成都八中八年级数学下册第二单元《勾股定理》检测卷(有答案解析)

一、选择题
1．如图，在单位正方形组成的网格图中标有AB 、CD 、EF 、GH 四条线段，其中能构成一个直角三角形三边的线段是（）
A ．CD 、EF 、GH
B ．AB 、EF 、GH
C ．AB 、C
D 、GH D ．AB 、CD 、EF
2．下列条件中不能确定ABC 为直角三角形的是（ ）． A ．ABC 中，三边长的平方之比为1:2:3 B ．ABC 中，222AB BC AC += C ．ABC 中，::3:4:5A B C ∠∠∠= D ．ABC 中，1,2,3AB BC AC ===
3．如图，一圆柱高8cm ，底面周长为12cm ，一只蚂蚁从A 点爬到点B ，要爬行的最短路
程是（ ）
A ．6cm
B ．8cm
C ．10cm
D ．12cm
4．ABC 中，A ∠，B ，C ∠的对边分别记为a ，b ，c ，由下列条件不能判定
ABC 为直角三角形的是（ ） A ．A B C =+∠∠∠
B ．::1:1:2A B
C ∠∠∠= C ．222b a c =+
D ．::1:1:2a b c =
5．如图，△ABC 和△ECD 都是等腰直角三角形，△ABC 的顶点A 在△ECD 的斜边DE 上．下列结论：其中正确的有（ ）
①△ACE ≌△BCD ；②∠DAB ＝∠ACE ；③AE +AC ＝AD ；④AE 2+AD 2＝2AC 2
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
6．如图，在ABC 中，点D 是BC 上一点，连结AD ，将ACD △沿AD 翻折，得到
AED ，AE 交BD 于点F ．若2BD DC =，AB AD =，2AF EF =，2CD =，DFE △的面积为1，则点D 到AE 的距离为（ ）
A ．1
B ．
65
C ．
5 D ．2
7．如图，长方形的长为3，宽为2，对角线为OB ，且OA OB =，则下列各数中与点A 表示的数最接近的是（ ）
A ．-3.5
B ．-3.6
C ．-3.7
D ．-3.8
8．如图，在长为10的线段AB 上，作如下操作：经过点B 作BC AB ⊥，使得
1
2BC AB =
；连接AC ，在CA 上截取CE CB =；在AB 上截取AD AE =，则AD 的长为（ ）
A ．555-
B ．1055-
C ．10510-
D ．555+
9．如图，将一根长为20cm 的筷子置于底面直径为5cm ，高为12cm 的圆柱形水杯中，筷子露在杯子外面的长度为（ ）
A ．13cm
B ．8cm
C ．7cm
D ．15cm
10．如图是用4个全等的直角三角形与1个小正方形镶嵌而成的正方形图案，已知大正方形面积为25，小正方形面积为1，若用x 、y 表示直角三角形的两直角边（x y >），下
列四个说法：①22
25x y +=，②1x y -=，③2125xy +=，④7x y +=．其中说法
正确的是（ ）
A ．①②
B ．①②③
C ．①②④
D ．①②③④
11．已知ABC ∆的三边a ，b ，c 满足：23|4|10250a b c c -+-+-+=，则c 边上的高为（ ） A ．1.2
B ．2
C ．2.4
D ．4.8
12．1876年，美国总统伽菲尔德利用如图所示的方法验证了勾股定理，其中两个全等的直角三角形的边AE ，EB 在一条直线上，证明中用到的面积相等关系是（ ）
A ．EDA CE
B S S =△△ B ．EDA CDE CEB ABCD S S S S ++=△△△四边形
C ．EDA CEB CDE S S S +=△△△
D ．AECD DEBC S S =四边形四边形
二、填空题
13．如图，圆柱形玻璃杯的高为12cm ，底面圆的周长为10cm ，在杯内离底4cm 的点N 处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上2cm 与蜂蜜相对的点M 处，则蚂蚁
到达蜂蜜所爬行的最短路程为________cm ．
14．如图，已知正方形ABCD 的面积为4，正方形FHIJ 的面积为3，点D 、C 、G 、J 、I 在同一水平面上，则正方形BEFG 的面积为__________．
15．“东方之门”座落于美丽的金鸡湖畔，高度约为301.8米，是苏州的地标建筑，被评为“中国最高的空中苏式园林”．现以现代大道所在的直线为x 轴，星海街所在的直线为y 轴，建立如图所示的平面直角坐标系（1个单位长度表示的实际距离为100米），东方之门的坐标为4(6,)A -，小明所在位置的坐标为(2,2)B -，则小明与东方之门的实际距离为___________米．
16．在平面直角坐标系中，点A(0，－3)，B(4a ＋4，－3a)，则线段AB 的最小值为 ___________．
17．已知一个三角形工件尺寸（单位dm ）如图所示，则高h =__dm ．
18．如图所示的网格是正方形网格，则CBD ABC ∠+∠=______°（点A ，B ，C ，D 是网格线交点）
