九年级数学竞赛辅导试题

本卷贰O 贰贰年贰月捌日编写； 出题人：令狐学复；欧阳化语；令狐理总。

竞赛辅导试题
本卷贰O 贰贰年贰月捌日编写； 出题人：令狐学复；欧阳化语；令狐理总。

1.假设把函数y=x 的图象用E 〔x ，x 〕记，函数y=2x+1的图象用E 〔x ，2x+1〕记，……那么E 〔x ，122+-x x 〕可以由E 〔x ，2x 〕怎样平移得到？
A ．向上平移１个单位
B ．向下平移１个单位
C ．向左平移１个单位
D ．向右平移１个单位
2.二次函数y =ax 2
+bx +c 〔a ≠0〕的图象如下图，以下结论①a 、b 异号；②
当x =1
和x=3时，函数值相等；③4a +b =0，④当y =4时，x 的取值只能为0．结论正确的个数有〔 〕 个
A ．1 Ｂ．2 Ｃ．3 Ｄ．4
3..设a 、b 是常数，且b ＞0，抛物线y=ax 2
+bx +a 2
-5a -6为以下图中四个图象之一，那么a 的值是〔 〕
A. 6或者－1
B. －6或者1
C. 6
D. －1
4.平面直角坐标系中，假设平移二次函数y=(x-2021)(x-2021)+4的图象，使其与x 轴交于两点，且此两点的间隔 为1个单位，那么平移方式为 A ．向上平移4个单位 B ．向下平移4个单位 C ．向左平移4个单位 D ．向右平移4个单位
5.抛物线103:2
-==x x y C ，将抛物线C 平移得到抛物线C '假设两条抛物线C 、C ' 关于直线1=x 对
称，那么以下平移方法中，正确的选项是
y
x
O y
x O
y
x
O
1 －1 y
x
O
1 －1
本卷贰O 贰贰年贰月捌日编写； 出题人：令狐学复；欧阳化语；令狐理总。

A ．将抛物线C 向右平移2
5
个单位 B ．将抛物线C 向右平移3个单位
C ．将抛物线C 向右平移5个单位
D ．将抛物线C 向右平移6个单位
6.函数))((3n x m x y ---=，并且b a ,是方程0))((3=---n x m x 的两个根，那么实数b a n m ,,,的大小关系可能是
A ．n b a m <<<
B ．b n a m <<<
C ．n b m a <<<
D ．b n m a <<< 7定义[,,a b c ]为函数2
y ax bx c =++的特征数, 下面给出特征数为 [2m ，1 – m , –1– m ] 的函数的一些结论：
① 当m = – 3时，函数图象的顶点坐标是(
31，3
8
)； ② 当m > 0时，函数图象截x 轴所得的线段长度大于2
3
； ③ 当m < 0时，函数在x >
4
1
时，y 随x 的增大而减小； ④ 当m ≠ 0时，函数图象经过同一个点. 其中正确的结论有
A. ①②③④
B. ①②④
C. ①③④
D. ②④
8.二次函数c bx ax y ++=2
的图象如下图,记b a c b a q b a c b a p -+++=+++-=2,2,那么
p 与q 的大小关系为 ( )
A.q p >
B.q P =
C.q p <
D.p 、q 大小关系不能确定
9. 如图，四边形ABCD 中，∠BAD =∠ACB =90°，AB =AD ，AC =4BC ，设CD 的长为x ，四边形ABCD 的面积
为y ，那么y 与x 之间的函数关系式是〔 〕
A
B
C
D
A ．2225y x =
B ．2425y x =
C ．225
y x = D ．2
45
y x =
10.二次函数2y ax bx c =++(0a ≠)的图象如下图，有以下结论：
①240b ac ->；②0abc >；③80a c +>；④930a b c ++<． 其中，正确结论的个数是
11.二次函数2
y ax bx c =++的图象与x 轴交于点(20)-，、1(0)x ，，且112x <<，与y 轴的正半轴的交点在(02)，的下方．以下结论：①420a b c -+=；②0a b <<；③20a c +>；④210a b -+>．其中正确结论的个数是 个．
12.将抛物线2
21216y x x =-+绕它的顶点旋转180°，所得抛物线的解析式是〔 〕． A ．2
21216y x x =--+ B ．2
21216y x x =-+-
C ．221219y x x =-+-
D ．2
21220y x x =-+-
13.y=x 2
＋〔1－a 〕x ＋1是关于x 的二次函数，当x 的取值范围是1≤x ≤3时，y 在x ＝1时获得最大值，那么实数a 的取值范围是〔 〕。

