安徽省淮北师范大学附属实验中学2020学年高一数学下学期第一次月考试题(含解析)

淮北师范大学附中2020学年度第二学期第一次月考试卷
高一数学
一、选择题.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.过点)4,3(-A ，(2,)B m -的直线l 的斜率为-2，则m 的值为（ ） A. 6 B. 1
C. 2
D. 4
【答案】A 【解析】 【分析】
由题意知4
223
AB m k +==---解方程即可.
【详解】由题意知4
223
AB m k +=
=---，∴6m =. 故答案为：A.
【点睛】根据直线斜率的概念得到结果.
2.直线2y mx m -=+经过一定点，则该点的坐标为（ ） A. )2,1(- B. )1,2(-
C. (1,2)
D. )1,2(
【答案】A 【解析】
试题分析：直线2y mx m -=+，即2(1)y m x -=+，所以直线恒过点()1,2-．故选A ． 考点：直线方程的点斜式．
3.在空间直角坐标系中，点B 是(1,2,3)A 在yOz 坐标平面内的射影，O 为坐标原点，则||OB 等于（ ）
B. 13
C.
【答案】B 【解析】
试题分析：因为点B 是()1,2,3A 在yOz 坐标平面内的射影，所以(0,1,2)B ，
OB ∴==B ．
考点：空间中两点间的距离公式．
4.过点(1,2)且与原点距离最大的直线方程是（ ） A. 250x y +-= B. 042=-+y x C. 073=-+y x D. 230x y -+=
【答案】A 【解析】 【分析】
结合图形可知，所求直线为过点()1,2且与原点和点()1,2连线垂直的直线，其斜率为2
1-,根据斜率和所过的点得到直线方程.
【详解】结合图形可知，所求直线为过点()1,2且与原点和点()1,2连线垂直的直线，其斜率为21
-
，直线方程为12(1)2
y x -=--，即250x y -=＋. 故答案为：A.
【点睛】这个题目考查了直线方程的求法，涉及数形结合思想的应用，属于基础题.
5. 设长方体的长、宽、高分别为2a 、a 、a,其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为 A. 3πa 2 B. 6πa 2 C. 12πa 2 D. 24πa 2
【答案】B 【解析】
解：根据题意球的半径R 满足,（2R ）2
=6a 2
，所以S 球=4πR 2
=6πa 2
．故选B
6.动点P 到点(8,0)A 的距离是到点D(2,0)的距离的2倍，则动点P 的轨迹方程为（ ） A. 2232x y +=
B. 162
2
=+y x
C. 22
(1)16x y -+=
D.
22(1)16x y +-=
【答案】B 【解析】 【分析】
根据点点距的公式得到方程，化简即可得到轨迹方程.
【详解】设(, )P x y ，则由题意可得：=，化简整理得
1622=+y x .故选B.
【点睛】求轨迹方程，一般是求谁设谁的坐标然后根据题目等式直接求解即可，而对于直线
与曲线的综合问题要先分析题意转化为等式，例如0NA NB ⋅=u u u r u u u r
，可以转化为向量坐标进行运
算也可以转化为斜率来理解，然后借助韦达定理求解即可运算此类题计算一定要仔细.
7.已知集合{
}
|9036,A a a k k Z ︒︒
==⨯-∈，{}|180
180B ββ︒
︒=-<<，则B A I 等于
（ ） A. {
}36,54
︒︒
-
B. {
}
126,144︒︒
-
C. {
}
126,36,54,144︒
︒
︒
︒
-- D. {
}126,54
︒︒
-
【答案】C 【解析】
由－180°<k ·90°－36°<180°(k ∈Z)得－144°<k ·90°<216°(k ∈Z)，所以－
14490<k <216
90
(k ∈Z)，所以k ＝－1,0,1,2， 所以A ∩B ＝{－126°，－36°，54°，144°}，故选C.
