湖南新化四中2007学年高三第二次月考(数学文)

2007年下学期新化四中高三第二次月考
数学试题（文科）
命题范围：第一章 集合与简易逻辑，第二章 函数，第三章 数列 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷两部分..共150分，考试时间120分钟.
第Ⅰ卷(选择题 共60分)
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合{}R x x x M ∈≤-=,2|1||，
⎭⎬
⎫
⎩⎨⎧∈≥+=Z x x x P ,115|，则P M 等于( ) A ．{}R x x x ∈≤<,30| B ．{}Z x x x ∈≤≤,30| C ．{}R x x x ∈≤≤-,01| D ．{}Z x x x ∈<≤-,01| 2.如果
1
2log 2log =+>b a b a 且，那么（ ）
A.10<<<b a
B.10<<<a b
C.b a <<1
D.a b <<1
3.若不等式
)
21
,0(0log 2在<-x x a 内恒成立，则a 的取值范围是（ ） A.1161<≤a B.1161<<a C.1610≤<a D.161
0<
<a 4.已知关于x 的方程a a
x lg 1lg 1)4
1(-+=
有正根，则实数a 的取值范围是（ ） A.),10()1,0(+∞ B.)1,0( C.)1,101( D.)
10,101
(
5. 等比数列
{}n a 中，4738512,124,a a a a ⋅=-+=且公比q 为整数,则10a 等于( )
A.-512
B.512
C.4096
D.-4096 6．在数列
{}n a 中，
114
a =，且
1332
n n a a +=+，则使
2
n n a a +⋅<0，
成立的n 值是 （ ）
A ．22或21 B.21 C.22 D.23
7.已知 ,x y R +
∈，且12,,,x a a y 成等差数列，12,,,x b b y 成等比数列，那么
2
1212()a a b b +⋅的取值范围是（ ）
A ．
()0,+∞ B.[)4,+∞ C. (]0,4 D. []2,4
8不等式
11
1->
-x x 的解集是（ ）
A.}2|{>x x
B.2|{>x x 或}2-<x
C.}22|{<<-x x
D.2|{>x x 或}10<<x
9.设函数)10()(≤≤+=x b ax x f ，则02>+b a 是0)(>x f 恒成立的（ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分又不必要条件. 10．已知函数f （x ）定义域为R ，则下列命题:
① y ＝f （x ）为偶函数, 则y ＝f （x ＋2 ）的图象关于y 轴对称. ② y ＝f （x ＋2 ）为偶函数, 则y ＝f （x ）关于直线x ＝2对称.
③ 若函数f （2x ＋1）是偶函数, 则f （2x ）的图象关于直线
21
=
x 对称.
④ 若f （x －2 ）＝f （2－x ）, 则y ＝f （x ）关于直线x ＝2对称. ⑤ y ＝f （ x －2 ） 和y ＝f （2－x ）的图象关于x ＝2对称. 其中正确的命题序号是 （ ）
A ． ①②④
B ． ①③④
C ． ②③⑤
D ． ②③④
第Ⅱ卷 (非选择题 共90分)
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.把答案填在题中的横线上.
11定义R 在上的奇函数),0()(+∞在x f 上是增函数，且,0)1(=f 则满足0)()2(<-x f x 的
x 的取值范围是 .
12已知(2)x
f 的定义域是[]1,1-，则函数2(lo
g )f x 的定义域为 .
13．数列{a n }中，若a 1＝5, a n ＝S n －1 (n ≥2)，则a n 等于 .
14设等比数列{}n a 的前n 项和为n s ,若3692s s s +=,则数列的公比q 等于 . 15．给出下列命题: ①若命题p:”x >1” 是真命题,则命题q:”x ≥1”是真命题; ②函数
y=2—x
（x>0）的反函数是y=-logx （x>0）;③等差数列{}n a 的前n 项和记作S n ，若
1542a a a ++的值为一个确定的常数，则S 13也是常数；④“a ≠1或b ≠5”充分不必要
条件是“a+b ≠6”,其中所有真命题的序号是 ________________.
