馆陶县外国语学校2018-2019学年高三上学期11月月考数学试卷含答案

馆陶县外国语学校2018-2019学年高三上学期11月月考数学试卷含答案
一、选择题
1． 数列{}n a 中，11a =，对所有的2n ≥，都有2123
n a a a a n =，则35a a +等于（ ）
A ．259
B ．2516
C ．6116
D ．3115
2． 定义运算：,,a a b
a b b a b ≤⎧*=⎨>⎩
．例如121*=，则函数()sin cos f x x x =*的值域为（ ）
A
．22⎡-⎢⎣⎦
B ．[]1,1- C
．2⎤⎥⎣⎦ D
．1,2⎡-⎢⎣⎦ 3． 已知集合A={x|a ﹣1≤x ≤a+2}，B={x|3＜x ＜5}，则A ∩B=B 成立的实数a 的取值范围是（ ）
A ．{a|3≤a ≤4}
B ．{a|3＜a ≤4}
C ．{a|3＜a ＜4}
D ．∅ 4． 已知x ，y
满足，且目标函数z=2x+y 的最小值为1，则实数a 的值是（ ） A ．1
B
．
C
．
D
．
5． 执行右面的程序框图，若输入x=7，y=6，则输出的有数对为（ ）
A ．（11，12）
B ．（12，13）
C ．（13，14）
D ．（13，12）
6． 如图，四面体OABC 的三条棱OA ，OB ，OC 两两垂直，OA=OB=2，OC=3，D 为四面体OABC 外一点．给出下列命题．
①不存在点D ，使四面体ABCD 有三个面是直角三角形 ②不存在点D ，使四面体ABCD 是正三棱锥 ③存在点D ，使CD 与AB 垂直并且相等
④存在无数个点D ，使点O 在四面体ABCD 的外接球面上 其中真命题的序号是（ ）
班级_______________ 座号______ 姓名_______________ 分数_______________
___________________________________________________________________________________________________
A．①② B．②③ C．③D．③④
7．设f（x）是定义在R上的恒不为零的函数，对任意实数x，y∈R，都有f（x）•f（y）=f（x+y），若a1=，a n=f（n）（n∈N*），则数列{a n}的前n项和S n的取值范围是（）
A．[，2）B．[，2] C．[，1）D．[，1]
8．下列说法中正确的是（）
A．三点确定一个平面
B．两条直线确定一个平面
C．两两相交的三条直线一定在同一平面内
D．过同一点的三条直线不一定在同一平面内
9．若如图程序执行的结果是10，则输入的x的值是（）
A．0 B．10 C．﹣10 D．10或﹣10
10．函数y=2x2﹣e|x|在[﹣2，2]的图象大致为（）
A．B．C．
D．
11．定义在R 上的偶函数()f x 满足(3)()f x f x -=-，对12,[0,3]x x ∀∈且12x x ≠，都有
1212
()()
0f x f x x x ->-，则有（ ）
A ．(49)(64)(81)f f f <<
B ．(49)(81)(64)f f f << C. (64)(49)(81)f f f << D ．(64)(81)(49)f f f << 12
．如图，已知双曲线
﹣
=1（a ＞0，b ＞0）的左右焦点分别为F 1，F 2，|F 1F 2|=4，P 是双曲线右支上一点，
直线PF 2交y 轴于点A ，△AF 1P 的内切圆切边PF 1于点Q ，若|PQ|=1，则双曲线的渐近线方程为（ ）
A ．y=
±x B ．y=±3x C ．y=
±x D ．y=
±x
二、填空题
13．已知（x 2
﹣
）n
）的展开式中第三项与第五项的系数之比为
，则展开式中常数项是 ． 14．已知z ，ω为复数，i 为虚数单位，（1+3i ）z 为纯虚数，ω
=
，且|ω
|=5
，则复数ω= ．
15．定义某种运算⊗，S=a ⊗b 的运算原理如图；则式子5⊗3+2⊗4= ．
16
．求函数在区间
[
]上的最大值 ．
17．定义在（﹣∞，+∞）上的偶函数f （x ）满足f （x+1）=﹣f （x ），且f （x ）在[﹣1，0]上是增函数，下面五个关于f （x ）的命题中： ①f （x ）是周期函数；
②f （x ） 的图象关于x=1对称； ③f （x ）在[0，1]上是增函数； ④f （x ）在[1，2]上为减函数； ⑤f （2）=f （0）．
正确命题的个数是 ．
18．已知数列}{n a 的前n 项和为n S ，且满足11a =-，12n n a S +=（其中*)n ∈N ，则n S = .