19．已知一个直角三角形的两边长分别为3和4，则斜边上的高是_________． 20．如图是放在地面上的一个长方体盒子，其中AB ＝24cm ，BC ＝12cm ，BF ＝7cm ，点M 在棱AB 上，且AM ＝6cm ，点N 是FG 的中点，一只蚂蚁要沿着长方体盒子的表面从点M 爬行到点N ，它需要爬行的最短路程为_______．
三、解答题
21．在ABC 中，90,6,10C AC AB ∠===，小明用尺规作图的方法作AB 的垂直平分线与BC 的交点P ，请你根据如图所示作图方法求出图中线段PC 的长．
22．某学习小组在探究三角形全等时，发现了下面这种典型的基本图形：
（1）如下图，已知：在ABC 中，90BAC ∠=︒，AB AC =，直线m 经过点A ，
BD ⊥直线m ，CE ⊥直线m ，垂足分别为点D 、E 、试猜想DE 、BD 、CE 有怎样的数量关
系，请直接写出_________
（2）组员小颖想，如果三个角不是直角，那结论是否会成立呢？如下图，将（1）中的条件改为：在ABC 中，AB AC =，D 、A 、E 三点都在直线m 上，并且有
BDA AEC BAC α∠=∠=∠=（其中α为任意锐角或钝角）﹒如果成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由．
（3）数学老师赞赏了他们的探索精神，并鼓励他们运用这个知识来解决问题： 如下图，F 是BAC ∠角平分线上的一点，且ABF 和ACF 均为等边三角形，D 、E 分别是直线m 上A 点左右两侧的动点（D 、E 、A 互不重合），在运动过程中线段DE 的长度为n ，连接BD 、CE ，若BDA AEC BAC ∠=∠=∠．
①试判断DEF 的形状，并说明理由． ②直接写出DEF 的面积． 23．阅读材料，并解决问题． 有趣的勾股数
定义：勾股数又名毕氏三元数．凡是可以构成一个直角三角形三边长的一组正整数，称之为勾股数．
一般地，若三角形三边长a ，b ，c 都是正整数，且满足222=a b c +，那么数组
()a b c ，，称为勾股数．公元263年魏朝刘徽著《九章算术注》，文中除提到勾股数()3，4,5以外，还提到()5，12,13，()7，24,25，()8，15,17，()20，21,29等勾
股数．
数学小组的同学研究勾股数时发现：设m ，n 是两个正整数，且m n >，三角形三边长
a ，
b ，
c 都是正整数．下表中的a ，b ，c 可以组成一些有规律的勾股数()a b c ，，．
m
n
a
b
c
2 1
3
4
5 3 2 5 12 13 4 1 15 8 17 4 3 7 24 25 5 2 21 20 29 5 4 9 40 41
6 1 35 12 3
7 6 5 11 60 61 7 2 45 2
8 53 7 4 33 56 65 7
6
13
84
85
通过观察这个表格中的数据，小明发现勾股数()a b c ，，可以写成
()2
222m
n b m n -+，，．解答下列问题：
（1）表中b 可以用m ，n 的代数式表示为_____________． （2）若4m =，2n =，则勾股数()a b c ，，为______________． （3）小明通过研究表中数据发现：若1c b -=，则勾股数的形式可表述为
()211k b b ++，，（k 为正整数），请你通过计算求此时的b ．(用含k 的代数式表示b )
24．如图，在ABC 中，90ACB ∠=︒，5AB =，3BC =，点P 从点A 出发，以每秒2个单位长度的速度沿折线A C B A ---运动．设点P 的运动时间为t 秒()0t >． （1）求AC 的长及斜边AB 上的高． （2）当点P 在CB 上时，
①CP 的长为______________（用含t 的代数式表示）． ②若点P 在BAC ∠的角平分线上，则t 的值为______________． （3）在整个运动过程中，直接写出BCP 是等腰三角形时t 的值．
25．如图，某人为了测量小山顶上的塔顶离地面的高度CD ，他在山下的点A 处测得塔尖
点D的仰角为45︒，再沿AC方向前进60m到达山脚点B，测得塔尖点D的仰角为60︒，求CD的高度（结果保留根号）
26．如图，A（－1，0），C（1，4），点B在x轴上，且BC=5．
（1）求点B的坐标；
（2）求△ABC的面积．
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一、选择题
1．B
解析：B
【分析】
设出正方形的边长，利用勾股定理，解出AB、CD、EF、GH各自的长度，再由勾股定理的逆定理分别验算，看哪三条边能够成直角三角形．
【详解】
解：设小正方形的边长为1，
则AB2=22+22=8，
CD2=22+42=20，
EF2=12+22=5，
GH2=22+32=13．
因为AB2+EF2=GH2，
所以能构成一个直角三角形三边的线段是AB 、EF 、GH ． 故选：B ． 【点睛】
本题考查了勾股定理逆定理的应用；解题的关键是解出AB 、CD 、EF 、GH 各自的长度.
