2019-2020年高中数学 8.8抛物线提能训练 理 新人教A版

2019-2020年高中数学 8.8抛物线提能训练理新人教A版
一、选择题（每小题6分，共36分）
1.设抛物线y2=8x上一点P到y轴的距离是4，则点P到该抛物线焦点的距离是
( ) （A）4 （B）6 （C）8 （D）12
2.已知抛物线C与双曲线x2-y2=1有相同的焦点,且顶点在原点,则抛物线C的方程是( )
(A) (B)y2=±2x
(C)y2=±4x (D)
3.（易错题）过点（0，1）作直线，使它与抛物线y2=4x仅有一个公共点，这样的直线共有( )
（A）1条（B）2条（C）3条（D）4条
4.以抛物线y2＝4x的焦点为圆心,且过坐标原点的圆的方程为( )
（A）x2+y2+2x=0 （B）x2+y2+x=0
（C）x2+y2-x=0 （D）x2+y2-2x=0
5.P是抛物线y=x2上任意一点，则当P点到直线x+y+2=0的距离最小时，P点与该抛物线的准线的距离是( )
（A）2 （B）1 （C）（D）
6.已知抛物线y2=2px（p＞0）,过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A、B两点,若线段AB的中点的纵坐标为2,则该抛物线的准线方程为( )
（A）x=1 （B）x=-1
（C）x=2 （D）x=-2
二、填空题（每小题6分，共18分）
7.(xx·岳阳模拟)已知过抛物线y2=4x的焦点F的直线交抛物线于A、B两点，
｜AF｜=2,则|BF|=__________.
8.(xx·邵阳模拟)已知抛物线型拱桥的顶点距离水面2米时，测量水面宽为8米，当水面上升12米后，水面的宽度是_________.
9.（xx·百色模拟）设F为抛物线y2=4x的焦点，A、B为该抛物线上两点，若+=,则||+2||=_______.
三、解答题（每小题15分，共30分）
10.（xx·江西高考）已知过抛物线y2=2px(p>0)的焦点，斜率为的直线交抛物线于A(x1,y1），B（x2,y2)(x1<x2)两点，且|AB|=9．
(1)求该抛物线的方程；
(2)O为坐标原点，C为抛物线上一点，若=+λ，求λ的值.
11．(预测题)如图，已知抛物线C1:x2=2py(p>0)与圆C2:x2+y2=交于M、N两点，且∠MON=120°．
(1)求抛物线C1的方程；
(2)设直线l与圆C2相切.
①若直线l与抛物线C1也相切，求直线l的方程.
②若直线l与抛物线C1交于不同的A、B两点，求·的取值范围.
【探究创新】
（16分）已知抛物线x2＝2y的焦点为F，准线为l，过l上一点P作抛物线的两条切线，切点分别为A、B.
某学习小组在研究讨论中提出如下三个猜想：
(1)直线PA、PB恒垂直；
(2)直线AB恒过焦点F；
(3)等式·＝λ中的λ恒为常数．
现请你一一进行论证．
答案解析
1.【解析】选B.∵点P到y轴的距离是4，延长使得和准线相交于点Q，则|PQ|等于点P到焦点的距离，而|PQ|=6，所以点P到该抛物线焦点的距离为6.
【方法技巧】抛物线上的点到焦点的距离和到准线的距离的求解技巧
抛物线上的点到焦点的距离与抛物线上的点到准线的距离经常相互转化：(1)若求点到焦点的距离，则可联想点到准线的距离；(2)若求点到准线的距离，则经常联想点到焦点的距离.解题时一定要注意.
2.【解析】选D.由题意,可求得双曲线的焦点为(-0),(0).
设抛物线的方程为y2=±2px(p＞0),则
∴p=∴抛物线的方程为
3.【解析】选C.作出图形，可知点（0，1）在抛物线y2=4x外.因此，过该点可作抛物线y2=4x的切线有两条，还能作一条与抛物线y2=4x的对称轴平行的直线，因此共有三条直线与抛物线只有一个交点.
4.【解析】选D.因为已知抛物线的焦点坐标为（1，0），即所求圆的圆心，又圆过原点，所以圆的半径为r=1，故所求圆的方程为(x-1)2+y2=1，即x2-2x+y2=0，故选D.