三、解答题
19．已知圆C 的圆心在射线3x ﹣y=0（x ≥0）上，与直线x=4相切，且被直线3x+4y+10=0截得的弦长为．
（Ⅰ） 求圆C 的方程；
（Ⅱ） 点A （1，1），B （﹣2，0），点P 在圆C 上运动，求|PA|2+|PB|2
的最大值．
20．如图，在几何体SABCD 中，AD ⊥平面SCD ，BC ⊥平面SCD ，AD=DC=2，BC=1，又SD=2，∠SDC=120°． （1）求SC 与平面SAB 所成角的正弦值；
（2）求平面SAD 与平面SAB 所成的锐二面角的余弦值．
21．（选做题）已知f（x）=|x+1|+|x﹣1|，不等式f（x）＜4的解集为M．
（1）求M；
（2）当a，b∈M时，证明：2|a+b|＜|4+ab|．
22．已知二次函数f（x）=x2+2bx+c（b，c∈R）．
（1）若函数y=f（x）的零点为﹣1和1，求实数b，c的值；
（2）若f（x）满足f（1）=0，且关于x的方程f（x）+x+b=0的两个实数根分别在区间（﹣3，﹣2），（0，1）内，求实数b的取值范围．
23．在平面直角坐标系xOy中，圆C：x2+y2=4，A（，0），A1（﹣，0），点P为平面内一动点，以PA为直径的圆与圆C相切．
（Ⅰ）求证：|PA1|+|PA|为定值，并求出点P的轨迹方程C1；
（Ⅱ）若直线PA与曲线C1的另一交点为Q，求△POQ面积的最大值．
24．在直角坐标系xOy中，圆C的参数方程（φ为参数）．以O为极点，x轴的非负半轴为极
轴建立极坐标系．
（Ⅰ）求圆C的极坐标方程；
（Ⅱ）直线l的极坐标方程是ρ（sinθ+）=3，射线OM：θ=与圆C的交点为O，P，与直线l
的交点为Q，求线段PQ的长．
馆陶县外国语学校2018-2019学年高三上学期11月月考数学试卷含答案（参考答案） 一、选择题
1． 【答案】C 【解析】
试题分析：由2
123
n a a a a n =，则2
123
1(1)n a a a a n -=-，两式作商，可得2
2
(1)
n n a n =-，所以2235223561
2416
a a +=+=，故选C ．
考点：数列的通项公式． 2． 【答案】D 【解析】
考
点：1、分段函数的解析式；2、三角函数的最值及新定义问题.
