个单位，设从出发起运动了t(s)．
(1)求△PCQ的面积S△PCQ=？（用t的代数式表示）；
(2)问：是否存在时刻t使S△DOP=S△PCQ？为什么？
(3)当t为何值时，△DPQ是一个以DP为腰的等腰三角形？
参考答案与试题解析
2021-2022学年湖南省某校初三（上）12月月考数学试卷
一、选择题
1.
【答案】
A
【考点】
待定系数法求反比例函数解析式
【解析】
把点(−2, 2)代入反比例函数y=k
x
(k≠0)中，可直接求k的值．
【解答】
解：把点M(−2, 2)代入反比例函数y=k
x
(k≠0)中，
得2=k
−2
，
∴k=−4.
故选A.
2.
【答案】
B
【考点】
一元二次方程的定义
【解析】
根据一元二次方程的定义知：a+1≠0，据此可以求得α的取值范围．
【解答】
解：根据题意，得a+1≠0，
解得：a≠−1.
故选B．
3.
【答案】
C
【考点】
比例的性质
【解析】
根据题意比例的合比性质，即可得出结果．
【解答】
解：由题意不妨设a=3k，b=2k，k≠0，
∴a
a+b =3k
3k+2k
=3
5
．
故选C．
D
【考点】
反比例函数与一次函数的综合
【解析】
根据图象即可求得．
【解答】
解：∵A(−2,1)，B(1,−2)，
由图象可知：一次函数的值大于反比例函数的值时，
即一次函数的图象位于反比例函数图象的上方，
此时x的取值范围是x<−2或0<x<1.
故选D.
5.
【答案】
B
【考点】
算术平均数
用样本估计总体
【解析】
先求出10户家庭一周内使用环保方便袋的数量总和，然后求得样本平均数，最后乘以总数2000即可解答．
【解答】
(6+5+7+8+7+5+8+10+5+9)×2000
解：1
10
=14000只．
故选B．
6.
【答案】
C
【考点】
由实际问题抽象出一元二次方程
【解析】
设小路宽为x米，利用平移把不规则的图形变为规则图形，如此一来，所有草坪面积之和就变为了(32−x)(20−x)米2，进而即可列出方程，求出答案．
【解答】
解：利用平移，原图可转化为如图所示，
设小路宽为x米，
根据题意得：(20−x)(32−x)=540．
故选C．
B
【考点】
解直角三角形的应用-其他问题【解析】
根据同角的余角相等得∠CAD＝∠BCD，由cos∠BCD=CD
BC 知BC=CD
cos∠BCD
=ℎ
cosα
．
【解答】
解：∵∠CAD+∠ACD=90∘，∠ACD+∠BCD=90∘，∴∠CAD=∠BCD.
在Rt△BCD中，
∵cos∠BCD=CD
BC
，
∴BC=CD
cos∠BCD =ℎ
cosα
.
故选B.
8.
【答案】
B
【考点】
解直角三角形的应用-坡度坡角问题勾股定理
【解析】
先过C作CF⊥AB于F，根据DE // CF，可得AD
AC =DE
CF
，进而得出CF=3，根据勾股定理
可得AF的长，根据CF和BF的长可得石坝的坡度．【解答】
解：如图，过C作CF⊥AB于F，则DE // CF，
∴AD
AC =DE
CF
，即1
5
=0.6
CF
，
解得CF=3m，
∴Rt△ACF中，AF=√52−32=4m.
又∵AB=3m，
∴BF=4−3=1m，
∴石坝的坡度为CF
BF =3
1
.
故选B. 二、填空题【答案】
m<3 2
【考点】
反比例函数图象上点的坐标特征
反比例函数的性质
【解析】
先根据反比例函数的性质列出关于m的不等式．求出m的取值范围即可．
【解答】
解：∵反比例y=3−2m
x
函数图象在x>0时，y随x的增大而减小，
∴3−2m>0，解得：m<3
2
．
故答案为：m<3
2
．
【答案】
m<−4
【考点】
根的判别式
【解析】
根据关于x的一元二次方程x2+4x−m＝0没有实数根，得出△＝16−4(−m)<0，从
而求出m的取值范围．
【解答】
解：∵一元二次方程x2+4x−m=0没有实数根，
∴Δ=16−4(−m)<0，
∴m<−4.
故答案为：m<−4.
