福建省晋江市季延中学高考数学函数的概念与基本初等函数多选题与热点解答题组合练附答案

福建省晋江市季延中学高考数学函数的概念与基本初等函数多选题
与热点解答题组合练附答案
一、函数的概念与基本初等函数多选题
1．对于具有相同定义域D 的函数()f x 和()g x ，若存在函数()h x kx b =+（k ，b 为常
数），对任给的正数m ，存在相应的0x D ∈，使得当x D ∈且0
x x >时，总有()()()()00f x h x m
h x g x m ⎧<-<⎪⎨
<-<⎪⎩
，则称直线:l y kx b =+为曲线()y f x =与()y g x =的“分渐近线”.给出定义域均为{}
|1D x x =>的四组函数，其中曲线()y f x =与()y g x =存在“分渐近线”的是（ ）
A ．()2
f x x =，()
g x =
B ．()10
2x
f x -=+，()23
x g x x
-=
C ．()21
x f x x
+=，()ln 1ln x x g x x +=
D ．()221
x f x x =+，()()21x
g x x e -=--
【答案】BD 【分析】
根据分渐近线的定义，对四组函数逐一分析，由此确定存在“分渐近线”的函数. 【详解】
解：()f x 和()g x 存在分渐近线的充要条件是x →∞时，
()()0,()()f x g x f x g x -→>．
对于①，()2
f x x =，()
g x =
当1x >时，令()()()2
F x f x g x x =-=，
由于()20
F x x '=-
>，所以()h x 为增函数，
不符合x →∞时，()()0f x g x -→，所以不存在分渐近线； 对于②，()10
22x
f x -=+>，()23
2,(1)x g x x x
-=
<> ()()f x g x ∴>，
2313
()()10210x
x
x f x g x x x
--⎛⎫-=+-=+ ⎪⎝⎭，
因为当1x >且x →∞时，()()0f x g x -→，所以存在分渐近线；
对于③，21
()x f x x
+=，ln 1()ln x x g x x +=，
21111111
()()ln ln ln x x nx f x g x x x x x x x x x
++-=-=+--=-
当1x >且x →∞时，
1x 与1ln x 均单调递减，但1x
的递减速度比1
ln x 快，
所以当x →∞时，()()f x g x -会越来越小，不会趋近于0，所以不存在分渐近线；
对于④，22()1
x f x x =+，()()21x
g x x e -=--，
当x →∞时，
22()()220+1222
+1x x x f x g x x e x x e
--=-+++=→，且()()0f x g x ->，
因此存在分渐近线．
故存在分渐近线的是BD ． 故选：BD ． 【点睛】
本小题主要考查新定义概念的理解和运用，考查函数的单调性，属于难题.
2．已知正数,,x y z ，满足3412x y z ==，则（ ） A ．634z x y << B ．
121x y z
+= C ．4x y z +> D ．24xy z <
【答案】AC 【分析】
令34121x y z m ===>，根据指对互化和换底公式得：
111
log 3log 4log 12m m m x y z
===，，，再依次讨论各选项即可. 【详解】
由题意，可令34121x y z m ===>，由指对互化得：
111
,,log 3log 4log 12
m m m x y z ===， 由换底公式得：111log 3,log 4,log 12m m m x y z ===，则有111
x y z
+=，故选项B 错误； 对于选项A ，
124
log 12log 9log 03
m m m z x -=-=>，所以2x z >，又4381log 81log 64log 064
m m m x y -=-=>，所以43y x >，所以436y x z >>，故选项A
正确；
对于选项C ､D ，因为111x y z +=，所以xy z x y =+，所以()
()
()
()
2
2
2222
2
440x y xy x y xy x y z xy x y x y -+--=
=-
<++，
所以2
4xy z >，则()24z x y z +>，则4x y z +>，所以选项C 正确，选项D 错误；
故选：AC. 【点睛】
本题考查指对数的运算，换底公式，作差法比较大小等，考查运算求解能力，是中档题.本
题解题的关键在于令34121x
y
z
m ===>，进而得
111
,,log 3log 4log 12
m m m x y z ===，再根据题意求解.