3． 【答案】A
【解析】解：∵A={x|a ﹣1≤x ≤a+2}
B={x|3＜x ＜5} ∵A ∩B=B ∴A ⊇B
∴
解得：3≤a ≤4 故选A
【点评】本题考查集合的包含关系判断及应用，通过对集合间的关系转化为元素的关系，属于基础题．
4． 【答案】B
【解析】解：由约束条件
作出可行域如图，
由图可知A（a，a），
化目标函数z=2x+y为y=﹣2x+z，
由图可知，当直线y=﹣2x+z过A（a，a）时直线在y轴上的截距最小，z最小，z的最小值为2a+a=3a=1，解
得：a=．
故选：B．
【点评】本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．
5．【答案】A
【解析】解：当n=1时，满足进行循环的条件，故x=7，y=8，n=2，
当n=2时，满足进行循环的条件，故x=9，y=10，n=3，
当n=3时，满足进行循环的条件，故x=11，y=12，n=4，
当n=4时，不满足进行循环的条件，
故输出的数对为（11，12），
故选：A
【点评】本题考查的知识点是程序框图，当循环的次数不多，或有规律时，常采用模拟循环的方法解答．
6．【答案】D
【解析】
【分析】对于①可构造四棱锥CABD与四面体OABC一样进行判定；对于②，使AB=AD=BD，此时存在点D，使四面体ABCD是正三棱锥；对于③取CD=AB，AD=BD，此时CD垂直面ABD，即存在点D，使CD 与AB垂直并且相等，对于④先找到四面体OABC的内接球的球心P，使半径为r，只需PD=r，可判定④的真假．
【解答】解：∵四面体OABC的三条棱OA，OB，OC两两垂直，OA=OB=2，OC=3，
∴AC=BC=，AB=
当四棱锥CABD与四面体OABC一样时，即取CD=3，AD=BD=2
此时点D，使四面体ABCD有三个面是直角三角形，故①不正确
使AB=AD=BD，此时存在点D，使四面体ABCD是正三棱锥，故②不正确；
取CD=AB，AD=BD，此时CD垂直面ABD，即存在点D，使CD与AB垂直并且相等，故③正确；
先找到四面体OABC的内接球的球心P，使半径为r，只需PD=r即可
∴存在无数个点D，使点O在四面体ABCD的外接球面上，故④正确
故选D
7．【答案】C
【解析】解：∵对任意x，y∈R，都有f（x）•f（y）=f（x+y），
∴令x=n，y=1，得f（n）•f（1）=f（n+1），
即==f（1）=，
∴数列{a n}是以为首项，以为等比的等比数列，
∴a n=f（n）=（）n，
∴S n==1﹣（）n∈[，1）．
故选C．
【点评】本题主要考查了等比数列的求和问题，解题的关键是根据对任意x，y∈R，都有f（x）•f（y）=f（x+y）得到数列{a n}是等比数列，属中档题．
8．【答案】D
【解析】解：对A，当三点共线时，平面不确定，故A错误；
对B，当两条直线是异面直线时，不能确定一个平面；故B错误；
对C，∵两两相交且不共点的三条直线确定一个平面，∴当三条直线两两相交且共点时，不一定在同一个平面，如墙角的三条棱；故C错误；
对D，由C可知D正确．
故选：D．
9．【答案】D
【解析】解：模拟执行程序，可得程序的功能是计算并输出y=的值，
当x＜0，时﹣x=10，解得：x=﹣10
当x≥0，时x=10，解得：x=10
故选：D．
10．【答案】D
【解析】解：∵f（x）=y=2x2﹣e|x|，
∴f（﹣x）=2（﹣x）2﹣e|﹣x|=2x2﹣e|x|，
故函数为偶函数，
当x=±2时，y=8﹣e2∈（0，1），故排除A，B；
当x∈[0，2]时，f（x）=y=2x2﹣e x，
∴f′（x）=4x﹣e x=0有解，
故函数y=2x2﹣e|x|在[0，2]不是单调的，故排除C，
故选：D
11．【答案】A
【解析】
