2020-2021学年江西省萍乡市九年级(上)期末数学试卷

2020-2021学年江西省萍乡市九年级（上）期末数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个正确选项） 1．（3分）反比例函数3
y x
=的图象位于( ) A ．第一、二象限
B ．第一、三象限
C ．第二、三象限
D ．第二、四象限
2．（3分）对角线互相平分且相等的四边形是( ) A ．菱形
B ．矩形
C ．正方形
D ．非以上答案
3．（3分）已知一元二次方程230x kx +-=有一个根为1，则k 的值为( ) A ．2-
B ．2
C ．4-
D ．4
4．（3分）如图，一个几何体由5个大小相同、棱长为1的小正方体搭成，下列说法正确的是( )
A ．主视图的面积为3
B ．左视图的面积为4
C ．俯视图的面积为4
D ．三种视图的面积都是4
5．（3分）若m ，n 是一元二次方程220x x +-=的两个根，则m n mn +-的值是( ) A ．3-
B ．3
C ．1-
D ．1
6．（3分）如图，已知矩形ABCD 中，3AB =，2BE =，EF BC ⊥．若四边形EFDC 与四边形BEFA 相似而不全等，则(CE = )
A ．3
B ．3.5
C ．4
D ．4.5
7．（3分）某校九年级共有1、2、3、4四个班，现从这四个班中随机抽取两个班进行一场篮球比赛，则恰好抽到1班和2班的概率是( ) A ．18
B ．
16 C ．38
D ．
12
8．（3分）如图，四边形ABCD 为菱形，对角线AC ，BD 相交于点O ，DH AB ⊥于点H ，
连接OH，25
CAD
∠=︒，则DHO
∠的度数是()
A．20︒B．25︒C．30︒D．35︒
9．（3分）如图，点A在函数
2
(0)
y x
x
=>的图象上，点B在函数
4
(0)
y x
x
=>的图象上，且
//
AB x轴，BC x
⊥轴于点C，则四边形ABCO的面积为()
A．1B．2C．3D．4
10．（3分）如图，正方形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，32
AB=，E为OC上一点，1
OE=，连接BE，过点A作AF BE
⊥于点F，与BD交于点G，则BF的长是( )
A 310
B．22C
35
D
32
二、填空题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分，请把答案填在答题卡）
11．（3分）若
3
4
y
x
=，则
x y
x
+
=．
12．（3分）已知关于x的方程220
x x a
-+=有两个不相等的实数根，则a的取值范围是．13．（3分）如图，路灯距离地面8米，身高1.6米的小明站在距离灯的底部（点)20
O米的A 处，则小明的影子AM长为米．
14．（3分）衣橱里挂着3套不同颜色的服装，同一套服装的上衣与裤子的颜色相同，若从衣橱里各任取一件上衣和一条裤子，则它们取自同一套的概率是 ．
15．（3分）已知两点(5,6)A ，(7,2)B ，先将线段AB 向左平移一个单位长度，再以原点O 为位似中心，在第一象限内将其缩小为原来的1
2
得到线段CD ，则点A 的对应点C 的坐标为 ．
16．（3分）在小华的某个微信群中，若每人给其他成员都发一个红包，该微信群共发了90个红包，那么这个微信群共有 人．
17．（3分）如图，在平面直角坐标系中，ABC ∆为直角三角形，90ACB ∠=︒，顶点A ，C 的坐标分别为(0,3)A ，(3,0)C ，2AC BC =，函数(0,0)k y k x x
=>>的图象经过点B ，则k 的
值为 ．
18．（3分）如图，在矩形ABCD 中，对角线AC ，BD 交于点O ，过点A 作EA CA ⊥交DB 的延长线于点E ，若3AB =，4BC =，则
AO
AE
的值为 ．
三、（本大题共3个题，第19题8分，第20，21题每题6分，共20分） 19．（8分）（1）解方程：223(2)4x x -=-．
（2）如图，在四边形ABCD 中，//AB CD ，90BAD ∠=︒，5AB =，12BC =，13AC =．求证：四边形ABCD 是矩形．
20．（6分）如图，ABC ∆三个定点坐标分别为(1,3)A -，(1,1)B -，(3,2)C -． （1）请画出ABC ∆关于y 轴对称的△111A B C ；