3．高斯是德国著名数学家、物理学家、天文学家、大地测量学家，近代数学奠基者之一.高斯被认为是历史上最重要的数学家之一，并享有“数学王子”之称.有这样一个函数就是以他名字命名的：设x ∈R ，用[]x 表示不超过x 的最大整数，则[]
()f x x =称为高斯函数，又称为取整函数.如：(2.3)2f =，( 3.3)4f -=-.则下列正确的是（ ） A ．函数()f x 是R 上单调递增函数
B ．对于任意实数a b ，
，都有()()()f a f b f a b +≤+ C ．函数()()g x f x ax =-（0x ≠）有3个零点，则实数a 的取值范围是
34434532⎛⎤⎡⎫
⋃ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭
，， D ．对于任意实数x ，y ，则()()f x f y =是1x y -<成立的充分不必要条件 【答案】BCD 【分析】
取反例可分析A 选项，设出a ，b 的小数部分，根据其取值范围可分析B 选项，数形结合可分析C 选项，取特殊值可分析D 选项． 【详解】
解：对于A 选项，()()1 1.21f f ==，故A 错误；
对于B 选项，令[]
a a r =+，[]
(,b b q r =+q 分别为a ，b 的小数部分)， 可知[]01r a a =-<，[]01q b b =-<，[]0r q +≥， 则()[][][][][][][]()()f a b a b r q a b r q a b f a f b ⎡⎤+=+++=++++=+⎣⎦，故B 错
误；
对于C 选项，可知当1k x k ≤<+，k Z ∈时，则()[]
f x x k ==，
可得()f x 的图象，如图所示：
函数()()()0g x f x ax x =-≠有3个零点，
∴函数()f x 的图象和直线y ax =有3个交点，且()0,0为()f x 和直线y ax =必过的
点，
由图可知，实数a 的取值范围是][34
43,,45
32⎛⎫⋃
⎪⎝⎭，故C 正确；
对于D 选项，当()()f x f y =时，即r ，q 分别为x ，y 的小数部分，可得01r ≤<，
01q ≤<，
[][]101x y x r y q r q -=+--=-<-=；
当1x y -<时，取0.9x =-，0.09y =，可得[]1x =-，[]
0y =，此时不满足
()()f x f y =，
故()()f x f y =是1x y -<成立的充分不必要条件，故D 正确； 故选：BCD ． 【点睛】
本题考查函数新定义问题，解答的关键是理解题意，转化为分段函数问题，利用数形结合思想；
4．已知函数()2221,0
21,0
x x x f x x x x ⎧++≥=⎨-++<⎩,则下列判断正确的是（ ）
A ．()f x 为奇函数
B ．对任意1x ,2x R ∈,则有()()()12120x x f x f x --≤⎡⎤⎣⎦
C ．对任意x ∈R ,则有()()2f x f x +-=
D ．若函数()y f x mx =-有两个不同的零点,则实数m 的取值范围是()()–,04,∞+∞
【答案】CD 【分析】
根据函数的奇偶性以及单调性判断AB 选项；对x 进行分类讨论，判断C 选项；对选项D ，构造函数，将函数的零点问题转化为函数图象的交点问题，即可得出实数m 的取值范围. 【详解】
对于A 选项，当0x >时，0x -<，则
()
22()()2()121()f x x x x x f x -=--+-+=-+-≠-
所以函数()f x 不是奇函数，故A 错误； 对于B 选项，221y x x =++的对称轴为1x =-，221y x x =-++的对称轴为1x =
所以函数221y x x =
++在区间[0,)+∞上单调递增，函数221y x x =-++在区间(,0)
-∞上单调递增，并且2202010201+⨯+=-+⨯+ 所以()f x 在R 上单调递增
即对任意()1122,,x x x x R <∈，都有()()12f x f x <
则()()()()()121212120,00x x f x f x x x f x f x ⎡⎤-<-⇒--⎣⎦，故B 错误； 对于C 选项，当0x >时，0x -<，则 22
()()2()121f x x x x x -=--+-+=--+ 则2
2
()()21212f x f x x x x x +-=++--+= 当0x =时，(0)(0)1f f -==，则(0)(0)2f f -+=
当0x <时，0x ->，则2
2
()()2()121f x x x x x -=-+-+=-+ 则2
2
()()21212f x f x x x x x +-=-+++-+= 即对任意x ∈R ,则有()()2f x f x +-=，故C 正确；
对于D 选项，当0x =时，()010y f ==≠，则0x =不是该函数的零点 当0x ≠时，()()0f x f x x
m x m -=⇔=
令函数()()g x f x x
=
，函数y m =
由题意可知函数y m =与函数()()g x f x x
=
的图象有两个不同的交点
因为()0f x ≥时，)12,x ⎡∈-+∞⎣，()0f x <
时，()
,12x ∈-∞-
所以12,012,122)01
,12(x x x x x x x x x g x ⎧
++>⎪⎪
⎪
-++-≤<⎨⎪⎪--<-⎩
=⎪
当0x >时，设1
201x x ，()()()()121212121212
111x x x x g x g x x x x x x x ---=+
--= 因为12120,10x x x x -<-<，所以()()120g x g x ->，即()()12g x g x > 设121x x <<，()()()()12121212
10
x x x x g x g x x x ---=
<，即()()12g x g x <
所以函数()g x 在区间(0,1)上单调递减，在区间(1,)+∞上单调递增
同理可证，函数()g x 在区间)12,0⎡-⎣上单调递减，在区间()
,12-∞-上单调递增
1
1241)1
(g ++==
函数()g x 图象如下图所示
由图可知，要使得函数y m =与函数()()g x f x x
=的图象有两个不同的交点
则实数m 的取值范围是()()–,04,∞+∞，故D 正确；
故选：CD 【点睛】
本题主要考查了利用定义证明函数的单调性以及奇偶性，由函数零点的个数求参数的范围，属于较难题.