8.若直线1l 和2l 是异面直线，1l 在平面α内，2l 在平面β内，l 是平面α与平面β的交线，则下列命题正确的是（ ） A. l 与1l ，2l 都不相交 B. l 与1l ，2l 都相交
C. l 至多与1l ，2l 中的一条相交
D. l 至少与1l ，2l 中的一条相交
【答案】D
【解析】 【
分析】
可以画出图形来说明l 与1l 和2l 的位置关系，从而可判断A 、B 、C 是错误的，而对于D ，可以假设不正确，这样直线l 与1l 、2l 都不相交，可推出和1l 、2l 异面矛盾，这样便说明D 正确。

【详解】在A 中，直线l 与1l 、2l 可以相交，如图，
所以选项B 错误；
在B 中，直线l 可以与1l 、2l 中的一个平行，如上图，所以选项B 错误； 在C 中，直线l 与1l 、2l 可以都相交，如图，
所以选项C 错误；
在D 中，“l 至少与12,l l 中的一条相交”正确，
假设直线l 与1l 、2l 都不相交， 因为直线l 与1l 、2l 都共面， 所以直线l 与1l 、2l 都平行， 所以12l l ∥，这与直线1l 和2l 是异面直线矛盾，所以选项D 正确。

【点睛】本题考查了异面直线概念，考查空间中线线，线面，面面的位置关系等基础知识，考查分析、作图能力，是中档题。

在直接说明一个命题正确困难的时候，可以说明它的反面
不正确，即反证法。

9.如果1弧度的圆心角所对的弦长为2，那么这个圆心角所对的弧长为（ ） A.
5
.0sin 1
B. sin0.5
C. 1sin 2
D.
1
cos 0.5
【答案】A 【解析】 【分析】
根据直角三角形的特点得到
1
sin sin 0.5
BE OB BOE ==∠，再由弧长公式得到结果.
【详解】
根据题意画出扇形，
设圆的半径为：OB=r,根据直角三角形直角边与斜边之比为对应角的正弦，得到
1sin sin 0.5BE OB BOE ==∠，弧长为1
sin 0.5
l r α==.
故答案为：A.
【点睛】这个题目考查了扇形弧长公式的应用，以及直角三角形直角边和斜边的关系，属于基础题.
10.两条平行直线和圆的位置关系定义为：若两条平行直线和圆有四个不同的公共点，则称两条平行线和圆“相交”；若两条平行直线和圆没有公共点，则称两条平行线和圆“相离”；若两平行直线和圆有一个、两个或三个不同的公共点，则称两条平行线和圆“相切”.已知直线1l ：02=+-a y x ，2l ：2
210x y a -++=，和圆2
2
240x y x ++-=相切，则a 的取值
范围是（ ） A. 7a >或3-<a B. 6a >
6a <C. 7a ≥或3a -≤ D. 36a -≤≤-67a ≤≤
【答案】D 【解析】 【分析】
当两平行直线和圆相交时，由
，求得a 的范围，当两平行直线和圆相离时，由
，求得a 的取值范围．再把以上所求得的a 的范围取并集后，再取此并集的补集，即得所求.
【详解】当两平行直线和圆相交时，有
，解得a
当两平行直线和圆相离时，有
，解得 a ＜﹣3 或a ＞7
． 故当两平行直线和圆相切时，把以上两种情况下求得的a
的范围取并集得到a a ＜﹣3 或a ＞7，再取此并集的补集：
故所求的a 的取值范围是﹣3≤
a ≤≤a ≤7，
故选：D ．
【点睛】本题主要考查直线和圆的位置关系，点到直线的距离公式的应用，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．
11.过点(1,1)P 的直线，将圆形区域{
}
22
(,)|4x y x y +≤分两部分，使得这两部分的面积之差最大，则该直线的方程为 A. 20x y +-= B. 10y -= C. 0x y -=
D. 340x y +-=
【答案】A 【解析】
要使直线将圆形区域分成两部分的面积之差最大，通过观察图形，显然只需该直线与直线OP 垂直即可，又已知P(1，1)，则所求直线的斜率为－1，又该直线过点P(1，1)，易求得该直线的方程为x ＋y －2＝0.故选A.
12.已知圆221:(2)(3)1C x y -+-=，圆22
2:(3)(4)9C x y -+-=，,M N 分别是圆1C ，2
C 上的动点，P 为x 轴上的动点，则||||PM PN +的最小值为（ ） A. 524- B. 171-
C. 622-
D. 17
【答案】A 【解析】
如图所示，两圆为内含关系， 将1C 关于x 轴对称为1C '
， 连结12C C '
交圆于M '，N ， 交x 轴于P ，连P C 1交圆1C 于M ， 此时||||MP NP +最小，
最小值为M N '
． 1212M N C C R R ''=--
524=-．
选x ．
二、填空题（将答案填在答题纸上）
13.若直线1l ：20ax y a ++=与2l ：30x ay ++=互相平行，则实数=a _____． 【答案】1± 【解析】
因为两直线平行，所以12,113
a a
a a =≠∴=±.
