2021年福建省南平市邵武市中考数学适应性试卷(附答案详解)

2021年福建省南平市邵武市中考数学适应性试卷
1.下列各数中，比−1小的数是()
A. 0
B. 0.5
C. −0.5
D. −2
2.下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是()
A. 角
B. 等边三角形
C. 平行四边形
D. 菱形
3.某几何体的三视图如图所示，因此几何体是()
A. 长方形
B. 圆柱
C. 球
D. 正三棱柱
4.下列运算中，正确的是()
A. (a3)3=a9
B. a2⋅a2=2a2
C. a−a2=−a
D. (ab)2=ab2
5.已知一个多边形的内角和是900°，则这个多边形是()
A. 五边形
B. 六边形
C. 七边形
D. 八边形
6.某同学参加射击训练，共发射8发子弹，击中的环数分别为5，3，7，5，6，4，5，
5，则下列说法错误的是()
A. 其平均数为5
B. 其众数为5
C. 其方差为5
D. 其中位数为5
7.如图，AB为⊙O的直径，点C，D在圆上，若∠D=65°，
则∠BAC=()
A. 20°
B. 25°
C. 30°
D. 35°
8.《九章算术》中记载：“今有甲乙二人持钱不知其数，甲得乙半而钱五十，乙得甲
太半而钱亦五十.问甲、乙持钱各几何？”其大意是：“今有甲乙二人，不知其钱
的钱给乙，包里有多少钱，若乙把其一半的钱给甲，则甲的钱数为50；而甲把其2
3则乙的钱数也能为50，问甲、乙各有多少钱？”设甲的钱数为x，乙的钱数为y，根据题意，可列方程组为()
A. {x +1
2y =50
2
3
x +y =50
B. {x +2
3y =50
1
2x +y =50
C. {x +y =5012
x +23
y =50
D. {1
2y =50
2
3
x =50
9. 如图，在△ABC 中，AC =3，BC =6，D 为BC 边上
的一点，且∠BAC =∠ADC.若△ADC 的面积为a ，则△ABC 的面积为( )
A. 4a
B. 7
2a C. 52a D. 2a
10. 已知点A(b −m,y 1)，
B(b −n,y 2)，C(b +m+n 2
,y 3)都在二次函数y =−x 2+2bx +c
的图象上，若0<m <n ，则y 1，y 2，y 3的大小关系是( )
A. y 1<y 2<y 3
B. y 2<y 3<y 1
C. y 3<y 1<y 2
D. y 1<y 3<y 2
11. 据统计全国共有346支医疗队，将近42600名医护工作者加入到湖北武汉的抗疫队
伍，将42600用科学记数法表示为______．
12. 把多项式ax 2−4ax +4a 因式分解的结果是______ ．
13. 从长度分别为3，5，6，9的四条线段中任取三条，则能组成三角形的概率为______． 14. 如图，在半径为√2的圆形纸片中，剪一个圆心角为90°的最大
扇形(阴影部分)，则这个扇形的面积为______．
15. 如图，在菱形纸片ABCD 中，AB =2，∠A =60°，将菱形纸片翻折，使点A 落在CD 的
中点E 处，折痕为FG ，点F ，G 分别在边AB ，AD 上，则cos∠EFG 的值为______．
16. 如图，四边形ABCD 为矩形，E 为对角线AC 的中点，A 、B 在x
轴上．若函数y =4
x (x >0)的图象过D 、E 两点，则矩形ABCD
的面积为______．
17.计算：4sin60°−|−2|−√12+(−1)2021．
18.如图，在矩形ABCD中，点E，F在对角线AC上，且AE=CF，
连接DE，BF．
求证：∠ABF=∠CDE．
19.先化简再求值：m2+4m+4
m2−m ÷(1+2
m
)，其中m=√3+1．
20.如图，等腰△ABC，AC=BC>AB，射线AD与BC交于点D．
(1)在射线AD上求作一点E，使得∠CAE=∠AEB；(要求：尺
规作图，保留作图痕迹，不写作法)
(2)在(1)的条件下，若CD=2BD，AC=12，求BE的值．
21.某商场购进甲、乙两种商品，甲种商品共用了2000元，乙种商品共用了2400元．已
知乙种商品每件进价比甲种商品每件进价多8元，且购进的甲、乙两种商品件数相同．
(1)求甲、乙两种商品的每件进价；
(2)该商场将购进的甲、乙两种商品进行销售，甲种商品的销售单价为60元，乙种