5．已知()f x 为R 上的奇函数，且当0x >时，()lg f x x =.记
()sin ()cos g x x f x x =+⋅，下列结论正确的是（ ）
A ．()g x 为奇函数
B ．若()g x 的一个零点为0x ，且00x <，则()00lg tan 0x x --=
C ．()g x 在区间,2ππ⎛⎫
-
⎪⎝⎭
的零点个数为3个 D ．若()g x 大于1的零点从小到大依次为12,,x x ，则1223x x ππ<+<
【答案】ABD 【分析】
根据奇偶性的定义判断A 选项；将()0g x =等价变形为tan ()x f x =-，结合()f x 的奇偶性判断B 选项，再将零点问题转化为两个函数的交点问题，结合函数()g x 的奇偶性判断C 选项，结合图象，得出12,x x 的范围，由不等式的性质得出12x x +的范围. 【详解】
由题意可知()g x 的定义域为R ，关于原点对称
因为()()()sin ()cos sin ()cos ()g x x f x x x f x x g x -=-+-⋅-=--⋅=-，所以函数()g x 为奇函数，故A 正确； 假设cos 0x =，即,2x k k Z π
π=+∈时，sin ()co cos s sin 02x k x f x k πππ⎛⎫
++⋅==≠ ⎪⎝⎭
所以当,2
x k k Z π
π=+∈时，()0g x ≠
当,2
x k k Z π
π≠
+∈时，sin ()cos 0tan ()x f x x x f x +⋅=⇔=-
当00x <，00x ->，则()000()()lg f x f x x =--=--
由于()g x 的一个零点为0x ， 则()()00000tan ()lg t lg an 0x x f x x x =-=⇒--=-，故B 正确；
当0x >时，令12tan ,lg y x y x ==-，则()g x 大于0的零点为12tan ,lg y x y x ==-的交点，由图可知，函数()g x 在区间()0,π的零点有2个，由于函数()g x 为奇函数，则函数
()g x 在区间,02π⎛⎫
- ⎪⎝⎭
的零点有1个，并且(0)sin 0(0)cos00g f =+⋅=
所以函数在区间,2ππ⎛⎫
-
⎪⎝⎭
的零点个数为4个，故C 错误；
由图可知，()g x 大于1的零点123,
22
2
x x π
π
ππ<<<< 所以1223x x ππ<+< 故选：ABD 【点睛】
本题主要考查了判断函数的奇偶性以及判断函数的零点个数，属于较难题.
6．定义在R 上的函数()(),()22(2)f x x g x g x x g x =+=--+--,若()f x 在区间
[1,)-+∞上为增函数,且存在20t -<<,使得(0)()0f f t ⋅<.则下列不等式一定成立的是( )
A ．2
1(1)()2
f t t f ++> B ．(2)0()f f t ->> C ．(2)(1)f t f t +>+
D ．(1)()f t f t +>
【答案】ABC 【分析】
先由()(),()22(2)f x x g x g x x g x =+=--+--推出()f x 关于1x =-对称，然后可得出B 答案成立，对于答案ACD ，要比较函数值的大小，只需分别看自变量到对称轴的距离的大小即可 【详解】
因为()(),()22(2)f x x g x g x x g x =+=--+--
所以(2)2(2)2()22()()f x x g x x g x x g x x f x --=--+--=--+++=+= 所以()f x 关于1x =-对称，所以(0)(2)f f =- 又因为()f x 在区间[1,)-+∞上为增函数，20t -<< 所以(0)(2)()f f f t =-> 因为(0)()0f f t ⋅<
所以()0,(2)(0)0f t f f <-=> 所以选项B 成立
因为2
2
311
20224
t t t ⎛⎫++-=++> ⎪⎝⎭
所以21t t ++比
1
2
离对称轴远 所以2
1(1)()2
f t t f ++>，所以选项A 成立 因为()()2
2
32250t t t +-+=+>
所以32t t +>+，所以2t +比1t +离对称轴远 所以(2)(1)f t f t +>+，即C 答案成立
因为20t -<<，所以()()2
2
2123t t t +-+=+符号不定 所以2t +，1t +无法比较大小，所以(1)()f t f t +>不一定成立 所以D 答案不一定成立 故选：ABC 【点睛】
本题考查的是函数的性质，由条件得出()f x 关于1x =-对称是解题的关键.
7．德国著名数学家狄利克雷(Dirichlet ,1805~1859)在数学领域成就显著.19世纪,狄利克雷定
义了一个“奇怪的函数” ()1,0,R x Q
y f x x C Q ∈⎧==⎨∈⎩
其中R 为实数集,Q 为有理数集.则关于函
数()f x 有如下四个命题,正确的为( ) A ．函数()f x 是偶函数
B ．1x ∀,2R x
C Q ∈,()()()1212f x x f x f x +=+恒成立 C ．任取一个不为零的有理数T ,f x T
f x 对任意的x ∈R 恒成立
D ．不存在三个点()()11,A x f x ,()()22,B x f x ,()()
33C x f x ，,使得ABC ∆为等腰直角三角形 【答案】ACD 【分析】
根据函数的定义以及解析式，逐项判断即可． 【详解】
对于A ，若x Q ∈，则x Q -∈，满足()()f x f x =-；若R x C Q ∈，则R x C Q -∈，满足()()f x f x =-；故函数()f x 为偶函数，选项A 正确；
对于B ，取12,R R x C Q x C Q ππ=∈=-∈，则()()1201f x x f +==，
()()120f x f x +=，故选项B 错误；
对于C ，若x Q ∈，则x T Q +∈，满足()()f x f x T =+；若R x C Q ∈，则
R x T C Q +∈，满足()()f x f x T =+，故选项C 正确；
对于D ，要为等腰直角三角形，只可能如下四种情况：
①直角顶点A 在1y =上，斜边在x 轴上，此时点B ，点C 的横坐标为无理数，则BC 中点的横坐标仍然为无理数，那么点A 的横坐标也为无理数，这与点A 的纵坐标为1矛盾，故不成立；
②直角顶点A 在1y =上，斜边不在x 轴上，此时点B 的横坐标为无理数，则点A 的横坐标也应为无理数，这与点A 的纵坐标为1矛盾，故不成立；
③直角顶点A 在x 轴上，斜边在1y =上，此时点B ，点C 的横坐标为有理数，则BC 中点的横坐标仍然为有理数，那么点A 的横坐标也应为有理数，这与点A 的纵坐标为0矛盾，故不成立；