A ．a=5
B ．a ≥5
C ．a ＝3
D ．a ≥3
14.抛物线2y ax bx c =++〔a ＜0〕过A 〔2-，0〕、O 〔0，0〕、B 〔3-，1y 〕、C 〔3，2y 〕四点，那么1y 与2y 的大小关系是 A ．1y ＞2y
B ．1y 2y =
C ．1y ＜2y
D ．不能确定
15.二次函数c bx x y ++-=2
中函数y 与自变量x 之间的局部对应值如下表所示，点A(x 1，y 1) ，B(x 2，y 2)在函数的图象上，当0<x 1<1，2<x 2<3时，y 1与y 2的大小关系正确的选项是 A. y 1≥y 2 B. y 1＞y 2 C. y 1＜y 2 D. y 1≤y 2
4、二次函数y = 2
y ax bx c =++的图像如下图，令M=︱4a-2b+c ︱
+︱a+b+c ︱-︱2a+b ︱+︱2a-b ︱，那么以下结论正确的选项是……………( ) A.M ＜0 B.M ＞0 C
5、边长为1的正方形OABC 的顶点A 在x 轴的正半轴上，将正方形OABC 绕顶点O 顺时针旋转75o
， 使点B 落在抛物线y = ax 2
(a < 0)的图像上. 那么抛物线y = ax 2
的函数解析式为 ( )
A. y=232x -
B. y=-23
2x C. y=-22x D.y=-221
x 10．二次函数y ＝2x 2
＋9x+34，当自变量x 取两个不同的值x 1、x 2时，函数值相等，那么当自变量x 取x 1＋x 2 时的函数值与〔 〕
A 、x ＝1时的函数值相等
B 、x ＝0时的函数
C 、x ＝4
1时的函数值相等 D 、x ＝－4
9时的函数值相等
13．如图，两个反比例函数x a y =
和x
b
y = 〔其中a ＞0＞b 〕 在第一象限内的图象是C 1，第二、四象限内的图象是C 2，设点P 在C 1上，PC⊥x 轴于点M ，交C 2于点C ，PA⊥y 轴于点N ，交C 2于点A ，AB∥PC，CB∥AP 相交于点Ｂ，请用a ，b 的代数式表示四边形AEON 的面积： . 四边形ODBE 的面积： .
14.如图，抛物线y x x =-2
23，等边⊿ＡＢＣ的边长为23，顶点Ａ在抛物线上滑动，且ＢＣ边始
终平行程度方向，当⊿ＡＢ
Ｃ在滑动过程中，点Ｂ落在坐标轴上时，Ｃ
点坐标是：
15、，抛物线y=ax 2
+bx+c 的局部图像如图，那么以下说法①对称轴是直线x ＝1；②当－1＜x ＜3时，y ＜0；③a+b+c ＝－4；④方程ax 2
+bx+c+5=0无实数根其中正确的选项是 〔填序号，缺填多填错填均不给分〕
16、如图，A(－3，0)，B(0，－4)，P 为双曲线x
y 12
=
y
x
-3
-1o 1
〔x ＞0〕上的任意一点，过点P 作PC⊥x 轴于点C ，PD⊥y 轴于点D ．那么四边形ABCD 面积的最小值为 。

1．假设关于x 的一元二次方程05x 2ax 2
=-+的两根在0与1之间〔不含0和1〕，那么a 的取值范围是〔 〕
A 、3a <
B 、3a >
C 、3a -<
D 、3a ->
6、二次函数)0(2
≠++=a c bx ax y 的图象如下图，有以下5个结论：①
0>abc ；② c a b +<；③ 024>++c b a ；④ b c 32<；⑤
)(b am m b a +>+，
〔1≠m 的实数〕其中正确的结论有〔 〕。

