排列排列数【新教材】人教A版高中数学选择性必修第三册课件

另外,我们规定,0!=1.
激趣诱思
知识点拨
微思考
你认为“排列”和“排列数”是同一个概念吗?它们有什么区别?
提示:“排列”与“排列数”是两个不同的概念,一个排列是指“从n个不
同元素中取出m(m≤n)个元素,按照一定的顺序排成一列”,它不是
一个数,而是具体的一件事.“排列数”是指“从n个不同元素中取出
空法解决.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
解:(1)(捆绑法)将甲、乙两人“捆绑”为一个元素,与其余 5 人全排列,
共有A66 种排法.甲、乙两人可交换位置,有A22 种排法,故共有A66 ×
A22 =1 440(种)排法.
(2)(方法一 间接法)7 人任意排列,有A77 种排法,甲、乙两人相邻的排
答案:B
激趣诱思
知识点拨
二、排列数与排列数公式
1.排列数的定义:从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同
排列的个数,叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数,用符号
m
n 表示.
n!
*
2.排列数公式:m
=n(n-1)(n-2)…(n-m+1)=
,这里
m,n∈N
,并且
n
(n-m)!
m≤n.
(2)甲、乙两人不相邻的排法有多少种?
(3)甲、乙、丙三人必相邻的排法有多少种?
(4)甲、乙、丙三人两两不相邻的排法有多少种?
思路分析:若元素相邻,则可将相邻元素视为一个元素,即将甲、乙
或甲、乙、丙“捆绑”在一起,视为一个元素,与其他元素一起排列.
至于不相邻问题,可以用“总”的排法减去“相邻”的排法,也可以用插
法有A22 × A66 种,故甲、乙不相邻的排法有A77 − A22 × A66 =3 600(种).
(方法二 插空法)将其余 5 人全排列,有A55 种排法,5 人之间及两端共
有 6 个位置,任选 2 个排甲、乙两人,有A26 种排法.故共有A55 × A26 =3
600(种)排法.
探究一
探究二
第 1 类,形如 2□□□,3□□□,4□□□,5□□□,共有A14 ·A35 个;
第 2 类,形如 14□□,15□□,共有A12 ·A24 个;
第 3 类,形如 134□,135□,共有A12 ·A13 个.
由分类加法计数原理知,比 1 325 大的四位数共有
A14 ·A35 + A12 ·A24 + A12 ·A13 =270(个).
激趣诱思
知识点拨
一、排列的相关概念
1.排列:一般地,从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素,并按照一定
的顺序排成一列,叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列.
2.相同排列:两个排列的元素完全相同,且元素的排列顺序也相同.
名师点析理解排列应注意的问题
(1)排列的定义中包括两个基本内容,一是“取出元素”,二是“按一定
(3)根据原方程,x 应满足
≥ 3,
解得x≥3,x∈N*.
根据排列数公式,原方程化为(2x+1)·2x·(2x-1)·(2x-2)
=140x·(x-1)·(x-2).
因为x≥3,两边同除以4x(x-1),得(2x+1)(2x-1)=35(x-2),
即4x2-35x+69=0,解得x=3或x=
所以原方程的解为x=3.
B.甲乙丙、乙丙甲
C.甲乙、甲丙、乙甲、乙丙、丙甲、丙乙
D.甲乙、甲丙、乙丙
解析:从三人中选出两人,而且要考虑这两人的顺序,所以有如下几
种站法:甲乙、甲丙、乙甲、乙丙、丙甲、丙乙.
答案:C
探究一
探究二
探究三
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排列数公式
例2求解下列问题:
(1)用排列数表示(55-n)(56-n)…(69-n)(n∈N*,且n<55).
简单的排列问题
例1(1)有5个不同的科研小课题,从中选3个由高二(6)班的3个学习
兴趣小组进行研究,每组一个课题,共有多少种不同的安排方法?
(2)12名选手参加校园歌手大奖赛,比赛设一等奖、二等奖、三等奖
各一名,每人最多获得一种奖项,共有多少种不同的获奖情况?