④直角顶点A 在x 轴上，斜边不在1y =上，此时点A 的横坐标为无理数，则点B 的横坐标也应为无理数，这与点B 的纵坐标为1矛盾，故不成立．
综上，不存在三个点()()
11,A x f x ，()()22,B x f x ，()()
33C x f x ，，使得ABC ∆为等腰直角三角形，故选项D 正确． 故选：ACD ． 【点睛】
本题以新定义为载体，考查对函数性质等知识的运用能力，意在考查学生运用分类讨论思想，数形结合思想的能力以及逻辑推理能力，属于难题．
8．太极图是由黑白两个鱼形纹组成的图案，俗称阴阳鱼，太极图展现了一种互相转化，相对统一的和谐美. 定义：能够将圆O 的周长和面积同时等分成两个部分的函数称为圆O 的一个“太极函数”.则下列有关说法中，正确的是（ ）
A ．对于圆O ：221x y +=的所有非常数函数的太极函数中，一定不能为偶函数
B ．函数()sin 1f x x =+是圆O ：()2
211x y +-=的一个太极函数
C ．存在圆O ，使得()1
1
x x e f x e -=+是圆O 的一个太极函数
D ．直线()()12110m x m y +-+-=所对应的函数一定是圆O ：
()()
()22
2210x y R R -+-=>的太极函数
【答案】BCD 【分析】
利用“太极函数”的定义逐个判断函数是否满足新定义即可. 【详解】
对于A ，如下图所示，若太极函数为偶函数，且ACE
PCO
POD
DFB
S
S
S
S
===，所以该函
数平分圆O 的周长和面积，故A 错误；
对于B ，()sin 1f x x =+也关于圆心(0,1) 对称，平分圆O 的周长和面积，所以函数
()sin 1f x x =+是圆()2
2:11O x y +-=的一个太极函数；故B 正确；
对于C ，()()
+1212
1+1+1+1
x x x x x e e f x e e e --===-，. ()()1
1
111+11++1x
x
x x x
x e e e f x f x e e e
------====-，该函数为奇函数，图象关于原点对称. 所以存在圆O ：2
2
1x y +=使得()1
1
x x e f x e -=+是圆O 的一个太极函数，如下图所示，故
C 正确；
对于D ，对于直线()()12110m x m y +-+-=的方程，变形为
()()210m x y x y -+--=，
令2010x y x y -=⎧⎨
--=⎩，得2
1x y =⎧⎨=⎩
，直线()()12110m x m y +-+-=经过圆O 的圆心，可以平
分圆O 周长和面积，故D 正确. 故选：BCD. 【点睛】
本题考查函数对称性的判定与应用，将新定义理解为函数的对称性为解题的关键，考查推理能力，属于较难题.
9．已知()x x f x e ke -=+（k 为常数），那么函数()f x 的图象不可能是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】AD 【分析】
根据选项，四个图象可知备选函数都具有奇偶性．当1k =时，()x
x f x e e -=+为偶函数，
当1k =-时，()x
x f x e e -=-为奇函数，再根据单调性进行分析得出答案．
【详解】
由选项的四个图象可知，备选函数都具有奇偶性． 当1k =时，()x x f x e
e -=+为偶函数，
当0x ≥时，1x t e =≥且单调递增，而1y t t
=+在1) [,t ∈+∞上单调递增， 故函数()x
x f x e
e -=+在0) [,x ∈+∞上单调递增，故选项C 正确，D 错误；
当1k =-时，()x
x f x e e -=-为奇函数，
当0x ≥时，1x t e =≥且单调递增，而1y t t
=-在1) [,t ∈+∞上单调递减， 故函数()x
x f x e e -=-在0) [,x ∈+∞上单调递减，故选项B 正确，A 错误.
故选:AD ． 【点睛】
关键点点睛：本题考查函数性质与图象，本题的关键是根据函数图象的对称性，可知1k =或1k =-，再判断函数的单调性.
10．已知当0x >时，2()24f x x x =-+；0x ≤时(2)y f x =+，以下结论正确的是（ ）
A ．()f x 在区间[]6,4--上是增函数；
B ．()()220212f f -+-=；
C ．函数()y f x =周期函数，且最小正周期为2；
D ．若方程()1f x kx =+恰有3
个实根，则1
42
k <<-
4k =； 【答案】BD 【分析】
利用函数的性质，依次对选项加以判断，ABC 考查函数的周期性及函数的单调性，重点理解函数周期性的应用，是解题的关键，D 选项考查方程的根的个数，需要转化为两个函数的交点个数，在同一图像中分别研究两个函数，临界条件是直线与函数()f x 相切，结合图像将问题简单化. 【详解】
对于A ，0x ≤时(2)y f x =+，
即()f x 在区间[]6,4--上的单调性与()f x 在区间[]
0,2上单调性一致， 所以()f x 在[]6,5--上是增函数，在[]
5,4--上是减函数，故A 错误； 对于B ，当0x ≤时，()2()f x f x +=，
()()22=22242=0f f -=-⨯+⨯，
()()()()20211=1+2=1=2+42f f f f -=---=，故B 正确；
对于C ，当0x ≤时，()2()f x f x +=， 当0x >时，()f x 不是周期函数，故C 错误； 对于D ，由0x >时，2
()24f x x x =-+；
0x ≤时(2)y f x =+，可求得当20x -<<时，2()24f x x x =--；
直线1y kx =+恒过点(0,1)，方程()1f x kx =+恰有3个实根， 即函数()f x 和函数1y kx =+的图像有三个交点，
当0k >时，直线1y kx =+与函数()f x （0x >）相切于点00(,)x y ，
则0200012
44124k k x kx x x
⎧
>⎪⎪=-+⎨⎪+=-+⎪⎩
，解得04k x ⎧=-⎪
⎨⎪⎩，
要函数()f x 和函数1y kx =+的图像有三个交点， 则k
的取值范围为：
1
42
k <<- 当0k <时，当0x >时，直线1y kx =+与函数()f x 有两个交点， 设直线1y kx =+与函数()f x （0x ≤）相切于点00(,)x y ''，
则020*******k x kx x x =-'-⎧⎨'+=-'-'⎩，解得0224
2=
k x ⎧=-⎪
⎨'-
⎪⎩
综上，方程()1f x kx =+有3个实根， 则
1
4222
k <<-或224k =-,故D 正确.
