数学新高考微专题8 球与几何体的切、接问题

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球与几何体的切、接问题
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[解题指导]
利用余弦定理可求得 BC→根据正弦定理可求得△ABC 外接圆半径 r→由三棱
柱特点可知外接球半径 R＝ 可得到结果．
r2＋21AA12→求得 R 后代入球的表面积公式即
答案：C
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【总结反思】处理球的外接问题的策略 (1)把一个多面体的几个顶点放在球面上即为球的外接问题．解决这类问题 的关键是抓住外接的特点，即球心到多面体的顶点的距离等于球的半径． (2)三条侧棱互相垂直的三棱锥的外接球： ①如果三棱锥的三条侧棱互相垂直并且相等，那么可以补形为一个正方体， 正方体的外接球的球心就是三棱锥的外接球的球心； ②如果三棱锥的三条侧棱互相垂直但不相等，那么可以补形为一个长方体， 长方体的外接球的球心就是三棱锥的外接球的球心．
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球与几何体的切、接问题
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【总结反思】求多面体的外接球的面积和体积问题，常用方法有：(1)三条 棱两两互相垂直时，可恢复为长方体，利用长方体的体对角线为外接球的直 径，求出球的半径；(2)直棱柱的外接球可利用棱柱的上下底面平行，借助 球的对称性，球心为上下底面外接圆的圆心连线的中点，再根据勾股定理求 球的半径；(3)如果几何体有两个面相交，可过两个面的外心分别作两个面 的垂线，垂线的交点为几何体的球心．
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球与几何体的切、接问题
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∵△ABC 为边长为 2 的等边三角形，∴CF＝ 3.
又∠CEF＝90°，∴CE＝ 3－x2，AE＝21PA＝x，
△AEC 中，由余弦定理可得 cos∠EAC＝x2＋4－2×（23x－x2），
作 PD⊥AC 于 D，∵PA＝PC，∴D 为 AC 的中点，cos∠EAC＝APAD＝21x，
3）2＝3，
所以，这个球的表面积为 S＝4πR2＝4π×32＝36π.
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2．(2020·江西省南昌二中模拟)在正三棱柱 ABC-A1B1C1 中，AB＝a，AA1＝h，
若该三棱柱内接于球 O，且三棱锥 O-ABC 的体积为 43a，则球 O 的表面积最
小值为( B )
A．16 3π
B．8 3π
C．4 3π
D．2 3π
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解析：如图所示，由题知，该三棱柱内接于一球 O，三棱锥 O-ABC 的体积为
43a，
即 V＝31×12×a× 23a×h2＝ 43a，所以 ah＝6. 因为三棱柱 ABC-A1B1C1 是正三棱柱， 所以 OB2＝OD2＋BD2＝h22＋ 23a×232≥2×h2× a3＝ha3＝2 3. 又 OB 为球 O 的半径，即 R2＝2 3， 所以球 O 的表面积最小为 S＝4πR2＝8 3π.故选 B.
∴x2＋4－3＋x2＝ 1 ，
4x
2x
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∴2x2＋1＝2，∴x2＝12，x＝ 22，∴PA＝PB＝PC＝ 2. 又 AB＝BC＝AC＝2，∴PA，PB，PC 两两垂直，∴2R＝ 2＋2＋2＝ 6，∴R ＝ 26，∴V＝43πR3＝43π×68 6＝ 6π.故选 D.
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二、球与棱锥的切、接问题
典例 2 (2019·全国Ⅰ卷)已知三棱锥 P-ABC 的四个顶点在球 O 的球面上，PA
＝PB＝PC，△ABC 是边长为 2 的正三角形，E，F 分别是 PA，AB 的中点，
∠CEF＝90°，则球 O 的体积为
A．8 6π
202球2届与几何体的切、接问题
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微专题8 球与几何体的切、接问题
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球与几何体的切、接问题
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球与其他几何体的切、接问题是近几年高考的热点，这种题目几乎在各省高 考试题中都有涉及，主要考查直观想象和逻辑推理的核心素养．
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球与几何体的切、接问题
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球与几何体的切、接问题
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1．(2020·天津卷)若棱长为 2 3的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的
表面积为
A．12π
B．24π
C．36π
D．144π
答案：C 解析：这个球是正方体的外接球，其半径等于正方体的体对角线的一半，
即 R＝ （2
3）2＋（2 3）2＋（2 2
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一、球与棱柱的切、接问题
典例 1 (2020·贵州省贵阳市四校模拟)在三棱柱 ABC-A1B1C1 中，AA1⊥平面
ABC，∠BAC＝23π，AA1＝4，AB＝AC＝2 3，则三棱柱 ABC-A1B1C1 的外
接球的表面积为( )
A．32π
B．48π
C．64π
D．72π
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∴∠APB＝90°，∴PA＝PB＝PC＝ 2，由此可知，PA⊥PC，∴P-ABC 为正 方体的一部分，2R＝ 2＋2＋2＝ 6，即 R＝ 26，∴V＝43πR3＝43π×6 8 6＝ 6 π，故选 D. 方法二：如图，连接 CE，CF.设 PA＝PB＝PC＝2x，E，F 分别为 PA，AB 的中点，∴EF∥PB，且 EF＝12PB＝x.
B．4 6π
C．2 6π
D． 6π
[解题指导] 通过线面垂直定理→得到三棱两两互相垂直关系→快速得到侧棱长→进而补
体成正方体解决．
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球与几何体的切、接问题
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答案：D 解析：方法一：如图，连接CE，CF.∵PA＝PB＝PC，△ABC为边长为2的等 边 三 角 形 ， ∴PABC 为 正 三 棱 锥 ， ∴PB⊥AC. 又 E ， F 分 别 为 PA ， AB 的 中 点，∴EF∥PB，∴EF⊥AC.又EF⊥CE，CE∩AC＝C，∴EF⊥平面PAC， ∴PB⊥平面PAC，
解析：∵AB＝AC＝2 3且∠BAC＝23π，
∴BC2＝AB2＋AC2－2AB·ACcos23π＝36，
∴BC＝6.
由正弦定理可得△ABC 外接圆半径 r＝2sinB∠CBAC＝2si6n23π＝2 3，
∴三棱柱 ABCபைடு நூலகம்A1B1C1 的外接球半径 R＝ ∴外接球表面积 S＝4πR2＝64π.
r2＋12AA12＝ 12＋4＝4，