2．C
解析：C 【分析】
根据三角形内角和定理和勾股定理进行判断即可． 【详解】
解：A 选项：
ABC 中，三边长的平方之比为1:2:3，
ABC ∴是直角三角形．
B 选项：∵在AB
C 中，222AB BC AC +=，
ABC ∴是直角三角形． C 选项：ABC 中，::3:4:5A B C ∠∠∠=， ∴设3,4,5A x B x C x ∠=∠=∠=，
又
180A B C ︒∠+∠+∠=，
12180x ︒∴=, 345x ︒=，
460x ︒=， 575x ︒=，
ABC ∴不是直角三角形．
D 选项：在ABC 中，1,
AB BC AC ===
222AB BC AC ∴+=，
ABC ∴是直角三角形． 故选C ． 【点睛】
本题考查了三角形内角和定理以及勾股定理，熟练掌握三角形内角和定理和勾股定理是本题的关键．
3．C
解析：C 【分析】
此题最直接的解法，就是将圆柱展开，然后利用两点之间线段最短解答． 【详解】
沿着过点A 的高将圆柱侧面展开，再过点B 作高线BC ，如图：则，∠ACB=90°，AC=
1
2
⨯12=6（cm ），BC=8cm ， 由“两点之间，线段最短”可知：线段AB 的长为蚂蚁爬行的最短路程，
在Rt ABC ∆中，
()22226810AB AC BC cm =+=+=，
故选C ．
【点睛】
本题考查了平面展开图最短路径问题，解题的关键是根据题意画出展开图，表示各线段的长度．
4．D
解析：D 【分析】
根据三角形内角和定理可判断A 和B ，根据勾股定理可判断C 和D ． 【详解】 A.
A B C ∠=∠+∠，180A B C ∠+∠+∠=︒，
2180A ∴∠=︒，∴90A ∠=︒，
ABC ∴为直角三角形，不符合题意，故A 错误； B.::1:1:2A B C ∠∠∠=， A B ∴∠=∠，2C A ∠=∠， 又∵180A B C ∠+∠+∠=︒，
2180A A A ∴∠+∠+∠=︒，45A ∠=︒， 290C A ∴∠=∠=︒，
ABC ∴为直角三角形，不符合题意，故B 错误； C.
222b a c =+，
ABC ∴是直角三角形，不符合题意，故C 错误； D.::1:1:2a b c =，
b a ∴=，2
c a =，222a b c ∴+≠，
ABC ∴不是直角三角形，符合题意，故D 正确． 故选D ． 【点睛】
本题考查了三角形内角和定理，以及勾股定理的逆定理，熟练掌握各知识点是解答本题的关键．如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形，在一个三角形中．
5．C
解析：C
【分析】
由等腰直角三角形的性质和三角形的外角性质得出②正确；由SAS 证出△ACE ≌△BCD ，①正确；证出△ADB 是直角三角形，由勾股定理得出④正确；由全等三角形的性质和等边三角形性质得出③不正确；即可得出答案．
【详解】
解：∵△ABC 和△ECD 都是等腰直角三角形，
∴CA ＝CB ，CE ＝CD ，∠ACB ＝∠ECD ＝90°，∠E ＝∠CDE ＝45°，∠CAB ＝∠CBA ＝45°， ∵∠DAB +∠CAB ＝∠ACE +∠E ，
∴∠DAB ＝∠ACE ，故②正确；
∴∠ACE +∠ACD ＝∠ACD +∠DCB ＝90°，
∴∠ACE ＝∠DCB ，
在△ACE 和△BCD 中，
CA CB ECA DCB CE CD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
∴△ACE ≌△BCD （SAS ），故①正确；
∴AE ＝BD ，∠CEA ＝∠CDB ＝45°，
∴∠ADB ＝∠CDB +∠EDC ＝90°，
∴△ADB 是直角三角形，
∴AD 2+BD 2＝AB 2，
∴AD 2+AE 2＝AB 2，
∵△ABC 是等腰直角三角形，
∴AB
＝2AC ，
∴AE 2+AD 2＝2AC 2，故④正确；
在AD 上截取DF ＝AE ，连接CF ，如图所示：
在△ACE 和△FCD 中， 45AE FD E CDF CE CD ︒=⎧⎪∠=∠=⎨⎪=⎩
，
∴△ACE ≌△FCD （SAS
），
∴AC ＝FC ，
当∠CAF ＝60°时，△ACF 是等边三角形，
则AC ＝AF ，此时AE +AC ＝DF +AF ＝AD ，故③不正确；
故选：C ．
【点睛】
本题是考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，直角三角形的判定与性质等知识；熟练掌握全等三角形的判定与性质和等腰直角三角形的性质是解题的关键．