故选：BD. 【点睛】
本题考查函数的性质，单调性，及函数零点个数的判断，主要考查学生的逻辑推理能力，数形结合能力，属于较难题.
11．已知函数22(2)log (1),1
()2,1x x x f x x +⎧+>-⎪=⎨≤-⎪⎩，若关于x 的方程()f x m =有四个不等实根
1x ，2x ，3x ，()41234x x x x x <<<，则下列结论正确的是（ ）
A ．12m <≤
B ．11sin cos 0x x ->
C ．3441x x +>-
D ．22
12log 2m
x x ++10
【答案】ACD 【分析】
画出()f x 的图象，结合图象求得1234,,,,m x x x x 的取值范围，利用特殊值确定B 选项错误，利用基本不等式确定CD 选项正确. 【详解】
画出()f x 的图象如下图所示，
由于关于x 的方程()f x m =有四个不等实根1x ，2x ，3x ，()41234x x x x x <<<， 由图可知12m <≤，故A 选项正确. 由图可知12,x x 关于直线2x =-对称，故
12
122,42
x x x x +=-+=-，
由(
)
()2
2221x x +=≤-解得3x =-或1x =-，
所以1232,21x x -≤<--<≤-，
3324π-<-
<-，当134x π=-
时，1212sin cos ,sin cos 02
x x x x ==--=，所以B 选项错误. 令()()2
22
1x m x +=≤-，()2
2log 2log 1x m m m +==，()2
2log 21m x +=，
(
)2
22log 1m x +=，12,x x 是此方程的解，
所以()
2
11log 22m x =
+
，或()2
21log 22m x =
+，
故()()
2
222
12112
11
log 422m x x x x x ++=+--+
+
()()
2
12
1122881022x x =++
+≥=+，
当且仅当()()
2
112
11
522,222x x x +=
=-+时等号成立，故D 选项正确. 由图象可知()()2324log 1log 1x x +=-+，
()()2324log 1log 10x x +++=，()()34111x x +⋅+=，4433111,111
x x x x +=
=-++， 由()()2log 111x x +=>-，解得1x =或1
2
x =-，
由()()2log 121x x +=>-，解得3x =或3
4
x =-， 所以3431
,1342
x x -
≤<-<≤， ()34333311
44145111
x x x x x x +=+
-+=-+
++ 51≥=-①. 令()()21134,1,142
1x x x x +=
==-++或12x =-，
所以①的等号不成立，即3441x x +>-，故C 选项正确. 故选：ACD
【点睛】
求解有关方程的根、函数的零点问题，可考虑结合图象来求解.求解不等式、最值有关的问题，可考虑利用基本不等式来求解.
12．已知函数()()()52
log 1,1
22,1
x x f x x x ⎧-<⎪=⎨--+≥⎪⎩，则方程12f x a x ⎛⎫
+-= ⎪⎝⎭
的实根个数可能为
（ ） A ．8 B ．7
C ．6
D ．5
【答案】ABC 【分析】
以()1f x =的特殊情形为突破口，解出1x =或3或45或4-，将1
2x x
+-看作整体，利用换元的思想进一步讨论即可. 【详解】 由基本不等式可得
120x x +-≥或1
24x x
+-≤-， 作出函数()()()52
log 1,122,1
x x f x x x ⎧-<⎪=⎨--+≥⎪⎩的图像，如下：
①当2a >时，1
224x x +-≤-或1021x x
<+-<， 故方程12f x a x ⎛
⎫
+
-= ⎪⎝
⎭
的实数根个数为4； ②当2a =时，1224x x +-=-或1021x x <+-<或1
22x x
+-=， 故方程12f x a x ⎛
⎫
+
-= ⎪⎝
⎭
的实数根个数为6； ③当12a <<时，12424x x -<+-<-或1021x x <+-<或1
122x x
<+-< 或1
223x x
<+
-<， 故方程12f x a x ⎛⎫
+
-= ⎪⎝
⎭
的实数根个数为8； ④当1a =时，124x x +-=-或1021x x <+-<或121x x +-=或1
23x x
+-=，
故方程12f x a x ⎛
⎫
+
-= ⎪⎝
⎭
的实数根个数为7； ⑤当01a <<时，1420x x -<+-<或1
324x x
<+-<， 故方程12f x a x ⎛
⎫
+
-= ⎪⎝
⎭
的实数根个数为2； ⑥当0a =时，1
20x x +-=或1324x x
<+-<， 故方程12f x a x ⎛
⎫
+
-= ⎪⎝
⎭
的实数根个数为3； ⑦当0a <时，1
23x x
+->， 故方程12f x a x ⎛⎫
+-= ⎪⎝
⎭
的实数根个数为2； 故选：ABC 【点睛】
本题考查了求零点的个数，考查了数形结合的思想以及分类讨论的思想，属于难题.