【答案】
4
【考点】
反比例函数系数k的几何意义
反比例函数与一次函数的综合
【解析】
两个函数建立起方程组，求出两个交点坐标，过双曲线上任意一点与原点所连的线段、
坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S是个定值，即S△AOC=1
2
|k|，
S△BOC=1
2
OC⋅|x B|，S△ABC=S△BOC+S△AOC
【解答】
解：由方程组{y =x ，
y =4x ，
解得{x =2，y =2或{x =−2，y =−2，
∴ 点A 为(2, 2)，点B 为(−2, −2)，
∴ 点C 为(0, 2)，
S △AOC =12×4=2，
S △BOC =12OC ⋅|x B |=12×2×2=2，
∴ S △ABC =S △BOC +S △AOC =4．
故答案为：4．
【答案】
5√5−52
cm 【考点】
黄金分割
【解析】
利用黄金分割得BC 较长，代入数据得解.
【解答】
解：∵ 点C 是AB 的黄金分割点，且AC <BC ，
∴ BC =√5−12AB =√5−12×5=5√5−52
（cm ）. 故答案为：
5√5−52
cm . 【答案】 8cm 、10cm
【考点】
相似三角形的性质
【解析】
根据相似三角形的对应角平分线的比等于相似比、三角形的周长比等于相似比列式计算即可．
【解答】
解：设其中一个三角形的周长为xcm ，则另一个三角形的周长为(18−x)cm ， ∵ 两个相似三角形对应角平分线的比为4:5，
∴ 两个相似三角形的相似比为4:5，
∴ 两个相似三角形的周长比为4:5，
∴ x 18−x =45，
解得，x =8，
则18−x =10.
故答案为：8cm 、10cm .
【答案】
甲
【考点】
方差
【解析】
根据方差的意义可作出判断．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．
【解答】
解：方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．
∵ S 甲2=0.3，S 乙2=0.4，
∴ S 甲2<S 乙2，
∴ 成绩较稳定的是甲同学.
故答案为：甲.
【答案】
18
【考点】
位似的性质
【解析】
△ABC 与△DEF 是位似图形，由OA ＝2AD 可得两个图形的位似比，面积的比等于位似比的平方．
【解答】
解：∵ △ABC 与△DEF 是位似图形且OA =2AD ．
∴ 两位似图形的位似比为2:3，
∴ 两位似图形的面积比为4:9.
又∵ △ABC 的面积为8，
得△DEF 的面积为18．
故答案为：18.
【答案】
(30+10√3)
【考点】
解直角三角形的应用-方向角问题
【解析】
如图作BH ⊥EF ，CK ⊥MN ，垂足分别为H 、K ，则四边形BHCK 是矩形，设CK =HB =x ，根据tan30∘=HD BH 列出方程即可解决问题．
【解答】
解：如图作BH ⊥EF ，CK ⊥MN ，垂足分别为H ，K ，
则四边形BHCK 是矩形.
设CK =HB =x ，
∵ ∠CKA =90∘，∠CAK =45∘，
∴ ∠CAK =∠ACK =45∘，
∴ AK =CK =x ，BK =HC =AK −AB =x −30，
∴ HD =x −30+10=x −20.
在Rt △BHD 中，∠BHD =90∘，∠HBD =30∘，
∴ tan30∘=HD HB ，即√33=x−20x ，
解得x =30+10√3，
∴ 河的宽度为(30+10√3)米.
故答案为：(30+10√3).
三、解答题
【答案】
解：∵ a =−3，b =−6，c =4，
∴ Δ=b 2−4ac =36+4×3×4=84，
∴ x =6±√84−6
， 解得x 1=−1−√213，x 2=−1+√213
. 【考点】
解一元二次方程-公式法
【解析】
(1)直接利用配方法解答即可求解；
【解答】
解：∵ a =−3，b =−6，c =4，
∴ Δ=b 2−4ac =36+4×3×4=84，
∴ x =6±√84−6
， 解得x 1=−1−
√213，x 2=−1+√213
. 【答案】 解：原式=1−(2−1)−1+√3−2×
√32
=1−2+√3−√3
=−1.
【考点】
特殊角的三角函数值
实数的运算
零指数幂、负整数指数幂
绝对值
【解析】 利用指数的运算，三角函数的运算得解.
【解答】
解：原式=1−(2−1)−1+√3−2×
√32
=1−2+√3−√3
=−1.
【答案】
解：∵ ∠ADB =30∘，∠ACB =60∘，
∴ ∠DAC =30∘.
∵ DC =10，
∴ AC =10 .
