云南省曲靖市第一中学2021-2021学年高一上学期期中考试试题

高一上学期期中考试
数学试题
第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的.
1.设{}{},1,3,5,7,9,1,2,3,4,5U Z A B ===，则图中阴影部分表示的集合是（
）
A ．{}1,3,5
B ．{}1,2,3,4,5
C ．{}2,4
D ．{}7,9
2.下列各组函数中，表示同一函数的是（ ）
A ．
B ．()()()01,1f x x g x =-=
C ．()()21
,11x f x g x x x -==+- D ．()()f x g t t ==
3.设函数()21f x x =+的定义域为[]1,5，则函数()23f x -的定义域为（ ）
A ．[]2,4
B ．[]3,11
C ．[]3,7
D ．[]1,5
4.若1,1a b ><-则函数x y a b =+的图象必不经过（ ）
A ．第一象限
B ．第二象限 C. 第三象限 D ．第四象限
5.函数2122y x x ⎛⎫
=- ⎪⎝⎭的值域为（ ）
A ．1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭
B ．(],2-∞ C.10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦
D ．(]0,2 6.幂函数()()215m f x m m x +=--在()0,+∞上单调递减，则m 等于（ ）
A ．3
B ．-2 C.-2或3 D ．-3
7.已知函数()26log f x x x
=-，在下列区间中，包含()f x 零点的区间是（ ） A ．()0,1 B ．()1,2 C.()2,4 D ．()4,8+
8.已知0.21.2512,,log 22a b c -⎛⎫=== ⎪⎝⎭，则,,a b c 的大小关系为（ ）
A ．b a c <<
B ．c a b << C.c b a << D ．b c a <<
9.函数()1x
f x e =-的图象大致是（ ） A ． B ． C. D ．
10.已知函数()22,1log ,1
a x ax x f x x x ⎧-+-≤=⎨>⎩在R 上单调递增，则实数a 的取值范围是（ ）
A ．23a ≤≤
B ．2a ≥ C.023a a <≤≥或 D ．03a <≤
11.函数()2
21f x mx x =-+有且仅有一个正实数的零点，则实数m 的取值范围是（ ） A ．(],1-∞ B ．(]{},01-∞ C. (){},01-∞ D ．(),1-∞
12.已知()log 2a y ax =-是[]0,1上的减函数，则a 的取值范围是（ ）
A ．()0,1
B ．()1,8+ C.(]0,2 D ．()1,2
第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13.函数()212log 6y x x
=+-的单调递增区间为 ．
14.含有三个实数的集合既可表示成,
,1b a a ⎧
⎫⎨⎬⎩⎭，又可表示成{}2,,0a a b +，则a b += ．
2log 3212log lg 252lg 28
⨯++= ． 16.给出下列几种说法：
①若3log log 1a b a =，则3b =；
②若13a a -+=，则1a a
--=；
③()(lg f x x =+
为奇函数； ④()1f x x
=为定义域内的减函数； ⑤若函数()y f x =是函数x y a =（0a >且1a ≠）的反函数，且()21f =，则
()12
log f x x =，其中说法正确的序号为 ．
三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17. （本小题满分12分）
已知全集U R =，集合{}(){}2|20,|lg 23A x x a B y y x x =+>==--.
（Ⅰ）当2a =时，求集合,A B A B ；
（Ⅱ）若()U A C B =∅，求实数a 的取值范围.
18.（本小题满分12分）
已知函数()22x x b f x a
+=+，是定义在R 上的奇函数. （Ⅰ）求函数()f x 的解析式；
（Ⅱ）求函数的值域.
19.（本小题满分12分）
已知函数()21log 1x f x x
+=-. （Ⅰ）判断奇偶性并证明；
（Ⅱ）用单调性定义证明函数()11x g x x +=-在函数定义域内单调递增，并判断
在定义域内的单调性.
20.（本小题满分12分）
（Ⅰ）函数满足对任意的实数,x y 都有()()()f xy f x f y =+，且()42f =，
求f 的值；
（Ⅱ）已知函数
是定义[]1,1-在上的奇函数，且在上递增， 求不等式12f x ⎛
⎫++ ⎪⎝⎭()10f x -<的解集.
21.（本小题满分12分）
某企业生产的新产品必须先靠广告打开销路，该产品广告效应y （单位：元）是产品的销售额与广告费x （单位:元）之间的差，如果销售额与广告费的算术平方根成正比，根据对市场的抽样调查，每付出100元的广告费，所得销售额是1000元.