6．B
解析：B
【分析】
过A 作AG BC ⊥于点G ，根据2AF EF =可得3ADE ACD S S ∆∆==，再由勾股定理求得5AE AC ==，最后由三角形面积公式可求出点D 到AE 的距离．
【详解】
解：过A 作AG BC ⊥于点G
∵1DFE S ∆=，2AF EF =
∴2ADF S ∆=
∴3ADE ACD S S ∆∆== ∵12ADC S CD AG ∆=
⋅⋅ ∴3AG =
∵AB AD =，AG BC ⊥
∴2BD GB =
由2BD CD =得，2GD CD ==
∴224GC GD DC =+=+=
在Rt AGC ∆中，225AC AG GC =
+=
∴5AE AC == ∴236255
ADE S h AE ∆⨯=⋅
== 故选：B ．
【点睛】
本题考查了折叠问题，勾股定理定理，等腰三角形的性质以及三角形面积公式的应用，熟练运用这些性质进行推理是本题的关键．
7．B
解析：B
【分析】
先根据勾股定理求得A点坐标，再利用二分法估算即可得出比较接近-3.6．
【详解】
解：∵长方形的长为3，宽为2，
∴
OA OB
==
∴A所表示的数为
∵2
3.612.9613
=<，2
3.713.6913
=>，
∴
-3.6和-3.7之间，
∵2
3.6513.322513
=>，
∴
-3.6，
故选：B．
【点睛】
本题考查勾股定理，算术平方根的估算．掌握二分法估算是解题关键．
8．A
解析：A
【分析】
由勾股定理求出AC=AD=AE=AC-CE=-5即可．
【详解】
解：∵BC⊥AB，AB=10，CE＝BC=11
105 22
AB=⨯=，
∴
==
∴AD=AE=AC-CE=5，
故选：A
【点睛】
本题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．9．C
解析：C
【分析】
根据勾股定理求出杯子内的筷子长度，即可得到答案．【详解】
解：由题意可得：
杯子内的筷子长度为：22512+=13cm ，
则筷子露在杯子外面的筷子长度为：20﹣13=7（cm ）．
故选：C ．
【点睛】
此题考查勾股定理的实际应用，熟记勾股定理的计算公式是解题的关键．
10．D
解析：D
【分析】
根据正方形的性质、直角三角形的性质、直角三角形的面积的计算公式以及勾股定理按顺序判断即可．
【详解】
①∵ABC 为直角三角形，
∴22225x y AB +==，
故①正确；
②由图可知：11x y CE -===，
故②正确；
③由图可知：四个直角三角形与小正方形面积之和等于大正方形面积，
由此可得：141252
xy ⨯
+=，即：2125xy +=， 故③正确；
④由①③相加可得：222150xy x y +++=，
即()249x y +=，
故7x y +=，
故④正确；
故选：D ．
【点睛】
本题考查了勾股定理及正方形和三角形的边的关系，此图被称为弦图，熟悉勾股定理并认清图中的关系是解答本题的关键．
11．C
解析：C
先将已知条件配方后，利用非负数和为零，求出a 、b 、c 的值，利用勾股定理确定三角形的形状，设出c 边上的高，利用面积求解即可．
【详解】
2|4|10250b c c -+-+=()2
|4|50b c -+-=，
()2
|4|50b c -+-=， 30a ∴-=，40b -=，50c -=，
解得：3a =，4b =，5c =，
22222291653452a b c =+=+=+==，
ABC ∆∴是直角三角形，
设C 边上的高为h ，
由直角三角形ABC 的面积为：
1122c h a b =， 整理得3412===2.455
a b h c ⨯=， c ∴边上的高为：2.4，
故选择：C ．
【点睛】
本题考查非负数的性质，勾股定理的逆定理，三角形面积问题，掌握判断非负数的标准，会利用非负数和求a 、b 、c 的值，会用勾股定理判断三角形的形状，会用多种方法求面积是解题的关键．
12．B
解析：B
【分析】
直接根据梯形ABCD 的面积的两种算法进行解答即可．
【详解】
解：由图形可得：EDA CDE CEB ABCD S S S S ++=△△△四边形
故答案为B ．
【点睛】
本题主要考查了勾股定理的证明方法，将图形的面积用两种方式表示出来成为解答本题的关键．
二、填空题
13．【分析】过N 作NQ ⊥EF 于Q 作M 关于EH 的对称点M′连接M′N 交EH 于P 连接MP 则MP+PN 就是蚂蚁到达蜂蜜的最短距离求出M′QNQ 根据勾股定理求出M′N 即可【详解】解：如图：沿过A 的圆柱的高剪开得