考点：1、函数的周期性；2、奇偶性与单调性的综合.1111]
12．【答案】D
【解析】解：设内切圆与AP切于点M，与AF1切于点N，
|PF1|=m，|QF1|=n，
由双曲线的定义可得|PF1|﹣|PF2|=2a，即有m﹣（n﹣1）=2a，①
由切线的性质可得|AM|=|AN|，|NF1|=|QF1|=n，|MP|=|PQ|=1，
|MF2|=|NF1|=n，
即有m﹣1=n，②
由①②解得a=1，
由|F1F2|=4，则c=2，
b==，
由双曲线﹣=1的渐近线方程为y=±x，
即有渐近线方程为y=x．
故选D．
【点评】本题考查双曲线的方程和性质，考查切线的性质，运用对称性和双曲线的定义是解题的关键．
二、填空题
13．【答案】45．
【解析】解：第三项的系数为C n2，第五项的系数为C n4，
由第三项与第五项的系数之比为可得n=10，则T i+1=C10i（x2）10﹣i（﹣）i=（﹣1）i C10i=，
令40﹣5r=0，解得r=8，故所求的常数项为（﹣1）8C108=45，
故答案为：45．
14．【答案】±（7﹣i）．
【解析】解：设z=a+bi（a，b∈R），∵（1+3i）z=（1+3i）（a+bi）=a﹣3b+（3a+b）i为纯虚数，∴．
又ω===，|ω|=，∴
．
把a=3b代入化为b2=25，解得b=±5，∴a=±15．
∴ω=±=±（7﹣i）．
故答案为±（7﹣i）．
【点评】熟练掌握复数的运算法则、纯虚数的定义及其模的计算公式即可得出．
15．【答案】14．
【解析】解：有框图知S=a⊗b=
∴5⊗3+2⊗4=5×（3﹣1）+4×（2﹣1）=14
故答案为14
【点评】新定义题是近几年常考的题型，要重视．解决新定义题关键是理解题中给的新定义．
16．【答案】．
【解析】解：∵f（x）=sin2
x+sinxcosx
=+sin2x
=sin（2x﹣）+．
又x∈[，]，
∴2x﹣∈[，]，
∴sin（2x﹣）∈[，1]，
∴sin（2x﹣）+∈[1，]．
即f （x ）∈[1，]．
故f （x ）在区间[，]上的最大值为．
故答案为：．
【点评】本题考查二倍角的正弦与余弦，考查辅助角公式，着重考查正弦函数的单调性与最值，属于中档题．
17．【答案】 3个 ．
【解析】解：∵定义在（﹣∞，+∞）上的偶函数f （x ），∴f （x ）=f （﹣x ）；
∵f （x+1）=﹣f （x ），∴f （x+1）=﹣f （x ），∴f （x+2）=﹣f （x+1）=f （x ），f （﹣x+1）=﹣f （x ） 即f （x+2）=f （x ），f （﹣x+1）=f （x+1），周期为2，对称轴为x=1 所以①②⑤正确， 故答案为：3个
18．【答案】1
3
n --
【解析】∵12n n a S +=，∴12n n n S S S +-=， ∴∴13n n S S +=，11133n n n S S --=⋅=．
三、解答题
19．【答案】
【解析】解：（Ⅰ）设圆C 的方程为（x ﹣a ）2+（y ﹣b ）2=r 2
（r ＞0）… 圆心在射线3x ﹣y=0（x ≥0）上，所以3a ﹣b=0…①．… 圆与直线x=4相切，所以|a ﹣4|=r …②…
圆被直线3x+4y+10=0截得的弦长为
，所以
…③…
将①②代入③，可得（3a+2）2+12=（a ﹣4）2，化简得2a 2
+5a=0，解得a=0或（舍去）…
所以b=0，r=4，于是，圆C 的方程为x 2+y 2
=16．…
（Ⅱ）假设点P 的坐标为（x 0，y 0），则有
．…
=38+2（x 0﹣y 0）．下求x 0﹣y 0的最大值．…
解法1：设t=x
0﹣y 0，即x 0﹣y 0﹣t=0．该直线与圆必有交点，所以
，解得，等号当且仅当
直线x 0﹣y 0﹣t=0与圆x 2+y 2
=16相切时成立．
