人教版七年级数学下册第五章平行线的性质复习试题(含答案) (6)

人教版七年级数学下册第五章平行线的性质复习试题（含答
案)
如图，点D是∠ABC内部一点，DE∥AB交BC于点E．请你画出射线DF，并且DF∥BC；判断∠B与∠EDF的数量关系，并证明．
【答案】∠B与∠EDF相等或互补，证明详见解析
【解析】
【分析】
如图1：利用平行线的性质得到∠B＝∠DEC，∠EDF＝∠DEC，然后利用等量代换得到∠B＝∠EDF；如图2，利用平行线的性质得到∠B＝∠DEC，
∠EDF+∠DEC＝180°，然后利用等量代换得到∠EDF+∠B＝180°．【详解】
解：∠B与∠EDF相等或互补．
理由如下：
如图1：∵DE∥AB（已知）
∴∠B＝∠DEC（两直线平行，同位角相等）
∵DF∥BC（已知）
∴∠EDF＝∠DEC（两直线平行，内错角相等）
∴∠B＝∠EDF（等量代换）；
如图2，
∵DE∥AB（已知）
∴∠B＝∠DEC（两直线平行，同位角相等）
∵DF∥BC（已知）
∴∠EDF+∠DEC＝180°（两直线平行，同旁内角互补）
∴∠EDF+∠B＝180°（等量代换），
综上所述，∠B与∠EDF相等或互补．
【点睛】
此题考查作图-复杂作图，平行线的性质，解题的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．52．按要求完成下列证明：
已知：如图，在△ABC中，CD⊥AB于点D，E是AC上一点，且∠1+∠2＝90°．
求证：DE∥BC．
证明：∵CD⊥AB（已知），
∴∠1+ ＝90°（）．
∵∠1+∠2＝90°（已知），
∴＝∠2（）．
∴DE∥BC（）．
【答案】∠EDC；垂直定义；∠EDC；同角的余角相等；内错角相等，两直线平行．
【解析】
【分析】
直接利用平行线的判定方法结合垂直的定义分析得出答案．
【详解】
证明：∵CD⊥AB（已知），
∴∠1+∠EDC＝90°（垂直定义）．
∵∠1+∠2＝90°（已知），
∴∠EDC＝∠2（同角的余角相等）．
∴DE∥BC（内错角相等，两直线平行）．
故答案为：∠EDC；垂直定义；∠EDC；同角的余角相等；内错角相等，两直线平行．
【点睛】
此题考查平行线的判定，正确掌握平行线的判定方法是解题关键．
53．完成下列证明过程，并在括号内填上依据．
如图，点E在AB上，点F在CD上，∠1＝∠2，∠B＝∠C，求证AB∥CD．证明：∵∠1＝∠2（已知），∠1＝∠4（），
∴∠2＝（等量代换），
∴∥BF（），
∴∠3＝∠（）．
又∵∠B＝∠C（已知），
∴∠3＝∠B（），
∴AB∥CD（）．
【答案】见详解
【解析】
【分析】
由等量代换得∠2=∠4，根据平行线的判定定理和性质定理得∠3=∠C，从而得∠3＝∠B，进而即可得到结论．
【详解】
∵∠1＝∠2（已知），∠1＝∠4（对顶角相等），
∴∠2＝∠4 （等量代换），
∴CE∥BF（同位角相等，两直线平行），
∴∠3＝∠ C （两直线平行，同位角相等）．
又∵∠B＝∠C（已知），
∴∠3＝∠B（等量代换），
∴AB∥CD（内错角相等，两直线平行）．
【点睛】
本题主要考查平行线的判定和性质定理，掌握“两直线平行同位角相等”，“内错角相等，两直线平行”，“同位角相等，两直线平行”，是解题的关键．
54．如图1，//PQ MN ，点A ，B 分别在MN ，QP 上，2BAM BAN ∠=∠射线AM 绕A 点顺时针旋转至AN 便立即逆时针回转，射线BP 绕B 点顺时针旋转至BQ 便立即逆时针回转．射线AM 转动的速度是每秒2度，射线BQ 转动的速度是每秒1度．
（1）直接写出QBA ∠的大小为_______；
（2）射线AM 、BP 转动后对应的射线分别为AE 、BF ，射线BF 交直线MN 于点F ，若射线BP 比射线AM 先转动30秒，设射线AM 转动的时间为t ()0180t <<秒，求t 为多少时，直线//BF 直线AE ？
（3）如图2，若射线BP 、AM 同时转动m ()090m <<秒，转动的两条射线交于点C ，作120ACD ∠=︒，点D 在BP 上，请探究BAC ∠与BCD ∠的数量关系．