商品的销售单价为88元，销售过程中发现甲种商品销量不好，商场决定：甲种商品销售一定数量后，将剩余的甲种商品按原销售单价的七折销售；乙种商品销售单价保持不变．要使两种商品全部售完后共获利不少于2460元，问甲种商品按原销售单价至少销售多少件？
22.已知等边△ABC内接于⊙O，D为弧BC的中点，连接DB、DC，
过C作AB的平行线，交BD的延长线于点E．
(1)求证：CE与⊙O相切；
(2)若AB长为6，求CE长．
23.某路段上有A，B两处相距近200m且未设红绿灯的斑马线．为使交通高峰期该路段
车辆与行人的通行更有序，交通部门打算在汽车平均停留时间较长的一处斑马线上放置移动红绿灯．图1，图2分别是交通高峰期来往车辆在A，B斑马线前停留时间的抽样统计图．根据统计图解决下列问题：
(1)若某日交通高峰期共有350辆车经过A斑马线，请估计该日停留时间为10s～12s
的车辆数，以及这些停留时间为10s～12s的车辆的平均停留时间；(直接写出答案)
(2)移动红绿灯放置在哪一处斑马线上较为合适？请说明理由．
24.如图，四边形ABCD中，AB=AD=4，CB=CD=3，∠ABC=∠ADC=90°，点M、
∠BCD，CM、CN与对角线BD分别交于点P、N是边AB、AD上的动点，且∠MCN=1
2
Q．
(1)求sin∠MCN的值；
(2)当DN=DC时，求∠CNM的度数；
(3)试问：在点M、N的运动过程中，线段比PQ
的值是否发生变化？如不变，请求
MN
出这个值；如变化，请至少给出两个可能的值，并说明点N相应的位置．
25.已知抛物y=ax2+bx．
(1)若抛物线与一次函数y=−x−1有且只有一个公共点，求a、b满足的关系式；
(2)设点Q为抛物线上的顶点，点P为平面内一点，若点P坐标为(2,−2)，S△OPQ=3，
且OP>OQ，抛物线经过点A(m,n)和点B(4−m,n)，直线PB与抛物线的另一交点为C．
①求抛物线的解析式；
②证明：对于任意实数m，直线AC必过一定点．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：∵−2<−1<−0.5<0，
∴各数中，比−1小的数是−2．
故选：D．
有理数大小比较的法则：①正数都大于0；②负数都小于0；③正数大于一切负数；④两个负数，绝对值大的其值反而小，据此判断即可．
此题主要考查了有理数大小比较的方法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①正数都大于0；②负数都小于0；③正数大于一切负数；④两个负数，绝对值大的其值反而小．
2.【答案】D
【解析】解：A、角是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意；
B、等边三角形是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意；
C、平行四边形不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不合题意；
D、菱形既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意．
故选：D．
根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．
3.【答案】B
【解析】解：从正面看，是一个矩形；从左面看，是一个矩形；从上面看，是圆，这样的几何体是圆柱，
故选：B．
从正面看到的图叫做主视图，从左面看到的图叫做左视图，从上面看到的图叫做俯视图．
本题考查了几何体的三种视图，注意所有的看到的棱都应表现在三视图中．
4.【答案】A
【解析】解：A、(a3)3=a9，故此选项正确；
B、a2⋅a2=a4，故原题计算错误；
C、a和a2不是同类项，不能合并，故原题计算错误；
D、(ab)2=a2b2，故原题计算错误；
故选：A．
根据幂的乘方法则：底数不变，指数相乘；同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加；合并同类项的法则：把同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数不变；积的乘方法则：把每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘进行计算即可．
此题主要考查了幂的乘方、同底数幂的乘法、合并同类项和积的乘方，关键是掌握各计算法则．
5.【答案】C
【解析】解：设这个多边形是n边形，
