广东省惠州一中11-12学年高二数学上学期期末考试 理 新人教A版

某某一中高二年级上学期期末考试理科数学试题
本试卷分选择题和非选择题两部分，共4页。

满分为150分。

考试用时120分钟。

第一部分 选择题（共40分）一．选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的。

1．10个小球分别编有1，2，3，4，其中1号球4个，2号球2个，3号球3个，4号球1个，数0.4是指1号球占总体分布的
A ．频数
B ．频率
C ．频率/组距
D ．累计频率
2．在一次学生联欢会上，到会的女学生比男学生多12人，从这些学生中随机挑选一人表演
节目， 若选到男学生的概率为
20
9
，则参加联欢会的学生共有 （ ） A ．120人. B ．144人 C ．240人 D ．360人
3．给出右面的程序框图， 那么其循环体执行的次数是 （ ） A ． 500 B ．499
C ．1000
D ．998
4．以下命题中真命题的个数是（ ）个
（1） “若-2≤x<3，则(x+2)(x-3)≤0”的否命题
是“若-2≤x<3，则(x+2)(x-3)>0”； （2）ΔABC 中，若sinA=sinB ，则A=B ；
（3）“p:f(x)=x ；q:f(x)为增函数”，p 是q 的充分不必要条件；
A ．1
B ． 2
C ． 3
D ．0
5．如图，在平行六面体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，C C z BC y AB x AC 1132++=,则x+y+z 等于（ ） A ．1 B ． 65 C ． 67 D ．3
2
否
是 开始 i ＝2，sum ＝0 sum ＝sum ＋i i ＝i ＋2 i ≥1000？ 结束 A 1
B 1
C 1
D 1
A
B
C
D
6．设双曲线12222=-b
y a x 的一条渐近线与抛物线y=x 2
+1 只有一个公共点，
则双曲线的离心率为( ) A.
4
5
B. 5
C. 25
D.5
7. 对于每个自然数。

抛物线y=(n 2+n)x 2-(2n+1)x+1与x 轴交于A n ,B n 两点，n n B A 表示这两点间的距离，那么201120112211B A B A B A +++ 的值为（ ） A ．
20112010B ．2012
2011
C ．
20122010 D ．2011
2012
8. 若动点P （x ，y ）与两定点M （－a ，0），N （a ，0）连线的斜率之积为常数k （ka ≠0），
则P 点的轨迹一定不可能是（ ）
A ．除M 、N 两点外的圆
B ．除M 、N 两点外的椭圆
C ．除M 、N 两点外的双曲线
D ．除M 、N 两点外的抛物线
第二部分 非选择题（共110分）二．填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。

9．.在矩形ABCD 中，AB=4，BC=2（如图所示），随机向矩形内 丢一粒豆子，则豆子落入圆内的概率是____________；
10、曲线y=ln(2x －1)上的点到直线032=+-y x 的最短距离为_ _ _；
11、若双曲线142
2=-m y x 的离心率为 2 ，则双曲线14
22=-x m y 的离心率为________________；
12、已知n x x x x ,......,,321的平均数为4，则23 ..., ,23 ,2321+++n x x x , 5的平均数是13，
则n 的值为________________；
13、已知函数1)6()(2
3
++++=x a ax x x f 有极大值和极小值，则实数a 的取值X 围是 ________________；
14、已知两点M （-2，0）、N （2，0），点P 为坐标平面内的动点，且满足|MN |·|MP |+MN ·
NP =0，则动点P （x ，y ）的轨迹方程是_________________.
B
C
三．解答题：本大题共6小题，共80分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15．（本题满分12分）
对某400件元件进行寿命追踪调查情况频率分布如下:
寿命(h) 频 率 500～600 0.10 600～700 0.15 700～800 0.40 800～900 0.20 900～1000 0.15 合 计
1
(1)列出寿命与频数的对应表；
(2)估计元件寿命在500～800 h 以内的频率； (3)估计元件寿命在700 h 以上的频率. 16.（本题满分12分）
平面上画了一些彼此相距2a 的平行线，把一枚半径r a <的硬币任意掷在这个平面上，求硬币不与任何一条平行线相碰的概率．
17.（本题满分14分）
如图，已知三棱柱ABC —A 1B 1C 1的侧棱与底面垂直，AA 1=AB=AC=1，AC AB ⊥，M 是CC 1的中
点，N 是BC 的中点，点P 在A 1B 1上，且满足.111B A P A λ= （I ）证明：;AM PN ⊥
（II ）当λ取何值时，直线PN 与平面ABC 所成的角θ最大？并求该角最大值的正切值.
18. （本题满分14分）
已知抛物线y 2
＝6x ，
（1）求以点M （4，1）为中点的弦所在的直线方程； （2）求过焦点F 的弦的中点轨迹方程．
某某 班级 考号 试室 座位号 ◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆装◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆订◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆线◆◆◆◆◆◆◆◆
19.(本题满分14分)
如图所示，已知圆M A y x C ),0,1(,8)1(:2
2
定点=++为圆上一动点，点P 在AM 上，点N 在CM 上，且满足
N AM NP AP AM 点,0,2=⋅=的轨迹为曲线E .
（I ）求曲线E 的方程；
（II ）若过定点F （0，2）的直线交曲线E 于不同的两点,G H （点
G 在点,F H 之间）
，且满足FH FG λ=，求λ的取值X 围.
20．(本题满分14分) 已知函数)0()(>++
=a c x
b
ax x f 的图象在点))1(,1(f 处的切线方程为1-=x y 。