【答案】（1）60°；（2）当30t =秒或110秒时//BF 直线AE ；（3）BAC ∠和BCD ∠关系不会变化，2BAC BCD ∠=∠．
【解析】
【分析】
(1)根据2BAM BAN ∠=∠得到60BAN ∠=︒，再根据直线平行的性质即可得
到答案；
(2)设灯转动t 秒，直线//BF 直线AE ，分情况讨论重合前平行、重合后平行即可得到答案；
(3)根据补角的性质表示出BAC ∠，再根据三角形内角和即可表示出BCD ∠，即可得到答案；
【详解】
解：（1）∵2BAM BAN ∠=∠
180BAM BAN ∠+∠=︒，
∴60BAN ∠=︒，
∴QBA ∠60BAN =∠=︒（两直线平行，内错角相等）
故结果为：60︒；
（2）设灯转动t 秒，直线//BF 直线AE ，
①当090t <<时，如图，
//PQ MN ，
PBF BFA ∴∠=∠，
//AE BF ，
EAM BFA ∴∠=∠，
EAM PBF ∴∠=∠，
21(30)t t ∴=⋅+，
解得30t =；
②当90180t <<时，如图，
//PQ MN ，180PBF BFA ∴∠+∠=︒，
//AE BF ，EAN BFA ∴∠=∠
180PBF EAN ∴∠+∠=︒，1(30)(2180)180t t ∴⋅++-=，
解得110t =，
综上所述，当30t =秒或110秒时//BF 直线AE ；
（3）BAC ∠和BCD ∠关系不会变化，
理由：设射线AM 转动时间为m 秒，
作//CH PQ ，//PQ MN ，////CH PQ MN ∴，
2180QBC ∴∠+∠=︒，1180MAC ∠+∠=︒，
21360QBC MAC ∴∠+∠+∠+∠=︒，
180QBC m ∠=︒-，2MAC m ∠=，
()123601802180BCA m m m ∴∠=∠+∠=---=︒︒-︒，
而120ACD ∠=︒，
()12012018060BCD BCA m m ︒︒∴∠=-∠=--=-︒︒，
1802CAN m ∠=︒-，
()18022120BAC QBA m m ︒︒∴∠=∠--=-，
:2:1BAC BCD ∴∠∠=，
即2BAC BCD ∠=∠，
BAC ∴∠和BCD ∠关系不变．
【点睛】
本题主要考查了补角、角的运算、直线平行的性质和判定以及三角形的内角和定理，结合图形添加辅助线、分类讨论是解题的关键．
55．完成下列证明：如图，已知AD BC ⊥，EF BC ⊥，12∠=∠．
求证：180BAC AGD ∠+∠=︒．
证明：AD BC ⊥，EF BC ⊥（已知）
90EFB ∴∠=︒，90ADB ∠=︒（_____________________）
EFB ADB ∴∠=∠（等量代换）
//EF AD ∴（_______________________）
1BAD ∴∠=∠（__________________________）
又12∠=∠（已知）
∴∠_______=∠________（等量代换）
//DG BA ∴（_____________________________）
180BAC AGD ∴∠+∠=︒（____________________）．
【答案】详见解析
【解析】
【分析】
先证明∠=∠EFB ADB 得到//EF AD ，再证明2BAD ∠=∠得到//DG BA ，根据直线平行的性质即可得到答案．
【详解】
解：AD BC ⊥，EF BC ⊥（已知），
90EFB ∴∠=︒，90ADB ∠=︒（垂直定义），
EFB ADB ∴∠=∠（等量代换）
， //EF AD ∴（同位角相等，两直线平行），
1BAD ∴∠=∠（两直线平行，同位角相等），
又12∠=∠（已知），
2BAD ∴∠=∠（等量代换），
//DG BA ∴（内错角相等，两直线平行），
180BAC AGD ∴∠+∠=︒（两直线平行，同旁内角互补）．
【点睛】
本题主要考查了直线平行的判定和等量替换的运用，熟练掌握平行的判定和性质是解题的关键．
56．已知，如图，EF⊥AC于F，DB⊥AC于M，⊥1=⊥2，⊥3=⊥C，求证：AB⊥MN．
【答案】见解析
【解析】
【分析】
由于EF⊥AC，DB⊥AC得到EF∥DM，进而可证∠1=∠CDM，根据平行线的判定得到MN∥CD，再由∠3=∠C，可证AB//CD，然后根据平行线的判定即可得到AB∥MN．