13．设s,t 0>，若满足关于x s =恰有三个不同的实数解
123,x x x s <<=则下列选项中，一定正确的是（ ）
A ．1230x x x ++>
B ．6425s t ⋅=
C ．
45
t s = D ．144
25
s t +=
【答案】CD 【分析】
设()f x ()f x 为偶函数，从而有1230x x x ++=，因此方程
()=f x s
必有一解为0，代入得s =，分0x t ≤≤和x t >两种情况得出函数()f x 的单调性和最值，从而求得s t ，，可得选项. 【详解】
设()f x ()f x 为偶函数，所以1230x x x ++=，
所以()=f x s ，其中必有一解为0，则()0 f s s ==∴=，
①当0x t ≤≤时，()f x ≤当且仅当0x =时取等号；
②当x t >时，()f x =(),t +∞上递增， ()
f x s ==，
5
4454
x t x t t x t x t =-++=⇒=⇒=
，
又
()f x 在(),t +∞上递增，35 4
x t ∴=，即3564516=,4
2545
x s t t s t ===
==， 6454144
, 2516525
t s t s ∴=⨯=+=. 故选：CD. 【点睛】
本题考查函数与方程的综合知识，关键构造合适的函数，判断函数的奇偶性，单调性，最值，属于较难题.
14．已知函数22,0()(2),0
x x x f x f x x ⎧--<=⎨-≥⎩，以下结论正确的是（ ）
A ．函数()f x 在区间[2,4]上是减函数
B ．(2020)(2021)1f f +=
C ．若方程()10()f x mx m R --=∈恰有5个不相等的实根，则11,46m ⎛⎫
∈-
- ⎪⎝⎭
D ．若函数()y f x k =-在区间(,6)-∞上有8个零点(
)*
8,i x i i N ≤∈，则8
1
16i i x ==∑
【答案】BCD 【分析】
对于A ，画出函数的图象即可判断；对于B ，由函数的周期性可计算求解；对于C ，方程
()10()f x mx m R --=∈恰有5个不相等的实根等价于()y f x =与直线1y mx =+有5
个交点，画出图形即可判断求解；对于D ，函数()y f x k =-在区间(,6)-∞上有8个零点，则()y f x =与y k =有8个交点，由对称性可求解. 【详解】
由题可知当0x ≥时，()f x 是以2为周期的函数，则可画出()f x 的函数图象，
对于A ，根据函数图象可得，()f x 在()2,3单调递增，在()3,4单调递减，故A 错误； 对于B ，()()()2020020f f f ==-=，()()()2021111f f f ==-=，则
(2020)(2021)1f f +=，故B 正确；
对于C ，方程()10()f x mx m R --=∈恰有5个不相等的实根等价于()y f x =与直线
1y mx =+有5个交点，如图，直线1y mx =+过定点()0,1A ，观察图形可知
AB AC k m k <<，其中()()4,0,6,0B C ，则11,46AB AC k k =-=-，故11,46m ⎛⎫
∈-- ⎪⎝⎭
，故
C 正确；
对于D ，若函数()y f x k =-在区间(,6)-∞上有8个零点，则()y f x =与y k =有8个交点，如图，可知这八个零点关于2x =对称，则814416i i x
==⨯=∑，故D 正确.
故选：BCD.
【点睛】
关键点睛：本题考查函数与方程的综合问题，解题的关键是判断出函数的周期性，画出函数的图象，即可将方程的解的个数问题、函数的零点问题转化为函数图象的交点问题，利用数形结合的思想可快捷解决问题.
15．已知函数()()
2214sin 2
x x e x f x e -=+，则下列说法正确的是（ ） A ．函数()y f x =是偶函数，且在(),-∞+∞上不单调
B ．函数()y f x '=是奇函数，且在(),-∞+∞上不单调递增
C ．函数()y f x =在π,02⎛⎫- ⎪⎝⎭
上单调递增
D ．对任意m ∈R ，都有()()f
m f m =，且()0f m ≥
【答案】AD
【分析】 由函数的奇偶性以及函数的单调性即可判断A 、B 、C 、D.
【详解】
解：对A ，()()
222
114sin =2cos 2x x x x e x e f x x e e -+=+-， 定义域为R ，关于原点对称，
()2211=2cos()2cos()()x x x x e e f x x x f x e e
--++---=-=， ()y f x ∴=是偶函数，其图像关于y 轴对称，
()f x ∴在(),-∞+∞上不单调，故A 正确；
对B ，1()2sin x x f x e x e
'=-+， 11()2sin()=(2sin )()x x x x f x e x e x f x e e
--''-=-+---+=-， ()f x '∴是奇函数， 令1()2sin x x g x e x e =-
+， 则1()+2cos 2+2cos 0x x g x e x x e
'=+≥≥， ()f x '∴在(),-∞+∞上单调递增，故B 错误； 对C ，
1()2sin x x f x e x e '=-+，且()'f x 在(),-∞+∞上单调递增， 又(0)0f '=，
π,02x ⎛⎫∴∈- ⎪⎝⎭
时，()0f x '<， ()y f x ∴=在π,02⎛⎫- ⎪⎝⎭
上单调递减，故C 错误； 对D ，()y f x =是偶函数，且在(0,)+∞上单调递增，
()()f m f m ∴=，且()(0)0f m f ≥=，故D 正确.
