万州区第三中学校2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学

万州区第三中学校2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学
班级__________
姓名__________ 分数__________
一、选择题
1． 已知，，则“”是“”的（ ）
α[,]βππ∈-||||βα>βαβαcos cos ||||->-A. 充分必要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件
D. 既不充分也不必要条件
【命题意图】本题考查三角函数的性质与充分必要条件等基础知识，意在考查构造函数的思想与运算求解能力.2． 函数f （x ）=，则f （﹣1）的值为（
）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
3． 已知全集，，，则（ ）
{}1,2,3,4,5,6,7U ={}2,4,6A ={}1,3,5,7B =()U A B = ðA ． B ． C ．
D ．{}2,4,6{}1,3,5{}2,4,5{}
2,54． 已知全集U={0，1，2，3，4}，集合M={2，3，4}，N={0，1，4}，则集合{0，1}可以表示为（
）
A ．M ∪N
B ．（∁U M ）∩N
C ．M ∩（∁U N ）
D ．（∁U M ）∩（∁U N ）
5． 已知函数f （x ）=2x ﹣+cosx ，设x 1，x 2∈（0，π）（x 1≠x 2），且f （x 1）=f （x 2），若x 1，x 0，x 2成等差
数列，f ′（x ）是f （x ）的导函数，则（ ）
A ．f ′（x 0）＜0
B ．f ′（x 0）=0
C ．f ′（x 0）＞0
D ．f ′（x 0）的符号无法确定
6． 已知
，其中是实数，是虚数单位，则的共轭复数为 11x
yi i
=-+,x y x yi +A 、 B 、 C 、 D 、12i +12i -2i +2i
-7． 将n 2个正整数1、2、3、…、n 2（n ≥2）任意排成n 行n 列的数表．对于某一个数表，计算某行或某列中的任意两个数a 、b （a ＞b ）的比值，称这些比值中的最小值为这个数表的“特征值”．当n=2时，数表的所有可能的“特征值”的最大值为（ ）
A ．
B ．
C ．2
D ．3
8． 已知均为正实数，且，，，则（ ）
,,x y z 22log x x =-22log y y -=-22log z
z -=A ． B ． C ．
D ．x y z <<z x y <<z y z <<y x z <<9． 数列{a n }是等差数列，若a 1+1，a 3+2，a 5+3构成公比为q 的等比数列，则q=（
）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
10．已知函数f（x）=xe x﹣mx+m，若f（x）＜0的解集为（a，b），其中b＜0；不等式在（a，b）中有且只有一个整数解，则实数m的取值范围是（）
A．B．C．D．
11．若函数y=a x﹣（b+1）（a＞0，a≠1）的图象在第一、三、四象限，则有（）
A．a＞1且b＜1B．a＞1且b＞0C．0＜a＜1且b＞0D．0＜a＜1且b＜0
12．与向量=（1，﹣3，2）平行的一个向量的坐标是（）
A．（，1，1）B．（﹣1，﹣3，2）C．（﹣，，﹣1）D．（，﹣3，﹣2）
二、填空题
13．已知关于的不等式在上恒成立，则实数的取值范围是__________
14．命题“若a＞0，b＞0，则ab＞0”的逆否命题是 （填“真命题”或“假命题”．）
15．如图，一个空间几何体的正视图和侧视图都是边长为2的正三角形，俯视如图是一个圆，那么该几何体的体积是
．
16．已知圆O：x2+y2=1和双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）．若对双曲线C上任意一点A（点A在圆O外
），均存在与圆O外切且顶点都在双曲线C上的菱形ABCD，则﹣= ．
17．对于映射f ：A →B ，若A 中的不同元素有不同的象，且B 中的每一个元素都有原象，则称f ：A →B 为一一映射，若存在对应关系Φ，使A 到B 成为一一映射，则称A 到B 具有相同的势，给出下列命题：①A 是奇数集，B 是偶数集，则A 和B 具有相同的势；
②A 是平面直角坐标系内所有点形成的集合，B 是复数集，则A 和B 不具有相同的势；③若区间A=（﹣1，1），B=R ，则A 和B 具有相同的势．
其中正确命题的序号是 ．　
18．在中，已知角的对边分别为，且，则角ABC ∆C B A ,,c b a ,,B c C b a sin cos +=B 为
.