5.【解题指南】先根据题设条件求出点P的坐标，再根据抛物线的性质求出点P到准线的距离即可.
【解析】选C.由题意，抛物线的准线方程是y=,
P点到直线x+y+2=0的距离最小时，点P处的切线必与直线x+y+2=0平行，故令y′=2x=-1，得x=，得点P的纵坐标为,所以P点与该抛物线的准线的距离是+=，故选C.
6.【解析】选B.方法一：设A（x1,y1）,B（x2,y2）,由题意知直线AB的方程为：y=,与y2=2px联立得:y2-2py-p2=0,∴y1+y2=2p,
由题意知：y1+y2=4,
∴p=2,∴抛物线的方程为y2=4x,
其准线方程为x=-1,故选B.
方法二:设A（x1,y1）,B（x2,y2）,
由题意得y1+y2=4,y12=2px1,y22=2px2,
两式相减得：k AB====1,∴p=2,
∴抛物线的方程为y2=4x,其准线方程为x=-1.
【方法技巧】弦中点问题的常用结论及求解技巧
（1）对于弦中点问题常用“根与系数的关系”或“点差法”求解，同时，要注意使用条件是Δ≥0. （2）在椭圆+=1(a>b>0)中，以P(x0,y0)(y0≠0)为中点的弦所在直线的斜率k=.
（3）在双曲线-=1(a>0,b>0)中，以P(x0,y0)(y0≠0)为中点的弦所在直线的斜率k=.
（4）在抛物线y2=2px(p>0)中，以P(x0,y0)(y0≠0)为中点的弦所在直线的斜率k=.
7.【解析】设A(x0,y0).由抛物线的定义可知，
|AF|=
所以x0=1.抛物线焦点坐标为F(1，0)，
所以直线AB的方程为x=1,
所以｜BF｜=|AF|=2.
答案：2
8.【解析】如图所示，设抛物线方程为x2=-2py(p>0),将(4,-2)代入方程得
16=-2p·(-2)，解得2p=8,
故方程为x2=-8y,水面上升12米，则y=代入方程，得x2=-8×()=12,
x=±
故水面宽4米.
答案：4米
9.【解题指南】先过A，B两点分别作准线的垂线，再过B作AC的垂线，垂足为E，在直角三角形ABE中，求得cos∠BAE==,得出直线AB的斜率，进而得到直线AB的方程为：y=(x-1)，将其代入抛物线的方程求得A，B的坐标，最后利用距离公式求得结果即可.
【解析】过A，B两点分别作准线的垂线，再过B作AC的垂线，垂足为E，
设BF=m,则BD=m,
∵+2=,
∴AC=AF=2m,
如图，在直角三角形ABE中，
AE=AC-BD=2m-m=m,
AB=3m,∴cos∠BAE==,
∴直线AB的斜率为：k=tan∠BAE=,
∴直线AB的方程为:y=(x-1),
将其代入抛物线的方程化简得：2x2-5x+2=0,
∴x1=2,x2=
∴A(2, ),B(,），又F（1，0），
则||+2||==6.
答案：6
10.【解析】(1)抛物线y2＝2px(p>0)的焦点坐标为(,0)，所以直线AB过点(,0)，斜率为，所以直线AB的方程是y= (x-)，与抛物线方程y2=2px联立，消去y得：4x2-5px+p2=0，所以x1+x2=，由抛物线的定义得：|AB|=x1+x2+p=9，解得p=4，因此抛物线方程为：y2=8x.
(2)由p=4及4x2-5px+p2=0得x2-5x+4=0，
解得：x1＝1,x2=4,y1=,y2=，从而A(1, ）,B(4,），设C(x3,y3)，则有=(x3,y3), +λ=(1,）+λ(4,）=(1+4λ, +λ）,
又因为＝+λ，
所以(x3,y3)=(1+4λ, +λ)，
即x3=1+4λ，y3=+λ，
又因为y32=8x3，即(+λ)2=8(1+4λ)，
即(2λ-1)2=4λ+1，解得λ=0或λ=2．
【变式备选】动点P在x轴与直线l：y=3之间的区域（含边界）上运动，且到点F(0,1)和直线l的距离之和为4．
（1）求点P的轨迹C的方程；
（2）过点Q(0,-1)作曲线C的切线，求所作的切线与曲线C所围成区域的面积．
【解析】（1）设P(x,y)，根据题意，
得=4，
化简，得y=（y≤3)．
（2）设过Q的切线方程为y=kx-1，代入抛物线方程，整理得x2-4kx+4=0．
由Δ＝16k2-16=0．解得k=±１．
于是所求切线方程为y=±x-1（亦可用导数求得切线方程）.
