天津市南开中学届高三校模拟考试.docx

天津市南开中学2015届高三校模拟考试
数学试卷（文）
说明：1．本试卷分第І卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分，
考试时间120分钟.
2．请将选择题的答案填涂在答题卡上，填空题、解答题答在答题纸上.
第І卷（选择题共40分）
一、 选择题：(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个
选项中，只有一项是符合题目要求的．请将答案填涂在答题卡上．．．．．．．．．．．!) 1. 复数2
2 ()1i i
-（其中i 为虚数单位）的虚部等于( )． A ．i -B ．1-C ．1 D ．0
2. 设集合{|2}A x x =>，若e
e m ln =（e 为自然对数底），则( ).
A.A ∅∈
B.A m ∉C .A m ∈ D.{}m x x A >⊆
3. 某程序框图如图所示，该程序运行后输出的结果
为( )． A . 7 B. 6 C . 5 D .4 4. 在等差数列
{a n }中，若a 2＋a 3＝4，a 4＋a 5＝6，则a 9＋a 10等于( )． A ．9 B ．10 C ．11 D ．12
5.
“a >3”是“函数f (x )＝ax ＋3在(－1,2)上存在
零点”的 ( )． A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件
6. 已知向量a ＝(3，－2)，b ＝(x ，y －1)且a ∥b ，若x ，y 均为正数，则3x ＋2
y 的最小
值是( ). A.53 B.8
3C ．8 D ．24 7.
在如图所示的空间直角坐标系O －xyz 中，
一个四面体的顶点坐标分别是(0,0,2)，(2,2,0)，(1,2,1)，(2,2,2)．给出编号为①②③④的四个图，则该四面体的正视图和俯视图分别为 ( )．
A ．①和②
B ．③和①
C ．④和③
D ．④和②
8. 已知21,F F 分别为双曲线122
22=-b
y a x ()0,0>>b a 的左右焦点，如果双曲线右支上
存在一点P ,使得2F 关于直线1PF 的对称点恰在y 轴上，则该双曲线的离心率e 的取值范围为( ).
A . 3
3
2>e B. 3321<<e C. 3>e D. 31<<e
第Ⅱ卷（非选择题共110分）
二．填空题：(本大题共6小题，每小题5分，共30分．请将答案填在答题纸上．．．．．．．．．．
!)
9. 公共汽车在8：00到8：20内随机地到达某站，某人8:15到达该站，则他能等
到公共汽车的概率为____________．
10. 已知变量x ，y 满足约束条件错误!则z ＝2x ·4y 的最大值为________． 11. 如图，从气球A 上测得正前方的河流的两
岸B ，C 的俯角分别为75°，30°，此时气球的高是60 m ，则河流的宽度BC ＝________m.
12. 如图，P 为圆O 外一点，由P 引圆O 的切线PA 与圆O 切于A 点，引圆O 的割
线PB 与圆O 交于C 点.已知AC AB ⊥，1,2==PC PA .则圆O 的面积为.
第11题第12题
13. 已知1OA =，2OB =，0OA OB ⋅=，点C 在AOB ∠内，且45AOC ∠=︒，设
() O C m O A n O B m n =+∈R ,
，则m
n
的值为________． 14.
已知函数243,0
()22,0
x x x f x x x ⎧++≤⎪=⎨->⎪⎩，若函数
y ＝f (x )－a |x |恰有4个零点，则实数a 的取值范围为________．
三、解答题：（本答题共6小题，15至18小题每题13分，19至20小题每题14分，
共80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15. (本小题满分13分)
随机抽取某中学高三年级甲乙两班各10名同学，测量出他们的身高（单位：cm ），获得身高数据的茎叶图如图，其中甲班有一个数据被污损．
（Ⅰ）若已知甲班同学身高平均数为170cm ，求污损处的数据；
（Ⅱ）现从乙班这10名同学中随机抽取两名身高不低于173cm 的同学，求身高176cm 的同学被抽中的概率． 16.