在△ABC 中，
∵ ∠ACB =60∘，sin∠ACB =AB AC ，
∴ AB =ACsin∠ACB =10×
√32=5√3. 【考点】
锐角三角函数的定义
【解析】
答案未提供解析。

【解答】
解：∵ ∠ADB =30∘，∠ACB =60∘，
∴ ∠DAC =30∘.
∵ DC =10，
∴ AC =10 .
在△ABC 中，
∵ ∠ACB =60∘，sin∠ACB =
AB AC ， ∴ AB =ACsin∠ACB =10×
√32=5√3. 【答案】
解：(1)把点A (−1,6)代入反比例函数y 2=
m x (m ≠0)，得 m =−1×6=−6.
∴ 反比例函数的表达式为y 2=
−6x . 将B (a,−2)代入y 2=−6x ，得
−2=−6a .
解得a =3.
∴ B (3,−2).
将A (−1,6) ，B (3,−2)代入一次函数y 1=kx +b ，得
{−k +b =6，3k +b =−2，
∴ {k =−2，b =4.
∴ 一次函数的表达式为y 1=−2x +4.
(2)结合一次函数图象与反比例函数图象可知：
当x ≥3或−1≤x <0时，一次函数图象在反比例函数图象上方，
所以不等式m x ≥kx +b 的解集为x ≥3或−1≤x <0.
【考点】
待定系数法求反比例函数解析式
待定系数法求一次函数解析式
反比例函数与一次函数的综合
(1)把点A 坐标代入反比例函数求出k 的值，也就求出了反比例函数解析式，再把点B 的坐标代入反比例函数解析式求出a 的值，得到点B 的坐标，然后利用待定系数法即可求出一次函数解析式.
(2)找出直线在一次函数图形的下方部分图象的自变量x 的取值即可．
【解答】
解：(1)把点A (−1,6)代入反比例函数y 2=
m x (m ≠0)，得 m =−1×6=−6.
∴ 反比例函数的表达式为y 2=
−6x . 将B (a,−2)代入y 2=−6x ，得
−2=−6a .
解得a =3.
∴ B (3,−2).
将A (−1,6) ，B (3,−2)代入一次函数y 1=kx +b ，得
{−k +b =6，3k +b =−2，
∴ {k =−2，b =4.
∴ 一次函数的表达式为y 1=−2x +4.
(2)(2)结合一次函数图象与反比例函数图象可知：
当x ≥3或−1≤x <0时，一次函数图象在反比例函数图象上方，
所以不等式m x ≥kx +b 的解集为x ≥3或−1≤x <0.
【答案】
证明：(1)∵ 四边形ABCD 是平行四边形，
∴ AD//BC ，
∴ ∠DFG =∠BCG ，∠FDG =∠CBG ，
∴ △DFG ∼△BCG .
(2)∵ 四边形ABCD 是平行四边形，
∴ DC//AB ，AD//BC .
∵ DC//AB ，
∴ CG GE =DG GB .
∵ AD//BC ,
∴ FG GC =DG GB ，
∴ CG GE =FG CG ，
∴ CG 2=GF ⋅GE .
【考点】
相似三角形的判定
平行线分线段成比例
此题暂无解析
【解答】
证明：(1)∵ 四边形ABCD是平行四边形，∴ AD//BC，
∴∠DFG=∠BCG，∠FDG=∠CBG，
∴ △DFG∼△BCG.
(2)∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ DC//AB，AD//BC.
∵ DC//AB，
∴CG
GE =DG
GB
.
∵ AD//BC,
∴FG
GC =DG
GB
，
∴CG
GE =FG
CG
，
∴ CG2=GF⋅GE.
【答案】
解：(1)设每千克该种特产应降价x元，
根据题意，得：(60−x−40)(100+10x)=2240，
解得：x1=4，x2=6，
答：每千克该种特产应降价4元或6元；
(2)由(1)可知每千克该种特产可降价4元或6元．
因为要尽可能让利于顾客，所以每千克该种特产应降价6元．此时，售价为：60−6=54（元），
54
60
×100%=90%．
答：该店应按原售价的九折出售．
【考点】
一元二次方程的应用
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：(1)设每千克该种特产应降价x元，
根据题意，得：(60−x−40)(100+10x)=2240，
解得：x1=4，x2=6，
答：每千克该种特产应降价4元或6元；
(2)由(1)可知每千克该种特产可降价4元或6元．
因为要尽可能让利于顾客，所以每千克该种特产应降价6元．此时，售价为：60−6=54（元），
54
60
×100%=90%．
答：该店应按原售价的九折出售．
【答案】
70,0.2
(2)频数分布直方图如图所示：
(3)该校参加本次比赛的3000名学生中成绩为“优”等的约有：3000×0.25=750(人)．【考点】
频数与频率
频数（率）分布表
频数（率）分布直方图
用样本估计总体
【解析】
【解答】
解：(1)本次调查的总人数为10÷0.05=200，
则m=200×0.35=70，n=40÷200=0.2.
