山东临清三中高一数学必修4教学案1.3.1三角函数的诱导公式一

临清三中数学组 编写人：贾明磊 审稿人： 庞红玲 李怀奎
1.3.1三角函数的诱导公式（一）
一、教学目标：
1.借助单位圆，推导出正弦、余弦和正切的诱导公式，能正确运用诱导公式将任意角的三角函数化为锐角的三角函数，并解决有关三角函数求值、化简和恒等式证明问题
2.通过公式的应用，了解未知到已知、复杂到简单的转化过程，培养学生的化归思想，以及信息加工能力、运算推理能力、分析问题和解决问题的能力。

二、重点与难点：
重点：四组诱导公式的记忆、理解、运用。

难点：四组诱导公式的推导、记忆及符号的判断； 三、学法与教学用具： （1）、与学生共同探讨，应用数学解决现实问题； （2）、通过模拟试验，感知应用数字解决问题的方法，自觉养成动手、动脑的良好习惯． 四、教学过程：
创设情境：我们知道，任一角α都可以转化为终边在)2,0[π内的角，如何进一步求出它的三角函数值？ 我们对)2,
0[π
范围内的角的三角函数值是熟悉的，那么若能把)2,2
[ππ
内的角β的三角函数值转化为求锐角α的三角函数值，则问题将得到解决，这就是数学化归思想 研探新知
1. 诱导公式的推导
由三角函数定义可以知道：终边相同的角的同一三角函数值相等，即有公式一：
)
(tan )2tan()(cos )2cos()
(sin )2sin(Z k k Z k k Z k k ∈=+∈=+∈=+απααπααπα （公式一） 诱导公式（一）的作用：把任意角的正弦、余弦、正切化为)2,0[π之间角的正弦、余弦、正切。

【注意】：运用公式时，注意“弧度”与“度”两种度量制不要混用，如写成
︒=+︒80sin )280sin(πk ，3
cos
)3603
cos(
π
π
=︒⋅+k 是不对的
【讨论】：利用诱导公式（一），将任意范围内的角的三角函数值转化到)2,0[π角后，又如何将)2,0[π角间的角转化到)2
,
0[π
角呢？
除此之外还有一些角，它们的终边具有某种特殊关系，如关于坐标轴对称、关于原点对称等。

那么它们的三角函数值有何关系呢？
若角α的终边与角β的终边关于x 轴对称，那么α与β的三角函数值之间有什么关系？特别地，角α-与角α的终边关于x 轴对称，由单位圆性质可以推得：
α
αααα
αtan )tan(cos )cos(sin )sin(-=-=--=- （公式二）
特别地，角απ-与角α的终边关于y 轴对称，故有
α
απααπα
απtan )tan(cos )cos(sin )sin(-=--=-=- （公式三） 特别地，角απ+与角α的终边关于原点O 对称，故有
α
απααπα
απtan )tan(cos )cos(sin )sin(=+-=+-=+ （公式四） 所以，我们只需研究απαπαπ-+-2,,的同名三角函数的关系即研究了βα与的关系了。

【说明】：①公式中的α指任意角；②在角度制和弧度制下，公式都成立；
③记忆方法： “函数名不变，符号看象限”；
【方法小结】：用诱导公式可将任意角的三角函数化为锐角的三角函数，其一般方向是： ①化负角的三角函数为正角的三角函数； ②化为)2,0[π内的三角函数； ③化为锐角的三角函数。

可概括为：“负化正，大化小，化到锐角为终了”（有时也直接化到锐角求值）。

2、例题分析：
例1 求下列三角函数值：（1）sin 960o ； （2）43cos()6
π
-
． 分析：先将不是)0,360⎡⎣o o 范围内角的三角函数，转化为)
0,360⎡⎣o o
范围内的角的三角 函数（利用诱导公式一）或先将负角转化为正角然后再用诱导公式化到0,90⎡⎤⎣⎦o o
范围内
角的三角函数的值。

解：（1）sin 960sin(960720)sin 240=-=o
o
o
o
（诱导公式一）
sin(18060)sin 60=+=-o o o （诱导公式二）
=． （2）4343cos()cos
66ππ
-
=（诱导公式三） 77cos(
6)cos
66
ππ
π=+=（诱导公式一） cos()cos 66
ππ
π=+=-（诱导公式二）
=． 方法小结：用诱导公式可将任意角的三角函数化为锐角的三角函数，其一般步骤是：
①化负角的三角函数为正角的三角函数；
②化为)
0,360⎡⎣
o o
内的三角函数； ③化为锐角的三角函数。

