广东省清远市清新区第四中学教育集团2024-2025学年九年级上学期11月期中数学试题[含答案]

清新区第四中学教育集团2024－2025学年第一学期
期中学业水平监测九年级数学科试卷
（本卷考试时间120分钟 满分120分）
一、单选题（每小题3分，共36分）
1．下列函数中，属于二次函数的是（ ）A ．213
y x =
B ．2
3y x =
C ．32y x =-+
D ．3
x y =
2．方程25x =的解是( )
A B ．25
C ．25
±D ．3．已知关于x 的一元二次方程22590x x k ++-=的常数项为0，则k 的值为（ ）A ．9
B ．3
C ．3
-D ．3
±4．方程245x x +=化为一般形式后，,,a b c 的值分别是（ ）A ．4,1,5a b c ===B ．1,4,5a b c ===C ．4,1,5
a b c ===-D ．4,5,1
a b c ==-=5．已知二次函数2y ax bx c =++的x 、y 的部分对应值如下表：
x
1-0123y
5
1
1
-1
-1
下列结论中正确的个数有（ ）①0a <；②抛物线的对称轴是直线3
2
x =
；③方程20ax bx c ++=有一个根0x ，且010x -<<；④不等式210ax bx c ++-<的解集是03x <<；⑤1x =是方程
()210ax b x c +++=的根．
A ．4
B ．3
C ．2
D ．1
6．把ABCD Y 放入平面直角坐标系中．已知对角线的交点为原点，点A 的坐标为()2,3-，点C 的坐标为（ ）A ．()
3,2-B ．()
3,2C ．()
2,3-D ．()
2,37．如图，在ABC V 中，90ACB Ð=°，将ABC V 绕点A 逆时针旋转90°，得到ADE V ，连接
BD ．若AC =，1DE =，则线段BD 的长为（ ）
A B C ．3
D ．8．如图，在矩形ABCD 中，4AB =，6BC =，O 是矩形的对称中心，点
E 、
F 分别在边
AD 、BC 上，连接OE 、OF ，若2AE BF ==，则OE OF +的值为（ ）
A ．
B ．
C
D ．9．《低空经济产业发展白皮书》指出，我国低空经济产业具有巨大的发展潜力，未来将对国民经济作出重要贡献．2023年我国低空经济规模为0.5万亿元，预计2025年我国低空经济规模将达到0.86万亿元．如果设这两年低空经济规模年平均增长率为x ，那么根据题意可列方程为（ ）
A ．()2
0.510.86
x +=B ．()0.5120.86x +=C ．()2
0.510.86
x -=D ．()2
0.510.86
x +=
10．函数（y 是x 的函数）①21y x =-+，②()2
21x -，③1y =+，④()2
12y x =-+，⑤24y x x m =-+，⑥6y x
=-中，二次函数有（ ）
A ．5个
B ．4个
C ．3个
D ．2个
11．抛物线2y x =与y 轴的交点个数是（ ）A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
12．如图，△ABC 中，AB=5，BC=3，AC=4，以点C 为圆心的圆与AB 相切，则⊙C 的半径为（ ）
A ．2.3
B ．2.4
C ．2.5
D ．2.6
二、填空题（每小题4分，共20分）
13．若关于x 的一元二次方程2220x x m ++-=有实数根，则m 的取值范围是 ．14．一个圆锥的母线长是5，底面半径为4，这个圆锥的侧面积为
.