(Ⅰ)用a 表示出c b ,；
(Ⅱ)若x x f ln )(≥在[)+∞,1上恒成立，求a 的取值X 围； (Ⅲ)证明：1+
12+13+ (1)
＞++)1ln(n ()21n n + (*
N n ∈)。

某某一中高二年级上学期期末考理科数学试题答案卷
一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）
二、填空题：（5分×6=30分）
9．．10．．11．．
12．．13．．14．．
三、解答题：（本大题共80分，）(注意:解答必须写在相应的位置,否则记0分）15．（本小题满分12分）
16．（本小题满分12分）
17. （本小题满分14分）
19．(本小题满分14分)
20．(本小题满分14分) 班级： 某某： 考号- 座号： ……………………………密………………………..….封………….…………. ….…线……………………………………
11、 12、
13、14、
三、解答题：（本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）15． (本题满分12分)
16. (本题满分12分)
17．(本题满分14分) 18.(本题满分14分)
19．(本题满分14分) 20.(本题满分14分)
某某一中高二年级期末考试 理科数学答案及评分标准
二、填空题：第9、10、11、12题为必做题，第13、14、15题为选做题，三题都答的只计算前两题的得分．每小题5分(第10题前空2分，后空3分)，满分30分． 9．
8
π
10．5 11．
3
32 12．8 13．63>-<a a 或 14． y 2
=-8x 三．解答题：本大题6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
……………………………………………………………………………………………4分 (2)估计该元件寿命在(500～800)h 以内的概率为
0.10+0.15+0.40=0.65.……………………………………………………………………8分
(3)估计该元件寿命在700 h 以上的概率为0.40+0.20+0.15=0.75.
…………………………………………………………………………………………12分 16．解：把“硬币不与任一条平行线相碰”的事件记为事件A ，为了确定硬币的位置，由硬币中心O 向靠得最近的平行线引垂线OM ，垂足为M ，如图所示，这样线段OM 长度（记作OM ）的取值X 围就是[0,]a ，只有当r OM a <≤时硬币不与平行线相碰，所以所求事件A 的概率就是
(,]()[0,]r a P A a =
的长度的长度=a
r
a -…………………………………………12分
17．解：（I ）如图，以AB ，AC ，AA 1分别为z y x ,,轴，建立空间直角坐标系.xyz A -
则)21
,1,0()1,21,21()1,0,(M N P ，，λ…………………2分 从而).21
,1,0(),1,21,21(=--=AM PN λ…………………4分
,02
1
11210)21(=⨯-⨯+⨯-=⋅λAM PN
所以.AM PN ⊥………………………………………6分
（II ）平面ABC 的一个法向量为),1,0,0(=n
则|,cos ||),2
sin(
|sin ><=><-=n PN n PN π
θ 4
5)21(1
||||
2+
-=
⋅=λn
PN PN （*） ………………10分
而)2
,
0(π
θ∈，当θ取最大值时，θsin 最大，θtan 最大，
)2
(tan ,sin ,],2
,0[除外最大最大最大时当π
θθθθπθ=∈
由（*）式，当.2)(tan ,5
52)(sin ,21max max ===
θθλ时………………14分 18．（1）显然，该弦不垂直于x 轴，设中点弦AB 所在直线方程为)4(1-=-x k y ，
),(11y x A ，),(22y x B ，则
4221=+x x ，12
2
1=+y y ， 即821=+x x ，221=+y y ，……………………………………………………………3分
由)(6))(()(6662121212122212
2
2121x x y y y y x x y y x y x y -=-+⇒-=-⇒⎪⎩⎪⎨⎧==，得 36
2
12121=+=--=
y y x x y y k ，……………………………………………………………6分