（2）以原点O 为位似中心，将△111A B C 放大为原来的2倍，得到△222A B C ，请在第三象限内画出△222A B C ，并求出111
222
:A B C A B C S
S
的值．
21．（6分）一个不透明的口袋中有4个大小、质地完全相同的乒乓球，球面上分别标有数1-，2，3-，4．
（1）摇匀后任意摸出1个球，则摸出的乒乓球球面上的数是负数的概率为 ． （2）摇匀后先从中任意摸出1个球（不放回），再从余下的3个球中任意摸出1个球，用列表或画树状图的方法求两次摸出的乒乓球球面上的数之和是正数的概率． 四、（本大题共3个小题，每小题8分，共24分）
22．（8分）如图，在ABC ∆中，90BAC ∠=︒，点D 是BC 中点，//AE BC ，//CE AD ． （1）求证：四边形ADCE 是菱形；
（2）过点D 作DF CE ⊥于点F ，60B ∠=︒，6AB =，求EF 的长．
23．（8分）某种新产品进价是120元，在试销阶段发现每件售价（元)与产品的日销量（件
)始终存在下表中的数量关系：
每件销售价格/元 130 135 140 ⋯ 日销售量/件
70
65
60
⋯
（1）请你观察上面表格中数据的变化规律，回答：当每件产品每涨价1元时，日销售量是怎样变化的？
（2）在不改变上述关系的情况下，请你帮助商场经理策划每件产品定价为多少元时，每日盈利可达到1600元．
24．（8分）如图，小明家窗外有一堵围墙AB ，由于围墙的遮挡，清晨太阳光恰好从窗户的最高点C 射进房间的地板F 处，中午太阳光恰好能从窗户的最低点D 射进房间的地板E 处，小明测得窗子距地面的高度0.8OD m =，窗高 1.2CD m =，并测得0.8OE m =，3OF m =，求围墙AB 的高度．
五、（本大题共1个小题，共10分）
25．（10分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数(0)y mx n m =+≠的图象与y 轴交于点C ，与反比例函数(0)k
y k x
=≠的图象交于A ，B 两点，点A 在第一象限，纵坐标为4，点B 在
第三象限，BM x ⊥轴，垂足为点M ，2BM OM ==． （1）求反比例函数和一次函数的解析式． （2）连接OB ，MC ，求四边形MBOC 的面积．
六、（本大题共1个小题，共12分）
26．（12分）如图①，已知点G 在正方形ABCD 的对角线AC 上，GE BC ⊥，垂足为点E ，GF CD ⊥，垂足为点F ．
（1）【证明与推断】：①求证：四边形CEGF 是正方形； ②推断：
AG
BE
的值为 ； （2）【探究与证明】：将正方形CEGF 绕点C 顺时针方向旋转α度(045)α︒<<︒，如图②所示，试探究线段AG 与BE 之间的数量关系，并说明理由；
（3）【拓展与运用】：正方形CEGF 在旋转过程中，当A ，G ，F 三点在同一直线上时，如图③所示，延长CG 交AD 于点H ． ①求证：ACH GAH ∆∆∽；
②若6AG =，22GH =，求BC 的长．
2020-2021学年江西省萍乡市九年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个正确选项）
1．（3分）反比例函数
3
y
x
=的图象位于()
A．第一、二象限B．第一、三象限C．第二、三象限D．第二、四象限
【解答】解：反比例函数
3
y
x
=中，30
k=>，
∴反比例函数
3
y
x
=的图象在一、三象限．
故选：B．
2．（3分）对角线互相平分且相等的四边形是()
A．菱形B．矩形C．正方形D．非以上答案
【解答】解：对角线互相平分的四边形是平行四边形．
对角线互相平分且相等的四边形是矩形．
故选：B．
3．（3分）已知一元二次方程230
x kx
+-=有一个根为1，则k的值为() A．2-B．2C．4-D．4
【解答】解：把1
x=代入方程得130
k
+-=，
解得2
k=．
故选：B．
4．（3分）如图，一个几何体由5个大小相同、棱长为1的小正方体搭成，下列说法正确的是()
A．主视图的面积为3B．左视图的面积为4
C．俯视图的面积为4D．三种视图的面积都是4
【解答】解：A．主视图的面积为4，此选项不符合题意；
B．左视图的面积为3，此选项不符合题意；