三、解答题
19．已知函数f （x ）=x ﹣alnx （a ∈R ）
（1）当a=2时，求曲线y=f （x ）在点A （1，f （1））处的切线方程；（2）求函数f （x ）的极值．
20．设{a n }是公比小于4的等比数列，S n 为数列{a n }的前n 项和．已知a 1=1，且a 1+3，3a 2，a 3+4构成等差数列．
（1）求数列{a n }的通项公式；
（2）令b n =lna 3n+1，n=12…求数列{b n }的前n 项和T n ．
21．（本题满分12分） 已知数列{a n }满足a 1=1，a n+1=2a n +1．（1）求数列{a n }的通项公式；
（2）令b n =n （a n +1），求数列{b n }的前n 项和T n ．
22．【2017-2018第一学期东台安丰中学高三第一次月考】已知函数，
()2
ln f x ax x =+，，()21145ln 639f x x x x =
++()221
22
f x x ax =+a R ∈（1）求证：函数在点处的切线恒过定点，并求出定点的坐标；()f x ()(),e f e （2）若在区间上恒成立，求的取值范围；()()2f x f x <()1,+∞a （3）当时，求证：在区间上，满足恒成立的函数有无穷多个．（记2
3
a =
()0,+∞()()()12f x g x f x <<()g x ）
ln5 1.61,6 1.79ln ==23．已知椭圆
的左焦点为F ，离心率为，过点M （0，1）且与x 轴平行的直
线被椭圆G 截得的线段长为．
（I ）求椭圆G 的方程；
（II）设动点P在椭圆G上（P不是顶点），若直线FP的斜率大于，求直线OP（O是坐标原点）的斜率的取值范围．
24．从某居民区随机抽取10个家庭，获得第i个家庭的月收入x i（单位：千元）与月储蓄y i（单位：千元）的数据资料，计算得x i=80，y i=20，x i y i=184，x i2=720．
（1）求家庭的月储蓄对月收入的回归方程；
（2）判断月收入与月储蓄之间是正相关还是负相关；
（3）若该居民区某家庭月收入为7千元，预测该家庭的月储蓄．
万州区第三中学校2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学（参考答案）
一、选择题
1． 【答案】A.
【解析】，设，，||||cos cos ||cos ||cos αβαβααββ->-⇔->-()||cos f x x x =-[,]x ππ∈-显然是偶函数，且在上单调递增，故在上单调递减，∴，()f x [0,]π()f x [,0]π-()()||||f f αβαβ>⇔>故是充分必要条件，故选A.2． 【答案】A
【解析】解：由题意可得f （﹣1）=f （﹣1+3）=f （2）=log 22=1故选：A
【点评】本题考查分度函数求值，涉及对数的运算，属基础题．　
3． 【答案】A
考点：集合交集，并集和补集．
【易错点晴】集合的三要素是：确定性、互异性和无序性.研究一个集合，我们首先要看清楚它的研究对象，是实数还是点的坐标还是其它的一些元素，这是很关键的一步.第二步常常是解一元二次不等式，我们首先用十字相乘法分解因式，求得不等式的解集.在解分式不等式的过程中，要注意分母不能为零.元素与集合之间是属于和不属于的关系，集合与集合间有包含关系. 在求交集时注意区间端点的取舍. 熟练画数轴来解交集、并集和补集的题目.4． 【答案】B
【解析】解：全集U={0，1，2，3，4}，集合M={2，3，4}，N={0，1，4}，∴∁U M={0，1}，∴N ∩（∁U M ）={0，1}，故选：B ．
【点评】本题主要考查集合的子交并补运算，属于基础题．　
5． 【答案】 A
【解析】解：∵函数f （x ）=2x ﹣+cosx ，设x 1，x 2∈（0，π）（x 1≠x 2），且f （x 1）=f （x 2），