于是t 的最大值为，所以|PA|2
+|PB|2
的最大值为．…
解法2：由可设x 0=4sin α，y 0=4cos α，于是
，
所以当
时，x
0﹣y 0取到最大值
，
所以|PA|2
+|PB|2的最大值为．…
【点评】此题考查了直线与圆的位置关系，涉及的知识有：点到直线的距离公式，圆的标准方程，垂径定理，勾股定理，点到直线的距离公式，以及正弦函数的定义域与值域，是一道综合性较强的题．
20．【答案】
【解析】解：如图，过点D作DC的垂线交SC于E，以D为原点，
分别以DC，DE，DA为x，y，z轴建立空间直角坐标系．
∵∠SDC=120°，
∴∠SDE=30°，
又SD=2，则点S到y轴的距离为1，到x轴的距离为．
则有D（0，0，0），，A（0，0，2），C（2，0，0），B（2，0，1）．
（1）设平面SAB的法向量为，
∵．
则有，取，
得，又，
设SC与平面SAB所成角为θ，
则，
故SC与平面SAB所成角的正弦值为．
（2）设平面SAD的法向量为，
∵，
则有，取，得．
∴，
故平面SAD与平面SAB所成的锐二面角的余弦值是．
【点评】本题是中档题，考查直线与平面所成角正弦值、余弦值的求法，考查空间想象能力，计算能力，熟练掌握基本定理、基本方法是解决本题的关键．
21．【答案】
【解析】（Ⅰ）解：f（x）=|x+1|+|x﹣1|=
当x＜﹣1时，由﹣2x＜4，得﹣2＜x＜﹣1；
当﹣1≤x≤1时，f（x）=2＜4；
当x＞1时，由2x＜4，得1＜x＜2．
所以M=（﹣2，2）．…
（Ⅱ）证明：当a，b∈M，即﹣2＜a，b＜2，
∵4（a+b）2﹣（4+ab）2=4（a2+2ab+b2）﹣（16+8ab+a2b2）=（a2﹣4）（4﹣b2）＜0，
∴4（a+b）2＜（4+ab）2，
∴2|a+b|＜|4+ab|．…
【点评】本题考查绝对值函数，考查解不等式，考查不等式的证明，解题的关键是将不等式写成分段函数，利用作差法证明不等式．
22．【答案】
【解析】解：（1）∵﹣1，1是函数y=f（x）的零点，∴，解得b=0，c=﹣1．
（2）∵f（1）=1+2b+c=0，所以c=﹣1﹣2b．
令g（x）=f（x）+x+b=x2+（2b+1）x+b+c=x2+（2b+1）x﹣b﹣1，
∵关于x的方程f（x）+x+b=0的两个实数根分别在区间（﹣3，﹣2），（0，1）内，
∴，即．解得＜b＜，
即实数b的取值范围为（，）．
【点评】本题考查了二次函数根与系数得关系，零点的存在性定理，属于中档题．
23．【答案】
【解析】（Ⅰ）证明：设点P（x，y），记线段PA的中点为M，则
两圆的圆心距d=|OM|=|PA1|=R﹣|PA|，
所以，|PA
|+|PA|=4＞2，
1
故点P的轨迹是以A，A1为焦点，以4为长轴的椭圆，
所以，点P的轨迹方程C1为：=1．…
（Ⅱ）解：设P（x
，y1），Q（x2，y2），直线PQ的方程为：x=my+，…
1
代入=1消去x，整理得：（m2
+4）y2+2my﹣1=0，
则y1+y2=﹣，y1y2=﹣，…
△POQ面积S=|OA||y
﹣y2|=2…
1
令t=（0，则S=2≤1（当且仅当t=时取等号）
所以，△POQ面积的最大值1．…
24．【答案】
【解析】解：（I）圆C的参数方程（φ为参数）．消去参数可得：（x﹣1）2+y2=1．把x=ρcosθ，y=ρsinθ代入化简得：ρ=2cosθ，即为此圆的极坐标方程．
（II）如图所示，由直线l的极坐标方程是ρ（sinθ+）=3，射线OM：θ=．
可得普通方程：直线l，射线OM．
联立，解得，即Q．
联立，解得或．
∴P．
∴|PQ|==2．
【点评】本题考查了极坐标化为普通方程、曲线交点与方程联立得到的方程组的解的关系、两点间的距离公式等基础知识与基本方法，属于中档题．。