思路分析:(1)从5个不同的科研小课题中选出3个分给3个兴趣小组,
根据分步乘法原理得A15 × A22 × A55 =1 200(种),
故有 1 200 种排法.
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反思感悟 元素相邻和不相邻问题的解题策略
限制条件
元素相邻
元素不相邻
解题策略
通常采用“捆绑”法,即把相邻元素看作一个整体参
与其他元素排列
通常采用“插空”法,即先考虑不受限制的元素的排
列,再将不相邻元素插在前面元素排列的空中
探究一
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变式训练3用0,1,2,3,4,5这六个数字:
(1)能组成多少个无重复数字的四位偶数?
(2)能组成多少个无重复数字且为5的倍数的五位数?
(3)能组成多少个比1 325大的四位数?
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解:(1)符合要求的四位偶数可分为三类:
思维脉络
激趣诱思
知识点拨
经历了7月高考的洗礼,考生们就可以报考自己理想的大学了.大学
录取的依据是考生所填写的高考录取志愿表和考生的考分.大学录
取是按批次进行的,每个批次里考生可以选择若干个学校.假如你
已经选中了第一批本科中较为满意的8个学校和5个专业,那么在填
写录取志愿表时,将有多少种不同的填写方法呢?
要注意各个小组得到不同的科研课题属于不同的情况;
(2)从12名选手中选出3名选手分别得一等奖、二等奖、三等奖.
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解:(1)从5个不同的科研小课题中选出3个,由3个学习兴趣小组进行
研究,对应于从5个不同元素中取出3个元素的一个排列.
因此不同的安排方法有A35 =5×4×3=60(种).
23
(因为x为整数,所以应舍去).
4
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反思感悟 应用排列数公式时应注意三个方面问题
(1)准确展开.应用排列数公式展开时要注意展开式的项数要准确.
(2)合理约分.若运算式是分式形式,则要先约分后计算.
(3)合理组合.运算时要结合数据特点,应用乘法的交换律、结合律,
进行数据的组合,可以提高运算的速度和准确性.
m(m≤n)个元素的所有不同排列的个数”,它是一个数.
激趣诱思
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微练习
从5面不同颜色的小旗中取出三面,按从上到下的顺序排在一起表
示信号,不同的顺序表示不同的信号,则一共可表示
种不同
的信号.
解析:一共可表示 A35 =5×4×3=60(种)不同的信号.
答案:60
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看结果是否发生变化,有变化是有序,无变化就是无序.
激趣诱思
知识点拨
微练习
下列问题中:
①10本不同的书分给10名同学,每人一本;
②10位同学互通一次电话;
③10位同学互通一封信;
④10个没有任何三点共线的点构成的线段.
属于排列的有(
)
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
解析:由排列的定义可知①③是排列,②④不是排列.
顺序排列”.
(2)定义中的“一定顺序”说明了排列的本质:有序.
激趣诱思
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微思考
如何判断一个具体问题是否为排列问题?
提示:(1)首先要保证元素无重复性,即从n个不同元素中,取出m个不
同的元素,否则不是排列问题.
(2)要保证元素的有序性,即安排这m个元素时是有序的,有序就是排
列,无序则不是排列.而检验它是否有序的依据是变换元素的位置,
激趣诱思
知识点拨
3.全排列和阶乘:n 个不同元素全部取出的一个排列,叫做 n 个元素的
一个全排列.这时,排列数公式中 m=n,即有
A =n(n-1)(n-2)×…×3×2×1.也就是说,将 n 个不同的元素全部取出
的排列数,等于正整数 1 到 n 的连乘积.正整数 1 到 n 的连乘积,叫做
n 的阶乘,用 n!表示.于是,n 个元素的全排列数公式可以写成A =n!.
第 1 类,当 0 在个位时,有A35 个;
第 2 类,当 2 在个位时,千位从 1,3,4,5 中选定 1 个(有A14 种),十位和百
位从余下的数字中选(有A24 种),于是有A14 ·A24 个;
第 3 类,当 4 在个位时,与第二类同理,也有A14 ·A24 个.