故选：AD.
【点睛】
用导数求函数的单调区间或判断函数的单调性问题时应注意如下几方面：
(1)在利用导数讨论函数的单调区间时，首先要确定函数的定义域；
(2)不能随意将函数的2个独立的单调递增（或递减）区间写成并集形式；
(3)利用导数解决含参函数的单调性问题时，一般将其转化为不等式恒成立问题，解题过程中要注意分类讨论和数形结合思想的应用.
16．已知()f x 是定义域为(,)-∞+∞的奇函数，(1)f x +是偶函数，且当(]0,1x ∈时，()(2)f x x x =--，则（ ）
A ．()f x 是周期为2的函数
B ．()()201920201f f +=-
C ．()f x 的值域为[]1,1-
D ．()y f x =在[]0,2π上有4个零点 【答案】BCD
【分析】
对于A ，由()f x 为R 上的奇函数，
()1f x +为偶函数，得(4)()f x f x +=，则()f x 是
周期为4的周期函数，可判断A.
对于B ，由()f x 是周期为4的周期函数，则()()202000f f ==， ()()()2019111f f f =-=-=-，可判断B ．
对于C ，当(]01
x ∈，时，()()2f x x x =--，有()01f x ≤＜，又由()f x 为R 上的奇函数，则[)10
x ∈-，时，()10f x -≤＜，可判断C ． 对于D ，根据函数的周期性和对称性，可以求出函数在各段上的解析式，从而求出函数的零点，可判断D ．
【详解】
解：对于A ，()1f x +为偶函数，其图像关于x 轴对称，把()1f x +的图像向右平移1个单位得到()f x 的图像，所以()f x 图象关于1x =对称，
即(1)(1)f x f x +=-，所以(2)()f x f x +=-，
()f x 为R 上的奇函数，所以()()f x f x -=-，所以(2)()f x f x +=-，
用2x +替换上式中的x 得， (4)(2)f x f x +=-+，
所以，(4)()f x f x +=，则()f x 是周期为4的周期函数.故A 错误.
对于B ，()f x 定义域为R 的奇函数，则()00f =，
()f x 是周期为4的周期函数，则()()202000f f ==；
当(]
0,1x ∈时，()()2f x x x =--，则()()11121f =-⨯-=，
则()()()()201912020111f f f f =-+=-=-=-，
则()()201920201f f +=-.故B 正确.
对于C ，当(]01x ∈，时，()()2f x x x =--，此时有()01f x <≤，
又由()f x 为R 上的奇函数，则[)1,0x ∈-时，()10f x -≤<，
(0)0f =，函数关于1x =对称，所以函数()f x 的值域[]1,1-.故C 正确.
对于D ，(0)0f =，且(]0,1x ∈时，()()2f x x x =--，
[0,1]x ∴∈，()(2)f x x x =--，
[1,2]x ∴∈，2[0,1]x -∈，()(2)(2)f x f x x x =-=--
①[0,2]x ∴∈时，()(2)f x x x =--，此时函数的零点为0，2；
()f x 是奇函数，[2,0],()(2)x f x x x ∴∈-=+，
②(]2,4x ∴∈时，()f x 的周期为4，[]42,0x ∴-∈-，
()()()()424f x f x x x =-=--，此时函数零点为4；
③(]4,6x ∴∈时，[]40,2x ∴-∈，
()()4(4)(6)f x f x x x =-=---，此时函数零点为6；
④(]6,2x π∴∈时，(]42,4x ∴-∈，()()()()468f x f x x x =-=--，此时函数无零点；
综合以上有，在(0,2)π上有4个零点.故D 正确；
故选：BCD
【点睛】
关键点点睛：由(1)f x +是偶函数，通过平移得到()f x 关于1x =对称，再根据()f x 是奇函数，由此得到函数的周期，进一步把待求问题转化到函数的已知区间上，本题综合考查抽象函数的奇偶性、周期性.
17．已知函数()22x f x x =+-的零点为a ，函数2()log 2g x x x =+-的零点为b ，则（ ）
A ．2a b +=
B ．22log 2a b +=
C ．223a b +>
D ．01ab <<
【答案】ABD
【分析】
在同一坐标系中分别作出函数2x y =，2log y x =，2y x =-的图象，图像的交点即为函数的零点，反函数的性质知A ，B 关于点()1,1对称，进而可判断A ，B ，D 正确. 由函数()f x 在R 上单调递增，且102f ⎛⎫< ⎪⎝⎭
，(1)0f >，可得零点a 的范围，可得C 不正确. 【详解】
由()0f x =，()0g x =得22x x =-，2log 2x x =-，
函数2x y =与2log y x =互为反函数，
在同一坐标系中分别作出函数2x y =，2log y x =，2y x =-的图象，如图所示，
则(),2a A a ，()2
,log B b b . 由反函数的性质知A ，B 关于点()1,1对称，
则2a b +=，22log 2a b +=.因为0a >，0b >，且a b ， 所以2012a b ab +⎛⎫<<= ⎪⎝⎭
，故A ，B ，D 正确. 因为()22x f x x =+-在R 上单调递增，且132022f ⎛⎫=<
⎪⎝⎭，(1)10f =>， 所以112
a <<. 因为222221(2)2(1)212a
b a a a a ⎛⎫+=+-=-+<<
⎪⎝⎭，所以2252,2a b ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，故C 不正确.
