四川省广元市旺苍县双汇中学2020-2021学年高二数学理月考试卷含解析

四川省广元市旺苍县双汇中学2020-2021学年高二数学理月考试卷含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 已知为等比数列，，，则（）
A. B. C.
D.
参考答案：
D
2. 有三个球，一个球内切于正方体的各个面，另一个球切正方体的各条棱，第三个球过正方体的各个顶点（都是同一正方体），则这三个球的体积之比为（）
参考答案：
C
略
3. 在极坐标系中，以极点为坐标原点，极轴为x轴正半轴，建立直角坐标系，点M（2，）的直角坐标是（）
A．（2，1） B．（，1） C．（1，）D．（1,2）
参考答案：
B
4. （5分）平面内，“动点P到两个定点的距离之和为正常数”是“动点P的轨迹是椭圆”的（）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
参考答案：
B
考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：简易逻辑．
分析：根据椭圆的性质以及充分条件和必要条件的定义进行判断即可．
解答：解：若动点P到两个定点|AB|的距离之和为正常数2a，当2a≤|AB|时，动点P的轨迹是线段AB，或不存在，故充分性不成立，
若动点P的轨迹是椭圆，则满足，“动点P到两个定点的距离之和为正常数”，必要性成立，
故平面内，“动点P到两个定点的距离之和为正常数”是“动点P的轨迹是椭圆”的必要不充分条件，
故选：B
点评：本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据椭圆的定义和性质是解决本题的关键．
5. 已知为平面内两定点,过该平面内动点作直线的垂线,垂足为.若,其中为常数,则动点的轨迹不可能是（）
A．圆B．椭圆C．抛物线D．双曲线
参考答案：
C
6. 若f（x）为奇函数，且x0是y=f（x）﹣e x的一个零点，则下列函数中，﹣x0一定是其零点的函数是（）
A．y=f（﹣x）?e﹣x﹣1 B．y=f（x）?e x+1 C．y=f（x）?e x﹣1 D．y=f（﹣x）?e x+1
参考答案：
B
【考点】52：函数零点的判定定理．
【分析】根据题意，x0是y=f（x）﹣e x的一个零点，则有f（x0）=，结合函数的奇偶性依次分析选项，验证﹣x0是不是其零点，即可得答案．
【解答】解：根据题意，x0是y=f（x）﹣e x的一个零点，则有f（x0）=，
依次分析选项：
对于A、y=f（﹣x）?e﹣x﹣1，将x=﹣x0代入可得：y=f（x0）﹣1≠0，不符合题意；
对于B、y=f（x）?e x+1，将x=﹣x0代入可得：y=f（﹣x0）+1=﹣?+1=0，即﹣x0
一定是
其零点，符合题意，
对于C、y=f（x）?e x﹣1，将x=﹣x0代入可得：y=f（﹣x0）﹣1=﹣?﹣1≠0，不符合题意；
对于D、y=f（﹣x）?e x+1，将x=﹣x0代入可得：y=f（x0）+1=?+1≠0，不符合题意；故选：B．
7. 在坐标平面内,与点A(1,2)的距离为1,且与点B(3,1)的距离为2的直线共有( )
A.1条
B.2条
C.3条
D.4条
参考答案：
B
8. 直线和直线的位置关系是()
A．相交但不垂直B．垂直 C．平行D．重合
参考答案：
B
略
9. 已知复数，则的虚部是（）
A. B. C. 2 D.
参考答案：
D
【分析】
由复数，求得，即可得到复数的虚部，得到答案.
【详解】由题意，复数，则，所以复数的虚部为，故选D.
【点睛】本题主要考查了复数及共轭复数的概念，其中解答中熟记复数的基本概念是解答本题的关键，着重考查了求解能力，属于基础题.
10. 如果点P在平面区域上，点Q在曲线x2＋(y＋2)2＝1上，那么|PQ|的最大值为( )．
A.5
B. C．2+1
D. －1参考答案：
A
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 不等式3x-3x+2的解集是_____________
参考答案：
略
12. 过点（1，2）且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程．
参考答案：
2x﹣y=0或x+y﹣3=0
【考点】直线的两点式方程．
【分析】分两种情况考虑，第一：当所求直线与两坐标轴的截距不为0时，设出该直线的方程为
x+y=a，把已知点坐标代入即可求出a的值，得到直线的方程；第二：当所求直线与两坐标轴的截距为0时，设该直线的方程为y=kx，把已知点的坐标代入即可求出k的值，得到直线的方程，综上，得到所有满足题意的直线的方程．
【解答】解：①当所求的直线与两坐标轴的截距不为0时，设该直线的方程为x+y=a，
把（1，2）代入所设的方程得：a=3，则所求直线的方程为x+y=3即x+y﹣3=0；
②当所求的直线与两坐标轴的截距为0时，设该直线的方程为y=kx，
把（1，2）代入所求的方程得：k=2，则所求直线的方程为y=2x即2x﹣y=0．
综上，所求直线的方程为：2x﹣y=0或x+y﹣3=0．
故答案为：2x﹣y=0或x+y﹣3=0
13. 不等式的解集是________.
参考答案：
{X\X＜－2}
略
14. 已知两圆和相交于A，B两点，则直线AB的方程
为
．
参考答案：
略
15. 比较大小：
参考答案：
16.
点
是直线上的动点，点分别是圆和圆上的两个动点，则的最小值为
参考答案：
17. 已知椭圆的短半轴长为1，离心率e
满足，则长轴长的取值范围是______．
参考答案：
【分析】
将用表示出来，然后根据的范围求解即可得到结论．【详解】∵b＝1，
∴，
又，
∴，
∴，整理得，
解得．
∴，
∴长轴长的取值范围为．
故答案为．【点睛】本题考查椭圆中基本量间的运算，解题时注意灵活运用和间的关系，属于基础题．
三、解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. 如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB⊥侧面BB1C1C，AB1与A1B相交于点D，E是CC1上的点，且DE∥平面ABC，BC=1，BB1=2．
（Ⅰ）证明：B1E⊥平面ABE
（Ⅱ）若异面直线AB和A1C1所成角的正切值为，求二面角A﹣B1E﹣A1的余弦值．
参考答案：
【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的判定．
