数学分析18隐函数定理及其应用总练习题

数学分析18隐函数定理及其应用总练习题
第十八章隐函数定理及其定理
总练习题
1、方程：y 2-x 2(1-x 2)=0在哪些点的邻域内可惟一地确定连续可导的隐函数y=f(x).
解：由y 2=x 2(1-x 2)知1-x 2≥0, ∴|x|≤1; 且
y 2=x 2(1-x 2
)≤2
2221
-+x x =41, ∴|y|≤21
. 记F=y 2-x 2(1-x 2), 则F, F x =2x 3-2x(1-x 2)=4x 3-2x, F y =2y; 由F y ≠0得y ≠0, 即x ≠0且x ≠±1. 令D={(x,y)||x|≤1,|y|≤2
1
且y ≠0 }, 则F 在D 内每一个邻域内有定义, 且F, F x , F y 在D 上处处连续. 又由F(x,y)=0, F y ≠0知原方程在D 上唯一确定隐函数y=f(x).
2、设函数f(x)在区间(a,b)内连续，函数φ(y)在区间(c,d)内连续，而且φ’(y)>0, 问在怎样条件下，方程φ(y)=f(x)能确定函数y=φ-1(f(x)). 并研究例子(1)siny+shy=x; (2)e -y =-sin 2x.
解：记F(x,y)=φ(y)-f(x), 由 F y =φ’(y)>0知, 若f[(a,b)]∩φ[(c,d)]≠?, 就存在点(x 0,y 0), 满足F(x 0,y 0)=0, 即可在(x 0,y 0)附近确定隐函数y=φ-1(f(x)).
(1)设f(x)=x, φ(y)=siny+shy, 由f,φ在R 上连续且φ’(y)=cosy+chy>0, 又f(R)∩φ(R)=R ≠?, ∴原方程可确定函数y=y(x). (2)∵f(x)=-sin 2x ≤0, φ(y)=e -y >0, ∴f(R)∩φ(R)=?, ∴原方程不能确定函数y=y(x).
3、设f(x,y,z)=0, z=g(x,y), 试求
dx dy ,dx
dz . 解：对方程组f(x,y,z)=0, z=g(x,y)关于x 求导得： f x +f y dx dy +f z dx dz =0, dx dz =g x +g y dx dy , 解得：dx dy =-y z y x z x g f f g f f ++; dx dz =y z y y x x y g f f g
f g f +-.
4、已知G 1(x,y,z), G 2(x,y,z), f(x,y)都可微，g i =G i (x,y,f(x,y)), i=1,2.
证明：)
,()
,(21y x g g ??=z
y
x
z y x
y x
G G G G G G f f 2221111--. 证：∵g 1x =G 1x +G 1z f x , g 1y =G 1y +G 1z f y ; g 2x =G 2x +G 2z f x , g 2y =G 2y +G 2z f y ∴)
,(),(21y x g g ??=
y
x y x
g g g g 2211=(G 1x +G 1z f x )(G 2y +G 2z f y )-(G 1y +G 1z f y )(G 2x +G 2z f x )
=G 1x G 2y +G 1x G 2z f y +G 1z G 2y f x -G 1y G 2x -G 1y G 2z f x -G 1z G 2x f y =z
y
x
z y x
y x
G G G G G G f f 2221111--.
5、设x=f(u,v,w), y=g(u,v,w), z=h(u,v,w), 求
x u ??,y u ??,z
u ??. 解：方程组对x 求导得：=??+??+??=??+??+??=??+??+??001x w h x v h x u h x w
g x v g x
u g x w f x v f x u
f w v u w v u
w v u , 解得：
x u ??=),(),(w v h g ??/)
,,()
,,(w v u h g f ??. 同理可得： y u ??=),(),(w v f h ??/),,(),,(w v u h
g f ??;z u ??=),(),(w v g f ??/),,(),,(w v u h g f ??.
6、试求下列方程所确定的函数的偏导数x u ??,y
u ??. (1)x 2+u 2=f(x,u)+g(x,y,u); (2)u=f(x+u,yu). 解：(1)方程两边对x 求导得：2x+2u x u ??=f x +f u x u ??+g x +g u x u ??, 解得：
x u ??=u
u x x g f u x
g f ---+22; 两边对y 求导得：2u y u ??=f u y u ??+g y +g u y u ??,
解得：y u
=u
u y g f u g --2.
(2)方程两边对x 求导得：x u ??=f 1(1+x u ??)+yf 2x u ??, 解得：x u
=2
111yf f f --; 两边对y 求导得：y u ??=f 1y u ??+ f 2(u+y y u ??), 解得：y u ??=2
121yf f uf --.