2007年下学期新化四中高三第二次月考数学试题（文科）答卷 一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.把答案填在题中的横线上.
11. ________________. 12. ________________. 13. ________________.
14. ________________. 15. ________________.
三、解答题：本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 16.(本小题满分12分)
已知集合222{(1)(1)0},y y a a y a a A =-++++>215
{,03}22
y y x x x B ==-+≤≤，若A B =∅，求实数a 的范围。

17.(本小题满分12分) .
已知数列{a n }为等差数列，公差d ≠0，{a n }中的部分项组成的数列
1k a ,2k a ,3k a ,……,n k a ,……恰为等比数列，其中k 1＝1, k 2＝5, k 3＝17,
(1) 求k n ＝f (n)的解析式； (2) 求k 1＋k 2＋k 3＋……＋k n .
18.(本小题满分13分) 对于]2,1(∈x 关于x 的不等式1)
lg(2lg <+a x ax
总成立，求a 的取值范
围.
19.(本小题满分13分) 已知函数)0(1)(2≤-=x x x f ，数列}{n a 满足)(211
--=n n a f a )
2(≥n 且11-=a .
（1）求数列}{n a 的通项公式； （2）若数列}{n b 的通项n n n a a b +=+11，}{n b 的前n 项之和为n S ，试比较n S 和n a 3
2
的大小.
20.(本小题满分13分)某地区预计明年从年初开始的前x 个月内，对某种商品的需求总量
)(x f （万件）与月份x 的近似关系为：*)(235)(1(150
1
)(N x x x x x f ∈-+=
，且)12≤x ．
（1）写出明年第x 个月的需求量)(x g （万件）与月x 的函数关系，并求出哪个月份的需求量最大，最大需求量是多少？
（2）如果将该商品每月都投放市场p 万件（销售未完的商品都可以在以后各月销售），要保证每月都足量供应，问：p 至少为多少万件？
21.(本小题满分14分) 已知函数2
1
()2
f x ax x c =-
+()a c ∈R 、满足条件：①(1)0f =；②对一切x ∈R ，都有()0f x ≥． （Ⅰ）求a 、c 的值；
（Ⅱ）是否存在实数m ，使函数()()g x f x mx =-在区间[],2m m +上有最小值－5？若存在，请求出实数m 的值；若不存在，请说明理由．
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B A A C B B B D B C 二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.把答案填在题中的横线上. 11. （－1，0）∪（1，2）
12. 4⎤⎦
13. a 1=5, a n =5·2n-2
(n ≥2)
14. 15.①③ 三、解答题：
16.
（2a a ≤≤≤）
17. (1) 依题意，a 1, a 5, a 17成等比数列，有a 52＝a 1a 17, ∴ (a 1＋4d)2
＝a 1(a 1＋16d), ∴ a 1＝2d, 又
1
11541
2a d
a a a a a k k +=
=
＝3, ∴ q ＝3, ∴ n k a ＝1k a ·q n －
1＝a 1q n －
1, 又n k a ＝a 1＋(k n －1)d,
∴a 1q n －
1＝ a 1＋(k n －1)d, a 1＝2d, d ≠0, ∴k n ＝2·3n －
1－1. (2) k 1＋k 2＋k 3＋……＋k n ＝2(30＋31＋32＋……＋3n －
1)－n ＝3n －n －1.