14.在平面直角坐标系xOy 中，以点(1,0)为圆心且与直线210()mx y m m ---=∈R 相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为______． 【答案】()2
212x y -+= 【解析】
试题分析：因为直线210mx y m ---=恒过定点(2,1)-，所以圆心(1,0)到直线
210mx y m ---=的最大距离为22(21)(01)2d =-++=，所以半径最大时的半径
，所以半径最大的圆的标准方程为2
2
(1)2x y -+=．
考点：1、圆的方程；2、直线与圆的位置关系．
【方法点睛】解决直线与圆的问题时，一方面，注意运用解析几何的基本思想方法（即几何问题代数化），把它转化为代数问题，通过代数的计算，使问题得到解决；另一方面，由于直线与圆和平面几何联系得非常紧密，因此准确地作出图形，并充分挖掘几何图形中所隐含的条件，利用几何知识使问题较为简捷地得到解决，即注意圆的几何性质的运用．
15.若直线3450x y -+=与圆()2
2
2
0x y r r +=>相交于A,B 两点，且120o AOB ∠=（O 为
坐标原点），则r =_____. 【答案】
【解析】
试题分析：若直线3x-4y+5=0与圆()2
2
2
0x y r
r +=>交于A 、B 两点，O 为坐标原点，
且∠AOB=120°，则圆心（0，0）到直线3x-4y+5=0的距离1201
cos 22
d r r ==o ，
即
22
1
2
34r =
+，解得r=2， 考点：直线与圆相交的性质
16.将正方形ABCD 沿对角线BD 折成直二面角C BD A --，有如下三个结论. ①AC BD ⊥；②ACD ∆是等边三角形；③AB 与平面BCD 成60o 的角. 说法正确的命题序号是_______． 【答案】①② 【解析】 【分析】
根据正方形的对角线互相平分以及线面垂直的判定，得到BD ⊥平面AEC ，进而得到①正确；设正方形的边长为a ，则2
AE CE a ==
，由①得到90AEC ∠=︒，AC a =进而得到结果；结合①得到线面角为45ABE ∠=︒，故③不正确. 【详解】如图所示，
①取BD 中点E ，连接AE ，CE ，则AE BD ⊥，BD CE ⊥，而AE CE E =I ，∴BD ⊥平面AEC ，AC ⊂平面AEC ，故AC BD ⊥，故①正确． ②设正方形的边长为a ，则2
AE CE ==
.由①知AEC ∠是直二面角--A BD C 的平面角，
∴90AEC ∠=︒，∴AC a =，∴ACD △是等边三角形，故②正确．③由题意及①知，AE ⊥平面BCD ，故ABE ∠是AB 与平面BCD 所成的角，而45ABE ∠=︒，所以③不正确． 故答案为：①②.
【点睛】这个题目考查了线面垂直的判定，以及二面角的定义，线面角的定义的应用，属于基础题；求线面角，一是可以利用等体积计算出直线的端点到面的距离，除以线段长度就是线面角的正弦值；还可以建系，用空间向量的方法求直线的方向向量和面的法向量，再求线面角即可.
三、解答题.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.已知直线1:80l mx y n ++=与2:210l x my +-=，试求m,n 值，使 （1）1l 与2l 相交于点)1,(-m ； （2）12l l //；
（3）12l l ⊥,且1l 在y 轴上截距为1-
【答案】（1）m ＝1，n ＝7．（2）m ＝4，n≠－2或m ＝－4，n≠2 （3）m ＝0，n ＝8 【解析】 【分析】
(1)由题意联立直线方程确定m ,n 的值即可；
(2)由题意利用直线平行的充分必要条件确定m ,n 的值即可；
(3)由题意利用直线垂直的充分必要条件和直线的在y 轴的截距确定m ,n 的值即可. 详解】（1）
{
280
210
m n m m -+=--= 1,7m n ⇒==
（2）由28204m m -⨯=⇒=± 由()8102mn n ⨯--≠⇒≠±
∴4m =,2n ≠-时或4m =-，2n ≠时，12//l l （3）当且仅当280m m +=，即0m =时，12l l ⊥ 又18
n
-
=- ∴8n = ∴0,8m n ==时，12l l ⊥且1l 在y 轴上截距为—1
【点睛】本题主要考查两条直线垂直的充分必要条件，两条直线平行的充分必要条件，两直线相交问题等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
18.养路处建造圆锥形仓库用于贮藏食盐（供融化高速公路上的积雪之用），已建的仓库的底面直径为m 12，高m 4.养路处拟建一个更大的圆锥形仓库，以存放更多食盐.现有两种方案：一是新建的仓库的底面直径比原来大m 4（高不变）；二是高度增加m 4（底面直径不变）. （1）分别计算按这两种方案所建的仓库的体积； （2）分别计算按这两种方案所建的仓库的表面积； （3）哪个方案更经济些？
【答案】（1）31256()3V m π=
，32288()3V m π=（2）21()S m =，32288
()3
V m π=（3）方案二B 比方案一更经济 【解析】
试题分析：（1）如果按方案一，仓库的底面直径变成16M,则仓库的体积
()
2
31111625643323V Sh M π⎛⎫
==⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭
2分
如果按方案二，仓库的高变成8M ，
体积()
2
32111228883323V Sh M π⎛⎫==⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭
4分
（2）如果按方案一，仓库的底面直径变成16M,半径为8M.