【详解】
证明：∵EF⊥AC，DB⊥AC，
∴EF∥DM，
∴∠2=∠CDM，
∵∠1=∠2，
∴∠1=∠CDM，
∴MN∥CD，
∵∠3=∠C，
∴AB//CD，
∴AB∥MN．
【点睛】
本题主要考查了平行线的性质与判定的综合应用，熟练掌握平行线的性质与判定方法是解答本题的关键．解题时注意：平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系，平行线的性质是由平行关系来寻找角的数量关系．57．在一次数学课上，李老师让同学们独立完成课本第23页第七题选择题（2）如图1，如果AB∥CD∥EF，那么∠BAC+∠ACE+∠CEF＝（）A．180°B．270°C．360°D．540°
（1）请写出这道题的正确选项；
（2）在同学们都正确解答这道题后，李老师对这道题进行了改编：如图2，AB∥EF，请直接写出∠BAD，∠ADE，∠DEF之间的数量关系．（3）善于思考的龙洋同学想：将图1平移至与图2重合（如图3所示），当AD，ED分别平分∠BAC，∠CEF时，∠ACE与∠ADE之间有怎样的数量关系？请你直接写出结果，不需要证明．
（4）彭敏同学又提出来了，如果像图4这样，AB∥EF，当∠ACD=90°时，∠BAC、∠CDE和∠DEF之间又有怎样的数量关系？请你直接写出结果，不需要证明．
【答案】（1）C；（2）BAD DEF ADE
∠+∠=∠；（3）2360
C ADE
∠+∠∠=︒；（4）BAC DEF CDE
90
【解析】
【分析】
（1）利用平行线的性质，即可得到180A ACD ∠+∠=︒，
180E ECD ∠+∠=︒，进而得出360BAC ACE CEF ；
（2）过D 作//DG AB ，利用平行线的性质，即可得到A ADG ，E EDG ，进而得出A E ADG EDG ADE ； （3）利用（1）可得360BAC C CEF ，利用（2）可得D
BAD DEF ，根据AD ，ED 分别平分BAC ∠，CEF ∠，即可得到22360BAD
C DEF ,化简即可得到ACE ∠与ADE ∠之间的数量关系；
（4）过C 作//CG AB ，过D 作//DH AB ，则有//////CG AB EF DH ，可得1180BAC ， 23∠∠=，4DEF
，34CDE ，则有1180BAC ，可求出3
90BAC ，利用34CDE ，4DEF ，得到
90BAC DEF CDE ． 【详解】
解：（1）
////AB CD EF ，
180A ACD ，180E ECD ∠+∠=︒， 360A ACD
E ECD ， 即360BAC
ACE CEF ， 故选：C ．
（2）BAD DEF ADE ∠+∠=∠，
如图，过D 作//DG AB ，
//AB EF ，
////DG AB EF ∴，
A ADG ，E EDG ， A E ADG EDG ADE ；
（3）2360C ADE ∠+∠∠=︒，
理由：由（1）可得，360BAC
C CEF ， 由（2）可得，D
BAD DEF ， 又AD ，ED 分别平分BAC ∠，CEF ∠，
2BAC AD B ，2CEF DEF ， 22360BAD C DEF
， 即2()360BAD
DEF C ， 2360ACE ADE ．
（4）90BAC DEF CDE ，
理由：如图，过C 作//CG AB ，过D 作//DH AB ，
//AB EF ，
//////CG AB EF DH ，
∴1180BAC
， 23∠∠=，4DEF ，34CDE
∴1180BAC ∴1290∠+∠=，
∴3
29019018090BAC BAC ， ∴3490
BAC DEF CDE ， 即有：90BAC
DEF CDE ． 【点睛】
本题主要考查了平行线的性质，解题时注意：两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补．
58．如图，CD ⊥AB 于D ，点F 是BC 上任意一点，FE ⊥AB 于E ，且∠1＝∠2．求证：∠3=∠ACB ．
下面给出了部分证明过程和理由，请补全所有内容．