15．如图，⊙O 的半径OA 等于5，半径OC 与弦AB 垂直，垂足为D ，若OD ＝3，则弦AB 的长为 ．
16．若关于x 的方程253x x a -+=的一个根为1，则a 的值为 ．
17．如图是一座抛物线形拱桥侧面示意图，水面宽AB 与桥长CD 均为12m ，桥拱顶部O 离水面的距离为6m ，以桥拱顶点O 为原点，桥面为x 轴建立平面直角坐标系．OD 的中点E 到桥拱的距离EF 为 m ．
三、解答题（一）（本大题2小题，每小题7分，共14分）
18．(1)计算：2
2
011cos 6020242-æö
---°+-+ç÷èø
；
(2)先化简再求值：214111
x x x -æ
ö-¸
ç÷--èø，其中=1x -．四、解答题（二）（本大题2小题，每小题12分，共24分）
19．如图，AB 是⊙O 的直径，点C 在⊙O 上，AD 垂直于过点C 的切线，垂足为D ，CE 垂直AB ，垂足为E ．延长DA 交⊙O 于点F ，连接FC ，FC 与AB 相交于点G ，连接OC ．
（1）求证：CD=CE；
（2）若AE=GE，求证：△CEO是等腰直角三角形．
20．某商店进了一批皮鞋，进货价为150元/双，若按每双200元出售，则可销售200双，若每双皮鞋提价5元出售，则其销售量就减少10双．现在预计要获得11200元利润，应按每双皮鞋多少元出售？这时应进多少双皮鞋？
五、解答题（三）（本大题2小题，21题10分，22题16分，共26分）
x的正方形铁皮的四角各截去一边长为5cm的21．列方程解应用题：如图，在一块边长为cm
小正方形，折成一个无盖的长方体盒子，它的容积是3
2000cm，求边长x．
22．如图，有长为30米的篱笆，围成中间隔有一道篱笆的长方形的花圃，且花圃的长可借用一段墙体（墙体的最大可使用长度a=10米）．设花圃的一边AB长为x米，面积为y平方米．
（1）求y与x的函数关系式并写出自变量x的取值范围；
（2）如果所围成的花圃的面积为63平方米，试求宽AB的长；
（3）按题目的设计要求， （填“能”或“不能”）围成面积为80平方米的花圃．
1．A
【分析】根据二次函数定义进行判断即可．【详解】解：A ．2
13
y x =是二次函数，故选项符合题意；B ．2
3
y x =
不是二次函数，故选项不符合题意；C ．32y x =-+是一次函数，故选项不符合题意；D ．3
x
y =
是正比例函数，故选项不符合题意．故选：A ．
【点睛】此题考查了二次函数，形如()2
0y ax bx c a =++¹的函数叫做二次函数，熟练掌握
二次函数的定义是解题的关键．2．D
【分析】利用直接开平方法求解即可．【详解】解：25x =，
直接开平方得，x =，故选：D ．
【点睛】本题考查解一元二次方程-直接开平方法，解题的关键是掌握解一元二次方程的方法．3．D
【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义、解一元二次方程等知识点，根据题意列出关于k 的方程是解题的关键．
根据一元二次方程的常数项为0，列出关于k 的方程求解即可．【详解】解：∵关于x 的一元二次方程22590x x k ++-=的常数项为0，∴290k -=，解得：3k =±．故选D ．4．C
【分析】先通过移项把方程化成一般形式，再找二次项系数､一次项系数和常数项即可．【详解】解：由原方程移项，得2450x x +-=，
所以4,1,5a b c ===-．
故选：C ．
【点睛】本题考查一元二次方程的一般形式，确定二次项系数，一次项系数，常数项，解题关键是利用移项化一元二次方程一般式．5．B
【分析】根据表格确定二次函数图象的开口方向以及对称轴，结合表格数据即可对各个选项进行判断．
【详解】解：由表格可知：当x 越来越大，y 先减小后增大，即二次函数图象开口向上，则0a >，故①错误；
由表格可知：当1x =，1y =-，当2x =，1y =-，即抛物线的对称轴为123
22
x +==，故②正确；
当1x =-，5y =，当0x =，1y =，即在1-和0之间，函数值都大于0，则方程20ax bx c ++=的根不在010x -<<之间，故③错误；