解析：．
过N作NQ⊥EF于Q，作M关于EH的对称点M′，连接M′N交EH于P，连接MP，则MP+PN就是蚂蚁到达蜂蜜的最短距离，求出M′Q，NQ，根据勾股定理求出M′N即可．【详解】
解：如图：沿过A的圆柱的高剪开，得出矩形EFGH，过N作NQ⊥EF于Q，作M关于EH 的对称点M′，连接M′N交EH于P，连接MP，则MP+PN就是蚂蚁到达蜂蜜的最短距离，
∵ME=M′E，M′P=MP，
∴MP+PN=M′P+PN=M′N，
∵NQ=1
×10cm=5cm，M′Q=12cm-4cm+2cm=10cm，
2
在Rt△M′QN中，由勾股定理得：22
51055
+=．
故答案为：55
【点睛】
本题考查了勾股定理，轴对称-最短路线问题的应用，关键是找出最短路线．
14．7【分析】根据已知利用全等三角形的判定可得到△BCG≌△GJF从而得到正方形BEFG的面积=正方形ABCD的面积+正方形FHIJ的面积【详解】解：
∵∠BGC+∠FGJ=90°∠GFJ+∠FGJ=90
解析：7
【分析】
根据已知利用全等三角形的判定可得到△BCG≌△GJF，从而得到正方形BEFG的面积=正方形ABCD的面积+正方形FHIJ的面积．
【详解】
解：∵∠BGC+∠FGJ=90°，∠GFJ+∠FGJ =90°
∴∠BGC =∠GFJ
∵∠BCG=∠GJF，BG=GF
∴△BCG≌△GJF
∴CG=FJ，BC=GJ，
∴BG2=BC2+CG2=BC2+FJ2
∴正方形DEFG的面积=正方形ABCD的面积+正方形FHIJ的面积=4+3=7．
本题考查了对勾股定理几何意义的理解能力，根据三角形全等找出相等的量是解答此题的关键．
15．【分析】运用勾股定理可求出平面直角坐标系中AB 的长度再根据个单位长度表示的实际距离为米求出结果即可【详解】解：如图AC=6-（-2）=8BC=2-（-4）=6∴∴小明与东方之门的实际距离为10×10
解析：1000
【分析】
运用勾股定理可求出平面直角坐标系中AB 的长度，再根据1个单位长度表示的实际距离为100米求出结果即可．
【详解】
解：如图，
AC=6-（-2）=8，BC=2-（-4）=6 ∴2222=6+8=10AB BC AC +
∴小明与东方之门的实际距离为10×100=1000（米）
故答案为：1000．
【点睛】
此题主要考查了勾股定理的应用，构造直角三角形运用勾股定理是解答此题的关键． 16．【分析】根据勾股定理可得整理配方即可求解【详解】解：根据勾股定理可得：∵∴线段AB 的最小值为故答案为：【点睛】本题考查勾股定理的应用完全平方公式的应用根据勾股定理表示出是解题的关键 解析：245
【分析】 根据勾股定理可得()()2224433AB a a =++-，整理配方即可求解．
解：根据勾股定理可得：
()()2222
2757644332514255525AB a a a a a ⎛⎫=++-=++=++ ⎪⎝⎭， ∵27576576552525a ⎛⎫++≥ ⎪⎝⎭
， ∴线段AB 的最小值为
245， 故答案为：
245
． 【点睛】 本题考查勾股定理的应用、完全平方公式的应用，根据勾股定理表示出2AB 是解题的关键．
17．4【分析】过点A 作AD ⊥BC 于点D 则AD=h 根据等腰三角形的性质求出BD=BC=3dm 利用勾股定理求出h 【详解】解：过点A 作AD ⊥BC 于点D 则AD=h ∵AB=AC=5dmBC=6dm ∴AD 是BC 的垂
解析：4
【分析】
过点A 作AD ⊥BC 于点D ，则AD =h ，根据等腰三角形的性质求出BD =
12BC =3dm ，利用勾股定理求出h ．
【详解】
解：过点A 作AD ⊥BC 于点D ，则AD =h ．
∵AB =AC =5dm ，BC =6dm ，
∴AD 是BC 的垂直平分线，
∴BD =12
BC =3dm ． 在Rt △ABD 中，
AD =2222534AB BD -=-=dm ，即h =4（dm ）．
答：h 的长为4dm ．
故答案为：4．
．
【点睛】
此题考查勾股定理的实际应用，等腰三角形三线合一的性质，正确理解题意构建直角三角
形，利用勾股定理解决问题是解题的关键．
18．45【分析】做线段BA 关于BC 的对称线段BE 连接DE 先证明再证明△BDE 为等腰直角三角形得到∠DBE=45°问题得证【详解】解：如图做线段BA 关于BC 的对称线段BE 连接DE 则∠ABC=∠EBC ∴根据
解析：45