【分析】（Ⅰ）推导出B1E⊥AB，BE⊥B1E，由此能证明B1E⊥平面ABE．
（Ⅱ）由AC∥A1C1，知∠BAC（或∠BAC的补角）是异面直线AB和A1C1所成角，以B为原点，BC为x轴，BB1为y轴，BA为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角A﹣B1E﹣A1的余弦值．
【解答】证明：（Ⅰ）∵在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB⊥侧面BB1C1C，B1E?面BB1C1C，
∴B1E⊥AB，
∵AB1与A1B相交于点D，∴D是AB1的中点，
取BB1中点O，连结DO，EO，则DO∥平面ABC，
∵DE∥平面ABC，DE∩DO=D，
∴平面DEO∥平面ABC，
∴OE∥BC，∴E是CC1的中点，
∴BE=B1E==，
∴BE2+B1E2=BB12，∴BE⊥B1E，
∵BE∩AB=B，∴B1E⊥平面ABE．
解：（Ⅱ）∵AC∥A1C1，
∴∠BAC（或∠BAC的补角）是异面直线AB和A1C1所成角，
∵在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB⊥侧面BB1C1C，
∴AB⊥BC，∵异面直线AB和A1C1所成角的正切值为，
∴tan=，
∵BC=1，BB1=2，∴AB=，
以B为原点，BC为x轴，BB1为y轴，BA为z轴，建立空间直角坐标系，E（1，1，0），A（0，0，），B1（0，2，0），A1（0，2，），=（﹣1，﹣1，），=（﹣1，1，0），=（﹣1，1，），设平面AB1E的法向量=（x，y，z），
则，取x=，得=（，2），
设平面A1B1E的法向量=（a，b，c），
则，取a=1，得=（1，1，0），
设二面角A﹣B1E﹣A1的平面角为θ，
则cosθ===．
∴二面角A﹣B1E﹣A1的余弦值为．19. 已知正项数列{a n}首项为2，其前n项和为S n，满足2S n－S n-1＝4 (n∈N*，n≥2)．
（1）求,的值；
（2）求数列{a n}的通项公式；
（3）设(n∈N*)，数列{b n·b n＋2}的前n项和为T n，求证：T n<.
参考答案：
(1) ,;(2) .(3)见解析.
【分析】
（1）由递推条件取n=2,3可得.（2）由递推条件迭代，两式相减得到数列相邻两项的关系，判断为等比数列，可得通项公式.（3）利用裂项消去法对求和化简，可证不等式成立.
【详解】(1),;
(2) 由2S n－S n-1＝4，
得2S n-1－S n-2＝4(n∈N*，n≥3)，
解得(n∈N*，n≥3)，
又，
所以数列{a n}是首项为2，公比为的等比数列．
故.
(3)证明：因为,
所以.
故数列的前n项和
.
【点睛】本题考查数列通项与前n项和的求法，要求掌握通项与前n项和的关系
，将进行裂项变形是求和的关键，考查计算能力，属于中档题.
20. 在平面直角坐标系xoy中，已知圆C1：（x+3）2+（y﹣1）2=4和圆C2：（x﹣4）2+（y﹣5）2=4（1）若直线l过点A（4，0），且被圆C1截得的弦长为2，求直线l的方程
（2）设P为平面上的点，满足：存在过点P的无穷多对互相垂直的直线l1和l2，它们分别与圆C1和C2相交，且直线l1被圆C1截得的弦长与直线l2被圆C2截得的弦长相等，求所有满足条件的点P的坐标．
参考答案：
【考点】直线和圆的方程的应用；直线的一般式方程．
【专题】综合题．
【分析】（1）因为直线l过点A（4，0），故可以设出直线l的点斜式方程，又由直线被圆C1截得的弦长为2，根据半弦长、半径、弦心距满足勾股定理，我们可以求出弦心距，即圆心到直线的距离，得到一个关于直线斜率k的方程，解方程求出k值，代入即得直线l的方程．
（2）与（1）相同，我们可以设出过P点的直线l1与l2的点斜式方程，由于两直线斜率为1，且直线l1被圆C1截得的弦长与直线l2被圆C2截得的弦长相等，故我们可以得到一个关于直线斜率k的方程，解方程求出k值，代入即得直线l1与l2的方程．
【解答】解：（1）由于直线x=4与圆C1不相交；
∴直线l的斜率存在，设l方程为：y=k（x﹣4）
圆C1的圆心到直线l的距离为d，∵l被⊙C1截得的弦长为2
∴d==1d=从而k（24k+7）=0即k=0或k=﹣
∴直线l的方程为：y=0或7x+24y﹣28=0
（2）设点P（a，b）满足条件，
由题意分析可得直线l1、l2的斜率均存在且不为0，
不妨设直线l1的方程为y﹣b=k（x﹣a），k≠0
则直线l2方程为：y﹣b=﹣（x﹣a）
∵⊙C1和⊙C2的半径相等，及直线l1被圆C1截得的弦长与直线l2被圆C2截得的弦长相等，
∴⊙C1的圆心到直线l1的距离和圆C2的圆心到直线l2的距离相等
即=
整理得|1+3k+ak﹣b|=|5k+4﹣a﹣bk|
∴1+3k+ak﹣b=±（5k+4﹣a﹣bk）即（a+b﹣2）k=b﹣a+3或（a﹣b+8）k=a+b﹣5
因k的取值有无穷多个，所以或
解得或
这样的点只可能是点P1（，﹣）或点P2（﹣，）
【点评】在解决与圆相关的弦长问题时，我们有三种方法：一是直接求出直线与圆的交点坐标，再利用两点间的距离公式得出；二是不求交点坐标，用一元二次方程根与系数的关系得出，即设直线的斜率为k，直线与圆联立消去y后得到一个关于x
的一元二次方程再利用弦长公式求解，三是利用圆中
半弦长、弦心距及半径构成的直角三角形来求．对于圆中的弦长问题，一般利用第三种方法比较简捷．本题所用方法就是第三种方法．
21. 伴随着智能手机的深入普及，支付形式日渐多样化，打破了传统支付的局限性和壁垒，有研究表明手机支付的使用比例与人的年龄存在一定的关系，某调研机构随机抽取了50人，对他们一个月内使用手机支付的情况进行了统计，如表：
（1）若以“年龄55岁为分界点”，由以上统计数据完成下面的2×2列联表，并判断是否有99%的把握认为“使用手机支付”与人的年龄有关；
（2）若从年龄在[55，65），[65，75）内的被调查人中各随机选取2人进行追踪调查，记选中的4人中“使用手机支付”的人数为ξ，求随机变量ξ的分布列与数学期望； 参考数据如下：
参考格式：，其中
参考答案：
（1）详见解析；（2）详见解析.
【分析】
（1）根据题中的数据补充2×2列联表，计算出的值，根据临界值表找出犯错误的概率，于此可对
题中的问题下结论； （2）先确定年龄在
和
的人数，可得知的取值有0、1、2、3，然后利用超几何分布
列的概率公式计算概率，列出随机变量的分布列，并计算出的数学期望。