则(n−2)⋅180°=900°，
解得：n=7，
即这个多边形为七边形．
故选：C．
设这个多边形是n边形，内角和是(n−2)⋅180°，这样就得到一个关于n的方程，从而求出边数n的值．
根据多边形的内角和定理，求边数的问题就可以转化为解方程的问题来解决．
6.【答案】C
×(5+3+7+5+6+4+5+5)=5，故A选项正【解析】解：这组数据的平均数为1
8
确，不符合题意；
这组数据中5出现次数最多，有4次，所以众数为5，故B选项正确，不符合题意；
这组数据的方差为18×[(3−5)2+(4−5)2+4×(5−5)2+(6−5)2+(7−5)2]=5
4，故C 选项错误，符合题意；
将数据重新排列为3、4、5、5、5、5、6、7， 所以中位数为5+52
=5，故D 选项正确，不符合题意；
故选：C ．
分别根据平均数、众数和方差、中位数的概念计算，从而得出答案． 本题考查了众数、中位数以及算术平均数的定义，牢记定义是关键．
7.【答案】B
【解析】解：连接BC ，如图， ∵AB 为⊙O 的直径， ∴∠ACB =90°， ∵∠B =∠D =65°，
∴∠BAC =90°−∠B =90°−65°=25°． 故选：B ．
连接BC ，如图，利用圆周角定理得到∠ACB =90°，∠B =∠D =65°，然后利用互余计算出∠BAC 的度数．
本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．半圆(或直径)所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．
8.【答案】A
【解析】解：由题意可得， {x +1
2y =5023
x +y =50， 故选：A ．
甲的钱数为x ，乙的钱数为y ，根据“若乙把其一半的钱给甲，则甲的钱数为50；而甲把其23的钱给乙，则乙的钱数也能为50”，即可得出关于x ，y 的二元一次方程组，此题得解．
本题考查由实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程组．
9.【答案】A
【解析】解：∵∠ACD=∠BCA，∠BAC=∠ADC．
∴△CAD∽△CBA，
∴CA：CD=CB：CA，即3：CD=6：3，
∴CD=3
2
，
∵S△ABC
S△ADC =BC
CD
=63
2
=4，
∴S△ABC=4a．故选：A．
先证明△CAD∽△CBA，利用相似比求出CD=3
2，然后根据三角形面积公式得到
S△ABC
S△ADC
=4．
本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形，灵活运用相似三角形的性质表示线段之间的关系；也考查了三角形的面积公式．
10.【答案】B
【解析】解：抛物线开口向下，对称轴为直线x=b，
∵0<m<n，
∴点B离对称轴最远，点A离对称轴近，
∴y2<y3<y1，
故选：B．
逐次比较A、B、C三个点离函数对称轴距离即可求解．
本题的考查了二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质，关键是找到二次函数的对称轴．
11.【答案】4.26×104
【解析】解：42600=4.26×104．
故答案为：4.26×104．
科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值<1时，n是负整数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，表示时关键要确定a的值以及n的值．
12.【答案】a(x−2)2
【解析】解：ax2−4ax+4a
=a(x2−4x+4)
=a(x−2)2．
故答案为：a(x−2)2．
直接提取公因式a，进而利用完全平方公式分解因式得出答案．
此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确应用公式是解题关键．
13.【答案】1
2
【解析】解：从长度分别为3，5，6，9的四条线段中任取三条，共有(356)、(359)、(369)、(569)四种可能，
其中能组成三角形有(356)、(569)，
所以能组成三角形的概率=2
4=1
2
．
故答案为1
2
．
利用列举法得到所有四种结果，然后根据三角形三边的关系得到能组成三角形有种，然后根据概率公式求解．