可概括为：“负化正，大化小，化到锐角为终了”（有时也直接化到锐角求值）。

例2 化简23
cot cos()sin (3)
tan cos ()απαπααπα⋅+⋅+⋅--． 解：原式23
cot (cos )sin ()
tan cos ()
ααπααπα⋅-⋅+=⋅+ 23
cot (cos )(sin )tan (cos )ααααα⋅-⋅-=⋅-
23cot (cos )sin tan (cos )ααααα⋅-⋅=⋅-
2222cos sin 1sin cos αααα
=⋅=． 3 课堂练习：
（1）．若)cos()2
sin(απαπ
-=+，则α的取值集合为
（ ）
A ．}4
2|{Z k k ∈+=ππαα
B ．}4
2|{Z k k ∈-=ππαα
C ．}|{Z k k ∈=παα
D ．}2
|{Z k k ∈+=π
παα
（2）．已知,)15
14
tan(a =-
π那么=︒1992sin
（ ）
A ．
2
1||a
a + B ．2
1a
a +
C ．2
1a
a +-
D ．2
11a
+-
（3）．设角则,635πα-
=)
(cos )sin(sin 1)cos(
)cos()sin(222απαπααπαπαπ+--+++--+的值等于 （ ）
A ．
33
B ．－
3
3 C ．3 D ．－3 （4）．当Z k ∈时，]
)1cos[(])1sin[()cos()sin(απαπαπαπ+++++⋅-k k k k 的值为
（ ）
A ．－1
B ．1
C ．±1
D ．与α取值有关
（5）．设βαβπαπ,,,(4)cos()sin()(b a x b x a x f ++++=为常数），且
,5)2000(=f
那么=)2004(f A ．1 B ．3 C ．5
D ．7 （ ）
（6）．已知,0cos 3sin =+αα则
=+-α
αα
αcos sin cos sin .
4、课堂练习答案： （1）、D （2）、C （3）、C （4）、A （5）、C （6）、 2
5、作业：根据情况安排 6 板书设计：
三角函数的诱导公式（一）
基本概念： 例1 课堂练习
例2
临清三中数学组 编写人：贾明磊 审稿人： 庞红玲 李怀奎
1.3.1三角函数的诱导公式（一）
课前预习学案
预习目标：
回顾记忆各特殊锐角三角函数值，在单位圆中正确识别三种三角函数线。

预习内容：
1、背诵30度、45度、60度角的正弦、余弦、正切值；
2、在平面直角坐标系中做出单位圆，并分别找出任意角的正弦线、余弦线、正切线。

提出疑惑：
我们知道，任一角α都可以转化为终边在)2,0[π内的角，如何进一步求出它的三角函数值？ 我们对)2,
0[π
范围内的角的三角函数值是熟悉的，那么若能把)2,2
[ππ
内的角β的三角函数值转化为求锐角α的三角函数值，则问题将得到解决。

那么如何实现这种转化呢？
课内探究学案
一、学习目标：
（1）.借助单位圆，推导出正弦、余弦和正切的诱导公式，能正确运用诱导公式将任意角的三角函数化为锐角的三角函数，并解决有关三角函数求值、化简和恒等式证明问题
（2）.通过公式的应用，了解未知到已知、复杂到简单的转化过程，培养学生的化归思想，以及信息加工能力、运算推理能力、分析问题和解决问题的能力。

二、重点与难点：
重点：四组诱导公式的记忆、理解、运用。

难点：四组诱导公式的推导、记忆及符号的判断； 三、学习过程：
（一）研探新知
1. 诱导公式的推导
由三角函数定义可以知道：终边相同的角的同一三角函数值相等，即有公式一：
)
(tan )2tan()(cos )2cos()
(sin )2sin(Z k k Z k k Z k k ∈=+∈=+∈=+απααπααπα （公式一） 诱导公式（一）的作用：把任意角的正弦、余弦、正切化为)2,0[π之间角的正弦、余弦、正切。

【注意】：运用公式时，注意“弧度”与“度”两种度量制不要混用，如写成
︒=+︒80sin )280sin(πk ，3
cos
)3603
cos(
π
π
=︒⋅+k 是不对的
【讨论】：利用诱导公式（一），将任意范围内的角的三角函数值转化到)2,0[π角后，又如何将)2,0[π角间的角转化到)2
,
0[π
角呢？
除此之外还有一些角，它们的终边具有某种特殊关系，如关于坐标轴对称、关于原点对称等。

那么它们的三角函数值有何关系呢？
若角α的终边与角β的终边关于x 轴对称，那么α与β的三角函数值之间有什么关系？特别地，角α-与角α的终边关于x 轴对称，由单位圆性质可以推得：
（公式二）
特别地，角απ-与角α的终边关于y 轴对称，故有
（公式三） 特别地，角απ+与角α的终边关于原点O 对称，故有
（公式四） 所以，我们只需研究απαπαπ-+-2,,的同名三角函数的关系即研究了βα与的关系了。