A. 2个
B. 3个
C. 4个
D. 5个
7、对于每个非零自然数n ，抛物线2
211(1)
(1)
n n n n n y x x +++=-+
与x 轴交于A n 、B n 两点，以n n A B 表示这
两点间的间隔 ，那么112220092009A B A B A B ++
+的值是〔 〕
A ．20092008
B ．
20082009
C ．
20102009
D ．
20092010
10．如下图是二次函数2
122
y x =-
+的图象在x 轴上方的一局部，对于这段图象与 x 轴所围成的阴影局部的面积，你认为与其最．
接近的值是〔 〕 A ．4
B ．
16
3
C ．2π
D ．8
11、对于二次函数322--=mx x y ，有以下说法：
①它的图象与x 轴有两个公一共点；②假如当x ≤1时y 随x 的增大而减小，那么1=m ； ③假如将它的图象向左平移3个单位后过原点，那么1-=m ；
④假如当4=x 时的函数值与2008=x 时的函数值相等，那么当2012=x 时的函数值为3-． 其中正确的说法是 ．〔把你认为正确说法的序号都填上〕
12、如图,在平面直角坐标系中，二次函数y=ax 2
+mc(a ≠0)的 图像经过正方形ABOC 的三个 顶点,且ac=-2,那么m 的值是
13.如图，在第一象限内作射线OC ,与x 轴的夹角为30o
,在射线OC 上取一点A ，过点A 作AH ⊥x 轴于点
H .在抛物线y =x 2 (x >0)上取点P ，在y 轴上取点Q ，使得以P ，O ，Q 为顶点的三角形与△AOH 全等，那么
符合条件的点A 的坐标是 .
14. 二次函数2
23
y x =
的图象如下图，点0A 位于坐标原点， 点1A ，2A ，3A ，…，2008A 在y 轴的正半轴上，点1B ，2B ，3B ，…，2008B 在二次函数2
23
y x =位于第一象限的图象上， 假设
011A B A ,122A B A ，233A B A ∆，…，200720082008A B A 都为等边三角形，那么200720082008A B A 的边长
＝ .
15．开口向下的抛物线2
2
(2)21y m x mx =-++的对称轴经过点(13)-，，那么m =
．
16．假设关于x 的一元二次方程0342=-+-t x x (t 为实数)在-1＜x ＜3的范围内有解，那么t 的取值范围是________
17、假设抛物线2
3y ax bx =++与2
32y x x =-++的两交点关于原点对称，那么a b 、分别为 ．
17．如图，
ABCD 中，4AB =，点D 的坐标是(08)，
，以点C 为顶点的抛物线2y ax bx c =++经过x 轴上的点A B ，．
y C
D
O
x
A
y
H
C
y =x 2
〔1〕求点A B C ，，的坐标．
〔2〕假设抛物线向上平移后恰好经过点D ，求平移后抛物线的解析式．〔8分〕
19、如图1〔1〕，抛物线22y x x k =-+与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C 〔0，3-〕．［图1〔2〕、图1〔3〕为解答备用图］
〔1〕k = ，点A 的坐标为 ，点B 的坐标为 ； 〔2〕设抛物线2
2y x x k =-+的顶点为M ，求四边形ABMC 的面积；
〔3〕在x 轴下方的抛物线上是否存在一点D ，使四边形ABDC 的面积最大？假设存在，恳求出点D 的坐标；假设不存在，请说明理由；
〔4〕在抛物线22y x x k =-+上求点Q ，使△BCQ 是以BC 为直角边的直角三角形．
22、如图，在平面直角坐标系中，O 是坐标原点，点A 、B 的坐标分别为(04)A ，和(20)B -，，
连结AB ．现将AOB △绕点A 按逆时针方向旋转90°得到11AO B △，
〔1〕直接写出点1B 、1O 的坐标，并求经过B 、A 、1O 三点的抛物线对应的函数关系式; 〔2〕在上述抛物线对称轴上找一点P 使△ABP 周长最小，求点P 的坐标；
〔3〕在上述抛物线对称轴上是否存在点Q 使△ABQ 为等腰三角形，假设存在求点Q 的坐标，假设不存在，
图1〔1〕 图1〔2〕 图1〔3〕
说明理由。