证明：∵CD ⊥AB ，FE ⊥AB
∴∠BDC=∠BEF=90°（ ）
∴EF ∥DC （ ）
∴∠2= （ ）
又∵∠2=∠1（已知）
∴∠1= （等量代换）
∴DG ∥BC （ ）
∴∠3=∠ACB （两直线平行，同位角相等）
【答案】垂直定义，同位角相等，两直线平行，DCB ∠，两直线平行，同位角相等，DCB ∠，内错角相等，两直线平行
【解析】
【分析】
由FE 与CD 都与AB 垂直得到EF 平行于CD ，利用两直线平行同位角相等得到2DCB =∠∠，根据12∠=∠，等量代换得到1DCB ∠=∠，利用内错角相等两直线平行得到DG 与BC 平行，利用两直线平行同位角相等得到3ACB ．
【详解】
解：CD AB ⊥，FE AB ⊥（已知） 90BEF BDC ∴∠=∠=︒ （垂直定义）
//EF DC ∴ （同位角相等，两直线平行）
2DCB （两直线平行，同位角相等）
又21∠=∠（已知）
1DCB （等量代换）
//DG BC ∴（内错角相等，两直线平行）
3ACB
∴∠=∠（两直线平行，同位角相等）
∠，两直线平行，同故答案为：垂直定义，同位角相等，两直线平行，DCB
∠，内错角相等，两直线平行．
位角相等，DCB
【点睛】
此题考查了平行线的判定与性质，熟练掌握平行线的判定与性质是解本题的关键．
59．（1）如图1，AB∥CD，∠A=38°，∠C=50°，求∠APC的度数．（提示：作PE∥AB）．
（2）如图2，AB∥DC，当点P在线段BD上运动时，∠BAP=∠α，
∠DCP=∠β，求∠CPA与∠α，∠β之间的数量关系，并说明理由．（3）在（2）的条件下，如果点P在段线OB上运动，请你直接写出∠CPA 与∠α，∠β之间的数量关系______．
【答案】（1）88°（2）∠APC＝∠α＋∠β，理由见解析（3）∠APC＝∠β-∠α【解析】
【分析】
（1）过点P作PE∥AB，通过平行线性质来求∠APC．
（2）过P作PE∥AD交AC于E，推出AB∥PE∥DC，根据平行线的性质得出∠α＝∠APE，∠β＝∠CPE，即可得出答案；
（3）若P在段线OB上，画出图形，根据平行线的性质得出∠α＝∠APE，
∠β＝∠CPE，依据角的和差关系即可得出答案．【详解】
（1）如图1，过P作PE∥AB，
∵AB∥CD，
∴PE∥AB∥CD，
∴∠A＝∠APE，∠C＝∠CPE，
∵∠A=38°，∠C=50°，
∴∠APE＝38°，∠CPE＝50°，
∴∠APC＝∠APE＋∠CPE＝38°＋50°＝88°；
（2）∠APC＝∠α＋∠β，
理由是：如图2，过P作PE∥AB，交AC于E，
∵AB∥CD，
∴AB∥PE∥CD，
∴∠APE＝∠PAB＝∠α，∠CPE＝∠PCD＝∠β，∴∠APC＝∠APE＋∠CPE＝∠α＋∠β；
（3）如图3，过P作PE∥AB，交AC于E，
∵AB∥CD，
∴AB∥PE∥CD，
∴∠PAB＝∠APE＝∠α，∠PCD＝∠CPE＝∠β，
∵∠APC＝∠CPE-∠APE，
∴∠APC＝∠β-∠α．
故答案为：∠APC＝∠β-∠α．
【点睛】
本题主要考查了平行线的性质，解题时注意：两直线平行，内错角相等；作平行线构造内错角是解决问题的关键．
60．如图，点O 在直线AB 上，OC⊥OD，∠EDO 与∠1 互余．
(1)求证：ED//AB；
(2)OF 平分∠COD 交DE 于点F，若∠OFD=70︒，补全图形，并求∠1 的度数．
【答案】（1）见解析；（2）图见解析，25°
【解析】
【分析】
（1）根据余角的性质得出∠EDO=∠BOD，进而得出答案；
（2）利用角平分线的定义结合已知得出∠COF=1
∠COD=45°，进而得出
2
答案．
【详解】
（1）证明：∵∠EDO与∠1互余，
∴∠EDO+∠1=90°，
∵OC⊥OD，
∴∠COD=90°，
∴∠1+∠BOD=90°，
∴∠EDO=∠BOD，
∴ED∥AB；
（2）解：如图所示：
∵ED∥AB，
∴∠AOF=∠OFD=70°，
∵OF平分∠COD，
∴∠COF=1
2
∠COD=45°，
∴∠1=∠AOF-∠COF=25°．
【点睛】
此题主要考查了平行线的判定与性质，以及角平分线的作法与定义，熟练掌握平行线的判定与性质是解题关键．。