本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式求解．也考查了三角形三边的关系．
14.【答案】π
【解析】解：连接BC，
∴AD过圆心O，
∵∠BAC=90°，
∴BC为⊙O的直径，
∴BC=2√2，
在Rt△ABC中，由勾股定理可得：AB=AC=2，
∴S
扇形ABC =90π×22
360
=π，
故答案为：π．
由勾股定理求扇形的半径，再根据扇形面积公式求值．
本题考查了圆周角定理、扇形的面积计算方法．关键是利用所学的勾股定理以及扇形面积公式求值．
15.【答案】√21
7
【解析】
【分析】
本题考查了折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．也考查了菱形的性质．作EH⊥AD于H，连接BE、BD，连接AE交FG于O，如图，利用菱形的性质得△BDC为等边三角形，∠ADC= 120°，再在在Rt△BCE中计算出BE=√3CE=√3，接着证明BE⊥AB，设AF=x，利用折叠的性质得到EF=AF，FG垂直平分AE，∠EFG=∠AFG，所以在Rt△BEF中利用
勾股定理得(2−x)2+(√3)2=x2，解得x=7
4
，接下来计算出AE，从而得到OA的长，然后在Rt△AOF中利用勾股定理计算出OF，再利用余弦的定义求解．
【解答】
解：作EH⊥AD于H，连接BE、BD，连接AE交FG于O，如图，
∵四边形ABCD 为菱形，∠A =60°， ∴△BDC 为等边三角形，∠ADC =120°， ∵E 点为CD 的中点， ∴CE =DE =1，BE ⊥CD ， 在Rt △BCE 中，BE =√3CE =√3， ∵AB//CD ， ∴BE ⊥AB ， 设AF =x ，
∵菱形纸片翻折，使点A 落在CD 的中点E 处，折痕为FG ，点F ，G 分别在边AB ，AD 上， ∴EF =AF ，FG 垂直平分AE ，∠EFG =∠AFG ， 在Rt △BEF 中，(2−x)2+(√3)2=x 2，解得x =7
4，
在Rt △DEH 中，DH =1
2DE =1
2，HE =√3DH =√3
2
，
在Rt △AEH 中，AE =12)(√32)=√7，
∴AO =
√7
2
， 在Rt △AOF 中，OF =(74)(√72)=√214，
∴cos∠AFO =
√21
474
=
√21
7
． 故答案为√21
7
．
16.【答案】8
【解析】 【分析】
过E 作EF ⊥AB 于F ，由三角形中位线定理可得AD =2EF ，设点D 的横坐标为m ，D 点坐标为(m,4
m )，得出AD =4
m ，即可得出EF =2
m ，根据图象上的坐标特征得出E 的横坐标为2m ，继而得出AB =2m ，然后根据矩形的面积公式计算即可．
主要考查了反比例函数y=k
中k的几何意义，即图象上的点与原点所连的线段、坐标轴、
x
|k|．
向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S的关系即S=1
2
【解答】
解：过E作EF⊥AB于F，
∵点E是矩形ABCD对角线的交点，
∴AE=CE，
∴EF是△ABC的中位线，
∴AD=2EF，
(x>0)上，
设点D的横坐标为m，且点D在反比例函数y=4
x
)，
∴D点坐标为(m,4
m
∴AD=4
，
m
∴EF=2
，
m
∴F(2m,2
)，
m
∴AF=m，
∴AB=2m，
=8，
∴矩形ABCD的面积=2m⋅4
m
故答案为8．
17.【答案】解：4sin60°−|−2|−√12+(−1)2021
−2−2√3+(−1)
=4×√3
2
=2√3−2−2√3−1
=−3．
【解析】先化简各式，然后进行计算即可解答．
本题考查了实数的运算，准确熟练地化简各式是解题的关键．
18.【答案】证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB=CD，AB//CD．
∴∠BAC=∠DCA．
∵AE=CF，
∴AE+EF=CF+EF，即AF=CE．
在△ABF和△CDE中，{AB=CD
∠BAF=∠DCE AF=CE
，
∴△ABF≌△CDE(SAS)，
∴∠ABF=∠CDE．
【解析】证明△ABF≌△CDE(SAS)，即可得出∠ABF=∠CDE．
本题考查了矩形的性质、全等三角形的判定与性质；熟练掌握矩形的性质，证明三角形全等是解题的关键．
19.【答案】解：原式=(m+2)2
m(m−1)÷m+2
m
=(m+2)2
m(m−1)⋅m m+2
=m+2
m−1
，