所以中点弦AB 所在直线方程为)4(31-=-x y ，即0113=--y x .…………………8分 （2）设焦点弦AB 所在直线为l . 已知抛物线的焦点F 为)0,2
3(，设),(11y x A ，),(22y x B ，弦AB 的中点),(y x M ，则x x x 221=+，y y y 221=+.…………………………10分 若l 不垂直于x 轴，则AB MF k k =，从而有
y y y y x x y y x y 3
2662
30212121==+=--=-
-，即 )23(32-=x y ；若l 垂直于x 轴，此时)0,23
(M ，也满足)2
3(32-=x y .
所以，过焦点F 的弦的中点轨迹方程为)2
3(32
-=x y .…………………………14分
19．（Ⅰ）.0,2=⋅=AM NP AP AM ∴NP 为AM 的垂直平分线，∴|NA|=|NM| 又.222||||,22||||>=+∴=+AN CN NM CN ∴动点N 的轨迹是以点C （－1，0），A （1，0）为焦点的椭圆. 且椭圆长轴长为,222=a 焦距2c=2. .1,1,22===
∴b c a
∴曲线E 的方程为.1222
=+y x ……………………………………………………4分 （Ⅱ）当直线GH 斜率存在时，设直线GH 方程为,12
,222
=++=y x kx y 代入椭圆方程 得.2
3
0.
034)2
1
(222>>∆=+++k kx x k 得由…………………………6分
设22122122112
13
,214),,(),,(k x x k k x x y x H y x G +=
+-=+则…………………8分 )2,()2,(,2211-=-∴=y x y x FH FG λλ 又
λ
λλλλ212
22212
22122121)1(
.
,)1(,
x x x x x x x x x x x x x ==++∴=+=+∴=∴，
λλλλ2
22
2
22)1()121(316,213
)1()214(
+=++=++-∴k
k k k 整理得
.33
1
.31621
4.
316323164,232
2<<<
++
<∴<+<∴>
λλ
λ解得k k .13
1
,
10<<∴<<λλ 又………………………………………………12分 又当直线GH 斜率不存在，方程为.3
1
,31,0===λFH FG x
)1,31[,131的取值范围是即所求λλ<≤∴……………………………………14分
20．解：（Ⅰ）)('x f =a －
2
x b
，则有⎩⎨⎧=-==++=1
)1('0)1(b a f c b a f ，解得{a c a b 211-=-= （Ⅱ）由（Ⅰ）知，f （x ）=ax+x a 1
-+1－2a 。

令g （x ）= f （x ）-㏑x= ax+x
a 1
-+1－2a-㏑x ，x ∈[1，+∞]，
则g （1）=0，)('x g = a －21x a -－x
1=22
)
1(x a x ax ---=
2
)1)(1(x a a
x x a --
-
1）当0<a<
21时，a a -1﹥1。

若1<x<a
a
-1，则)('x g <0，g （x ）是减函数，所以g （x ）<g （1）=0，即f （x ）﹥㏑x,
故f （x ）≧㏑x 在[1，+∞）上不恒成立。

2）当a ≥
21时，
,11≤-a
a
若1>x ，则g ’（x ）>0,g(x)是增函数，所以g(x)>g(1)=0,即f(x)>lnx.故当x ≥
故当x ≧1时，f(x)≥lnx.综上所述，所求a 的取值X 围是,2
1
⎢⎣⎡+∞）。

3.当a ≥
21时，有f(x)≥lnx(x 1≥)，令a=21,有f(x)=21(x-x 1)≥lnx,令x=k
k 1+，有ln
k k 1+<⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+--⎪⎭⎫ ⎝
⎛+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-+11111211121k k k k k k 即 ln(k+1)-lnk<
n k k k ....3,2,1,11121=⎪⎭
⎫
⎝⎛++ 上述n 个不等式依次相加得到结果，即得到
11123
+++……n 1
>(1)(1)2(1)n In n n n ++
≥+。