故选：ABD
【点睛】
方法点睛：通过画函数图象把零点问题转化为函数图象的交点问题，本题考查了运算能力和逻辑推理能力，属于难题.
18．设函数ln(2),2()1,2
x x f x x x ->⎧=⎨+≤⎩，g （x ）＝x 2-（m ＋1）x ＋m 2-2，下列选项正确的有（ ）
A ．当m ＞3时，f [f （x ）]＝m 有5个不相等的实根
B ．当m ＝0时，g [g （x ）]＝m 有4个不相等的实根
C ．当0＜m ＜1时，f [g （x ）]＝m 有6个不相等的实根
D ．当m ＝2时，g [f （x ）]＝m 有5个不相等的实根
【答案】BCD
【分析】
作出函数()f x 的图象，利用函数()f x 的图象和函数()g x 的图象分析可解得结果.
【详解】
作出函数()f x 的图象：
令()f x t =，得[()]()f f x f t m ==；
当3m >时，()f x m =有两个根：31242e t t <->+，
，方程1()f x t =有1个根，方程2()f x t =有2个根，所以A 错误；
②当0m =时，2 ()2g x x x =--，[()]0g g x =，令()g x t =，
由()0g t =，得1221t t ==-，
， 由2122t x x ==--12117117x x -+⇒= 由2234151512t x x x x -+=-=--⇒=
=所以B 正确； ③令()g x t =，()f t m =∴，因为01m <<，所以()f t m =有3个实根根123,,t t t ，
设123t t t <<，所以12311ln(2)t m t m t m --=+=-=，，
， 22
()(1)2g x x m x m =-++-221329()24m m m x +--=-+23294m m --≥， 221329329144m m m m t m -----=---23254
m m --+=， 因为2325m m --+在(0,1)上递减，所以23253250m m --+>--+=， 所以2132504m m t --+->，所以213254
m m t --+>， 即方程()f t m =的最小根1t 大于()g x 的最小值，
所以1()g x t =、2()g x t =、3()g x t =都有2个不等实根，且这6个实根互不相等， 所以当0＜m ＜1时，f [g （x ）]＝m 有6个不相等的实根，所以C 正确；
④令()f x t =，则()g t m =，
当2m =时，方程()2g t =化为230t t -=，得1230t t ==，；
当20()t f x ==，得121
3x x =-=，； 当13()t f x ==，得3442x x =-=，，
352e x =+符合题意，所以D 正确. 故选：BCD.
【点睛】
关键点点睛：作出函数的图象，利用数形结合法求解是解题关键.
19．1837年，德国数学家狄利克雷(P .G.Dirichlet ，1805-1859)第一个引入了现代函数概念：“如果对于x 的每一个值，y 总有一个完全确定的值与之对应，那么y 是x 的函数”.由此引发了数学家们对函数性质的研究.下面是以他的名字命名的“狄利克雷函数”：
1,()0,R x Q D x x Q ∈⎧=⎨∈⎩
(Q 表示有理数集合)，关于此函数，下列说法正确的是（ ） A ．()D x 是偶函数
B ．,(())1x R D D x ∀∈=
C ．对于任意的有理数t ，都有()()
D x t D x +=
D ．存在三个点112233(,()),(,()),(,())A x D x B x D x C x D x ，使ABC 为正三角形
【答案】ABCD
【分析】
利用定义判断函数奇偶性，可确定A 的正误，根据“狄利克雷函数”及有理数、无理数的性质，判断其它三个选项的正误.
【详解】
A ：由()D x 定义知：定义域关于原点对称，当x Q ∈则x Q -∈，当R x Q ∈则R x Q -∈，即有()()D x D x -=，故()D x 是偶函数，正确；
B ：由解析式知：,()1x R D x ∀∈=或()0D x =，即(())1D D x =，正确；
C ：任意的有理数t ，当x Q ∈时，x t Q +∈即()()
D x t D x +=，当R x Q ∈时，R x t Q +∈即()()D x t D x +=，正确；
D ：若存在ABC 为正三角形，则其高为1
，所以当((0,1),A B C 时成立，正确； 故选：ABCD
【点睛】
关键点点睛：应用函数的奇偶性判断，结合新定义函数及有理数、无理数的性质判断各选项的正误.
20．已知函数()221,0log 1,0
x x f x x x ⎧+≤⎪=⎨->⎪⎩，则方程()()22210f x f x a -+-=的根的个数可能为（ ）
A ．2
B ．6
C ．5
D ．4
【答案】ACD
【分析】
先画出()f x 的图象，再讨论方程()()22210f x f x a -+-=的根，求得()f x 的范围，再
数形结合，得到答案.
【详解】
画出()f x 的图象如图所示：
令()t f x =，则22210t t a -+-=，则24(2)a ∆=-，
当0∆=，即22a =时，1t =，此时()1f x =，由图1y =与()y f x =的图象有两个交点，
即方程()()22210f x f x a -+-=的根的个数为2个，A 正确；
当>0∆时，即22a <时，212t a =-，则2022a <-≤ 故211212a <+-≤212121a ≤-<， 当212t a =-2()12f x a =--(1,1)∈-，则x 有2解， 当212t a =-t (1,2]∈，则x 有3解；若t (2,12]∈+，则x 有2解，
故方程()()22210f x f x a -+-=的根的个数为5个或4个，CD 正确；
故选：ACD
【点睛】
本题考查了函数的根的个数问题，函数图象的画法，考查了分类讨论思想和数形结合思想，难度较大.。