18. 解：由定义知⎪⎩
⎪
⎨⎧>+∴>+>∴∈≠+>+<0)lg(,1,0]2,1(1002a x a x a x a x a x ax 又
原不等式化为a x a a x ax <-+<)12()lg()2lg(得
当12012210->∴<-<
<a a x a a 时]2,1(∈x 不等式总成立，则112≤-a a ， 解得121≥≤x a 或，所以时210<<a ，结论成立；当+
∈=-R x a 时012都成立；
当1201221-<∴<->a a x a a 时]2,1(∈x 不等式总成立，则
212>-a a ， 所以时3221<<a ，结论成立；归纳以上：a 的取值范围是3
20<<a
19.解：.1）25
11
33211501)1()1(=
⨯⨯⨯==f g ．当x ≥2时， )1()()(--=x f x f x g
)237()1(1501
)235)(1(1501x x x x x x -----=
)]23937()23335[(1501
22x x x x x -+---+=⋅
)672(150
1
x x -=⋅
)12(25
1
x x -=
⋅． ∴ *)(12(25
1
)(N x x x x g ∈-=，且)12≤x ．
∵ 25
36
]2)12([251)(2=
-+≤x x x g ． ∴ 当x ＝12-x ，即x ＝6时，25
36
)(max =x g （万件）．故6月份该商品的需求量最大，
最大需求量为24
36
万件．
（2）依题意，对一切∈x {1，2，…，12}有)()()2()1(x f x g g g px =+++≥ ．
∴ )235)(1(150
1
x x p -+≥
（x ＝1，2， (12)
． ∵ )23335(150
1
)(2x x x h -+=
]4
33281369[15012
--=
x ∴ 14.1)8()(max ==h x h ． 故 p ≥1.14．故每个月至少投放1.14万件，可以保证每个月都保证供应．
20.解： (1)由)0(1)(2≤-=x x x f ,得)1(1)(1-≥+-=-x x x f ,
又 )(211--=n n a f a 1)2,1(121
221=-⇒≥-≤+-=⇒--n n n n n a a n a a a ， 所以}{2n a 是首项121
=a ，公差为1的等差数列，故n a n =2即n a n -=. (2)由(1)得)1(11
11n n n
n a a b n n n -+-=++-=+=+，
所
以
)12[(--=n S 1
1)1()23(+-=-+++-+n n n ，令
0113
2
32>++-=-n n a S n
n ,
解得：625144<<n ，所以, 当51≤≤n 时，n n a S 32>；当6≥n 时， n
n a S 32<. 21. 解：（Ⅰ）当0a =时，1
()2f x x c
=-+．
由(1)0f =得：102c -+=，即
12c =
，∴ 11
()22f x x =-+． 显然x ＞1时，
()
f x ＜0，这与条件②相矛盾，不合题意．
∴ 0a ≠，函数
21
()2f x ax x c =-
+是二次函数． …2分
由于对一切x ∈R ，都有()0f x ≥，于是由二次函数的性质可得
20140.2a ac >⎧⎪⎨⎛⎫≤ ⎪⎪⎝⎭⎩，－－ 即 010.(*)
16a ac >⎧⎪⎨≥>⎪⎩
， …4分
由(1)0f =得
12a c +=
，即12c a
=-，代入（*）得 112
16a a ⎛⎫-≥ ⎪⎝⎭． 整理得 2110216a a -+≤，即2
10
4a ⎛⎫-≤ ⎪⎝⎭． 而2
10
4a ⎛⎫-≥ ⎪⎝⎭，∴ 14a =． 将
14a =
代入（*）得，1
4c =
，
∴
1
4a c ==
． …7分
（Ⅱ）∵
14a c ==
， ∴ 2111
()424f x x x =-+
．
∴
2111()()424g x f x mx x m x ⎛⎫
=-=
-++ ⎪⎝⎭
． 该函数图象开口向上，且对称轴为21x m =+． …8分
假设存在实数m 使函数2111()()424g x f x mx x m x ⎛⎫
=-=
-++ ⎪⎝⎭
在区间[],2m m +上有最小值－5．
① 当m ＜－1时，21m +＜m ，函数()g x 在区间
[],2m m +上是递增的，
∴ ()g m ＝－5，即 21115
424m m m ⎛⎫
-++=- ⎪⎝⎭，
解得 m ＝－3或m ＝7
3．
∵ 73＞－1， ∴ m ＝7
3舍去． …10分
② 当－1≤m ＜1时，m ≤21m +＜m ＋1，函数()g x 在区间
[],21m m +上是递减的，
而在区间[]
21,2
m m
++
上是递增的，
∴
()
21
g m+
＝－5，。