切点的坐标为（2，1），（－2，1）．
由对称性知所求的区域的面积为
S＝=.
11．【解析】(1)因为∠MON=120°，所以OM与x轴正半轴成30°角，所以点M的坐标为(,)，代入抛物线方程得()2=2p×，求得p=1，
所以抛物线C1的方程为x2=2y.
(2)由题意可设l:y=kx+b，即kx-y+b=0，
因为l与圆C2相切，所以=，
即9b2=16(k2+1) (Ⅰ)
①设直线l与抛物线C1:x2=2y即y=x2相切于点T(t， t2)，因为函数y=x2的导数为y′=x，所以 (Ⅱ)
由(Ⅰ)、(Ⅱ)解得或
所以直线l的方程为y=x-4或y=x-4，
②由得x2-2kx-2b=0，
设A(x1,y1),B(x2,y2)
则x1+x2=2k，x1x2=-2b，且由Δ=4k2+8b>0得k2+2b>0(Ⅲ)
由(Ⅰ)、(Ⅲ)可得，解得b≥或b<-4，
所以·=x1x2+y1y2=(x1x2)2+x1x2=b2-2b∈［-,+∞)，即·的取值范围是［，+∞）.
【探究创新】
【证明】(1)由x2＝2y，得y＝，对其求导，得y′＝x，设A(x1,)、B(x2,),
则直线PA、PB的斜率分别为k PA＝x1，k PB＝x2，
由点斜式得直线PA方程为y-＝x1(x－x1)，
即y＝x1x－①，
同理，直线PB方程为y＝x2x－②，
由①、②两式得点P坐标为(，)，
∵点P在准线y＝上，
∴＝，即x1x2＝－1.
∴k PA·k PB＝x1x2＝－1，
∴PA⊥PB，猜想(1)是正确的．
(2)直线AB的斜率k＝＝，
由点斜式得直线AB方程为
y－＝(x－x1)，
将上式变形并注意到x1x2＝－1，
得y＝，
显然，直线AB恒过焦点F(0，)，猜想(2)是正确的．
(3)当AB∥x轴时，根据抛物线的对称性知A(－1，)、B(1,)或A(1，)、B(－1，)，
这时点P坐标为(0，).
·＝(－1,0)·(1,0)＝－1，＝(0，－1)，
＝1，有λ＝－1.
下面证·＝－必成立，
∵＝(x1，)－(0，)＝(x1，)，
＝(x2，)－(0，)＝(x2，)，
∴·＝x1x2＋(x12－1)(x22－1)
＝x1x2＋()
＝x1x2＋［(x1x2)2＋2x1x2－(x1＋x2)2＋1］
＝－1＋［(－1)2＋2×(－1)－(x1＋x2)2＋1］
＝－1－(x1＋x2)2.
又＝(，)－(0，)
＝(，)－(0，)
＝(，－1)，
∴＝(x1＋x2)2＋1，故·＝－，
λ恒为－1.猜想(3)也是正确的.
【变式备选】已知抛物线y2=4x，过点M(0,2)的直线l与抛物线交于A、B两点，且直线l与x轴交于点
C.
(1)求证:|MA|，|MC|，|MB|成等比数列；
(2)设 =α， =β试问α+β是否为定值，若是，求出此定值；若不是，请说明理由．
【解析】(1)由题意设直线l的方程为：y=kx+2(k≠0) ，
联立方程可得得:k2x2+(4k-4)x+4=0 ①
设A(x1，y1) ，B(x2，y2)，又C(，0），则
x1+x2=，x1·x2= ②
|MA|·|MB|=·=，
而|MC|2==，
∴|MC|2=|MA|·|MB|≠0 ，
即|MA|，|MC|，|MB|成等比数列.
(2)由=α， =β得，
(x1，y1-2)=α(-x1，-y1)
(x2，y2-2)=β(-x2，-y2)
即得：α=，β=，则
α+β=
由(1)中②代入得α+β=-1，
故α+β为定值且定值为-1．。