(本小题满
C
A
P B
分13分)
已知函数f (x )＝2sin ωx ·cos ωx ＋23cos 2ωx －3(其中ω>0)，且函数f (x )的周期为π.(1)求ω的值；
(2)将函数y ＝f (x )的图象向右平移π
4个单位长度，再将所得图象各点的横坐标缩小到原来的12倍(纵坐标不变)得到函数y ＝g (x )的图象，求函数g (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤
－π6，π24上的
单调区间．
17. (本小题满分13分)
如图，四棱锥P －ABCD 的底面ABCD 是平行四边形，BA ＝BD ＝2，AD ＝2，
P A ＝PD ＝5，E ，F 分别是棱AD ，PC 的中点． (1)证明：EF ∥平面P AB ； (2)若二面角P －AD －B 为60°， ①证明：平面PBC ⊥平面ABCD ；
②求直线EF 与平面PBC 所成角的正弦值．
18. (本小题满分13分)
已知各项均为正数的数列{}n a 满足22124n n n n n a a a a a ++++=-（n *∈N ），且
11a =，24a =．
()I 证明：数列{
}
n a 是等差数列；
()II 设1
21
n n n n b a a ++=
，{}n b 的前n 项和为n S ，求证：1n S <． 19. （本小题满分14分）
如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆22221(0)x y a b a b
+=>>的离心率为2
2，
过椭圆右焦点F 作两条互相垂直的弦AB 和CD ，当直线AB 斜率为0时，
32AB CD +=,（1）求椭圆的方程；
（2）求由,,,A B C D 四点构成的四边形的面积的取值范围. 20. (本小题满分14分)
已知函数()ln 2m
f x x x
=+
，()2g x x m =-，其中m ∈R ，e 2.71828=为自然对数的底数．（Ⅰ）当1m =时，求函数()f x 的极小值；
（Ⅱ）对1[,1]e x ∀∈，是否存在1
(,1)2
m ∈，使得()()1>+f x g x 成立？若存在，求
出m 的取值范围；若不存在，请说明理由；
（Ⅲ）设()()()F x f x g x =，当1
(,1)2
m ∈时，若函数()F x 存在,,a b c 三个零点，且
a b c <<，求证：1
01e
a b c <<<<<．
21.
南开中学2015届高三文科数学校模拟参考答案
一、 选择题： 1 2 3 4 5 6 7 8 B C D C A C D A 二、填空题：
（9）41
（10）32（11）120(3－1)
（12）π4
9
（13）2（14）(423-,2)
三、解答题：（本答题共6小题，15至18小题每题13分，19至20小题每题14分，共80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
15.解析：（Ⅰ）15816216316816817017117918210
a x +++++++++=170
=
解得a =179 所以污损处是9
（Ⅱ）设“身高为176 cm 的同学被抽中”的事件为A ，
从乙班10名同学中抽取两名身高不低于173 cm 的同学有：{181,173}，{181,176}，{181,178}，{181,179}，{179,173}，{179,176}，{179,178}，{178,173}，{178,176}，
{176,173}共10个基本事件，而事件A 含有4个基本事件，∴P(A)＝410＝2
5
16.解 (1)因为f (x )＝2sin ωx ·cos ωx ＋23cos 2ωx －3＝sin 2ωx ＋3cos 2ωx ＝2sin ⎝ ⎛
⎭
⎪⎫2ωx ＋π3，
又因为函数f (x )的周期为π，且ω>0， 所以T ＝2π2ω＝π
ω＝π，所以ω＝1.
(2)由(1)知，f (x )＝2sin ⎝ ⎛
⎭
⎪⎫2x ＋π3.
将函数y ＝f (x )的图象向右平移π4个单位后得到函数y ＝2sin2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4＋π
3＝
2sin ⎝ ⎛
⎭⎪⎫2x －π6的图象，再将所得图象各点的横坐标缩小为原来的12倍(纵坐标不变)，
得到函数g (x )＝2sin(4x －π
6)的图象． 由－π2＋2k π≤4x －π6≤π
2＋2k π(k ∈Z )， 得k π2－π12≤x ≤k π2＋π
6(k ∈Z )； 由π2＋2k π≤4x －π6≤3π
2＋2k π(k ∈Z )， 得k π2＋π6≤x ≤k π2＋5π
12(k ∈Z )．
故函数g (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π24上的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤
－π12，π24，单调递减区间为
⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π
6，－π12. 17.(1)证明 如图，
取PB 中点M ，连接MF ，AM .
因为F 为PC 中点，故MF ∥BC 且MF ＝1
2BC .由已
知有BC ∥AD ，BC ＝AD .又由于E 为AD 中点，因而MF ∥AE 且MF ＝AE ，故四边形AMFE 为平行四边形，所以EF ∥AM .又AM ⊂平面P AB ，而EF ⊄平面P AB ，所以EF ∥平面P AB .
(2)①证明 连接PE ，BE .因为P A ＝PD ，BA ＝BD ，而E 为AD 中点，故PE ⊥AD ，BE ⊥AD ，所以∠PEB 为二面角P －AD －B 的平面角．在△P AD 中，由P A ＝PD ＝5，AD ＝2，可解得PE ＝2.在△ABD 中，由BA ＝BD ＝2，AD ＝2，可
解得BE ＝1.在△PEB 中，PE ＝2，BE ＝1，∠PEB ＝60°，由余弦定理，可解得PB ＝3，从而∠PBE ＝90°，即BE ⊥PB .又BC ∥AD ，BE ⊥AD ，从而BE ⊥BC ，因此BE ⊥平面PBC .又BE ⊂平面ABCD ，所以，平面PBC ⊥平面ABCD . ②解 连接BF .由①知，BE ⊥平面PBC ，所以∠EFB 为直线EF 与平面PBC 所成的角．
由PB ＝3及已知，得∠ABP 为直角．而MB ＝12PB ＝32， 可得AM ＝112.故EF ＝11
2.又BE ＝1，
故在直角三角形EBF 中，sin ∠EFB ＝BE EF ＝211
11. 所以，直线EF 与平面PBC 所成角的正弦值为211
11. 18.