锥的母线长为l =分
则仓库的表面积218()S M π=⨯⨯=7分 如果按方案二，仓库的高变成8M.，
棱锥的母线长为10l =， 9分
则仓库的表面积2
261060()S M ππ=⨯⨯=10分
（3）2121,V V S S ><Q ∴方案二比方案一更加经济13分 考点：锥体的体积表面积
点评：锥体的高为h ，底面圆半径为r ，则体积2
13
V r h π=
，表面积2S r ππ=+
19.如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，已知AC BC ⊥，1BC CC =.设AB 的中点D ，
11B C BC E =I .求证：
（1）DE P 平面11AAC C ； （2）11BC AB ⊥.
【答案】（1）见解析（2）见解析 【解析】
试题分析：（1）要证线面平行，只需找线线平行，因为D,E 为中点，利用中位线即可证明；（2）只需证明1BC ⊥平面1B AC 即可，显然可证111B C B C AC B C ⊥⊥，，因此原命题得证. 试题解析：
⑴在直三棱柱111ABC A B C -中，
1CC Q ⊥平面111A B C ，且1BC CC = ∴矩形11BB C C 是正方形，
E ∴为1B C 的中点，
又D 为1AB 的中点， //DE AC ∴，
又DE Q ⊄平面11AA CC ， AC ⊂平面11AA CC ，
//DE ∴平面11AA CC
⑵在直三棱柱111ABC A B C -中，
1CC Q ⊥平面ABC , AC ⊂平面ABC ,1AC CC ∴⊥
又AC BC ⊥Q ， 1CC ⊂平面11BCC B ， BC ⊂平面11BCC B ， 1BC CC C ⋂=，
AC ∴⊥平面11BCC B ，
1BC Q ⊂平面11BCC B ， 1AC B C ∴⊥ Q 矩形11BCC B 是正方形， 11BC B C ∴⊥，
1,AC B C Q ⊂平面1B AC ， 1C C C A ⋂B =， 1BC ∴⊥平面1B AC
又1AB ⊂Q 平面1B AC ， 11BC AB ∴⊥.
点睛：两条直线的垂直，一般需要用到线面垂直，先证明其中一条直线是另外一条直线所在平面的垂线，在此证明过程中，一般还要再次用到线面垂直的判定或性质，从而得到线线垂直.
20.如图，在平面直角坐标系xOy 中，(, 0)(0)A a a >，(0, )B a ，(4,0)C -，)4,0(D ，设AOB
∆的外接圆圆心为E
.
（1）若E e 与直线CD 相切，求实数a 的值；
（2）设点P 在E e 上，使PCD ∆的面积等于12的点P 有且只有三个，试问这样的E e 是否存在？若存在求出E e 的标准方程；若不存在，说明理由.
【答案】解：（1）直线CD 方程为4+=x y ，圆心(,)22
a a
E ，半径2r a =
. 4
222
2
a a a -+=，解得4a =……6分 （2）∵22(4)442CD =-+=
∴当PCD ∆面积为12时，点P 到直线CD 的距离为32
又圆心E 到直线CD 距离为22(定值)，要使PCD ∆的面积等于12的点P 有且只有三个，只须圆E 半径
252a
=，解得10=a ， 此时，⊙E 的
标准方程为2
2
(5)(5)50x y -+-=14分 【解析】
试题分析：（1）先求出圆心坐标和半径，由圆心到切线的距离等于半径，解出实数a 的值；（2）要使 △PCD 的面积等于12的点P 有且只有3个，则⊙E 上到直线CD 的距离为，圆心E 到
直线CD 的距离为2，由点到直线的距离公式列出方程，解得a 值，代入圆的标准方程即可
求得.
试题解析：解：（1）直线CD 的方程为y=x+4,圆E 的圆心为E(,),半径为r= a.
由圆E 与直线CD 相切，得=
a,
解得a="4."
（2）因为|CD|=
=4
,
所以当△PCD 面积为12时,点P 到直线CD 的距离为3.