7、据理说明：在点(0,1)近旁是否存在连续可微的f(x,y)和g(x,y),
满足f(0,1)=1, 且g(0,1)=-1, 且[f(x,y)]3+xg(x,y)-y=0, [g(x,y)]3+yf(x,y)-x=0.
解：设?
=-+==-+=0),,,(0
),,,(3
3x yu v v u y x G y xv u v u y x F , 则 (1)F,G 在以P 0(0,1,1,-1)为内点的R 4内连续; (2)F,G 在R 4内具有连续一阶偏导数; (3)F(P 0)=0, G(P 0)=0;
(4)
)
,()
,(P v u G F ??=0
2
233P v y x
u =9≠0.
由隐函数组定理知，方程组在P 0附近唯一地确定了在点(0,1)近旁连续可微的两个二元函数u=f(x,y),v=g(x,y). 满足f(0,1)=1, g(0,1)=-1且 [f(x,y)]3+xg(x,y)-y=0, [g(x,y)]3+yf(x,y)-x=0.
8、设(x 0,y 0,z 0,u 0)满足方程组??
=++=++=++)()()()()()()()()()()()(u H z h y h x h u G z g y g x g u F z f y f x f ,这里所有的函数假
定有连续的导数.
(1)说出一个能在该点邻域上确定x,y,z 为u 的函数的充分条件；
(2)在f(x)=x, g(x)=x 2, h(x)=x 3的情形下，上述条件相当于什么？
解：(1)设??
=-++==-++==-++=0)()()()(),,,(0)()()()(),,,(0)()()()(),,,(u H z h y h x h u z y x H u G z g y g x g u z y x G u F z f y f x f u z y x F , 则
F ,
H ,在R 4
内连续且具有一阶连续偏导数； F (x 0,y 0,z 0,u 0)=0,G (x 0,y 0,z 0,u 0)=0,H (x 0,y 0,z 0,u 0)=0, 当
)
,,(),,(P z y x H G F ??≠0时，
原方程组能在P 0(x 0,y 0,z 0,u 0)邻域内确定x,y,z 作为u 的函数.
(2)上述条件相当于20
2
20
00
1
11
z y x z y x ≠0, 即x 0,y 0,z 0两两互异.
9、求由下列方程所确定的隐函数y=f(x)的极值. (1)x 2+2xy+2y 2=1；(2)(x 2+y 2)2=a 2(x 2-y 2) (a>0).
解：(1)令F(x,y)=x 2+2xy+2y 2-1, 则F x =2x+2y, F y =2x+4y, 令
dx dy =-y
x y x 4222++=0, 有x=-y, 代入原方程得：x 2-2x 2+2x 2=1, 解得x=±1.
∴隐函数y=f(x)有稳定点±1, 且f(1)=-1, f(-1)=1.
又22dx
y d =??? ??dx dy dx d =-???
-+++x y x y x y x 2)(2)2(122. 从而)
1,1(2
2-dx
y
d =1>0, )
2-dx y
d =-1<0,
∴当x=1时有极小值-1, x=-1时有极大值1. (2)(x 2+y 2)2=a 2(x 2-y 2) (a>0).
令F(x,y)=(x 2+y 2)2-a 2(x 2-y 2), 则F x =4x(x 2+y 2)-2a 2x, F y =4y(x 2+y 2)+2a 2y,
令dx dy =-y
a )y +2y(x x a -)y +2x(x 222222+=0, 有x=0或y 2=2a 2
-x 2.
当x=0时，y=0, F y =0, 不符合题意，舍去.
将y 2
=2a 2-x 2代入原方程得：4a 4=a 2(2x 2-2
a
2
), 解得x=±83a.
又f(
83a)=±81a, f(-83a)=±8
1
a. ∴隐函数y=f(x)的稳定点有： P 1???? ??a a 81,83, P 2???? ??-a a 81,83, P 3???? ??-a a 81,83, P 4???? ??--a a 81,83. 由22dx y d =??? ??dx dy dx d =-[]
2222222222y
a )y +2y(x y]a )y +][2y(x a -)y 2y 2x(2x )y +[2(x ++'++ +
[]
2
2
22
222222y
a )y +2y(x
x]
a -)y +][2x(x y a )y 2y 2y(2x )y +(x y [2+'+'++',
且在稳定点P i (i=1,2,3,4)均有x 2
+y 2
=2
a 2
及y ’(P i )=0，代入上式有：
i P dx y d 2
2=-i
P y a 2x 2
2, 即22dx y d 与y 异号, ∴i
a a dx y
d
±81,832
2<0, i
a a dx
y
d ???? ??-±81,832
2>0,
即在点P 1, P 3取得极大值a 81,在点P 2, P 4取得极小值-a 8
1
.