【详解】（1）根据题意填写2×2列联表，如下； 根据表中数据，计算K 2的观测值
，
所以有99%的把握认为“使用手机支付”与人的年龄有关； （2）由题意可知ξ所有可能取值有0，1，2，3；
， ，
，
.
所以ξ的分布列是：
ξ的数学期望是．
【点睛】本题第（1）问考查独立性检验，关键在于列出2×2列联表并计算出
的观测值，第（2）
问考查离散型随机分布列与数学期望，这类问题首先要弄清楚随机变量所服从的分布列，并利用相关
公式进行计算，属于常考题型，考查计算能力，属于中等题。

22. 已知数列{a n}为等比数列，，是和的等差中项.
（1）求数列{a n}的通项公式；
（2）设，求数列{b n}的前n项和T n.
参考答案：
(1) ，；(2) .
【分析】
（1）根据等比数列通项公式和等差中项性质，可得关于的方程，解方程可得公比，再求得首项，即可得数列的通项公式。

（2）根据（1）得到的的通项公式，代入可得的通项公式。

分类讨论n的奇偶，即可分情况求得前n项和。

【详解】（1）设数列的公比为，因为，所以，，
因为是和的等差中项，所以.
即，化简得，
因为公比，所以，
因，所以
所以，；
（2）
当为偶数时，前项和；
当为奇数时，前项和；则.
【点睛】本题考查了等差数列的概念、等比数列的通项公式，含奇偶项分类讨论的前n项和求法，属于中档题。