∴
，
∴存在x 1＜a ＜x 2，f '（a ）=0，∴
，∴
，解得a=
，
假设x 1，x 2在a 的邻域内，即x 2﹣x 1≈0．∵，
∴
，
∴f （x ）的图象在a 的邻域内的斜率不断减少小，斜率的导数为正，∴x 0＞a ，
又∵x ＞x 0，又∵x ＞x 0时，f ''（x ）递减，∴．
故选：A ．
【点评】本题考查导数的性质的应用，是难题，解题时要认真审题，注意二阶导数和三阶导数的性质的合理运用．　
6． 【答案】D
【解析】
故选D 1
()1,2,1,12
x x xi yi x y i =-=-∴==+7． 【答案】B
【解析】解：当n=2时，这4个数分别为1、2、3、4，排成了两行两列的数表，当1、2同行或同列时，这个数表的“特征值”为；当1、3同行或同列时，这个数表的特征值分别为或；当1、4同行或同列时，这个数表的“特征值”为或，故这些可能的“特征值”的最大值为．故选：B ．
【点评】题考查类比推理和归纳推理，属基础题．　
8． 【答案】A 【解析】
考点：对数函数，指数函数性质．
9．【答案】A
【解析】解：设等差数列{a n}的公差为d，
由a1+1，a3+2，a5+3构成等比数列，
得：（a3+2）2=（a1+1）（a5+3），
整理得：a32+4a3+4=a1a5+3a1+a5+3
即（a1+2d）2+4（a1+2d）+4=a1（a1+4d）+4a1+4d+3．
化简得：（2d+1）2=0，即d=﹣．
∴q===1．
故选：A．
【点评】本题考查了等差数列的通项公式，考查了等比数列的性质，是基础的计算题．
10．【答案】C
【解析】解：设g（x）=xe x，y=mx﹣m，
由题设原不等式有唯一整数解，
即g（x）=xe x在直线y=mx﹣m下方，
g′（x）=（x+1）e x，
g（x）在（﹣∞，﹣1）递减，在（﹣1，+∞）递增，
故g（x）min=g（﹣1）=﹣，y=mx﹣m恒过定点P（1，0），
结合函数图象得K PA≤m＜K PB，
即≤m＜，
，
故选：C．
【点评】本题考查了求函数的最值问题，考查数形结合思想，是一道中档题．
11．【答案】B
【解析】解：∵函数y=a x﹣（b+1）（a＞0，a≠1）的图象在第一、三、四象限，
∴根据图象的性质可得：a＞1，a0﹣b﹣1＜0，
即a＞1，b＞0，
故选：B
12．【答案】C
【解析】解：对于C中的向量：（﹣，，﹣1）=﹣（1，﹣3，2）=﹣，
因此与向量=（1，﹣3，2）平行的一个向量的坐标是．
故选：C．
【点评】本题考查了向量共线定理的应用，属于基础题．
二、填空题
13．【答案】
【解析】
因为在上恒成立，所以，解得
答案：
14．【答案】　真命题　
【解析】解：若a＞0，b＞0，则ab＞0成立，即原命题为真命题，
则命题的逆否命题也为真命题，
故答案为：真命题．
【点评】本题主要考查命题的真假判断，根据逆否命题的真假性相同是解决本题的关键．
15．【答案】
．
【解析】解：此几何体是一个圆锥，由正视图和侧视图都是边长为2的正三角形，其底面半径为1，且其高为正三角形的高
由于此三角形的高为，故圆锥的高为
此圆锥的体积为=
故答案为
【点评】本题考点是由三视图求几何体的面积、体积，考查对三视图的理解与应用，主要考查三视图与实物图之间的关系，用三视图中的数据还原出实物图的数据，再根据相关的公式求表面积与体积，本题求的是圆锥的体积．三视图的投影规则是：“主视、俯视长对正；主视、左视高平齐，左视、俯视宽相等”．三视图是新课标的新增内容，在以后的高考中有加强的可能．
16．【答案】　1　．
【解析】解：若对双曲线C上任意一点A（点A在圆O外），
均存在与圆O外切且顶点都在双曲线C上的菱形ABCD，
可通过特殊点，取A（﹣1，t），
则B（﹣1，﹣t），C（1，﹣t），D（1，t），
由直线和圆相切的条件可得，t=1．
将A（﹣1，1）代入双曲线方程，可得﹣=1．