10、设y=F(x)和函数x=φ(u,v), y=ψ(u,v), 那么由方程ψ(u,v)=F(φ(u,v))
可以确定函数v=v(u). 试用u,v, du dv , 22du v d 表示dx dy , 22dx
y
d .
解：由x=φ(u,v), y=ψ(u,v), ∴dx dy =u u ψ=
du
dv du dv
v
u v
u ??ψψ++. 于是 22
dx y d =??? ??dx dy dx d =2
22?
+
+
+??? ??+++du dv du dv du v d du dv du dv du dv v u v u v vv vu uv uu ψψψψψ -2
22?
+?
+??? ??+++??? ?
+du dv du v d du dv du dv du dv du dv v u v vv vu uv uu v u ψψ.
11、试证：二次型f(x,y,z)=Ax 2+By 2+Cz 2+2Dyz+2Ezx+2Fxy 在单位球面
x 2+y 2+z 2
=1上的最大值和最小值恰好是矩阵φ=
C D E D B F E F A 的最大特征
值和最小特征值.
试：记L(x,y,z,λ)=Ax 2+By 2+Cz 2+2Dyz+2Ezx+2Fxy-λ(x 2+y 2+z 2-1), 列方程组：
=-++==-++==-++==-++=④
1③02222②02222①
02222222z y x L z Dy Cz Ex L y Dz By Fx L x Ez Fy Ax L z y x λ
λλλ, 由①x+②y+③z 得：
Ax 2+By 2+Cz 2+2Dyz+2Ezx+2Fxy-λ(x 2+y 2+z 2)=0, 又由④得f(x,y,z)=λ.
由①,②,③知λ是对称矩阵φ=
C D E D B F E F A 的特征值.
又f 在有界闭集{f(x,y,z)|x 2+y 2+z 2=1}上连续，∴有最大值,最小值存在. ∴最大值和最小值恰好是矩阵φ的最大特征值和最小特征值.
12、设n 为正整数, x,y>0. 用条件极值方法证明：2n n y x +≥n
y x ??
+2.
证：记L(x,y,λ)=2n n y x ++λ(x+y-a), 列方程组得：
-+==+==+=--a y x L ny L nx L n y n x λλλ020211
, 解得：x=y=2a
. ∵当x →∞或y →∞时, 2n n y x +→∞,
∴2n n y x +必在唯一的稳定点(2a ,2a )处取得最小值n
a
2, 即
2n n y x +≥n
a ??? ??2=n
y x ??
+2.
13、求出椭球22a x +22b
y +22
c z =1在第一卦限中的切平面与三个坐标面所
成四面体的最小体积.
解：椭球面上任一点(x,y,z)处的切平面方程为：
22a x (X-x)+22b y (Y-y)+22c
z
(Z-z)=0, 切平面在坐标轴上的截距分别为：x a 2,y b 2,z
c 2
. 则
椭球面在第一卦限部分上任一点处的切平面与三个坐标面围成的四
面体体积为V=xyz
c b a 62
22. ∴问题转化为求函数V 在条件
22a x +22b
y +22
c z =1 (x>0,y>0,z>0)下的最小值. 记L(x,y,z,λ)=xyz c b a 6222+λ(22a x +22b
y +22c z -1), 列方程组有：
=-++==+-==+-==+-=010260260262222222
22
2222
22222
222c
z b y a x L c
z xyz c b a L b y
z xy c b a L a
x
yz x c b a L z x x λλλλ, 解得：
===3
33
c z b y a x ,
∴最小体积V m =abc c b a 6)3(3222=2
3abc
.
14、设P 0(x 0,y 0,z 0)是曲面F(x,y,z)=1的非奇异点，F 在U(P 0)可微，且为n 次齐次函数.
证明：此曲面在P 0处的切平面方程为：xF x (P 0)+yF y (P 0)+ zF z (P 0)=n. 证：∵F 为n 次齐次函数, 且F(x,y,z)=1，∴xF x +yF y +zF z =nF=n. 曲面在P 0处的切平面方程为：F x (P 0)(x-x 0)+F y (P 0)(y-y 0)+F z (P 0)(z-z 0)=0 即xF x (P 0)+yF y (P 0)+ zF z (P 0)=x 0F x (P 0)+y 0F y (P 0)+ z 0F z (P 0)=n, 得证！。