1、如图，经过原点O 的抛物线2y ax bx =+交x 轴正半轴于点A 〔4，0〕，点E 是抛物线上的动点，以点
O 、E 、A 为顶点、OA 为一条对角线作□OEAB .
定义：当点E 的坐标为〔x ，y 〕时，□OEAB 的“特征数〞为e ，记作e =〔x ，y 〕. 〔1〕当点E 运动到抛物线的顶点位置时，□OEAB 的特征数e =〔2，4-〕，□OEAB 是 〔填矩形、菱形或者正方形〕，并求出a 、b 的值； 〔2〕在第⑴题的条件下，解答以下两题：
①当e =〔23，m 〕时，求m 的值，此时□OEAB 是怎 样的特殊的平行四边形？并说明理由；
②是否存在这样的特征数e ，使得□OEAB 的面积等于12？ 假设存在，恳求出相应的特征数e ；假设不存在，请说明理由.
B
O
x
y
E
A
2、如图，抛物线2
y ax bx c =++(a <0)与双曲线k y x
=相交于点A 、B ，且抛物线经过坐标原点，点A
的坐标为〔–2，2〕，点B 在第四象限内，过点B 作直线BC ∥x 轴，点C 为直线BC 与抛物线的另一交点，直线BC 与x 轴之间的间隔 是点B 到y 轴的间隔 的4倍，记抛物线顶点为E 。

〔1〕求双曲线和抛物线的解析式； 〔2〕计算△ABC 与△ABE 的面积；
〔3〕在抛物线上是否存在点D ，使△ABD 的面积等于△ABE 的面积的8倍。

假设存在，恳求出点D 的坐标；假设不存在，请说明理由。

21、“快乐购〞超购进一批20元/千克的绿色食品，假如以30•元/千克销售，那么每天可售出400千克．由销售经历知，每天销售量y 〔千克〕•与销售单价x 〔元〕〔x ≥30〕成一次函数关系，局部对应值如下表．
〔1〕试求出y 与x 的函数关系式；
〔2〕设“快乐购〞超销售该绿色食品每天获得利润P 元，当销售单价为何值时，每天可获得最大利润？
最大利润是多少？
〔3〕根据场调查，该绿色食品每天可获利润不超过4480元，•现该超经理要求每天利润不得低于4180
元，请你帮助该超确定绿色食品销售单价x 的范围〔•直接写出答案〕．
3. 如图，抛物线1l 与x 轴交于点A(1,0)和点B, 抛物线1l 顶点为(34)C ，，抛物线2l 与1l 关于x 轴对称，顶点为C '．
〔1〕求抛物线2l 的函数关系式；
〔2〕原点O ，定点(04)D ，，2l 上的点P 与1l 上的点P '始终关于x 轴对称，那么当点P 运动到何处时，以点D O P P '，，，为顶点的四边形是平行四边形？
〔3〕在2l 上是否存在点M ，使ABM △是以AB 为斜边且一个角为30的直角三角形？假设存，求出点M 的坐标；假设不存在，说明理由．
4、如图，在平面直角坐标系xoy 中，矩形ABCD 的边AB 在x 轴上，且AB=3，BC=32，直线y=323-x 经过点C ，交y 轴于点G 。

〔1〕点C 、D 的坐标分别是C 〔 〕，D 〔 〕；
〔2〕求顶点在直线y=323-x 上且经过点C 、D 的抛物线的解析式；
〔3〕将〔2〕中的抛物线沿直线y=323-x 平移，平移后的抛物线交y 轴于点F ，顶点为点E 。