由分类加法计数原理知,符合题意的四位偶数共有A35 + A14 ·A24 +
探究三
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(3)(捆绑法)将甲、乙、丙三人捆绑在一起与其余 4 人全排列,有A55 种
排法,甲、乙、丙三人有A33 种排法,共有A55 × A33 =720(种)排法.
(4)(插空法)将其余 4 人排好,有A44 种排法.将甲、乙、丙插入 5 个空
中,有A35 种排法.
故共有A44 × A35 =1 440(种)排法.
(2)从12名选手中选出3名获奖并安排奖次,共有 A312=12×11×10=
1 320(种)不同的获奖情况.
反思感悟 对简单的没有限制条件的排列问题,在分清元素和位置
的情况下,直接用排列数公式进行计算.
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探究二
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变式训练1从甲、乙、丙三人中选两人站成一排的所有站法为
(
)
A.甲乙、乙甲、甲丙、丙甲
2A58 +7A48
(2)计算
A88 -A59
.
(3)解方程:A42的定义解答即可;(2)直接用排列数公式
计算;(3)用排列数的公式展开得方程求解,要注意x的取值范围,并检
验根是否合理.
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解:(1)因为55-n,56-n,…,69-n中的最大数为69-n,且共有69-n-(55n)+1=15(个),
A14 ·A24 =156(个).
(2)是 5 的倍数的五位数可分为两类:个位数字是 0 的五位数有A45 个;
个位数字是 5 的五位数有A14 ·A34 个.
故满足条件的五位数共有A45 + A14 ·A34 =216(个).
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(3)比 1 325 大的四位数可分为三类:
所以(55-n)(56-n)…(69-n)=A15
.
69-
2A58 +7A48
(2)
A88 -A59
2×8×7×6×5×4+7×8×7×6×5
=
8×7×6×5×4×3×2×1-9×8×7×6×5
8×7×6×5×(8+7)
=
=1.
8×7×6×5×(24-9)
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2 + 1 ≥ 4,
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一题多解——用多种方法解决排列问题
典例有4名男生、5名女生,全体排成一行,问下列情形各有多少种
不同的排法?
(1)甲不在中间,也不在两端;
(2)甲、乙两人必须排在两端;
(3)男女相间.
【审题视点】这是一个排列问题,一般情况下,从受到限制的特殊
元素开始考虑,或从特殊的位置开始考虑.
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-2
变式训练 2(1)解不等式:A8 <6A8 .
-1

(2)求证:A
−
A
=mA .
+1
(1)解:原不等式即为
8!
8!
<6×
,
(8-)!
(10-)!
化简得 x2-19x+84<0,解得 7<x<12.
8 ≥ ,
∵
即 3≤x≤8,且 x∈N*,∴x=8.
-2 ≥ 1,
(+1)!
!
!
+1
!
(2)证明左边=(+1-)!− (-)! = (-)!· +1- -1 = (-)!·

!
-1
=m·
=mA
,
+1-
(+1-)!
故原等式成立.
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“邻”与“不邻”问题
例37人站成一排.
(1)甲、乙两人相邻的排法有多少种?
探究一
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解:(1)(方法一 元素分析法)
先排甲有 6 种排法,其余有A88 种排法,故共有 6·A88 =241 920(种)排法.
(方法二 位置分析法)
中间和两端有A38 种排法,包括甲在内的其余 6 人有A66 种排法,故共有
A38 ·A66 =336×720=241 920(种)排法.
6.2.1
排列
6.2.2
排列数
课标阐释
1.理解并掌握排列、排列数的概念,
能用列举法、树状图法列出简单的
排列.(数学抽象)
2.掌握排列数公式及其变式,并能
运用排列数公式熟练地进行相关
计算.(数学运算)
3.掌握有限制条件的排列应用题
的一些常用方法,并能运用排列的
相关知识解一些简单的排列应用
题.(数学运算)
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
延伸探究 对于本例中的7人,甲、乙两人之间只有1人的排法有多
少种?
解:第 1 步,从其余 5 人中选 1 人放于甲、乙之间,有A15 种排法.
第 2 步,将甲、
乙及中间 1 人看作一个元素与其他四个人全排,有A55 种
排法.
第 3 步,中间 1 人固定,甲、乙两人排列,有A22 种排法.