不等式210ax bx c ++-<，即21ax bx c ++<，根据表格数据可知当03x <<时不等式210ax bx c ++-<，故④正确；
当1x =时，1y a b c =++=-，即10a b c +++=，故⑤正确；正确的选项有3个．故选：B ．
【点睛】本题主要考查了二次函数的性质的知识，解答本题的关键是根据表格发现二次函数图象的对称轴以及开口方向，此题难度不大．6．C
【分析】因为平行四边形是中心对称图形，若对角线的交点为原点时，则A 点与C 点关于原点对称，从而根据A 点坐标可求C 点坐标．【详解】解：∵平行四边形是中心对称图形，
所以当其对角线的交点为原点时，则A 点与C 点关于原点对称，∵A （2，-3），∴C （-2，3）．故选：C ．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，以及坐标与图形的性质，熟知关于原点对称的点的坐标特征是解题的关键．
7．D
【分析】本题主要考查旋转的性质、勾股定理等知识点，正确理解旋转的性质是解答本题的关键．
先根据旋转的性质可知：1BC DE ==，AB AD =，再应用勾股定理求出AB 的长，又由旋转的性质可得90BAD Ð=°，最后再用勾股定理求解即可．
【详解】解：由旋转的性质得到：ABC ADE △≌△，90BAD Ð=°，
∴AE AC ==1BC DE ==，AB AD =，∵90ACB Ð=°，
∴3AB AD ===
=，
在Rt BAD V 中，根据勾股定理得：BD ==故选D ．8．D
【分析】连接AC ，BD ，过点O 作OM AD ^于点M ，交BC 于点N ，利用勾股定理求得OE 的长即可解题．
【详解】解：如图，连接AC ，BD ，过点O 作OM AD ^于点M ，交BC 于点N ，
Q 四边形ABCD 是矩形，
OA OD OB \==OM AD
^Q 3
AM DM \==1
22
OM AB \=
=2
AE =Q 1
EM AM AE \=-=
OE \==
同理可得OF =
OE OF \+=故选：D ．
【点睛】本题考查中心对称、矩形的性质、勾股定理等知识，学会添加辅助线，构造直角三角形是解题关键．9．D
【分析】本题考查了一元二次方程与增长率问题，解题的关键是读懂题意，找出等量关系，列出方程．根据基数为a ，末数为b ，增长率（或下降率为x ），时间间隔为n ，则有
(1)n a x b ±=，即可得到答案．
【详解】根据题意，这两年低空经济规模年平均增长率为x
Q 2023年低空经济规模为0.5万亿元，预计2025年低空经济规模将达到0.86万亿元\可列方程为()2
0.510.86x +=．故选：D ．10．C
【分析】本题考查了二次函数的定义，一般地，把形如()2
0y ax bx c a =++¹的函数叫做二
次函数，据此作答即可．
【详解】解：①21y x =-+，是二次函数，②()2
21x -，不是函数，③1y =，是一次函数，④()2
12y x =-+，是二次函数，⑤24y x x m =-+，是二次函数，⑥6y x =-，是
反比例函数，所以二次函数有3个，故选C ．11．B
【分析】把=0x 代入2y x =求解即可得到交点坐标，也可以利用图像解决．【详解】解：令=0x ，得=0y ，
\抛物线2y x =与y 轴的交点是()0,0，
故选：B ．
【点睛】本题考查图像交点个数，可以直接求解，也可以图像法解决，因为所有的二次函数
与y 轴有且只有一个交点．12．B
【详解】试题分析：在△ABC 中，∵AB=5，BC=3，AC=4，∴AC 2+BC 2=32+42=52=AB 2，∴∠C=90°，如图：设切点为D ，连接CD ，∵AB 是⊙C 的切线，∴CD ⊥AB ，
∵S △ABC =
12AC×BC=12
AB×CD ，∴AC×BC=AB×CD ，即CD=AC BC AB ×=345´=125，
∴⊙C 的半径为12
5
，故选B ．
考点：圆的切线的性质；勾股定理．
13．3
m £【分析】此题考查了已知一元二次方程根的情况求参数，对于一元二次方程20ax bx c ++=，当240b ac D =->时，方程有两个不相等的实数根；当240b ac D =-=时，方程有两个相等