平移
后是否存在这样的抛物线，使⊿EFG 为等腰三角形？假设存在，恳求出此时抛物线的解析式；假设不存在，请说明理由。

14.如图，在平面直角坐标系xoy 中，直线l 1:y =
12
x 与直线l 2：y =－x +6相交于点M ，直线l 2与x 轴相较于点N .
（1） 求M ，N 的坐标； （2） 在矩形ABCD 中，AB =1，BC =2，边AB 在x 轴上，矩形ABCD 沿xABCD 与△OMN 的重叠局部的面积
为S .挪动的时间是为t 〔从点B 与点O 重合时开场计时，到点A 与点N 重合时计时完毕〕。

直接写出S 与自变量t 之间的函数关系式〔不需要给出解答过程〕；
（3） 在〔2〕的条件下，当t 为何值时，S 的值最大？并求出最大值.
2. 〔20213分〕如下图，A 11(,y )2，B 2(2,y )为反比例函数1y x
图像上的两点，动点P (x,0)在x 正半轴上运动，当线段AP 与线段BP 之差到达最大时，点
P 的坐标是【 】
O
x A B C y
D G
o
A . 1(,0)2
B . (1,0)
C . 3(,0)2
D . 5(,0)2
16. 〔202112分〕 如图，一次函数1y kx b =+的图象与x 轴相交于点A ，与反比例函数2c y x =
的图象相交于B 〔－1，5〕、C 〔
25，d 〕两点．点P 〔m ，n 〕是一次函数1y kx b =+的图象上的动点．〔1〕求k 、b 的值；
〔2〕设31m 2-<<，过点P 作x 轴的平行线与函数2c y x
=的图象相交于点D ．试问△PAD 的面积是否存在最大值？
假设存在，恳求出面积的最大值及此时点P 的坐标；
假设不存在，请说明理由；
〔3〕设m 1a =-，假如在两个实数m 与n 之间〔不包括m
和n 〕有且只有一个整数，务实数a 的取值范围．
17. 〔20218分〕对于平面直角坐标系中的任意两点P 1〔x 1，y 1〕，P 2〔x 2，y 2〕，我们把|x 1﹣x 2|+|y 1﹣y 2|叫做P 1、P 2两点间的直角间隔 ，记作d 〔P 1，P 2〕．
〔1〕O 为坐标原点，动点P 〔x ，y 〕满足d 〔O ，P 〕=1，请写出x 与y 之间满足的关系式，并在所给的直角坐标系中画出所有符合条件的点P 所组成的图形；
〔2〕设P 0〔x 0，y 0〕是一定点，Q 〔x ，y 〕是直线y =ax +b 上的动点，我们把d 〔P 0，Q 〕的最小值叫做P 0到直线y =ax +b 的直角间隔 ．试求点M 〔2，1〕到直线y =x +2的直角间隔 ．
【答案】解：〔1〕解1y=x 2y x 6
⎧⎪⎨⎪=-+⎩得x=4y 2⎧⎨=⎩。

∴M 的坐标为〔4，2〕。

在y =－x +HY 令y =0得x =6，∴N 的坐标为〔6，0〕。

〔2〕S 与自变量t 之间的函数关系式为： ()
()()()()2221t 0t 1411t 1t 42431349S=t +t 4t 54
2413t+5t 62149t 7t+6t 72
2<<<<⎧≤≤⎪⎪⎪-≤⎪⎪⎪--≤⎨⎪⎪-≤⎪⎪⎪-≤⎪⎩ 〔3〕当0≤t ≤1时，S 的最大值为
14
，此时t =1。

当1＜t ≤4时，S 的最大值为74，此时t =4。

当4＜t ≤5时，∵223134931311S=t +t =t +424436
⎛⎫---- ⎪⎝⎭， ∴S 的最大值为116，此时t =133。

当5＜t ≤6时，S 随t 的增大而减小，最大值不超过
32。

当6＜t ≤7时，S 随t 的增大而减小，最大值不超过12。

综上所述，当t =133时，S 的值最大，最大值为116。

本卷贰O 贰贰年贰月捌日编写； 出题人：令狐学复；欧阳化语；令狐理总。