故答案为：1．
【点评】本题考查双曲线的方程和运用，同时考查直线和圆相切的条件，属于基础题．
17．【答案】　①③　．
【解析】解：根据一一映射的定义，集合A={奇数}→B={偶数}，不妨给出对应法则加1．则A→B是一一映射，故①正确；
对②设Z点的坐标（a，b），则Z点对应复数a+bi，a、b∈R，复合一一映射的定义，故②不正确；
对③，给出对应法则y=tan x ，对于A ，B 两集合可形成f ：A →B 的一一映射，则A 、B 具有相同的势；
∴③正确．故选：①③
【点评】本题借助考查命题的真假判断，考查一一映射的定义，属于基础题型，考查考生对新定义题的理解与应用能力．
18．【答案】4
π
【
解
析
】
考
点：正弦定理．
【方法点晴】本题考查正余弦定理,根据正弦定理，将所给的含有边和角的等式化为只含有角的等式，再利用三角形的三角和是，消去多余的变量，从而解出角.三角函数题目在高考中的难度逐渐增加，以考查三︒180B 角函数的图象和性质，以及三角形中的正余弦定理为主，在年全国卷（ ）中以选择题的压轴题出
2016现.
三、解答题
19．【答案】
【解析】解：函数f （x ）的定义域为（0，+∞），．
（1）当a=2时，f （x ）=x ﹣2lnx ，，
因而f （1）=1，f ′（1）=﹣1，
所以曲线y=f （x ）在点A （1，f （1））处的切线方程为y ﹣1=﹣（x ﹣1），即x+y ﹣2=0（2）由
，x ＞0知：
①当a ≤0时，f ′（x ）＞0，函数f （x ）为（0，+∞）上的增函数，函数f （x ）无极值；②当a ＞0时，由f ′（x ）=0，解得x=a ．
又当x ∈（0，a ）时，f ′（x ）＜0，当x ∈（a ，+∞）时，f ′（x ）＞0．从而函数f （x ）在x=a 处取得极小值，且极小值为f （a ）=a ﹣alna ，无极大值．综上，当a ≤0时，函数f （x ）无极值；
当a ＞0时，函数f （x ）在x=a 处取得极小值a ﹣alna ，无极大值．　
20．【答案】
【解析】解：（1）设等比数列{a n }的公比为q ＜4，∵a 1+3，3a 2，a 3+4构成等差数列．∴2×3a 2=a 1+3+a 3+4，∴6q=1+7+q 2，解得q=2．（2）由（1）可得：a n =2n ﹣1．b n =lna 3n+1=ln23n =3nln2．
∴数列{b n }的前n 项和T n =3ln2×（1+2+…+n ）=
ln2．
21．【答案】解：（1）∵a n+1=2a n +1，∴a n+1+1=2（a n +1），又∵a 1=1，
∴数列{a n +1}是首项、公比均为2的等比数列，∴a n +1=2n ，∴a n =﹣1+2n ； 6分
（2）由（1）可知b n =n （a n +1）=n •2n =n •2n ﹣1，∴T n =1•20+2•2+…+n •2n ﹣1，
2T n =1•2+2•22…+（n ﹣1）•2n ﹣1+n •2n ，错位相减得：﹣T n =1+2+22…+2n ﹣1﹣n •2n
=
﹣n •2n
=﹣1﹣（n ﹣1）•2n ，于是T n =1+（n ﹣1）•2n ．
则所求和为
6分
12n
n -22．【答案】（1）切线恒过定点．（2） 的范围是 （3） 在区间上，满足1,22e ⎛⎫
⎪⎝⎭a 11,22⎡⎤
-⎢⎥⎣⎦
()1,+∞恒成立函数有无穷多个
()()()12f x g x f x <<()g x
【解析】试题分析：（1）根据导数的几何意义求得切线方程为，故过定点11222e y ae x e ⎛⎫⎛⎫
-
=+- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭
；1,22e ⎛⎫
⎪⎝⎭
试题解析：
（1）因为，所以在点处的切线的斜率为，()12f x ax x '=+
()f x ()(),e f e 12k ae e