【分析】
做线段BA 关于BC 的对称线段BE ，连接DE ，先证明CBD ABC DBE ∠+∠=∠，再证明△BDE 为等腰直角三角形，得到∠DBE=45°，问题得证．
【详解】
解：如图，做线段BA 关于BC 的对称线段BE ，连接DE ，
则∠ABC=∠EBC ，
∴CBD ABC CBD EBC DBE ∠+∠=∠+∠=∠， 根据勾股定理得221526BD =+=，222313BE =+=，
222313DE =+= ，
∴BE=DE ，222=26=BE DE BD +
∴∠BED=90°，
∴△BDE 为等腰直角三角形，
∴∠DBE=45°，
∴45CBD ABC ∠+∠=︒．
故答案为：45
【点睛】
本题考查了勾股定理及其逆定理在网格中应用，根据题意作出线段BA 关于BC 的对称线段BE 是解题关键．
19．或【分析】分为两种情况：①3和4都是直角边；②斜边是4有一条直角边是3利用勾股定理求得第三边再利用等面积法即可得出斜边上的高【详解】解：分为两种情况：①3和4都是直角边由勾股定理得：第三边长∴斜边上 解析：12537 【分析】
分为两种情况：①3和4都是直角边；②斜边是4有一条直角边是3．利用勾股定理求得
第三边，再利用等面积法即可得出斜边上的高．
【详解】
解：分为两种情况：
①3和4都是直角边， 由勾股定理得：第三边长22435=+= ∴斜边上的高为341255
⨯=； ②斜边是4有一条直角边是3，
由勾股定理得：第三边长22437=-=，
∴斜边上的高为
3737⨯=； 故答案为：
125或37． 【点睛】
本题考查勾股定理解直角三角形.注意分类讨论和等面积法（在本题中主要用到直角三角形的面积等于两直角边乘积的一半也等于斜边与斜边高的乘积的一半）的运用． 20．cm 【分析】利用平面展开图有两种情况画出图形利用勾股定理求出MN 的长即可【详解】解：如图1∵AB=24cmAM ＝6cm ∴BM=18cm ∵BC=GF=12cm 点N 是FG 的中点∴FN=6cm ∵BF=7c
解析：493cm
【分析】
利用平面展开图有两种情况，画出图形利用勾股定理求出MN 的长即可．
【详解】
解：如图1，
∵AB=24cm ，AM ＝6cm ，
∴BM=18cm ，
∵BC=GF=12cm ，点N 是FG 的中点，
∴FN=6cm ，
∵BF=7cm ，
∴BN=7+6=13cm ，
∴MN=221813+=493cm ；
如图2，
∵AB=24cm ，AM ＝6cm ，
∴BM=18cm ，
∵BC=GF=12cm ，点N 是FG 的中点，
∴BP=FN=6cm ，
∴MP=18+6=24cm ，
∵PN= BF ＝7cm ，
∴2224762525+==cm ．
∵49325，
∴蚂蚁沿长方体表面爬到N 493． 493．
【点睛】
此题主要考查了平面展开图的最短路径问题和勾股定理的应用，利用展开图有两种情况分析得出是解题关键．
三、解答题
21．74
【分析】
连接AP ，根据作图痕迹得到PQ 垂直平分AB ，继而得到AP=BP ，设PC=x ，表示出BP 即为AP ，在直角三角形ACP 中，利用勾股定理列出关于x 的方程，求出方程的解即可得到结果．
【详解】
解：如图，连接AP ，
∵由作图痕迹可得：直线PQ 垂直平分AB ，
∴AP=BP ，
∵90,6,10C AC AB ∠=︒==，
∴22106-，
设PC=x ，则有AP=BP=BC-PC=8-x ，
在Rt △ACP 中，AC=6，
根据勾股定理得：（8-x ）2=x 2+62，
整理得：64-16x+x 2=x 2+36，
解得：x=74， 则PC=74
．
【点睛】
此题考查了勾股定理，线段垂直平分线定理，熟练掌握各自的定理是解本题的关键． 22．（1）DE BD CE =+；（2）结论DE BD CE =+成立，证明见解析；（3）①DFE △为等边三角形，证明见解析．②
234n ． 【分析】
（1）由题意可知90ADB CEA ∠=∠=︒，又可推出ABD CAE ∠=∠，即可证明(AAS)ADB CEA ≌，得出BD AE =，AD CE =．即推出
DE AD AE BD CE =+=+． （2）由题意易证ABD CAE ∠=∠，即证明(AAS)ADB CEA ≌，同理即
DE AD AE BD CE =+=+．
（3）①由（2）知(AAS)ADB CEA ≌，得出BD AE =，由ABD CAE ∠=∠，易证FBD FAE ∠=∠，又由题意可知FB=FA ，即证明出(SAS)FBD FAE ≌，得出结论FD FE =，BFD AFE ∠=∠，即可求出60DFE ∠=︒，即证明DEF 为等边三角形． ②由DE n =，DEF 为等边三角形，即可求出DEF 的面积．