又圆心E 到直线CD 距离为2
(定值),
要使△PCD 的面积等于12的点P 有且只有3个,需圆E 的半径=5,
解得a="10,"
此时,圆E 的标准方程为(x-5)2+(y-5)2="50."
考点：点到直线的距离公式；直线和圆的位置关系；圆的标准方程.
21.如图，在平面直角坐标系xOy 中，点(0,3)A ，直线l ：42-=x y .设圆C 的半径为1，圆心在l 上.
（1）若圆心C 也在直线1y x =-上，过点A 作圆C 的切线，求切线的方程； （2）若圆心C 上存在点M ，使||2||MO MA =，求圆心C 的横坐标a 的取值范围.
【答案】(1) 3y =或01243=-+y x . (2) 120,5⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
【解析】 【分析】
（1）先求出圆心坐标，可得圆的方程，再设出切线方程，利用点到直线的距离公式，即可求得切线方程；（2）设出点C ，M 的坐标，利用|M A|=2|M O|，根据点点距离的公式，寻找坐标之间的关系，进一步将问题转化为圆与圆的位置关系，即可得出结论．
【详解】(1)由题设，圆心C 是直线42-=x y 和1y x =-的交点，解得点()3,2C ，于是切线的斜率必存在．设过()0,3A 的圆C 的切线方程为y=k x+3，
2
11
k =+，
解得0k =或3
4
-
， 故所求切线方程
3y =或3 x+4 y-12=0.
(2)因为圆心在直线42-=x y 上，
所以圆C 的方程为()()2
2
221x a y a -+--⎤⎣⎦=⎡. 设点(),M x y ，因为2MA MO =， 所以22222)3(y x y x +=-+，
化简得22230x y y ++-=，即()2
214x y ++=， 所以点M 在以()0,1D -为圆心，2为半径的圆上．
由题意，点(),M x y 在圆C 上，所以圆C 与圆D 有公共点，则|21||CD |21-≤≤+， 即221(23)3a a ≤
+-≤.
整理，得285120a a -=-≤. 由251280a a -+≥，得a ∈R ； 由25120a a -≤，得1205
a ≤≤
. 所以点C 的横坐标a 的取值范围为120,5⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
.
【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，考查圆与圆的位置关系，考查学生的计算能力，考查分类讨论的数学思想，属于中档题．一般直线和圆的题很多情况下是利用数形结合来解决的，联立的时候较少；在求圆上的点到直线或者定点的距离时，一般是转化为圆心到直线或者圆心到定点的距离，再加减半径，分别得到最大值和最小值；涉及到圆的弦长或者切线长时，经常用到垂径定理。

22.（本小题满分14分）已知过原点的动直线l 与圆1C :2
2
650x y x +-+=相交于不同的两点A ，B ．
（1）求圆1C 的圆心坐标；
（2）求线段AB 的中点M 的轨迹C 的方程；
（3）是否存在实数k ，使得直线L:()4y k x =-与曲线C 只有一个交点？若存在，求出k 的取值范围；若不存在，说明理由． 【答案】（1）()3,0；（2）；（3）存在，
或3
4
k =±
． 【解析】
试题分析：（1）通过将圆1C 的一般式方程化为标准方程即得结论；（2）设当直线l 的方程为
y=kx ，通过联立直线l 与圆1C 的方程，利用根的判别式大于0、韦达定理、中点坐标公式及参数方程与普通方程的相互转化，计算即得结论；（3）通过联立直线l 与圆1C 的方程，利用根的判别式△=0及轨迹C 的端点与点（4，0）决定的直线斜率，即得结论 试题解析：（1）由2
2
650x y x +-+=得()2
234x y -+=，
∴ 圆1C 的圆心坐标为()3,0； （2）设(),M x y ，则
∵ 点M 为弦AB 中点即1C M AB ⊥， ∴11C M AB k k ⋅=-即
13y y
x x
⋅=--， ∴ 线段AB 的中点M 的轨迹的方程为2
23953243x y x ⎛⎫⎛⎫-+=<≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
； （3）由（2）知点M 的轨迹是以3,02C ⎛⎫
⎪⎝⎭
为圆心32=r 为半径的部分圆弧EF （如下图所示，
不包括两端点），且525,33E ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，525,33F ⎛⎫
- ⎪ ⎪⎝⎭
，又直线L ：()4y k x =-过定点()4,0D ，
当直线L 与圆L 相切时，由得，又
，结合上图可知当时，直线
L ：()4y k x =-与曲线L 只有一个交点．
考点：1.轨迹方程；2.直线与圆相交的位置关系；3.圆的方程。