=+所以在点处的切线方程为，
()f x ()(),e f e ()2121y ae x e ae e ⎛
⎫=+-++ ⎪⎝
⎭整理得，所以切线恒过定点．
11222e y ae x e ⎛⎫⎛⎫-=+- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭1,22e ⎛⎫
⎪⎝⎭
（2）令，对恒成立，
()()()2p x f x f x =-=212ln 02a x ax x ⎛
⎫--+< ⎪⎝
⎭()1,x ∈+∞因为()()1212p x a x a x
=--+'()2
2121a x ax x --+=()()()
1211*x a x x ⎡⎤---⎣⎦=令，得极值点，，
()0p x '=11x =21
21
x a =-①当时，有，即时，在上有，
112a <<211x x >=1
12
a <<()2,x +∞()0p x '>此时在区间上是增函数，并且在该区间上有，不合题意；
()p x ()2,x +∞()()()2,p x p x ∈+∞②当时，有，同理可知，在区间上，有，也不合题意；
1a ≥211x x <=()p x ()1,+∞()()()
1,p x p ∈+∞③当时，有，此时在区间上恒有，1
2
a ≤
210a -≤()1,+∞()0p x '<从而在区间上是减函数；
()p x ()1,+∞要使在此区间上恒成立，只须满足，()0p x <()111022
p a a =--≤⇒≥-所以．11
22
a -
≤≤综上可知的范围是．a 11,22⎡⎤
-
⎢⎥⎣⎦
（利用参数分离得正确答案扣2分）
（3）当时，，23a =
()21145ln 639f x x x x =++()221423
f x x x =+记，．
()()22115
ln 39
y f x f x x x =-=-()1,x ∈+∞
因为，22565399x x y
x x
='-=-令，得0y '=x =
所以在为减函数，在上为增函数，
()()21y f x f x =
-⎛ ⎝
⎫+∞⎪⎪⎭
所以当时，x =min 59
180
y =设，则，
()()()159
01180
R x f x λλ=+<<()()()12f x R x f x <<所以在区间上，满足恒成立函数有无穷多个
()1,+∞()()()12f x g x f x <<()g x 23．【答案】
【解析】解：（I ）∵椭圆
的左焦点为F ，离心率为
，
过点M （0，1）且与x 轴平行的直线被椭圆G 截得的线段长为．
∴点
在椭圆G 上，又离心率为
，
∴，解得
∴椭圆G 的方程为．
（II ）由（I ）可知，椭圆G 的方程为
．∴点F 的坐标为（﹣1，0）．
设点P 的坐标为（x 0，y 0）（x 0≠﹣1，x 0≠0），直线FP 的斜率为k ，则直线FP 的方程为y=k （x+1），由方程组
消去y 0，并整理得
．
又由已知，得，解得或﹣1＜x 0＜0．
设直线OP 的斜率为m ，则直线OP 的方程为y=mx ．
由方程组消去y0，并整理得．
由﹣1＜x0＜0，得m2＞，
∵x0＜0，y0＞0，∴m＜0，∴m∈（﹣∞，﹣），
由﹣＜x0＜﹣1，得，
∵x0＜0，y0＞0，得m＜0，∴﹣＜m＜﹣．
∴直线OP（O是坐标原点）的斜率的取值范围是（﹣∞，﹣）∪（﹣，﹣）．
【点评】本题考查椭圆方程的求法，考查直线的斜率的取值范围的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意椭圆与直线的位置关系的合理运用．
24．【答案】
【解析】解：（1）由题意，n=10，=x i=8，=y i=2，
∴b==0.3，a=2﹣0.3×8=﹣0.4，
∴y=0.3x﹣0.4；
（2）∵b=0.3＞0，
∴y与x之间是正相关；
（3）x=7时，y=0.3×7﹣0.4=1.7（千元）．。