【详解】
（1）DE BD CE =+，理由：
∵90BAC ∠=︒，
∴90BAD CAE ∠+∠=︒，
∵BD m ⊥，
∴90ADB CEA ∠=∠=︒，
∴90BAD ABD ∠+∠=︒，
∴ABD CAE ∠=∠，
在ADB △和CEA 中，90ADB CEA ABD CAE AB AC ∠=∠=︒⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
∴
(AAS)ADB CEA ≌， ∴BD AE =，AD CE =，
∴DE AD AE BD CE =+=+．
故答案为：DE BD CE =+．
（2）结论DE BD CE =+成立；
理由如下：∵180BAD CAE BAC ∠+∠=︒-∠，
180BAD ABD ADB ∠+∠=︒-∠，BDA BAC ∠=∠，
∴ABD CAE ∠=∠，
在BAD 和ACE △中，ABD CAE ADB CEA AB AC α∠=∠⎧⎪∠=∠=⎨⎪=⎩
，
∴
(AAS)BAD ACE ≌， ∴BD AE =，AD CE =，
∴DE DA AE BD CE =+=+．
（3）①DEF 为等边三角形，
理由：由（2）得，BAD ACE ≌△△，
∴BD AE =，
∵ABD CAE ∠=∠，
∴ABD FBA CAE FEC ∠+∠=∠+，即FBD FAE ∠=∠，
在FBD 和FAE ∠中，FB FA FBD FAE BD AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
∴(SAS)FBD FAE ≌，
∴FD FE =，BFD AFE ∠=∠，
∴60DFE DFA AFE DFA BFD ∠=∠+∠=∠+∠=︒，
∴DEF 为等边三角形．
②∵DEF 为等边三角形． ∴DEF
的高为2DE ．
∴213224
DFE S DE DE ==． 【点睛】
本题考查三角形全等的判定和性质，等边三角形的判定和性质以及勾股定理．熟练掌握判
定三角形全等的方法是解答本题的关键．
23．（1）2b mn =；（2）(12,16,20)；（3）222b k k =+
【分析】
（1）根据表格中提供的数据可得答案；
（2）把4m =，2n =代入()22222m n mn m n -+，
，即可求解；
（3）根据勾股定理求解即可；
【详解】
（1）∵4=2×2×1，
12=2×3×2，
8=2×4×1，
24=2×4×3，
…，
∴2b mn =，
故答案为：2b mn =；
（2）当4m =，2n =时， a=m 2-n 2=42-22=12，2b mn ==2×4×2=16，c=m 2+n 2=42+22=20，
∴勾股数()a b c ，，为(12,16,20)，
故答案为：(12,16,20)；
（3）根据题意，得222(21)(1)k b b ++=+，
∴22244121k k b b b +++=++，
解得222b k k =+．
【点睛】
本题考查了数字类规律探究，以及勾股定理，熟练掌握勾股定理是解答本题的关键．在直角三角形中，如果两条直角边分别为a 和b ，斜边为c ，那么a 2+b 2=c 2．也就是说，直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方．
24．（1）
125；（2）①24t -；②83
；（3）t 的值为0.5或4.75或5或5.3． 【分析】
（1）直接利用勾股定理即可求得AC 的长，再利用等面积法即可求得斜边AB 上的高； （2）①CP 的长度等于运动的路程减去AC 的长度，②过点P '作P 'D ⊥AB ，证明Rt △AC P '≌Rt △AD P '得出AD=AC=4，分别表示各线段，在Rt △BD P '利用勾股定理即可求得t 的值；
（3）由图可知，当△BCP 是等腰三角形时，点P 必在线段AC 或线段AB 上，①当点P 在线段AC 上时，此时△BCP 是等腰直角三角形，②当点P 在线段AB 上时，又分三种情况：BC=BP ；PC=BC ；PC=PB ，分别求得点P 运动的路程，再除以速度即可得出答案．
【详解】
解：（1）∵90C ∠=︒，5AB =，3BC =，
∴在Rt ABC ∆中， 2222534AC AB BC =-=-=．
∴AC 的长为4．
设斜边AB 上的高为h ．