（Ⅰ）
22124n n n n n a a a a a +++++=且0n a >
2221)(2)n n n a a a ++∴+=（212n n n a a a ++∴+=
{}n
a ∴
是首项为
1=1a ，公差为211a a -=的等差数列
（Ⅱ）由（Ⅰ）得2
1(1)1,n n a n n a n =+-⨯==
()
()2222
21
11
11n n b n n n n +∴=
=
-++ 222111
1223n S ∴=-+-+…()2
2111n n +-
+ ()
2
1
111n =-<+
19.
（Ⅰ）由题意知，22
c e a
==，
则c b c a ==,2，2322222||||2
=+=+=+∴c c a
b a CD AB ，
所以1c =．所以椭圆的方程为2
212
x y +=．
（Ⅱ）①当两条弦中一条斜率为0时，另一条弦的斜率不存在， 由题意知22222
121=⨯⨯=⋅=CD AB S 四边形；
②当两弦斜率均存在且不为0时，设11(,)A x y ，22(,)B x y ，
且设直线AB 的方程为(1)y k x =-，则直线CD 的方程为1(1)y x k
=--．
将直线AB 的方程代入椭圆方程中，并整理得2222(12)4220k x k x k +-+-=，
所以2
22
22
212
21)
1(22211221||1||k k k k k x x k AB ++=++⋅+=-+=． 同理，2)1(2221)11
(
22||2222++=++=
k k k
k CD ． 所以2
4
2
22222522)1(42)1(2221)1(222121k
k k k k k k CD AB S +++=++⋅++⋅=⋅⋅=四边形
()
()()2
2
2
142211
2121
k k k k k k
+==-++++，
911221122
2
=+⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛⋅≥+⎪⎭⎫ ⎝⎛+k k k k 当且仅当1±=k 时取等号 ∴)2,9
16[
∈四边形S 综合①与②可知，⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡∈2,916四边形S
20.解：（Ⅰ）1m =时，1
()ln ,02=+>f x x x x
． ∴22
1121
()22-'=
-=
x f x x x x 由()0'>f x ，解得12>x ；由()0'<f x ，解得1
02
<<x ；
∴()f x 在1(0,)2上单调递减，1
(,)2
+∞上单调递增．
∴=极小值)(x f 11
()ln 11ln 222
f =+=-．
（II ）令1()()()1ln 21,,12⎡⎤
=--=+-+-∈⎢⎥⎣⎦
m h x f x g x x x m x x e ，其中1(,1)2m ∈
由题意，()0h x >对1,1x e ⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
恒成立，
∵2221221()1,,122-+-⎡⎤
'=--=∈⎢⎥⎣⎦
m x x m h x x x x x e ∵1
(,1)2m ∈，∴在二次函数222=-+-y x x m 中，480∆=-<m ，
∴2
220-+-<x x m 对∈x R 恒成立
∴()0'<h x 对1,1x e ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦恒成立，∴()h x 在1,1e ⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
上单减．
∴min 5()(1)ln11212022==+-+-=->m h x h m m ，即4
5
>m ．
故存在4(,1)5∈m 使()()f x g x >对1,1⎡⎤
∀∈⎢⎥⎣⎦
x e 恒成立．
（III ）()(ln )(2),(0,)2m
F x x x m x x
=+-∈+∞，易知2x m =为函数()F x 的一个零点，
∵1
2
>m ，∴21>m ，因此据题意知，函数()F x 的最大的零点1>c ，
下面讨论()ln 2m
f x x x
=+的零点情况，
∵22
12()22m x m
f x x x x
-'=-=． 易知函数()f x 在(0,)2m 上单调递减，在(,)2
m
+∞上单调递增．
由题知()f x 必有两个零点，
∴=极小值)(x f ()ln 1022=+<m m f ，解得2
0<<m e
，
∴122<<m e ，即(,2)2
∈e
me ． ∴11(1)ln10,()ln 11102222
=+=>=+=-<-=m m em em
f f e e ．
又10101010101
()ln 10100224---=+=->->m m f e e e e e ．
101
()0,()0,(1)0f e f f e
-∴><>．
101
01e a b c e
-∴<<<<<<． 1
01a b c e
∴<<
<<<，得证．。