（Ⅰ）求出广告效应与广告费之间的函数关系式；
（Ⅱ）该企业投入多少广告费才能获得最大的广告效应？是不是广告费投入越多越好？
22.（本小题满分12分）
已知函数()()1
131242x x f x x λ-=-+-≤≤. （Ⅰ）若32
λ=时，求函数()f x 的值域； （Ⅱ）若函数
的最小值是1，求实数λ的值.
参考答案
一、选择题
1-5:CDABD 6-10: BCCAA 11、12：BD
二、填空题 13.1
,32⎛⎫ ⎪⎝⎭
14.-1 15.20 16.①③ 三、解答题
17.解：由20x a +>得2a x >-，即|2a A x x ⎧⎫=>-⎨⎬⎩
⎭. 由2230x x -->得()()130x x +->，解得1x <-或3x >，
{}|1A B x x =≠-.
（Ⅱ），
{}|13U C B x x =-≤≤∴，
又()U A C B =∅，
32
a ≥∴-，解得6a ≤-. ∴实数a 的取值范围是(),6-∞-.
18.解：（Ⅰ）()f x 在R 上的奇函数，()00f =得1b =-
()212x x f x a
-=+∴， 又()()f x f x -=-
212122x x x x a a ----=-++∴，化简得，2121212x x x x a a
--=++ ()211,21
x x a f x -==+∴∴ （Ⅱ）()21212121
x x x f x -==-++，求得()11f x -<<
∴函数值域为()1,1-.
19.解：（Ⅰ）由101x x
+>-得11x -<< ()()2211log log 11x x f x f x x x
-+-==-=-+- ()f x ∴为()1,1-内的奇函数
（Ⅱ）设1211x x -<<<
()()()()()
12121212122111111x x x x g x g x x x x x -++-=-=---- 12121211,0,10,10x x x x x x -<<<-<->->∴
()()()()
12120,g x g x g x g x -<<∴∴
()g x ∴在()1,1-内为增函数
令()2,log t g x y t ==为t 的增函数 ()f x ∴在()1,1-内为增函数
20.解：（Ⅰ）()()()()422222f f f f =⨯=+=
()()222,21f f ==∴∴
又()
()(
)
22221f f f f ==+=
121,2
f f ==∴∴ （Ⅱ）由()f x 是[]1,1-上的奇函数得()112f x f x ⎛
⎫+
<- ⎪⎝⎭
又在上递增
1112111112x x x x ⎧-≤+≤⎪⎪-≤-≤⎨⎪⎪+<-⎩
∴解得104x ≤< ∴不等式解集为10,4⎡⎫⎪⎢⎣⎭
21.解：（Ⅰ）设销售额为t 元，
由题意知0t x =≥
又当100x =时，1000t =，
1000100k =∴，解得100k =.
t =∴，
y x =∴
∴广告效应y 与广告费x
之间的函数关系为：(),0y x x =-≥
（Ⅱ）令()0u u =≥则2x u =
()22100502500y u u u =-=--+∴
50u =∴时，即2500x =时，y 有最大值2500.
∴该企业投入2500元广告费时能获得最大的广告效应.
当50u >时，2500x >时，逐渐减小，并不是广告费投入越多越好.
22.解：（Ⅰ）()()21111323124222x x
x x f x x λλ-⎛⎫⎛⎫=-+=-+-≤≤ ⎪ ⎪⎝⎭
⎝⎭ 设12x t ⎛⎫= ⎪⎝⎭，得()212324g t t t t λ⎛⎫=-+≤≤ ⎪⎝⎭. 当32λ=时，()22331332244g t t t t t ⎛⎫⎛⎫=-+=-+≤≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 所以()()max min 13733,41624
g t g g t g ⎛⎫⎛⎫==== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 所以()()max min 373,164
f x f x ==， 故函数()f x 的值域为337,416⎡⎤⎢⎥⎣⎦
. （Ⅱ）由（Ⅰ）知()()2
22123324g t t t t t λλλ⎛⎫=-+=-+-≤≤ ⎪⎝⎭ ①当14λ≤时，()min 1494216g t g λ⎛⎫==-+ ⎪⎝⎭
， 令491216λ
-+
=，得33184λ=>，不符合舍去； ②当124
λ<≤时，()()2min 3g t g λλ==-+，
令231λ-+=，得λ=，或14
λ=<，不符合舍去； ③当2λ>时，()()min 247g t g λ==-+，
令471λ-+=，得322
λ=<，不符合舍去.
综上所述，实数λ.。