C ．俯视图的面积为4，此选项符合题意；
D ．左视图的面积为与主视图、俯视图的面积不相同，此选项不符合题意；
故选：C ．
5．（3分）若m ，n 是一元二次方程220x x +-=的两个根，则m n mn +-的值是( ) A ．3- B ．3
C ．1-
D ．1
【解答】解：
m ，n 是一元二次方程220x x +-=的两个根，
1m n ∴+=-，2mn =-，
则1(2)1m n mn +-=---=， 故选：D ．
6．（3分）如图，已知矩形ABCD 中，3AB =，2BE =，EF BC ⊥．若四边形EFDC 与四边形BEFA 相似而不全等，则(CE = )
A ．3
B ．3.5
C ．4
D ．4.5
【解答】解：设CE x =，
四边形EFDC 与四边形BEFA 相似，
∴
AB CE
BE EF
=
， 3AB =，2BE =，EF AB =，
∴
323
x =， 解得： 4.5x =， 故选：D ．
7．（3分）某校九年级共有1、2、3、4四个班，现从这四个班中随机抽取两个班进行一场篮球比赛，则恰好抽到1班和2班的概率是( ) A ．18
B ．
16 C ．38
D ．
12
【解答】解：画树状图为：
共有12种等可能的结果数，其中恰好抽到1班和2班的结果数为2，
所以恰好抽到1班和2班的概率
21 126
==．
故选：B．
8．（3分）如图，四边形ABCD为菱形，对角线AC，BD相交于点O，DH AB
⊥于点H，连接OH，25
CAD
∠=︒，则DHO
∠的度数是()
A．20︒B．25︒C．30︒D．35︒
【解答】解：如图：
四边形ABCD是菱形，
OD OB
∴=，//
AB CD，BD AC
⊥
DH AB
⊥，
DH CD
∴⊥，90
DHB
∠=︒，
OH
∴为Rt DHB
∆的斜边DB上的中线，
OH OD OB
∴==，
HDO DHO
∴∠=∠，
DH CD
⊥，
90
GDO ODC
∴∠+∠=︒，
BD AC
⊥，
90
ODC DCO
∴∠+∠=︒，
HDO DCO
∴∠=∠，
DHO DCA
∴∠=∠，
四边形ABCD是菱形，
DA DC ∴=，
25CAD DCA ∴∠=∠=︒， 25DHO ∴∠=︒，
故选：B ．
9．（3分）如图，点A 在函数2(0)y x x =>的图象上，点B 在函数4
(0)y x x =>的图象上，且
//AB x 轴，BC x ⊥轴于点C ，则四边形ABCO 的面积为( )
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
【解答】解：如图，延长BA 交y 轴于D ，则四边形OCBD 为矩形． 点A 在双曲线2y x =
上，点B 在双曲线4
y x
=上， 1OAD S ∆∴=，4OCBD S =矩形，
∴四边形ABCO 的面积413OAD OCBD S S ∆=-=-=矩形．
故选：C ．
10．（3分）如图，正方形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，32AB =E 为OC 上一点，1OE =，连接BE ，过点A 作AF BE ⊥于点F ，与BD 交于点G ，则BF 的长是(
)
A 310
B ．22
C 35
D 32
【解答】解：四边形ABCD 是正方形，32AB = 90AOB ∴∠=︒，3AO BO CO ===，
AF BE ⊥，
EBO GAO ∴∠=∠，
在GAO ∆和EBO ∆中， GAO EBO AO BO
AOG BOE ∠=∠⎧⎪
=⎨⎪∠=∠⎩
， GAO EBO ∴∆≅∆， 1OG OE ∴==， 2BG ∴=，
在Rt BOE ∆中，2210BE OB OE +， 90BFG BOE ∠=∠=︒，GBF EBO ∠=∠， BFG BOE ∴∆∆∽，
∴
BF BG
OB BE =
，即310
BF = 解得，310BF = 故选：A ．
二、填空题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分，请把答案填在答题卡） 11．（3分）若34y x =，则
x y x += 7
4 ． 【解答】解：3
4
y x =， 3
4
y x ∴=
，
∴
3744
x x
x y
x
x +
+==． 故答案为：
74