的实数根；当240b ac D =-<时，方程没有实数根，则根据题意可得：()2
2420m D =--³，
求出答案即可．
【详解】解：∵一元二次方程2220x x m ++-=有实数根，
∴()2
2420m D =--³，
得3m £，故答案为3m £．14．20p
【分析】根据圆锥的母线长为5，底面半径为4，直接利用圆锥的侧面积公式求出即可．【详解】解：依题意知母线长5l =，底面半径4r =，
则由圆锥的侧面积公式得11
2542022S l C l r p p p =×=×=´´=．（C 表示扇形所对的弧长）
故答案为：20p ．
【点睛】此题主要考查了圆锥侧面面积的计算，熟练记忆圆锥的侧面积公式是解决问题的关键．
15．8
【分析】由OC 与AB 垂直，利用垂径定理得到D 为AB 的中点，在直角三角形AOD 中，由OA 与OD 的长，利用勾股定理求出AD 的长，由AB ＝2AD 即可求出AB 的长．【详解】解：∵OC ⊥AB ，∴D 为AB 的中点，即AD ＝BD ＝
1
2
AB ，在Rt △AOD 中，OA ＝5，OD ＝3，
根据勾股定理得：AD 4，则AB ＝2AD ＝8．故答案为8．
【点睛】本题考查了垂径定理，以及勾股定理，熟练掌握垂径定理是解题的关键．16．7
【分析】根据一元二次方程的解，把x ＝1代入253x x a -+=中得到关于a 的方程，然后解此方程即可．
【详解】把x ＝1代入253x x a -+=得1−5＋a ＝3，解得a ＝7．故答案为：7．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．17．
3
2
【分析】根据题意，可得()6,6C --，()6,6D -，设抛物线的解析式为2y ax =，通过待定系数法，求得解析式，再将F 点的横坐标代入，即可解答．【详解】解：设抛物线的解析式为2y ax =，12AB CD ==Q ，
1
62
CO DO CD \===，
Q 桥拱顶部O 离水面的距离为6m ，\()6,6C --，()6,6D -，
将()6,6C --代入解析式得： 636a -=，
解得16
a =-，\抛物线的解析式为216
y x =-，Q OD 的中点为E ，
()3,0E \，
设()3,F m ，将()3,F m ，代入解析式得：32
m =-，3322
EF \=-=m ．故答案为：32
．【点睛】本题考查了二次函数的应用，列出适当的函数解析式是解题的关键．
18．(1)
72(2)12
x +，1【分析】（1）先分别计算有理数的乘方，余弦，负整数指数幂，零指数幂，然后进行加减运算即可；
（2）先通分，然后进行除法运算可得化简结果，最后代值求解即可．
【详解】（1）解：2
20
11cos 6020242-æö---°+-+ç÷èø11412
=--++72
=；（2）解：214111
x x x -æö-¸ç÷--èø()()
111122x x x x x ---=´--+12
x =+，将=1x -代入得，原式1112
==-+．【点睛】本题考查了余弦，负整数指数幂，零指数幂，分式的化简求值．熟练掌握余弦，负整数指数幂，零指数幂，分式的化简求值是解题的关键．
19．（1）证明见解析；（2）证明见解析.
【分析】（1）连接AC ，根据切线的性质和已知得：AD ∥OC ，得∠DAC=∠ACO ，根据AAS
证明△CDA ≌△CEA （AAS ），可得结论；
（2）介绍两种证法：
证法一：根据△CDA ≌△CEA ，得∠DCA=∠ECA ，由等腰三角形三线合一得：
∠F=∠ACE=∠DCA=∠ECG ，在直角三角形中得：∠F=∠DCA=∠ACE=∠ECG=22.5°，可得结论；证法二：设∠F=x ，则∠AOC=2∠F=2x ，根据平角的定义得：∠DAC+∠EAC+∠OAF=180°，则3x+3x+2x=180，即得出结论．
【详解】证明：（1）连接AC ，
∵CD 是⊙O 的切线，
∴OC ⊥CD ，
∵AD ⊥CD ，
∴∠DCO=∠D=90°，
∴AD ∥OC ，
∴∠DAC=∠ACO ，
∵OC=OA ，
∴∠CAO=∠ACO ，
∴∠DAC=∠CAO ，
∵CE ⊥AB ，
∴∠CEA=90°，
在△CDA 和△CEA 中，