故答案为：70；0.2.
(2)频数分布直方图如图所示：
(3)该校参加本次比赛的3000名学生中成绩为“优”等的约有：3000×0.25=750(人)．【答案】
解：如图，延长ED交BC延长线于点F，则∠CFD=90∘．
∵tan∠DCF=i=1
√3=√3
3
，
∴∠DCF=30∘．
∵CD=4，
∴DF=1
2
CD=2，
CF=CD⋅cos∠DCF=4×√3
2
=2√3．
∴BF=BC+CF=2√3+2√3=4√3．
过点E作EG⊥AB于点G，
则GE=BF=4√3，GB=EF=ED+DF=1.5+2=3.5．
又∵∠AEG=37∘，
∴AG=GE⋅tan∠AEG=4√3⋅tan37∘≈3√3．
∴AB=AG+BG≈3√3+3.5．
故旗杆AB的高度约为(3√3+3.5)米．
【考点】
解直角三角形的应用-坡度坡角问题
解直角三角形的应用-仰角俯角问题
【解析】
延长ED交BC延长线于点F，则∠CFD＝90∘，Rt△CDF中求得CF＝CDcos∠DCF＝2√3、
DF=1
2
CD＝2，作EG⊥AB，可得GE＝BF＝4√3、GB＝EF＝3.5，再求出AG＝
GEtan∠AEG＝4√3⋅tan37∘可得答案．
【解答】
解：如图，延长ED交BC延长线于点F，则∠CFD=90∘．
∵tan∠DCF=i=1
√3=√3
3
，
∴∠DCF=30∘．∵CD=4，
∴DF=1
2
CD=2，
CF=CD⋅cos∠DCF=4×√3
2
=2√3．
∴BF=BC+CF=2√3+2√3=4√3．
过点E作EG⊥AB于点G，
则GE=BF=4√3，GB=EF=ED+DF=1.5+2=3.5．又∵∠AEG=37∘，
∴AG=GE⋅tan∠AEG=4√3⋅tan37∘≈3√3．
∴AB=AG+BG≈3√3+3.5．
故旗杆AB的高度约为(3√3+3.5)米．
【答案】
解：(1)∵ 点A的横坐标为4，
把x=4代入y=1
2
x中得y=2，
∴ A(4,2)，
∵ 反比例函数的图象是关于原点O的中心对称图形，
∴ B(−4,−2)，
∵ 点A是直线y=1
2x与双曲线y=k
x
(k>0)的交点，
∴ k=4×2=8．
(2)过点C，A分别做x轴的垂线，垂足为E，F，如图，
把y=8代入y=8
x
中得x=1，
∴ C(1,8).
∵ 点C，A都在双曲线y=8
x
上，
∴S△COE=S△AOF=4，
∵S△COE+S梯形CEFA=S△AOF+S△AOC，
∴S梯形CEFA=S△AOC.
∵S梯形CEFA=1
2
×(2+8)×(4−1)=15，
∴S△AOC=15．
(3)∵ 反比例函数的图象是关于原点O的中心对称图形，∴ OP=OQ，OA=OB，
∴ 四边形APBQ是平行四边形．
【考点】
待定系数法求反比例函数解析式
反比例函数与一次函数的综合
三角形的面积
【解析】
左侧图片未给出解析．
左侧图片未给出解析．
左侧图片未给出解析．
【解答】
解：(1)∵ 点A的横坐标为4，
把x=4代入y=1
2
x中得y=2，
∴ A(4,2)，
∵ 反比例函数的图象是关于原点O的中心对称图形，∴ B(−4,−2)，
∵ 点A是直线y=1
2x与双曲线y=k
x
(k>0)的交点，
∴ k=4×2=8．
(2)过点C，A分别做x轴的垂线，垂足为E，F，如图，
把y=8代入y=8
x
中得x=1，
∴ C(1,8).
∵ 点C，A都在双曲线y=8
x
上，
∴S△COE=S△AOF=4，
∵S△COE+S梯形CEFA=S△AOF+S△AOC，
∴S梯形CEFA=S△AOC.