． 12．（3分）已知关于x 的方程220x x a -+=有两个不相等的实数根，则a 的取值范围是 1a < ．
【解答】解：224(2)41440b ac a a -=--⨯⨯=->， 解得：1a <．
a ∴的取值范围是1a <．
故答案为：1a <．
13．（3分）如图，路灯距离地面8米，身高1.6米的小明站在距离灯的底部（点)20O 米的A 处，则小明的影子AM 长为 5 米．
【解答】解：根据题意，易得MBA MCO ∆∆∽， 根据相似三角形的性质可知
AB AM OC OA AM =+，即1.6820AM
AM
=
+， 解得5AM m =．则小明的影长为5米．
14．（3分）衣橱里挂着3套不同颜色的服装，同一套服装的上衣与裤子的颜色相同，若从衣橱里各任取一件上衣和一条裤子，则它们取自同一套的概率是
1
3
． 【解答】解：令3件上衣分别为A 、B 、C ，对应的裤子分别为a 、b 、c ， 画树状图如下：
由树状图可知，共有9种等可能结果，其中取自同一套的有3种可能， 所以它们取自同一套的概率为31
93=，
故答案为：1
3
．
15．（3分）已知两点(5,6)A ，(7,2)B ，先将线段AB 向左平移一个单位长度，再以原点O 为位似中心，在第一象限内将其缩小为原来的1
2
得到线段CD ，则点A 的对应点C 的坐标为 (2,3) ．
【解答】解：如图，将线段AB 向左平移一个单位长度得到对应线段A B ''，则(4,6)A '， 原点O 为位似中心，在第一象限内将其缩小为原来的
1
2
得到线段CD ， ∴点A 的对应点C 的坐标为1(42⨯
，1
6)2
⨯，即(2,3)C ．
故答案为(2,3)．
16．（3分）在小华的某个微信群中，若每人给其他成员都发一个红包，该微信群共发了90个红包，那么这个微信群共有 10 人．
【解答】解：设这个微信群共有x 人，则每人需发(1)x -个红包， 依题意得：(1)90x x -=， 整理得：2900x x --=，
解得：110x =，29x =-（不合题意，舍去）． 故答案为：10．
17．（3分）如图，在平面直角坐标系中，ABC ∆为直角三角形，90ACB ∠=︒，顶点A ，C 的坐标分别为(0,3)A ，(3,0)C ，2AC BC =，函数(0,0)k
y k x x
=>>的图象经过点B ，则k 的
值为
27
4
．
【解答】解：过B 点作BD x ⊥轴于D ，如图，
A ，C 的坐标分别是(0,3)，(3,0)．
3OA OC ∴==，
OAC ∴∆为等腰直角三角形， 232AC OC ∴==，45ACO ∠=︒，
90ACB ∠=︒， 45BCD ∴∠=︒，
BCD ∆为等腰直角三角形，
2
2
CD BD BC ∴==
， 2AC BC =，
32
2
BC ∴=
， 2323222CD BD ∴==
⨯=， 39
322
OD ∴=+=，
9(2B ∴，3)2
，
函数(0,0)k
y k x x =>>的图象经过点B ，
9327
224
k ∴=
⨯=
． 故答案为
274
．
18．（3分）如图，在矩形ABCD 中，对角线AC ，BD 交于点O ，过点A 作EA CA ⊥交DB 的延长线于点E ，若3AB =，4BC =
，则
AO AE 的值为 7
24
．
【解答】解：作BH OA ⊥于H ，如图， 四边形ABCD 为矩形， OA OC OB ∴==，90ABC ∠=︒，
在Rt ABC ∆中，22345AC =+=， 52
AO OB ∴==
， 11
22BH AC AB BC ⋅=⋅， 3412
55
BH ⨯∴=
=， 在Rt OBH ∆中，22225127
()()2510
OH OB BH =-=-=，
EA CA ⊥， //BH AE ∴， OBH OEA ∴∆∆∽，
∴
BH OH
AE OA
=
， ∴7
7
101224
5OA OH AE BH ===． 故答案为
724
．
三、（本大题共3个题，第19题8分，第20，21题每题6分，共20分）
19．（8分）（1）解方程：223(2)4x x -=-．
（2）如图，在四边形ABCD 中，//AB CD ，90BAD ∠=︒，5AB =，12BC =，13AC =．求证：四边形ABCD 是矩形．