∵D CEA
DAC EAC
AC AC
ÐÐìïÐÐíïî＝
＝＝ ，
∴△CDA ≌△CEA （AAS ），
∴CD=CE ；
（2）证法一：连接BC
，
∵△CDA≌△CEA，
∴∠DCA=∠ECA，
∵CE⊥AG，AE=EG，
∴CA=CG，
∴∠ECA=∠ECG，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∵CE⊥AB，
∴∠ACE=∠B，
∵∠B=∠F，
∴∠F=∠ACE=∠DCA=∠ECG，
∵∠D=90°，
∴∠DCF+∠F=90°，
∴∠F=∠DCA=∠ACE=∠ECG=22.5°，
∴∠AOC=2∠F=45°，
∴△CEO是等腰直角三角形；
证法二：设∠F=x，则∠AOC=2∠F=2x，∵AD∥OC，
∴∠OAF=∠AOC=2x，
∴∠CGA=∠OAF+∠F=3x，
∵CE⊥AG，AE=EG，
∴CA=CG，
∴∠EAC=∠CGA，
∵CE⊥AG，AE=EG，
∴CA=CG，
∴∠EAC=∠CGA，
∴∠DAC=∠EAC=∠CGA=3x，
∵∠DAC+∠EAC+∠OAF=180°，
∴3x+3x+2x=180，
x=22.5°，
∴∠AOC=2x=45°，
∴△CEO 是等腰直角三角形．
【点睛】考查了切线的性质、全等三角形的判定与性质、圆周角定理、勾股定理、三角形内角和定理以及等腰三角形和等腰直角三角形的判定与性质等知识，题中相等的角较多，注意各角之间的关系，注意掌握数形结合思想的应用．
20．每双皮鞋的售价为230元，这时应进140双皮鞋或每双皮鞋的售价为220元，这时应进160双皮鞋
【分析】设每双皮鞋涨价x 元，则每件皮鞋的利润为()200150x +-元，销售量为
2001005x æö-´ç÷èø
双，再根据总利润=单双皮鞋利润´销售量列出方程求解即可．【详解】解：设每双皮鞋涨价x 元，
由题意得，()20015020010112005x x æö+--´=ç÷èø
，整理得：2506000x x -+=，
解得120x =，230x =，
当20x =时，每双皮鞋的售价为20020220+=元，这时应进20200101605-
´=双皮鞋；当30x =时，每双皮鞋的售价为20030230+=元，这时应进30200101405
-´=双皮鞋；答：每双皮鞋的售价为230元，这时应进140双皮鞋或每双皮鞋的售价为220元，这时应进160双皮鞋．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，正确理解题意找到等量关系列出方程求解是解题的关键．
21．原正方形铁皮的边长为30cm ．
【分析】本题考查了一元二次方程的应用．然后根据题意列出方程()2
5102000x -=，再解方程即可求解．
【详解】解：由题意可得()25102000x -=，
解得123010x x ==-，（不合题意，舍去）．
答：原正方形铁皮的边长为30cm ．
22．（1）y=﹣3x 2+30x ；（2）AB 的长为7米；（3）不能.
【分析】（1）设AB 长为x 米，则BC 长为：（30﹣3x ）米，该花圃的面积为：（30﹣3x ）x ；
进而得出函数关系即可；
（2）将y=63代入（1）中所求的函数关系式，得出关于x的一元二次方程，解方程求出符合题意的x的值，即是所求AB的长；
（3）将y=80代入（1）中所求的函数关系式，得出关于x的一元二次方程，利用根的判别式进行判定即可．
【详解】（1）由题意得：
y=x（30﹣3x），即y=﹣3x2+30x；
（2）当y=63时，﹣3x2+30x=63，
解此方程得x1=7，x2=3．
当x=7时，30﹣3x=9＜10，符合题意；
当x=3时，30﹣3x=21＞10，不符合题意，舍去；
故所围成的花圃的面积为63平方米时，宽AB的长为7米；
（3）不能围成面积为80平方米的花圃．
理由：当y=80时，﹣3x2+30x=80，
整理得3x2﹣30x+80=0，
∵△=（﹣30）2﹣4×3×80=﹣60＜0，
∴这个方程无实数根，
∴不能围成面积为80平方米的花圃．
故答案为不能．
【点睛】考查了二次函数和一元二次方程的实际应用，根据题目的条件，合理地建立函数关系式是解题关键．。