《力矩和力偶》 学历案

《力矩和力偶》学历案
一、学习目标
1、理解力矩和力偶的概念。

2、掌握力矩和力偶的计算方法。

3、能够运用力矩和力偶的知识解决实际问题。

二、学习重难点
1、重点
力矩的概念及计算。

力偶的概念及性质。

2、难点
力矩和力偶的区别与联系。

运用力矩和力偶解决复杂的力学问题。

三、知识讲解
（一）力矩
1、什么是力矩
力矩是使物体绕着固定点转动的一种物理量。

简单来说，就是衡量力使物体转动效果的一个指标。

例如，当我们用扳手拧螺丝时，施加在扳手上的力如果距离螺丝的
中心越远，就越容易拧动螺丝，这就是力矩在起作用。

2、力矩的计算
力矩等于力的大小乘以力臂的长度。

力臂是从转动点到力的作用线
的垂直距离。

公式表示为：M ＝ F × L
其中，M 表示力矩，F 表示力的大小，L 表示力臂的长度。

3、力矩的方向
力矩是一个矢量，其方向根据右手螺旋定则来确定。

（二）力偶
1、力偶的定义
由两个大小相等、方向相反、作用线平行但不共线的力组成的力系，称为力偶。

例如，用双手同时拧动水龙头的开关，两只手施加的力就构成了一
个力偶。

2、力偶的性质
力偶不能合成为一个合力，力偶只能使物体产生转动效应。

力偶对其作用平面内任一点的矩恒等于力偶矩，与矩心的位置无关。

3、力偶矩的计算
力偶矩等于其中一个力的大小乘以两力之间的垂直距离。

公式表示为：M ＝ F × d
其中，M 表示力偶矩，F 表示其中一个力的大小，d 表示两力之间
的垂直距离。

（三）力矩和力偶的区别与联系
1、区别
力矩是一个力对某一点的矩，而力偶是由两个大小相等、方向相反、作用线平行但不共线的力组成。

力矩可以使物体既产生转动又产生移动，而力偶只能使物体产生纯转动。

2、联系
力偶可以看成是由无数个力矩组成的。

在一定条件下，力矩和力偶可以相互转换。

四、实例分析
（一）计算力矩的实例
例 1：一个力 F ＝ 10N，作用在距离转动点 O 为 3m 的点 A 上，且
力的方向与 OA 垂直，求力矩的大小。

解：根据力矩的计算公式 M ＝ F × L，力臂 L ＝ 3m，力 F ＝ 10N，所以力矩 M ＝ 10 × 3 ＝ 30 N·m。

例 2：如图所示，在直角三角形 ABC 中，已知∠C ＝ 90°，AB ＝
5m，BC ＝ 3m，AC ＝ 4m。

一个力 F ＝ 20N 作用在点 A 上，方向沿
AB 方向，求力 F 对 B 点的力矩。

解：首先求出力臂 L，过 B 点作 AB 的垂线交 AB 于 D 点，则 BD
为力臂。

因为三角形 ABC 为直角三角形，根据相似三角形的性质可得：
BD/BC ＝ AB/AC，即 BD/3 ＝ 5/4，解得 BD ＝ 15/4 m。

所以力 F 对 B 点的力矩 M ＝ F × L ＝ 20 × 15/4 ＝ 75 N·m。

（二）计算力偶矩的实例
例 3：两个力 F1 ＝ F2 ＝ 15N，两力之间的垂直距离 d ＝ 2m，求
力偶矩的大小。

解：根据力偶矩的计算公式 M ＝ F × d，可得力偶矩 M ＝ 15 × 2 ＝30 N·m。

（三）运用力矩和力偶解决实际问题的实例
例 4：如图所示，有一个不均匀的杆子 AB，其质量分布不均匀，
重心位于距离 A 点为 2m 的 C 点处。

杆子的长度为 5m，在 A 点施加
一个竖直向上的力 F ＝ 50N，要使杆子在水平位置保持平衡，求 B 点
应施加一个多大的竖直向下的力。

解：以 A 点为转动点，杆子的重力对 A 点的力矩为 M1 ＝ G × AC，其中 G 为杆子的重力。

要使杆子平衡，力 F 对 A 点的力矩应等于杆子重力的力矩与力 F2
对 A 点的力矩之和。

力 F 对 A 点的力矩 M2 ＝ F × AB ＝ 50 × 5 ＝ 250 N·m。

设 B 点施加的力为 F2，则力 F2 对 A 点的力矩 M3 ＝ F2 × AB ＝
5F2 。

因为杆子平衡，所以 M1 ＋ M3 ＝ M2 ，即 G × 2 ＋ 5F2 ＝ 250 。

由于杆子的质量分布不均匀，我们不知道其重力 G 的大小，但可以
通过平衡条件列出方程，求出 F2 的大小。

例 5：在一个机械装置中，有两个齿轮相互啮合，其中一个齿轮受
到一个力偶的作用，力偶矩为 50 N·m，两齿轮的半径分别为 02m 和
03m，求另一个齿轮受到的力偶矩。

解：由于两个齿轮相互啮合，它们的角速度相等，所以力偶矩与半
径成正比。

设另一个齿轮受到的力偶矩为 M'，则有 M'／M ＝ r'／r，其中 r'和 r 分别为两个齿轮的半径。

即 M' ／ 50 ＝ 03 ／ 02 ，解得 M' ＝ 75 N·m。

五、练习巩固
1、一个力 F ＝ 8N，作用在距离转动点 O 为 25m 的点 A 上，且力的方向与 OA 成 60°角，求力矩的大小。

2、两个力 F1 ＝ F2 ＝ 12N，两力之间的垂直距离 d ＝ 15m，求力偶矩的大小。

3、如图所示，有一个均匀的杆子 AB，长度为 6m，质量为 10kg，在 A 点施加一个竖直向上的力 F ＝ 100N，要使杆子在水平位置保持平衡，求 B 点应施加一个多大的竖直向下的力。

（g 取 10m/s²）
4、在一个机械系统中，有两个相互平行的轴，其中一个轴上受到一个力偶的作用，力偶矩为 40 N·m，两轴之间的距离为 04m，求另一个轴上受到的力偶矩。

六、总结
通过本次学习，我们对力矩和力偶有了深入的理解。

力矩是力使物体绕固定点转动的效果，力偶是由两个大小相等、方向相反、作用线平行但不共线的力组成的特殊力系。

掌握了它们的概念、计算方法以及在实际问题中的应用，能够帮助我们更好地分析和解决力学问题。

在今后的学习和生活中，我们要善于运用所学知识，去解决更多与力学相关的实际问题。