【解答】（1）解：23(2)(2)(2)0x x x ---+=， (2)(362)0x x x ----=， 20x ∴-=或280x -=， 12x ∴=，24x =．
（2）证明：5AB =，12BC =，13AC =，
2225144169AB BC ∴+=+=，2169AC =， 222AB BC AC ∴+=， ABC ∴∆是直角三角形， 90B ∴∠=︒，
//AB CD ，90BAD ∠=︒， 90D ∴∠=︒，
90B BAD D ∴∠=∠=∠=︒，
∴四边形ABCD 是矩形．
20．（6分）如图，ABC ∆三个定点坐标分别为(1,3)A -，(1,1)B -，(3,2)C -． （1）请画出ABC ∆关于y 轴对称的△111A B C ；
（2）以原点O 为位似中心，将△111A B C 放大为原来的2倍，得到△222A B C ，请在第三象限内画出△222A B C ，并求出111
222
:A B C A B C S
S
的值．
【解答】解：（1）△111A B C 如图所示；
（2）△222A B C 如图所示，
△111A B C 放大为原来的2倍得到△222A B C ，
∴△111A B C ∽△222A B C ，且相似比为
1
2
， 2111222
11:()24
A B C A B C S
S
∴==．
21．（6分）一个不透明的口袋中有4个大小、质地完全相同的乒乓球，球面上分别标有数1-，2，3-，4．
（1）摇匀后任意摸出1个球，则摸出的乒乓球球面上的数是负数的概率为
1
2
． （2）摇匀后先从中任意摸出1个球（不放回），再从余下的3个球中任意摸出1个球，用列表或画树状图的方法求两次摸出的乒乓球球面上的数之和是正数的概率． 【解答】解：（1）摇匀后任意摸出1个球，则摸出的乒乓球球面上的数是负数的概率2142
==； 故答案为
1
2
；
（2）画树状图为：
共有12种等可能的结果数，其中两次摸出的乒乓球球面上的数之和是正数的结果数为8， 所以两次摸出的乒乓球球面上的数之和是正数的概率82
123
==． 四、（本大题共3个小题，每小题8分，共24分）
22．（8分）如图，在ABC ∆中，90BAC ∠=︒，点D 是BC 中点，//AE BC ，//CE AD ． （1）求证：四边形ADCE 是菱形；
（2）过点D 作DF CE ⊥于点F ，60B ∠=︒，6AB =，求EF 的长．
【解答】（1）证明：
//AE DC ，//EC AD ，
∴四边形ADCE 是平行四边形，
90BAC ∠=︒，点D 是BC 的中点， AD BD CD ∴==，
∴平行四边形ADCE 是菱形；
（2）解：60B ∠=︒，AD BD =，
ABD ∴∆是等边三角形，
60ADB ∴∠=︒，6AD AB ==， //AD CE ， 60DCE ∴∠=︒， 6CD AD ==，
1
32
CF CD ∴==，
四边形ADCE 是菱形， 6CE CD ∴==， 3EF ∴=．
23．（8分）某种新产品进价是120元，在试销阶段发现每件售价（元)与产品的日销量（件
)始终存在下表中的数量关系：
每件销售价格/元130135140⋯
日销售量/件706560⋯
（1）请你观察上面表格中数据的变化规律，回答：当每件产品每涨价1元时，日销售量是怎样变化的？
（2）在不改变上述关系的情况下，请你帮助商场经理策划每件产品定价为多少元时，每日盈利可达到1600元．
【解答】解：（1）13070200
+=，13565200
+=，14060200
+=，
∴每件的售价与产品的日销量之和为200，
∴当每件产品每涨价1元时，日销售量减少1件．
（2）设每件产品定价为x元(120)
x>，则产品的日销量为(200)x
-元，
依题意得：(120)(200)1600
x x
--=，
整理得：2320256000
x x
-+=，
解得：
12160
x x
==．
答：每件产品定价为160元时，每日盈利可达到1600元．
24．（8分）如图，小明家窗外有一堵围墙AB，由于围墙的遮挡，清晨太阳光恰好从窗户的最高点C射进房间的地板F处，中午太阳光恰好能从窗户的最低点D射进房间的地板E处，小明测得窗子距地面的高度0.8
OD m
=，窗高 1.2
CD m
=，并测得0.8
OE m
=，3
OF m
=，求围墙AB的高度．
【解答】解：延长OD，
DO BF
⊥，
90
DOE
∴∠=︒，
0.8
OD m
=，0.8
OE m