当m=√3+1时
原式=√3+1+2
√3+1−1
=√3+3
√3
=1+√3．
【解析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用减法法则变形，约分得到最简结果，将m的值代入计算即可求值．
此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解决问题的关键．
20.【答案】解：(1)如图，点E即为所求作．
(2)∵∠C=∠CBE，
∴AC//BE，
∴BE
AC =BD
CD
，
∴BE
12=1
2
，
∴BE=6．
【解析】(1)作∠CBE=∠C即可．
(2)利用平行线分线段成比例定理解决问题即可．
本题考查作图−复杂作图，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
21.【答案】解：(1)设甲种商品的每件进价为x元，则乙种商品的每件进价为(x+8)元．
根据题意，得，2000
x =2400
x+8
，
解得x=40．
经检验，x=40是原方程的解．
答：甲种商品的每件进价为40元，乙种商品的每件进价为48元；
(2)甲乙两种商品的销售量为2000
40
=50(件)．
设甲种商品按原销售单价销售a件，则
(60−40)a+(60×0.7−40)(50−a)+(88−48)×50≥2460，
解得a≥20．
答：甲种商品按原销售单价至少销售20件．
【解析】本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用．本题属于商品销售中的利润问题，对于此类问题，隐含着一个等量关系：利润=售价−进价．
(1)设甲种商品的每件进价为x元，根据“某商场购进甲、乙两种商品，甲种商品共用了2000元，乙种商品共用了2400元．购进的甲、乙两种商品件数相同”列出方程；(2)设甲种商品按原销售单价销售a件，则由“两种商品全部售完后共获利不少于2460元”列出不等式．
22.【答案】(1)证明：连接OC，OB，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠A=∠ABC=60°，
∵AB//CE，
∴∠BCE=∠ABC=60°，
∵OB=OC，
∴∠OBC=∠OCB=30°，
∴∠OCE=∠OCB+∠BCE=30°+60°=90°，
∴CE与⊙O相切；
(2)∵四边形ABDC是圆的内接四边形，
∴∠A+∠BDC=180°，
∴∠BDC=120°，
∵D为弧BC的中点，
∴∠DBC=∠BCD=30°，
∴∠BEC=180°−∠EBC−∠BCE=90°，
∵AB=BC=6，
BC=3．
∴CE=1
2
【解析】(1)连接OC，OB，由等边三角形的性质可得∠ABC=∠BCE=60°，求出∠OCB= 30°，则∠OCE=90°，结论得证；
BC=3．
(2)由条件可得∠DBC=30°，∠BEC=90°，可求出CE=1
2
此题主要考查了等边三角形的性质、圆周角定理、圆内接四边形的性质、切线的判定以及直角三角形的性质等知识．解题的关键是正确作出辅助线，利用圆的性质解题．
= 23.【答案】解：(1)由图1可知，停留时间为10s～12s的车辆的百分比为：1
10+12+12+8+7+1
1
，
50
×350=7(辆)，
则该日停留时间为10s～12s的车辆约有：1
50
停留时间为10s～12s的车辆的平均停留时间=10+12
2
=11(s)，
答：该日停留时间为10s～12s的车辆约有7辆，这些停留时间为10s～12s的车辆的平均停留时间约为11s；
(2)依题意，车辆在A斑马线前停留时间约为：1×10+3×12+5×12+7×8+9×7+11×1
50
=4.72(秒)．
车辆在B斑马线前停留时间为：1×3+3×2+5×10+7×13+9×12
40
=6.45(秒)
由于4.72<6.45
因此移动红绿灯放置B处斑马线上较为合适．
【解析】(1)求出停留时间为10s～12s的车辆的百分比，计算即可；
(2)求出车辆在A、B斑马线前停留时间的平均数，比较即可．
本题考查的是条形统计图、用样本估计总体，读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据．
24.【答案】解：(1)如图，连接AC交BD于H．
∵AB=AD，CB=CD，
∴AC垂直平分线段BD，
∴BH=DH，
∵AB=4，BC=3，∠ABC=90°，