∵
1122AB h AC BC ⨯⨯=⨯⨯， ∴1153422
h ⨯⨯=⨯⨯， ∴125
h =． ∴斜边AB 上的高为125
． （2）已知点P 从点A 出发，以每秒2个单位长度的速度沿折线A-C-B-A 运动， ①当点P 在CB 上时，点P 运动的长度为：AC+CP=2t ，
∵AC=4，
∴CP=2t-AC=2t-4．
故答案为：2t-4．
②当点P '在∠BAC 的角平分线上时，过点P '作P 'D ⊥AB ，如图：
∵A P '平分∠BAC ，P 'C ⊥AC ，P 'D ⊥AB ，
∴P 'D=P 'C=2t-4，
∵BC=3，
∴B P '=3-（2t-4）=7-2t ，
在Rt △AC P '和Rt △AD P '中，
AP AP P D P C ''''=⎧⎨=⎩
， ∴Rt △AC P '≌Rt △AD P '（HL ），
∴AD=AC=4，
又∵AB=5，
∴BD=1，
在Rt △BD P '中，由勾股定理得：
2221(24)(72)t t +-=-
解得：83
t =，
故答案为：83； （3）由图可知，当△BCP 是等腰三角形时，点P 必在线段AC 或线段AB 上，
①当点P 在线段AC 上时，此时△BCP 是等腰直角三角形，
∴此时CP=BC=3，
∴AP=AC-CP=4-3=1，
∴2t=1，
∴t=0.5；
②当点P 在线段AB 上时，若BC=BP ，
则点P 运动的长度为：
AC+BC+BP=4+3+3=10，
∴2t=10，
∴t=5；
若PC=BC ，如图2，过点C 作CH ⊥AB 于点H ，则BP=2BH ，
在△ABC 中，∠ACB=90°，AB=5，BC=3，AC=4，
∴AB•CH=AC•BC ，
∴5CH=4×3，
∴125
CH =， 在Rt △BCH 中，由勾股定理得：
22123(
) 1.85
BH =-=， ∴BP=3.6， ∴点P 运动的长度为：AC+BC+BP=4+3+3.6=10.6，
∴2t=10.6，
∴t=5.3；
若PC=PB ，如图3所示，过点P 作PQ ⊥BC 于点Q ，
则30.52
BQ CQ BC ==⨯=
，∠PQB=90°， ∴∠ACB=∠PQB=90°，
∴PQ ∥AC ，
∴PQ 为△ABC 的中位线，
∴PQ=0.5×AC=0.5×4=2，
在Rt △BPQ 中，由勾股定理得：223()2 2.52BP =+=， 点P 运动的长度为：AC+BC+BP=4+3+2.5=9.5，
∴2t=9.5，
∴t=4.75．
综上，t 的值为0.5或4.75或5或5.3．
【点睛】
本题考查勾股定理，HL 定理，等腰三角形的性质和判定．掌握等面积法和分类讨论思想是解题关键．
25．(90303)m +
【分析】
由题意得出∠DAC=45°，∠DBC=60°，∠DCA=90°，设BC=x ，表示出BD ，CD 和AC 的长，利用AB=60得到方程，求出x ，最后根据DC=3x 得到结果．
【详解】
解：由题知，∠DAC=45°，∠DBC=60°，∠DCA=90°，
∴∠BDC=30°，△ACD 是等腰直角三角形，设BC=x ，
∴BD=2x ，
∴CD=22BD BC -=3x=AC ，
∴AB=AC-BC=3x-x=（3-1）x=60，
解得：x=31-=()
3031+， ∴DC=3x=90303+，
答：塔高约为(90303)m +．
【点睛】
本题考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键是根据仰角和俯角构造直角三角形，利用勾股定理的知识求解，难度一般．
26．（1）B （4，0）或B （-2，0）；（2）10或2
【分析】
（1）过点C 作CD ⊥x 轴，垂足为D ，根据勾股定理可求出BD=3，求出B 点坐标； （2）根据三角形面积公式计算即可．
【详解】
解：（1）如图，过点C 作CD ⊥x 轴，垂足为D ，
可知D 点坐标为（1,0），
∵BC=5，CD=4，
∴BD=22543-=，
当B 点在点D 右侧时，B 点坐标是（4,0），
当B 点在点D 左侧时，B 点坐标是（-2,0）；
（2）当B 点在点D 右侧时，
S △ABC =
12AB CD ⨯⨯, =1
542⨯⨯,
=10；
当B 点在点D 左侧时，
S △ABC =
112AB CD ⨯⨯, =1142
⨯⨯, =2．
【点睛】
此题主要考查了勾股定理、利用坐标求线段长、根据坐标轴上线段长求坐标以及利用坐标求三角形的面积，正确的掌握坐标与线段长的关系是解题关键．。