=，
45
DEB
∴∠=︒，
AB BF
⊥，
45BAE ∴∠=︒，
AB BE ∴=，
设AB EB x ==m ，
AB BF ⊥，CO BF ⊥，
//AB CO ∴， ABF COF ∴∆∆∽，
∴
AB CO
BF OF =
， 1.20.8
(30.8)3
x x +=
+-， 解得： 4.4x =．
经检验： 4.4x =是原方程的解． 答：围墙AB 的高度是4.4m ．
五、（本大题共1个小题，共10分）
25．（10分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数(0)y mx n m =+≠的图象与y 轴交于点C ，与反比例函数(0)k
y k x
=≠的图象交于A ，B 两点，点A 在第一象限，纵坐标为4，点B 在
第三象限，BM x ⊥轴，垂足为点M ，2BM OM ==． （1）求反比例函数和一次函数的解析式． （2）连接OB ，MC ，求四边形MBOC 的面积．
【解答】解：（1）
2BM OM ==，
∴点B 的坐标为(2,2)--， 反比例函数(0)k y k x
=≠的图象经过点B ， 则22
k -=-，得4k =， ∴反比例函数的解析式为4y x =
， 点A 的纵坐标是4，
44x
∴=，得1x =， ∴点A 的坐标为(1,4)，
一次函数(0)y mx n m =+≠的图象过点(1,4)A 、点(2,2)B --， ∴422m n m n +=⎧⎨-+=-⎩，解得22m n =⎧⎨=⎩
， 即一次函数的解析式为22y x =+；
（2）22y x =+与y 轴交于点C ， ∴点C 的坐标为(0,2)，
点(2,2)B --，点(2,0)M -，
2OC MB ∴==，
BM x ⊥轴，
//MB OC ∴，
∴四边形MBOC 是平行四边形，
∴四边形MBOC 的面积是：4OM OC ⋅=．
六、（本大题共1个小题，共12分）
26．（12分）如图①，已知点G 在正方形ABCD 的对角线AC 上，GE BC ⊥，垂足为点E ，GF CD ⊥，垂足为点F ．
（1）【证明与推断】：①求证：四边形CEGF 是正方形；
②推断：AG BE
（2）【探究与证明】：将正方形CEGF 绕点C 顺时针方向旋转α度(045)α︒<<︒，如图②所示，试探究线段AG 与BE 之间的数量关系，并说明理由；
（3）【拓展与运用】：正方形CEGF 在旋转过程中，当A ，G ，F 三点在同一直线上时，如
图③所示，延长CG 交AD 于点H ． ①求证：ACH GAH ∆∆∽；
②若6AG =，22GH =，求BC 的长．
【解答】解：（1）①四边形ABCD 是正方形， 90BCD ∴∠=︒，45BCA ∠=︒， GE BC ⊥、GF CD ⊥，
90CEG CFG ECF ∴∠=∠=∠=︒， ∴四边形CEGF 是矩形，45CGE ECG ∠=∠=︒， EG EC ∴=，
∴四边形CEGF 是正方形；
②由①知四边形CEGF 是正方形， 90CEG B ∴∠=∠=︒，45ECG ∠=︒， ∴
2CG CE =，//GE AB ， ∴2AG CG BE CE
==， 故答案为：2；
（2）连接CG ，
由旋转性质知BCE ACG α∠=∠=，
在Rt CEG ∆和Rt CBA ∆中，
cos45CE CG =︒=，cos 45CB CA =︒=，
∴CG CA CE CB
= ACG BCE ∴∆∆∽，
∴AG CA BE CB
=
∴线段AG 与BE 之间的数量关系为AG =；
（3）①由（2）知BCE ACG ∆∆∽， 135AGC BEC ∴∠=∠=︒，
45CGF ∠=︒，
180AGC CGF ∴∠+∠=︒，
A ∴、G 、F 三点共线．
45CEF ∠=︒，点B 、E 、F 三点共线， 135BEC ∴∠=︒，
ACG BCE ∆∆∽，
135AGC BEC ∴∠=∠=︒，
45AGH CAH ∴∠=∠=︒，
CHA AHG ∠=∠，
ACH GAH ∴∆∆∽；
②由①知，ACH GAH ∆∆∽，则AG GH AH AC AH CH ==，
设BC CD AD a ===，则AC ， ∴
AG GH AC AH =，
∴
， 23
AH a ∴=，
则13
DH AD AH a =-=，CH ==，
∴AG AH
AC CH
=
2
a
=
解得：a=
BC=。