∵S梯形CEFA=1
2
×(2+8)×(4−1)=15，
∴S△AOC=15．
(3)∵ 反比例函数的图象是关于原点O的中心对称图形，∴ OP=OQ，OA=OB，
∴ 四边形APBQ是平行四边形．
【答案】
解：(1)分别过点Q、D作QE⊥OC，DF⊥OC交OC于点E、F，如图，
对于直线y=2x，令y=4，得到x=2，即D(2, 4)，
∴BD=OC−AD=5−2=3.
∵BC=OA=4，
∴在Rt△BCD中，根据勾股定理得：CD=√BD2+BC2=5.
∵∠DCF=∠QCE，∠DFC=∠QEC=90∘，
∴△CQE∼△CDF，
∴CQ
CD =QE
DF
，
即5−t
5=QE
4
，
∴QE=4(5−t)
5
，
则S△CPQ=1
2×t×4
5
(5−t)=2
5
t(5−t)=−2
5
t2+2t.
(2)不存在，理由为：
根据题意得：S△ODP=1
2
×4×(5−t)=2(5−t).
令2(5−t)=−2
5
t2+2t，
解得：t1=t2=5，
则此时Q与C重合，不能构成三角形.
(3)∵△CQE∼△CDF，
∴CE=3
5(5−t)，PE=t−3
5
(5−t)=8
5
t−3，
∴根据勾股定理得：PQ2=16(5−t)2
25+(8
5
t−3)2
=16
5
t2−16t+25，
DP2=42+(3−t)2，DQ=t，
分两种情况考虑：
①当DP=PQ时，42+(3−t)2=16
5
t2−16t+25，
解得：t 1=0（舍去），t 2=5011；
②当DP =DQ 时，42+(3−t)2=t 2，
解得：t =256，
综上，当t =256或t =5011时，△DPQ 是一个以DP 为腰的等腰三角形． 【考点】
四边形综合题
动点问题
相似三角形的性质与判定
一元二次方程的应用——几何图形面积问题
相似三角形的性质
等腰三角形的性质
【解析】
（1）分别过点Q 、D 作QE ⊥OC ，DF ⊥OC 交OC 与点E 、F ，对于直线y =2x ，令y =4求出x 的值，确定出D 坐标，进而求出BD ，BC 的长，利用勾股定理求出CD 的长，利用两对角相等的三角形相似得到三角形CQE 与三角形CDF 相似，由相似得比例表示出QE ，由底PC ，高QE 表示出三角形PQC 面积即可；
（2）不存在，理由为：表示出三角形ODP 面积，令S △DOP =S △PCQ ，求出t =5，此时Q 与C 重合，不能构成三角形；
（3）由三角形CQE 与三角形CDF 相似，利用相似得比例表示出CE ，PE ，进而利用勾股定理表示出PQ 2，DP 2，以及DQ ，分两种情况考虑：①当DP =PQ ；②当DP =DQ ，求出t 的值即可．
【解答】
解：(1)分别过点Q 、D 作QE ⊥OC ，DF ⊥OC 交OC 于点E 、F ，如图，
对于直线y =2x ，令y =4，得到x =2，即D(2, 4)，
∴ BD =OC −AD =5−2=3.
∵ BC =OA =4，
∴ 在Rt △BCD 中，根据勾股定理得：CD =√BD 2+BC 2=5.
∵ ∠DCF =∠QCE ，∠DFC =∠QEC =90∘，
∴ △CQE ∼△CDF ，
∴ CQ CD =QE DF ，
即5−t
5=QE
4，
∴ QE =4(5−t)5
， 则S △CPQ =12×t ×45(5−t)=25t(5−t)=−25t 2+2t .
(2)不存在，理由为：
根据题意得：S △ODP =12×4×(5−t)=2(5−t). 令2(5−t)=−25t 2+2t ， 解得：t 1=t 2=5，
则此时Q 与C 重合，不能构成三角形.
(3)∵ △CQE ∼△CDF ，
∴ CE =35(5−t)，PE =t −35(5−t)=85t −3， ∴ 根据勾股定理得：PQ 2=16(5−t)225+(85t −3)2 =165t 2−16t +25，
DP 2=42+(3−t)2，DQ =t ， 分两种情况考虑：
①当DP =PQ 时，42+(3−t)2=165t 2−16t +25， 解得：t 1=0（舍去），t 2=50
11；
②当DP =DQ 时，42+(3−t)2=t 2， 解得：t =25
6，
综上，当t =256或t =50
11时，△DPQ 是一个以DP 为腰的等腰三角形．。