【说明】：①公式中的α指任意角；②在角度制和弧度制下，公式都成立；
③记忆方法： “函数名不变，符号看象限”；
【方法小结】：用诱导公式可将任意角的三角函数化为锐角的三角函数，其一般方向是： ① ； ② ； ③ 。

可概括为：“ ”（有时也直接化到锐角求值）。

（二）、例题分析：
例1 求下列三角函数值：（1）sin 960o ； （2）43cos()6
π
-
． 分析：先将不是)0,360⎡⎣o o 范围内角的三角函数，转化为)
0,360⎡⎣o o
范围内的角的三角 函数（利用诱导公式一）或先将负角转化为正角然后再用诱导公式化到0,90⎡⎤⎣⎦o o
范围内
角的三角函数的值。

例2 化简23
cot cos()sin (3)
tan cos ()
απαπααπα⋅+⋅+⋅--．
（三） 课堂练习： （1）．若)cos()2
sin(απαπ
-=+，则α的取值集合为
（ ）
A ．}4
2|{Z k k ∈+=ππαα
B ．}4
2|{Z k k ∈-=ππαα
C ．}|{Z k k ∈=παα
D ．}2
|{Z k k ∈+=π
παα
（2）．已知,)15
14
tan(a =-
π那么=︒1992sin
（ ）
A ．
2
1||a
a + B ．2
1a
a +
C ．2
1a
a +-
D ．2
11a
+-
（3）．设角则,635πα-
=)
(cos )sin(sin 1)cos(
)cos()sin(222απαπααπαπαπ+--+++--+的值等于 （ ）
A ．
33
B ．－
3
3 C ．3 D ．－3 （4）．当Z k ∈时，]
)1cos[(])1sin[()cos()sin(απαπαπαπ+++++⋅-k k k k 的值为
（ ）
A ．－1
B ．1
C ．±1
D ．与α取值有关
（5）．设βαβπαπ,,,(4)cos()sin()(b a x b x a x f ++++=为常数），且
,5)2000(=f
那么=)2004(f A ．1
B ．3
C ．5
D ．7 （ ）
（6）．已知,0cos 3sin =+αα则=+-α
αα
αcos sin cos sin .
课后练习与提高
一、选择题
1
．已知sin(
)4π
α+=
，则3sin()4
πα-值为（ ）
A. 21
B. —2
1
C. 23
D. —23
2．cos (π+α)= —21，2
3π
<α<π2,sin(π2-α) 值为（ ）
A. 23
B. 2
1 C. 23± D. —23
3．化简：)2cos()2sin(21-•-+ππ得（ ）
A. sin 2cos 2+
B. cos 2sin 2-
C. sin 2cos 2-
D.±cos 2sin 2-
4．已知3tan =
α，2
3π
απ<
<，那么ααsin cos -的值是（ ） A 231+-
B 231+-
C 231-
D 2
3
1+ 二、填空题
5．如果,0sin tan <αα且,1cos sin 0<+<αα那么α的终边在第 象限 6．求值：2sin(－1110º) －sin960º+)210cos()225cos(2︒-+︒-＝ ． 三、解答题
7．设()f θ=)
cos()7(cos 221)cos(2)(sin cos 2223θθππθπθθ-++++---+-，求()3f π
的值．
8．已知方程sin(α - 3π) = 2cos(α - 4π)，求
)
sin()2
3sin(2)
2cos(5)sin(ααπ
απαπ----+-的值。

课堂练习答案：
（1）、D （2）、C （3）、C （4）、A （5）、C （6）、 2
课后练习与提高参考答案
一、选择题
1．C 2．Ａ 3．C 4．B 二、填空题
5．二 6．－2 三、解答题
7．解：θ
θθθθθcos cos 221
cos 2sin cos 2)(223++++-=f
=θθθθθcos cos 221cos 2)cos 1(cos 22
23++++-- =θ
θθθθcos cos 22cos 2cos cos 2223++++
=θθθθθθcos 2
cos cos 2)
2cos cos 2(cos 2
2=++++ ∴ ()3f π＝cos
3π
＝
2
1
8．解： ∵sin(α - 3π) = 2cos(α - 4π)
∴- sin(3π - α) = 2cos(4π - α) ∴- sin(π - α) = 2cos(- α) ∴sin α = - 2cos α 且cos α ≠ 0 ∴4
3
cos 4cos 3cos 2cos 2cos 5cos 2sin cos 2cos 5sin -=-=--+-=+-+=αααααααααα原式。