∴AC=√AB2+BC2=√42+32=5，
∴CB=CD，CH⊥BD，
∴∠BCH=∠DCH，
∴sin∠BCH=AB
AC =4
5
，
∵∠MCN=1
2
∠BCD=∠BCH，
∴sin∠MCN=4
5
．
(2)如图，延长AD到E，使得DE=BM，连接CE．∵BM=DE，∠CBM=∠CDE=90°，BC=DC，∴△CBM≌△CDE(SAS)，
∴∠BCM=∠DCE，CM=CE，
∴∠MCE=∠BCD，
∵∠MCN=1
2
∠BCD，
∴∠MCN=∠ECN，
∵CM=CE，CN=CN，
∴△MCN≌△ECN(SAS)，
∴∠CNM=∠CNE，
∵DN=DC，∠NDC=90°，∴∠CND=∠DCN=45°，∴∠CNM=45°．
(3)PQ
MN =3
5
，值不变．
理由：∵∠CHD=∠ADC=90°，
∴∠ACD+∠CDH=90°，∠ADH+∠CDH=90°，∴∠ACD=∠ADH，
∵∠MCN=1
2
∠BCD=∠ACD，
∴∠MCN=∠ADH，
∵∠PQC=∠NQD，
∴∠CPQ=∠QND，
∵∠CNE=∠CNM，
∴∠CPQ=∠CNM，
∵∠PCQ=∠NCM，
∴△PCQ∽△CNM，
∵△NCM≌△NCE，
∴△PCQ∽△NCE，MN=NE，
∵CH⊥PQ，CD⊥NE，
∴PQ
NE =CH
CD
=sin∠CDH，
∵∠CDH+∠ADH=90°，∠CAD+∠CDH=90°，∴∠CDH=∠CAD，
∴sin∠CDH=sin∠CAD=3
5
．
∴PQ
MN =PQ
NE
=3
5
．
【解析】(1)如图，连接AC交BD于H.利用勾股定理求出AC，证明∠MCN=∠ACB即可解决问题．
(2)延长AD到E，使得DE=BM，连接CE.证明△MCN≌△ECN(SAS)，可得∠CNM=
∠CNE，即可解决问题．
(3)PQ
MN =3
5
，值不变．利用相似三角形的相似比等于对应高的比解决问题即可．
本题属于四边形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是理解题意，学会添加常用辅助线，构造构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题．
25.【答案】解：(1)由题意得，方程ax2+bx=−x−1有两个相等的实数根，
∴(b+1)2−4a=0，
∴a=(b+1)2
4
；
(2)①∵抛物线经过点A(m,n)和点B(4−m,n)，
∴抛物线对称轴为直线x=m+4−m
2
=2，
设Q(2,q)，
∵P(2,−2)，
∴PQ//y轴，
∵S△OPQ=1
2
PQ×2=PQ，S△OPQ=3，
∴PQ=3，
∵OP>OQ，
∴Q点的坐标为(2,1)，
设抛物线解析式为y=a(x−2)2+1，把(0,0)代入得：a=−1
4
，
∴抛物线解析式为y=−1
4(x−2)2+1，即y=−1
4
x2+x；
②证明：设直线PB的解析式为y=kx+b，把P(2,−2)代入得：−2=2k+b，∴b=−2−2k，
∴直线PB的解析式为y=kx−2−2k，
∵直线PB与抛物线y=−1
4
x2+x交于B，C，
∴−1
4
x2+x=kx−2−2k，
化简得：1
4
x2+(k−1)x−2−2k=0，
第21页，共22页
∴x B+x C=−4(k−1)，x B⋅x C=−8−8k，
设直线AC的解析式为y=fx+d，与抛物线交于点B，C，
x2+x=fx+d，
∴−1
4
x2+(f−1)x+d=0，
化简得：1
4
∴x A+x C=−4(f−1)，x A⋅x C=4d，
∴x B+x C+x A+x C=−4(k−1)−4(f−1)，x B⋅x C+x A⋅x C=−8−8k+4d，
∵x A+x B=4，
∴x C=−2k−2f+2，x C=d−2−2k，
∴−2k−2f+2=d−2−2k，
∴−2f+4=d，
∴直线AC的解析式为y=fx−2f+4=f(x−2)+4，
当x=2时，y=4，
∴直线AC必过定点(2,4)．
【解析】(1)根据题意，列出一元二次方程后，根据根的判别式等于0，列方程即可；(2)①由抛物线经过点A(m,n)和点B(4−m,n)，可求得对称轴为x=2，根据S△OPQ=3，可求得点Q的坐标，进而可求得抛物线解析式；
②运用待定系数法和根与系数关系表示出AC解析式，根据解析式即可判断经过的定点．本题考查了求二次函数解析式，二次函数性质，二次函数与一元二次方程的联系，解题关键是熟练运用二次函数和一元二次方程的关系以及待定系数法．
第22页，共22页。